x Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan z = 1.

Transkripsi

1 Bab. Fungsi Kmpleks BAB. FUNGSI KOMPLEKS Sebelum membahas ungsi kmpleks,berikut ini diberikan beberapa knsep dan istilah ang akan banak digunakan dalam pembahasan selanjutna.. Daerah di bidang kmpleks Bagian berikut ini kita akan membahas beberapa kurva dan daerah penting dan sejumlah knsep terkait ang akan sering kita gunakan. Lingkaran C dengan pusat dan berjari-jari R, C : R, merupakan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak R dari. R. Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan. Cakram lingkaran, adalah interir lingkaran C, aitu < R, atau lebih tepat disebut cakram lingkaran terbuka dan disebut juga lingkungan dari. Cincin lingkaran terbuka atau anulus terbuka, adalah daerah antara dua lingkaran sepusat dengan jari-jari R dan R, direprentasikan dengan R < <. R Himpunan titik-titik pada bidang kmpleks berarti sembarang kleksi titik-titik pada bidang kmpleks. Sebuah himpunan S dikatakan terbuka jika setiap titik di dalam S mempunai suatu lingkungan ang seluruhna terletak di dalam S.

2 Bab. Fungsi Kmpleks Suatu himpuan S dikatakan terhubung jika sebarang dua titik di dalam himpunan ini dapat dihubungkan dengan suatu garis patah-patah ang terdiri atas terhingga banakna ruas garis ang seluruhna terletak di dalam S. Dmain adalah himpunan terbuka ang terhubungkan. Kmplemen himpunan S adalah himpuan semua titik ang tidak terletak di dalam S. Titik Batas himpunan S adalah titik ang setiap lingkunganna mengandung titiktitik di dlam S maupun di luar S. Wilaah atau regin adalah sebuah himpunan ang terdiri atas sebuah dmain ditambah sebagian atau seluruh titik batasna.. Fungsi Kmpleks Perhatikan ungsi : I C, dengan I merupakan sub himpunan bilangan real dan C himpunan bilangan kmpleks. Maka ungsi ini merupakan ungsi bernilai kmpleks. Fungsi ini merupakan bentuk penederhanaan ungsi ang memetakan sub himpuan bilangan real ke bidang, atau lebih dikenal sebagai ungsi bernilai vektr. Sebagai cnth, diberikan ungsi t cst + i sin t, t π. Maka kurva dari ungsi kmpleks ini berupa lingkaran satuan, aitu lingkaran ang berpusat di pisat krdinat dan berjari-jari satu. Sedangkan ungsi t, akan berupa parabla berikut. g t + it t,, dari sampai, seperti gambar Selanjutna akan dibahas tentang ungsi kmpleks dengan dmain bilangan kmpleks. Misalkan S merupakan sub himpunan bilangan kmpleks dan ungsi

3 Bab. Fungsi Kmpleks pada S adalah aturan ang menetapkan setiap di dalam S dengan tepat satu unsur di C dan dituliskan sebagai : S C.. Pada rumus di atas, adalah bilangan kmpleks, jadi S merupakan dmain deinisi ungsi dan himpunan ang merupakan seluruh nilai ungsi disebut sebagai range jangkauan dari. Sedangakn adalah juga bilangan kmpleks, sehingga dapat ditulis sebagai u + iv, ang bergantung pada bilangan kmpleks + i. Jadi dapat ditulis sebagai u, + iv,. + i Dmain u, + iv, Range Dengan demikian ungsi kmpleks ekuivalen dengan pasangan ungsi u, dan v, ang keduana bergantung pada dua peubah dan. Himpunan S disebut daerah asal dmain dari, ditulis D dan disebut nilai dari atau peta dari leh. Range atau daerah hasil jelajah dari ditulis R, aitu himpunan untuk setiap anggta S. Cnth : a + i b 4 + i c 5 d + Cnth a,b,c adalah ungsi kmpleks dengan dmain semua titik pada bidang Z. Sedangkan cnth d adalah ungsi kmpleks dengan dmain semua titik pada bidang Z, kecuali.

4 Bab. Fungsi Kmpleks Jika + i, maka ungsi dapat diuraikan menjadi u, + iv, ang berarti Re dan Im masing-masing merupakan ungsi dengan dua variabel real dan. Apabila rcsθ + i sinθ, maka ur, θ + ivr, θ. Cnth : Tuliskan i dalam bentuk u dan v! Penelesaian. Misal + i, maka ungsi i + i i +i- i - + i-. Jadi u - dan v -. Cnth. Jika rcsθ + i sinθ, tentukan u dan v jika + i Penelesaian. + i [r csθ+i sinθ] + i r [cs θ - sin θ + isinθ csθ] + i r cs θ - sin θ + r i sinθ + i r cs θ - sin θ ++r sinθi berarti u r csθ - sin θ dan v +r sinθ. Kmpsisi Fungsi Diberikan ungsi dengan dmain D dan ungsi g dengan dmain D g. Jika R D g φ, maka ada ungsi kmpsisi g g, dengan dmain D. 4

5 Bab. Fungsi Kmpleks g g g g Tidak berlaku hukum kmutati pada g dan g. Cnth 4. Misal i dan g + + i, maka Jika R D g φ, maka g g g i i + i + i 9 6i + i + i 9 6i Jika R g D φ, maka g g + + i + + i i Karena 9 6i + + i i. Jadi g g atau g g tidak kmutati. Interpretasi Gemetris Untuk setiap variabel bebas + i anggta dmain ada satu dan hana satu variabel tak bebas u + iv ang terletak pada suatu bidang kmpleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kmpleks, pada bidang Z dan pada bidang W. Karena pasangan, mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkanna pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari. Carana dengan memandang ungsi tersebut sebagai pemetaan 5

6 Bab. Fungsi Kmpleks transrmasi dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan. Untuk suatu titik maka disebut peta dari. Cnth 5. Diketahui ungsi + i. Untuk setiap variabel bebas + i didapat nilai + + i. Misalna untuk + i, dan i, berturut-turut diperleh : + i, dan 5i. Gambar dari,,, dan dapat dilihat pad gambar berikut. V Y bidang Z bidang W O X O U 5 Cnth 6. Diketahui ungsi. Dengan menggunakan r csθ+i sinθ, maka diperleh r csθ+i sinθ. Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r. Daerah arg α dipetakan menjadi daerah arg α. Gambar keduana dapat dilihat di baah ini. 6

7 Bab. Fungsi Kmpleks bidang W bidang Z r r α α. Limit dan kekntinuan Pengertian it dan kekntinuan ungsi kmpleks secara esensi sama dengan pengertian it dan kekntinuan ungsi real. δ.. l Suatu ungsi dikatakan mempunai it l untuk mendekati jika untuk sebarang > terdapat bilangan psiti δ sehingga untuk < < δ berlaku l < dan ditulis sebagai l. 7

8 Bab. Fungsi Kmpleks Perlu diperhatikan baha :. Titik adalah titik it dmain ungsi.. Titik menuju melalui sebarang lengkungan K, artina menuju dari segala arah.. Apabila menuju melalui dua lengkungan ang berbeda, mengakibatkan menuju dua nilai ang berbeda, maka it ungsi tersebut tidak ada untuk mendekati. Cnth 7. Buktikan baha : Bukti: 5 Misalkan diberikan bilangan >, kita akan mencari δ > sedemikian, sehingga: < < δ 5 <, untuk Lihat bagian sebelah kanan Dari persamaan kanan diperleh: 5 < Hal ini menunjukkan baha Bukti Frmal : + 5 < + 5 < < < Jika diberikan >, maka terdapat δ telah diperleh. δ, sehingga untuk, diperleh 8

9 Bab. Fungsi Kmpleks 9 δ δ < + < < 5 5 Jadi < 5 apabila < δ < Terbukti 5. Terema Limit Terema : Jika ungsi mempunai it untuk menuju, maka nilai itna tunggal. Bukti: Misal itna dan, maka Terema : Misalkan, +i dan u, + iv, dengan dmain D. Titik, +i di dalam D atau batas D. Maka i + jika dan hana jika u, dan v,. Terema : Misalkan ungsi dan g itna ada. a dan g b, maka. + g a + b untuk jadi sehingga + + +

10 Bab. Fungsi Kmpleks.. g a. b untuk. / g a / b untuk Tugas : Buktikan ketiga terema it tersebut! Cnth 8. Hitunglah : Penelesaian. i + i i + + i i i i i + i i i Cnth 9. Jika + i. Buktikan tidak ada! + + Penelesaian. Kita tunjukkan baha untuk menuju di sepanjang garis, maka,, Sedangkan di sepanjang garis,,, i + i + Karena dari dua arah nilaina berbeda, maka terbukti tidak ada. Kekntinuan Fungsi Deinisi : Misalkan ungsi terdeinisi di D pada bidang Z dan titik terletak pada interir D, ungsi dikatakan kntinu di jika untuk menuju, maka. Jadi, ada tiga sarat ungsi kntinu di, aitu :. ada. ada.

11 Bab. Fungsi Kmpleks Fungsi dikatakan kntinu pada suatu daerah R, jika kntinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. Terema 4 : Jika u, + iv,, terdeinisi di setiap titik pada daerah R, dan + i titik di dalam R, maka ungsi kntinu di jika dan hana jika u, dan v, masing-masing kntinu di,. Terema 5 : Andaikan dan g kntinu di, maka masing-masing ungsi :. + g.. g. / g, g 4. g; kntinu di g, juga kntinu di. Cnth. + 4, i i Fungsi, apakah kntinu di i + 4, i Penelesaian i + 4i + 4i, sedangkan untuk mendekati i, + i, sehingga i. Jadi diskntinu di i. i Cnth. Dimanakah ungsi Penelesaian. + g kntinu? + Perhatikan baha g diskntinu di dan. Jadi g kntinu di daerah { > }.

12 Bab. Fungsi Kmpleks.4. Turunan Diberikan ungsi ang dideinisikan pada daerah D dan D. Jika diketahui baha nilai ada, maka nilai it ini dinamakan turunan atau derivati ungsi di titik. Dintasikan : Jika ada, maka dikatakan terdierensial atau dierensiabel di. Dengan kata lain : ' +. Jika terdierensial di semua titik pada D, maka terdierensial pada D Cnth. Buktikan terdierensiasi diseluruh C Penelesaian. Perhatikan baha ditinjau sebarang titik C ' + Karena sebarang maka terdeerensial di seluruh C Terema 6 Jika ungsi kmpleks dan ada, maka kntinu di Bukti : Diketahui ada Akan dibuktikan kntinu di atau

13 Bab. Fungsi Kmpleks ' sehingga. Dengan kata lain kntinu di. Cnth. Buktikan kntinu di seluruh bidang kmpleks tetapi hana terdierensial di Bukti : + berarti u, + dan v, u dan v kntinu di D, maka kntinu di D ' Jadi terdierensial di..5 Sarat Chauch-Riemann Sarat ang diperlukan agar ungsi terdierensial di + i adalah sarat Chauch-Riemann, ang menghubungkan derivati-derivati parsial tingkat pertama dari ungsi bagian real dan ungsi bagian imajiner dari. Terema 7 Sarat Chauch-Riemann Jika u, + i v, terdierensial di + i, maka u, dan v, mempunai derivati parsial pertama di, dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauch Riemann v u dan v u derivati di dapat dinatakan dengan,, ' v i u + Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di, maka

14 Bab. Fungsi Kmpleks u, + i v, tidak terdierensial di + i Cnth 4. Buktikan tidak terdierensiasi di Bukti : + sehingga u, + v, Persamaan Cauch Riemann u u dan u u dan u v u v Dua persamaan terakhir tidak dipenuhi jika atau, jadi pasti tidak terdeerensial di Catatan : Sarat C-R hana sarat perlu untuk keterdierensialan + i i Cnth 5. Buktikan ungsi + terdierensial di, memenuhi C-R Bukti : dan, tidak u + dengan u, + v dengan v, + u, u, u, u, u, u, 4

15 Bab. Fungsi Kmpleks v, v, v, v, v, v, Jadi persamaan Cauch Riemann terpenuhi tetapi + i i + + i Sepanjang garis real + i + i. Sepanjang garis real i i. + i + i Jadi tidak ada, sehingga tidak terdierensial di meskipun persamaan C-R dipenuhi di,. Dengan demikian dapat disimpulkan baha : i. Sarat perlu u, + iv,, + i ada maka : v u, u, v, v ada di, berlaku Persamaan C-R, aitu u dan v u dan u, + i v,. ii. Sarat cukup u,, v,, u,, v,, u,, v, kntinu pada kitar + i dan di, dipenuhi C-R maka ada. Cnth 6. Buktikan e cs + i sin terdierensial untuk setiap dalam C Bukti : u, e cs u, e cs u, -e sin v, e sin v, e sin. v, e cs Perhatikan baha u, u, v, v ada dan kntinu di setiap, C. 5

16 Bab. Fungsi Kmpleks Berdasarkan persamaan C-R : u v dan u -v dipenuhi di, C, dan ada persekitaran dimana keenam ungsi kntinu dan C-R dipenuhi di,.jadi ada C dan u, + i v, e cs + i e sin. Sarat C-R Pada Krdinat Kutub Jika u, + i v, dapat diilustrasikan dalam krdinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan r cs ϕ dan r sin ϕ, diperleh r cs ϕ + i sin ϕ, sehingga ur, ϕ + i vr, ϕ dalam sistem krdinat kutub. Tereama 8. Jika ur, ϕ + i vr, ϕ terdierensial dan kntinu pada suatu kitar r, ϕ dan jika dalam kitar tersebut u r, u ϕ, v r, v ϕ ada dan kntinu di r, ϕ dan dipenuhi Persamaan C-R aitu: u r vϕ dan v r u ϕ, r. r r maka ada di dan cs ϕ i sin ϕ [u r r, ϕ + i v r r, ϕ ]. Cnth 7. Diketahui -, tentukan dalam bentuk ktdinat kutub. Penelesaian. - r - cs ϕ - i sin ϕ, maka : u r - cs ϕ, sehingga u r -r -4 cs ϕ dan u ϕ -r - sin ϕ, v -r - sin ϕ, sehingga v r r -4 sin ϕ dan v ϕ -r - cs ϕ keenam ungsi ini kntinu dan sarat C-R dipenuhi untuk semua Jadi - terdierensial untuk Dengan demikian dalam krdinat kutub adalah : cs ϕ i sin ϕ -r -4 cs ϕ + i r -4 sin ϕ cis-ϕ -r -4 cis-ϕ -r -4 cis-4ϕ. 6

17 Bab. Fungsi Kmpleks Aturan Pendierensialan Jika, g dan h adalah ungsi- ungsi kmpleks serta, g dan h ada, maka berlaku rumus-rumus :.. dc d d, [ c ] d d d c '. d d 4. d d 5. d d g [ ± g ] [ g ] ' ± g' ' g + g' ' g g' [ g ] n d n n d Jika h g[ ] maka h' g'[ ] ' biasa disebut dengan kmpsisi aturan rantai d d d dϕ.. dϕ d.6 Fungsi Analitik Deinisi Fungsi dikatakan analitik di, jika ada r > sedemikian, hingga ada untuk setiap N,r persekitaran. Fungsi ang analitik untuk setiap C dinamakan ungsi utuh entire. Cnth 8. analitik kecuali di.. + i diperleh : u ; v sehingga u ; v ; u ; v dengan menggunakan persamaan C-R : ± dan v u persamaan C-R dipenuhi dan kntinu digaris ± berarti ada hana di ±. Jadi tidak analitik dimanapun karena tidak ada persekitaran. 7

18 Bab. Fungsi Kmpleks Siat siat ungsi analitik Misalna dan g analitik pada D, maka :. ± g merupakan ungsi analitik. g merupakan ungsi analitik. /g merupakan ungsi analitik dengan g 4. h g merupakan ungsi analitik 5. berlaku aturan L hspital aitu : g ' g', dengan g g'.7. Titik Singular Deinisi Titik disebut titik singular dari jika tidak analitik di tetapi untuk setiap persekitaran dari memuat paling sedikit satu titik dimana analitik. Jenis kesingularan atau titik singular antara lain :. Titik singular terislasi Titik dinamakan titik singular terislasi dari jika terdapat δ > demikian sehingga lingkaran δ hana melingkari titik singular lainna. Jika δ seperti itu tidak ada, maka disebut titik singular tidak terislasi.. Titik Ple titik kutub n Titik disebut titik ple tingkat n, jika berlaku A Jika n, disebut sebagai titik ple sederhana.. Titik Cabang Dari ungsi bernilai banak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular disebut titik singular dapat dihapuskan dari jika ada. 8

19 Bab. Fungsi Kmpleks 5. Titik Singular Essensial Titik singular ang tidak memenuhi sarat titik singular ple titik cabang atau titik singular ang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial. 6. Titik Singular tak hingga Jika mempunai titik singular di, maka sama dengan menatakan / mempunai titik singular di. Cnth 9. g berarti titik i adalah titik ple tingkat dari g.. h tidak merupakan titik singular. k ln + maka titik cabang adalah dan karena Fungsi Harmnik Jika u, + iv, analitik pada D maka u dan v mempunai derivati parsial di semua rde ang kntinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R, u v dan u v. Karena deriati-derivati parsial dari u dan v kntinue dalam D, maka berlaku v v. Jika dalam u v dan u v diderivatikan parsial terhadap dan maka, D berlaku u + u v v. Jika analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan dierensial Laplace dalam dimensi. ϕ ϕ +, u dan v dimana u, + iv, analitik pada suatu dmain maka dikatakan harmnik pada dmain tersebut. 9

20 Bab. Fungsi Kmpleks Dua ungsi u dan v sedemikian sehingga u, + iv, analitik dalam suatu dmain dinamakan dua ungsi ang harmnik knjugat dalam dmain itu. Cnth. Diberikan u, harmnik pada D dan tentukan ungsi v ang harmnik knjugat dengan u 4,, C Penelesaian : Misal knjugatna adalah v,. Jadi u, + iv, analitik pada C sedemikian sehingga berlaku C-R u v dan u -v. u 4, v 4 u 4, v g karena v u maka + g + 4 sehingga g 4 diperleh g 4 + C Jadi v C. Sal latihan:. Natakan hubungan/ implikasi antara ungsi seluruh entire, ungsi analitik, ungsi dierensiabel, dan ungsi kntinu.. Diberikan i. a. Apakah merupakan ungsi seluruh. b. Jika bukan ungsi seluruh, apakah analitik di suatu titik. c. Jika tidak analitik di suatu titik, apakah ada titik ang menebabkan ungsi terdierensial di titik tersebut.. Diberikan u, + k a. Tentukan k agar u, merupakan ungsi harmnik b. Tentukan ungsi analitik, u, + i,. 4. Tunjukkan baha u + + merupakan ungsi harmnik dan tentukan ungsi analitik u + iv ang sesuai.