Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1"

Transkripsi

1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika

2 Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga asli. Suatu barisa yag terdiri dari suku biasaya diyataka dalam betuk a,a,,a. a meyataka suku ke, a meyataka suku ke da a meyataka suku ke. Barisa tak higga didefiisika sebagai suatu fugsi real di maa daerah asalya adalah bilaga asli. Notasi barisa tak higga adalah a Matematika

3 Barisa Tak Higga Cotoh cotoh barisa Barisa Bisa dituliska dega rumus Barisa, 3 Bisa dituliska dega rumus Peetua a tidak memiliki atura khusus da haya bersifat coba coba.,4,6,8, ,, 4 5 6,... 9/0/06 Matematika 3

4 Kekovergea barisa tak higga Suatu barisa tak higga dikataka koverge meuju L, bila atau lima L La,N0N0 { utuk setiap epsilo positif terdapat N positif sedemikia higga utuk lebih besar atau sama dega N, selisih atara L aka kurag epsilo} a da 9/0/06 Matematika 4

5 Cotoh Kekovergea barisa tak higga Tetuka kekovergea dari barisa berikut Jawaba Karea maka lim diverge 9/0/06 Matematika 5

6 Cotoh Kekovergea barisa tak higga Tetuka kekovergea dari barisa berikut e Jawaba Karea merupaka betuk tak tetu maka utuk meyelesaikaya diguaka teorema berikut : Misal a f,bila limf L maka limf utuk R. lim e L 9/0/06 Matematika 6

7 Kekovergea barisa Jawaba (lajuta) Jadi f e lim lim e e tak higga da dega megguaka dalil L hopital maka Berdasarka teorema maka. Karea ilai limitya meuju 0, maka e Koverge meuju 0. lim 0 e lim e 0 9/0/06 Matematika 7

8 Cotoh 3 Kekovergea barisa tak higga Tetuka kekovergea dari barisa berikut cos Jawaba Betuk dari suku suku barisaya merupaka betuk gati tada akibat dari ilai cos, utuk gajil tadaya, utuk geap tadaya +. Nilai limcos tidak ada tetapi miimal berilai da maksimal berilai. Sedagka lim 0 akibatya utuk ilai,.cos aka medekati ol. Jadi deret koverge meuju 0. 9/0/06 Matematika 8

9 Sifat sifat barisa Misal {a } da {b } barisa-barisa yag koverge, da k suatu kostata, maka limk k lim ak k lim a ab ablim alim b lim balim alim a lim,lim b0 blim b 9/0/06 Matematika 9

10 Barisa Mooto Kemootoa barisa {a } dapat dikelompokka mejadi 4 macam :. Mooto aik bila. Mooto turu bila a 3. Mooto tidak turu bila a a a a a 4. Mooto tidak aik bila a a 9/0/06 Matematika 0

11 Deret Tak Higga Deret tak higga merupaka jumlaha dari yaitu a +a + +a. Notasi deret tak higga adalah a. a Kekovergea suatu deret dapat di ketahui dari kekovergea barisa jumlaha parsial yaitu, lim S,dimaa : S a Sa a aa a 3 3 S S aaa... a 3 Da S SS,,..., S,... k 9/0/06 Matematika

12 Deret Tak Higga Cotoh Selidiki apakah deret koverge? Jawaba S k k k Karea Slim, maka adalah deret k k k koverge yaitu koverge meuju. Peetua S dari suatu deret juga tidak memiliki atura khusus da bersifat coba coba. 9/0/06 Matematika

13 Deret Suku Positif Sebuah disebut deret suku positif, bila semua sukusukuya positif. Berikut ii adalah deret-deret suku positif yag serig diguaka :. Deret geometri. Deret harmois 3. Deret-p Deret p aka dibahas secara khusus dalam uji itegral 9/0/06 Matematika 3

14 Deret Suku Positif Deret geometri Betuk umum : ra k k 3 raa rara... ra... Proses meetuka rumusa S adalah sebagai berikut : 3 Sraa rara... Sr 3 rara ra... ra Dari rumusa tersebut diperoleh bahwa sehigga ar. S utuk r. Kekovergea dari deret geometri r bergatug pada ilai r. 9/0/06 Matematika 4

15 Deret Suku Positif Deret geometri(lajuta) Ada 3 kasus ilai r yag aka meetuka kekovergea deret geometri : Bila r =, maka S = a sehigga diverge Bila r <, maka Bila r >, maka lim r 0 limr lima, sehigga deret, sehigga deret koverge ke, sehigga deret diverge a r 9/0/06 Matematika 5

16 Deret Suku Positif Deret harmois Betuk umum : Utuk meetuka kekovergea, dapat diketahui dari ilai limit dari S ya, yaitu S /0/06 Matematika 6

17 Deret Suku Positif Deret harmois (lajuta) S Karea, maka lim. Sehigga deret harmois diverge. 9/0/06 Matematika 7

18 Kedivergea Deret Tak Higga Bila deret a koverge, maka lima. 0 kotraposisiya (peryataa lai yag sesuai ) adalah Bila lima 0,maka deret a aka diverge. Bila dalam perhituga limit a ya diperoleh ol, maka deret belum tetu koverge, sehigga perlu dilakuka pegujia deret dega uji-uji deret positif. 9/0/06 Matematika 8

19 Cotoh Kedivergea Deret Tak Higga Periksa apakah koverge? Jawaba lim a limlim 0 Jadi diverge 9/0/06 Matematika 9

20 Uji Deret Positif. Uji itegral. Uji Badig 3. Uji Badig limit 4. Uji Rasio 5. Uji Akar 9/0/06 Matematika 0

21 Uji itegral Misal dimaa a Uji Deret Positif merupaka deret suku positif da mooto turu, f B a b adalah fd limf d. b, maka itegral tak wajar dari f() Bila ilai limit dari itegral tak wajar tersebut tak higga atau tidak ada, maka deret diverge. Bila ilaiya meuju suatu ilai tertetu(ada), maka deret koverge. 9/0/06 Matematika

22 Deret Suku Positif Cotoh : Uji Itegral Deret p Betuk umum : p Kalau diperhatika maka deret harmois sebearya juga merupaka deret p dega p=. Kekovergea deret p aka bergatug pada ilai p. Utuk meetuka pada ilai p berapa deret koverge atau diverge, diguaka itegral tak wajar yaitu a Misal maka. Selajutya ilai f() tersebut di itegralka dega batas sampai. f p f p 9/0/06 Matematika

23 Deret Suku Positif Deret p (lajuta) Itegral tak wajar dari f() adalah b p b d lim b d p p p lim lim b b p p b Kekovergea deret p ii aka tergatug dari ilai itegral tak wajar tersebut. Bila itegralya koverge maka deretya juga koverge. Sebalikya bila itegralya tak higga atau tidak ada maka deretya juga aka diverge. p 9/0/06 Matematika 3

24 Deret Suku Positif Deret p (lajuta) Nilai itegral tak wajar tersebut bergatug pada ilai p berikut : Bila p =, maka deretya harmois, sehigga deret diverge b p Bila 0 p<, maka lim,sehigga deret b p p diverge Bila p>, maka, b lim p lim sehigga deret koverge. p b p p b p p b p 9/0/06 Matematika 4

25 Uji Deret Positif Cotoh Tetuka kekovergea deret Jawaba l Deret tersebut mooto turu, sehigga dapat diguaka uji itegral yaitu : Misal a f, maka l Perhituga itegral tak wajar : l d b lim b f() l d limll l b b 9/0/06 Matematika 5

26 Uji Deret Positif Karea ilai limitya meuju tak higga, maka itegral tak wajarya diverge. Sehigga deret diverge. l juga 9/0/06 Matematika 6

27 Uji Badig Uji Deret Positif Bila utuk N, berlaku b a maka a. Bila b koverge, maka juga koverge a b b. Bila a diverge, maka juga diverge Jadi pada uji badig ii, utuk meetuka kekovergea suatu deret, bila megguaka sifat a maka deret pembadigya adalah yag bersifat koverge. Sedagka bila megguaka sifat omor maka deret pembadigya adalah yag bersifat diverge. 9/0/06 Matematika 7

28 Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea Jawaba Dalam uji badig, pemiliha deret pembadig adalah dipilih yag palig mirip dega deret yag aka diuji. Dapat dipilh sebagai deret pembadig. 3 Karea da merupaka deret 3 3 p yag diverge, maka disimpulka deretya juga diverge 9/0/06 Matematika 8

29 Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea 3 5 Jawaba Dega uji badig, diguaka deret pembadig 3, 3 3 dimaa. Karea 3 merupaka deret 5 koverge, maka 3 5 juga koverge. 9/0/06 Matematika 9

30 Uji Deret Positif Cotoh 3 Uji kekovergea Jawaba tg Karea utuk, tg, maka deret pembadig yag diguaka adalah.karea tg da merupaka deret koverge, maka tg juga koverge 9/0/06 Matematika 30

31 Uji Badig Limit Uji Deret Positif Misal a da, merupaka deret suku positif da, a Llim berlaku b Bila 0 < L <, maka kedua deret bersama-sama koverge atau bersama-sama diverge Bila L = 0, da b adalah deret koverge, maka. juga koverge Bila L = da b adalah deret diverge maka. juga diverge b 9/0/06 Matematika 3 a a

32 Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea deret Jawaba Deret pembadig yag diguaka adalah diketahui sebagai deret diverge ( sebagai ). 3 da 5 Karea L lim. da deret pembadigya diverge, maka. juga diverge /0/06 Matematika 3 b 5 3 5

33 Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea deret i 5 Jawaba Deret pembadig yag diguaka adalah diketahui sebagai deret diverge (deret harmois). da Karea. L limlim da deret 5 pembadigya diverge, maka kedua deret bersama-sama diverge. 9/0/06 Matematika 33

34 Uji Deret Positif Uji Rasio Misal a maka berlaku merupaka deret suku positif da a lim a Bila <, maka deret koverge Bila >, maka deret diverge Bila =, maka uji gagal 9/0/06 Matematika 34

35 Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea deret i! Jawaba Dega uji rasio diperoleh Karea = 0 <, maka i )(! )( lim lim0!)( )( koverge.! 9/0/06 Matematika 35

36 Uji Deret Positif Uji Akar Misal merupaka deret suku positif da r lima, a maka berlaku Bila r <, maka deret koverge Bila r >, maka deret diverge Bila r =, maka uji gagal a a 9/0/06 Matematika 36

37 Uji Deret Positif Cotoh Uji kekovergea deret i e Jawaba Dega uji akar diperoleh rlim e e Karea r, maka koverge. e e i 9/0/06 Matematika 37

38 Uji Deret Positif Padua Pemiliha uji deret Bila deret suku berbetuk rasioal (fugsi poliom) maka dapat dipilih uji badig atau uji badig limit Bila deret suku positif megadug betuk pagkat da atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pagkat Bila uji uji diatas tidak dapat diguaka da suku sukuya mooto turu maka dapat dipilih uji itegral 9/0/06 Matematika 38

39 Deret Gati Tada Uji-uji kekovergea deret positif haya diguaka utuk meguji deret-deret positif. Sedagka utuk deret-deret yag suku-sukuya bergati-gati tada, yaitu berbetuk. aaa... dega a > 0 utuk semua dilakuka uji a 34 tersediri. Notasi deret gati tada adalah. atau. Deret gati tada dikataka koverge, bila a. 0 a (mooto tak aik) b. lima 0 9/0/06 Matematika 39 i ( ) a i ( ) a

40 Deret Gati Tada Cotoh Tetuka kekovergea deret 3 Jawaba 3 merupaka deret gati tada 3 dega rumus suku ke ya adalah a. Deret aka koverge bila memeuhi dua syarat berikut : a. 0a. b. Nilai a lima 0 9/0/06 Matematika 40

41 Deret Gati Tada a. b. 0 a a a 4 a3 56 a Karea jadi {a } adalah mooto tak aik. a 3 alim 0 Karea kedua syarat dipeuhi maka deretya koverge. 9/0/06 Matematika 4

42 Koverge Mutlak da Koverge Bersyarat Deret aaa a mutlak, bila deret mutlak 3 a (suku a bisa berupa suku positif atau tidak). a dikataka koverge a a3 koverge Hal tersebut tidak berlaku sebalikya. Tetapi bila diverge, maka. juga diverge. Koverge bersyarat terjadi bila diverge. a a a koverge tetapi a 9/0/06 Matematika 4

43 Koverge Mutlak da Cotoh Koverge Bersyarat Tetuka apakah cos koverge mutlak atau bersyarat? 3 Jawaba Deret mutlakya adalah cos. Dega megguaka uji 3 badig, dimaa deret pembadigya adalah maka 3 diperoleh bahwa cos utuk semua ilai. 3 3 Karea 3 merupaka deret koverge, maka cos 3 cos juga koverge. Sehigga koverge mutlak. 3 9/0/06 Matematika 43

44 Koverge Mutlak da Cotoh Koverge Bersyarat Tetuka apakah bersyarat?! koverge mutlak atau Jawaba Deret mutlakya adalah.!! Dega uji rasio diperoleh lim.! lim 0 Karea =0<, maka koverge.! Sehigga! koverge mutlak. 9/0/06 Matematika 44

45 Koverge Mutlak da Cotoh 3 Koverge Bersyarat Tetuka apakah koverge mutlak atau bersyarat? Jawaba Deret mutlakya adalah yag merupaka deret diverge. Pegujia kekovergea deret gati tada a. (mooto tak aik) Diperoleh 0 a bahwa a bear b. 0 Jadi deret gati tadaya koverge. Karea deret gati lim a tadaya koverge sedagka deret lim 0 mutlakya diverge maka koverge bersyarat. 9/0/06 Matematika 45

46 Uji rasio utuk kekovergea mutlak Misal a a deret dega suku tak ol da rlim, a tiga kodisi yag mugki terjadi adalah : a a Bila r<, maka koverge mutlak Bila r>, maka diverge Bila r=, pegujia gagal ( tidak dapat disimpulka) Koverge bersyarat tidak bisa ditetuka oleh uji rasio ii.. 9/0/06 Matematika 46

47 Koverge Mutlak da Koverge Bersyarat Cotoh Tetuka apakah diverge? e 3 koverge mutlak atau Jawaba Dega uji rasio mutlak diperoleh : r lim e 3 e 3 3 lim e 3 e Karea, maka 3 r koverge mutlak. e e 9/0/06 Matematika 47

48 Koverge Mutlak da Koverge Bersyarat Cotoh Tetuka apakah Jawaba Dega uji rasio mutlak diperoleh : Karea r >, maka! diverge.! r lim!! koverge mutlak atau diverge? lim 9/0/06 Matematika 48

49 9/0/06 Matematika 49 Deret Pagkat Betuk umum : Cotoh deret pagkat a a a a a b a b a b a a b a ! 4!!!

50 Deret Pagkat Pada deret pagkat ii, kalau diperhatika terdapat dua variabel, yaitu da. Utuk, ilaiya dari 0 sampai, sedagka ilai dapat dicari dega uji rasio utuk kekovergea mutlak, yaitu pada saat r <. Iterval ilai yag memeuhi kekovergea dari deret maupu a 0 b disebut iterval kekovergea. 0 Betuk iterval kekovergea dari deret pagkat ii memiliki ciri khusus da haya memiliki 3 variasi betuk utuk masig masig deret. a 9/0/06 Matematika 50

51 Deret Pagkat Tiga kemugkia utuk iterval kekovergea deret adalah : Selag kovergesi utuk deret Deret koverge haya di = 0 Deret koverge mutlak di R Deret koverge mutlak pada iterval buka ( r,r) atau ditambah pada ujug ujug itervalya. Selag kovergesi utuk deret 0 Deret koverge haya di = b Deret koverge mutlak di R a Deret koverge mutlak pada iterval buka (b r,b+r) atau ditambah pada ujug ujug itervalya. a 0 b 9/0/06 Matematika 5

52 Deret Pagkat Cotoh Tetuka iterval kekovergea deret Jawaba Pegujia dega uji rasio mutlak : 0! r lim!! lim 0 Deret aka koverge utuk semua ilai Atau R 9/0/06 Matematika 5

53 Deret Pagkat Cotoh Tetuka iterval kekovergea deret Jawaba Pegujia dega uji rasio mutlak : r lim!! lim Dari pegujia tersebut diperoleh bahwa ilai yag memeuhi 0! adalah = 0 agar r <. Jadi deret koverge utuk = 0 9/0/06 Matematika 53

54 Deret Pagkat Cotoh 3 Tetuka iterval kekovergea deret Jawaba Pegujia dega uji rasio mutlak : 3 rlim lim Dari pegujia tersebut diperoleh bahwa ilai yag memeuhi adalah 3 < < 3. Pada ujug ujug iterval, pegujia dilakuka secara terpisah /0/06 Matematika 54

55 Deret Pagkat Pegujia deret pada saat = 3 da = 3 adalah sebagai berikut : Saat = -3 deretya mejadi Deret ii 0 diketahui sebagai deret harmois yag diverge. Saat = 3 deretya mejadi dega 0 uji deret gati tada diketahui bahwa deret ii koverge. Jadi iterval kekovergea deret adalah /0/06 Matematika 55

56 Deret Pagkat Cotoh 4 Tetuka iterval kekovergea deret Jawaba Pegujia dega uji rasio mutlak : rlim 5 5 lim5 5. Dari pegujia tersebut diperoleh bahwa ilai yag memeuhi adalah 4 < < 6. Pada ujug ujug iterval, pegujia dilakuka secara terpisah. 9/0/06 Matematika 56 5

57 Deret Pagkat Pegujia deret pada saat = 4 da = 6 adalah sebagai berikut : Saat = 4 deretya mejadi karea 0. koverge maka deret gati tadaya juga koverge.. Saat = 6 deretya mejadi yag merupaka deret-p yag diketahui koverge. Jadi iterval kekovergea deret adalah 9/0/06 Matematika 57

58 Operasi-operasi deret pagkat. Operasi aljabar, yaitu pejumlaha, peguraga, pembagia, da substitusi. Turua deret : D a 0 3. Itegral deret : a a adad C /0/06 Matematika 58

59 Deret Pagkat Deret geometri a =. adalah cotoh deret pagkat dega Dega megguaka rumus jumlah takhigga deret geometri, maka diperoleh 3... Secara umum bisa digati dega U dimaa U adalah fugsi yag memuat. 3 uuu... u u 9/0/06 Matematika 59

60 Deret Pagkat Cotoh Nyataka Jawaba dalam deret pagkat Dega megguaka deret geometri /0/06 Matematika 60

61 Deret Pagkat Cotoh Nyataka Jawaba dalam deret pagkat Dega megguaka jawaba sebelumya /0/06 Matematika 6

62 Deret Pagkat Cotoh 3 Nyataka l dalam deret pagkat Jawaba l l 3 3 ld... d l d... d.. 3 Jadi 5 l l l /0/06 Matematika 6

63 Deret Pagkat Cotoh 4 Nyataka dalam deret pagkat Jawaba adalah turua dari sehigga d d 3 d d 9/0/06 Matematika 63

64 Deret Taylor da Maclauri Suatu fugsi yag terdifferesial sampai orde di = b dapat digambarka sebagai suatu deret pagkat dari ( b) yaitu, 3 0 3bababaf dimaa ilai-ilai a 0,a,a, = b sampai turua ke-, yaitu a a a a 0 f f f f b ' b ' ' b! b diperoleh dari peurua f() di! 9/0/06 Matematika 64

65 Deret Taylor da Maclauri Atau f() bisa dituliska sebagai ' ' ' fb fb ffbfbb b b!!3 Betuk yag diperoleh di atas dikeal dega betuk poliomial taylor. Fugsi yag dapat diperderetka dalam betuk poliomial taylor, diamaka deret taylor. Bila b = 0, maka fugsi diperderetka dalam deret maclauri, yaitu fb b! 9/0/06 Matematika 65 ' 3 ' 3 f f0f 0 ' f0 f0 f0!!3!

66 Deret Taylor da Maclauri Cotoh Perderetka Jawaba f ke dalam deret maclauri e f0 ' ' fe f0 ' f e ' fe f0 ' Sehigga ' fe f0 fe f0 3 e,!!3! 0 9/0/06 Matematika 66

67 Deret Taylor da Maclauri Cotoh Perderetka Jawaba f e Dari jawaba sebelumya diperoleh bahwa 3 ke dalam deret Maclauri / Taylor e,!!3! 0 Dega meggati dega maka diperoleh perderetaya adalah e! 3!3 9/0/06 Matematika 67

68 Deret Taylor da Maclauri Berikut adalah fugsi-fugsi yag diperderetka ke dalam deret Maclauri 357 si!3!5!7 0! 46, cos,!!4!6 0! 34 l, ta, , 0 9/0/06 Matematika 68

69 Deret Taylor da Maclauri Utuk memperderetka suatu fugsi kedalam deret taylor atau maclauri, dapat diguaka operasi-operasi deret pagkat seperti pada bagia sebelumya, misal : Cos d Si d d!3!5!7 4 6 d!!4!6 ta d d /0/06 Matematika 69

70 Soal Latiha A. Tetuka barisa-barisa berikut koverge atau diverge.. si 3. l ecos 6.! 9/0/06 Matematika 70

71 Soal Latiha A (Lajuta) 7. e e 8. e e.. 9/0/06 Matematika 7

72 Soal Latiha A (Lajuta) e B. Tetuka deret berikut koverge atau diverge?. l /0/06 Matematika 7

73 Soal Latiha B. (lajuta) ! e ! cos 3 l e!! 9/0/06 Matematika 73

74 Soal Latiha B. (lajuta) 5si..! 4! 4!! ta /0/06 Matematika 74

75 Soal Latiha B. (lajuta) e e 3 cos /0/06 Matematika 75

76 Soal Latiha B. (lajuta) C. Uji kekovergea deret-deret berikut, da tetuka koverge mutlak, koverge bersyarat, atau diverge cos 9/0/06 Matematika 76

77 Soal Latiha D. Cari iterval kekovergea deret pagkat berikut. 4.! l ! 9/0/06 Matematika 77

78 Soal Latiha D. (Lajuta) !!4!6 3 3! 3 3! E. Perderetka fugsi berikut dalam deret pagkat. f l. e 3 f 9/0/06 Matematika 78

79 Soal Latiha E. (Lajuta) e 3. f f f si 8. f l f f f e 0. f l 3 9/0/06 Matematika 79

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1

BARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1 BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)

DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014

Hendra Gunawan. 14 Februari 2014 MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak

Lebih terperinci

Himpunan/Selang Kekonvergenan

Himpunan/Selang Kekonvergenan oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)

Lebih terperinci

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.

HALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b. Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =

Lebih terperinci

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT

BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT. Deret Taylor Misal fugsi f() aalitik pada - < R ( ligkara dega pusat di da jari-jari R ). Maka utuk setiap titik pada ligkara itu, f() dapat diyataka sebagai : f

Lebih terperinci

DERET Matematika Industri 1

DERET Matematika Industri 1 DERET TIP FP UB Pokok Bahasa Barisa Deret Deret aritmetik Deret geometrik Deret pagkat dari bilaga-bilaga asli Deret tak berhigga Nilai-ilai limit Deret koverge da deret diverge Uji kovergesi Deret secara

Lebih terperinci

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN

KALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.

Lebih terperinci

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Barisan Aritmetika dan deret aritmetika BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika

Lebih terperinci

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

III BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari

Lebih terperinci

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

BAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN

Barisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN

Pendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +...

C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... 4.. DERET PANGKAT Deret pagkat dari (x-m) merupaka deret tak higga yag betuk umumya adalah : i= i i C (z m) = C + C (z m) + C (z m) +... ( 4- ) C, C,... = kostata disebut koefisie deret m = kostata disebut

Lebih terperinci

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.

,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM

MATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,

Lebih terperinci

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :

theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS : theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu

Lebih terperinci

KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA. Fitriani Agustina, Math, UPI

KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA. Fitriani Agustina, Math, UPI KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA Fitriai Agustia, Math, UPI 1 Fiacial Derivative Opsi Mafaat Opsi Opsi Eropa Peetua Harga Opsi Kekovergea Model Biomial Fitriai Agustia, Math,

Lebih terperinci

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN

ARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN

Lebih terperinci

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai : Defiisi Trasformasi Laplace Trasformasi Laplace Bilateral Trasformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari siyal berilai riil x(t) didefiisika sebagai : X B x(t)e Operasi trasformasi Laplace bilateral

Lebih terperinci

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

METODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam

Lebih terperinci

DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA KELOMPOK 2:

DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA KELOMPOK 2: MAKALAH KALKULUS LANJUT DERET POSITIF : UJI INTEGRAL DAN UJI LAIN-LAINNYA OLEH : KELOMPOK 2:. NI LUH PUTU SUARDIYANTI (0830005) 2. I WAYAN WIDNYANA (0830008) 3. LUH PUTU PRAJAYANTHI W. (0830027) JURUSAN

Lebih terperinci

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku.

BARISAN DAN DERET. Bentuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + 2b ) ( a + ( n 1 ) b a = suku pertama b = beda n = banyaknya suku. BARISAN DAN DERET Bab 9 Deret Aritmatika (Deret Hitug) o o o Betuk deret Aritmatika: a, ( a + b ), ( a + b ) +...+ ( a + ( ) b a = suku pertama b = beda = bayakya suku Suku ke- : U = a + (-)b Jumlah suku

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA

BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1

BARISAN DAN DERET. Materi ke 1 BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH

Lebih terperinci

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu

1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-rata Nilai Kus Prihatoso April 27, 2012 Yogyakarta Nilai Suatu Fugsi Masih igatkah ada tetag ilai rata-rata dari sekmpula bilaga? Berapakah ilai rata-rata dari sebayak bilaga y 1, y 2,..., y? Nilai Suatu Fugsi

Lebih terperinci

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa

Kekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <

II. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 < II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi

Lebih terperinci

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.

METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc. METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

Galat dan Perambatannya

Galat dan Perambatannya Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami

Lebih terperinci

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)

BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES) rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...

) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,... SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,

Lebih terperinci

Barisan Dan Deret Arimatika

Barisan Dan Deret Arimatika Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi

Lebih terperinci

Persamaan Non-Linear

Persamaan Non-Linear Persamaa No-Liear Peyelesaia persamaa o-liear adalah meghitug akar suatu persamaa o-liear dega satu variabel,, atau secara umum dituliska : = 0 Cotoh: 2 5. 5 4 9 2 0 2 5 5 4 9 2 2. 2 0 2 5. e 0 Metode

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS

ANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN

Lebih terperinci

E-learning matematika, GRATIS 1

E-learning matematika, GRATIS 1 E-learig matematika, GRATIS Peyusu Editor : Teag Idriyai, S.P ; Taufiq Rahma, S.P : Drs. Keto Susato, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Idra Guawa, S.Si.. Pegertia Barisa da Deret Barisa bilaga adalah

Lebih terperinci

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2

EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus

Lebih terperinci

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27

PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27 PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi

Lebih terperinci

Pengertian Secara Intuisi

Pengertian Secara Intuisi Pegertia Secara Ituisi Coba Gambarka grafik fugsi-fugsi berikut.. f ( ) +, pada [0,].. ) pada [0, ] da.. Dari grafik fugsi yag kamu peroleh, apa yag dapat kamu kataka tetag ilai-ilai ketiga fugsi tersebut

Lebih terperinci

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Penyelesaian Persamaan Non Linier Peyelesaia Persamaa No Liier Metode Iterasi Sederhaa Metode Newto Raphso Permasalaha Titik Kritis pada Newto Raphso Metode Secat Metode Numerik Iterasi/NewtoRaphso/Secat - Metode Iterasi Sederhaa- Metode

Lebih terperinci

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP

Solusi Numerik PDP. ( Metode Beda Hingga ) December 9, 2013. Solusi Numerik PDP ( Metode Beda Higga ) December 9, 2013 Sebuah persamaa differesial apabila didiskritisasi dega metode beda higga aka mejadi sebuah persamaa beda. Jika persamaa differesial parsial mempuyai solusi eksak

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga) Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar

Lebih terperinci

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25

ISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25 head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90

Lebih terperinci

STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN

STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN STUDI TENTANG BEBERAPA MODIFIKASI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN Supriadi Putra, M,Si Laboratorium Komputasi Numerik Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Riau e-mail : spoetra@yahoo.co.id ABSTRAK Makalah ii

Lebih terperinci

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu

PEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd

MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)

Lebih terperinci

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu

Range atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab

Lebih terperinci

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk

1. Ubahlah bentuk kuadrat di bawah ini menjadi bentuk OPERASI ALJABAR. Ubahlah betuk kuadrat di bawah ii mejadi betuk ( a b) c 4 8 4 4 0 4. Uraika betuk di bawah ii ( 5)( ) [ ]( )( )( ) [ ]( ) ( ) ( ). Tetuka ilai a, b, da c, jika ( )( 4 )( ) = a b c 6 (

Lebih terperinci

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA

BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

Bab 8 Teknik Pengintegralan

Bab 8 Teknik Pengintegralan Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi

Lebih terperinci

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.

ANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih

-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih -- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa

Lebih terperinci

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal

Oleh : Bambang Supraptono, M.Si. Referensi : Kalkulus Edisi 9 Jilid 1 (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal BAB. Limit Fugsi Ole : Bambag Supraptoo, M.Si. Referesi : Kalkulus Edisi 9 Jilid (Varberg, Purcell, Rigdom) Hal 56 - Defiisi: Pegertia presisi tetag it Megataka bawa f ( ) L berarti bawa utuk tiap yag

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka

Lebih terperinci

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa

Lebih terperinci

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka

Deret Positif. Dengan demikian, S = 1: Kemudian untuk deret lain, misalkan L = : Maka oi eswa (fmipa-itb) Deret Positif Deret (ta berhigga) adalah ugapa berbetu a + a + a 3 + a 4 + dega a i disebut suu. Pejumlaha ii berbeda dega pejumlaha dua, tiga, atau berhigga bilaga. Maa, ita perlu

Lebih terperinci

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.

BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3. BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,

Projek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16, Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di

Lebih terperinci

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan. Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga

Lebih terperinci