Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Transkripsi

1 Bab 6 Sumber: Let s Learn about Korea, 00 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi invers dalam pemecahan masalah. Demikian pula halna dengan domain, kodomain, dan range ungsi telah Anda pelajari juga. Akan tetapi, pada pembahasan mengenai hal tersebut tidak dipelajari siat-siat ungsi, aljabar ungsi, ungsi komposisi, dan ungsi invers. Pada bab ini, konsep-konsep ungsi ang telah Anda pelajari di SMP tersebut akan dikembangkan sampai pada siat-siat ungsi, aljabar ungsi, ungsi komposisi, ungsi invers, dan invers dari ungsi komposisi. Salah satu manaat belajar materi ini ialah untuk menelesaikan masalah berikut. Jumlah n mobil ang diproduksi suatu pabrik selama hari setelah t jam operasi adalah n(t) = 00t t 0 t, 0 t < 0. Jika biaa produksi n mobil (dalam dolar) adalah C(n) = n, tentukan biaa C sebagai ungsi dari waktu. Berapakah biaa memproduksi mobil selama bulan? Untuk menjawabna, Anda harus mempelajari bab ini dengan baik. A. Fungsi dan Siatna B. Aljabar Fungsi C. Fungsi Komposisi D. Fungsi Invers E. Invers dari Fungsi Komposisi 5

2 Diagram Alur Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur ang disajikan sebagai berikut. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers membahas Fungsi Komposisi Fungsi Invers sarat siat sarat memiliki invers cara menentukanna g: R g «D φ g : R «D g φ R ( g)() (g )() ( (g h))() = ( g) h)() ( I)() = (I )() = () bijekti () = (g ) () = ( g )() ( g) () = (g )() Tes Kompetensi Awal Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Coba jelaskan apa ang dimaksud dengan relasi dan ungsi. Berikan contoh relasi ang merupakan ungsi dan ang bukan ungsi.. Jika () = + 7 5, tentukan nilai ungsi pada a. = b. a. Diketahui ()= 6. a. Apakah titik (,) terletak pada graik? b. Jika =, berapakah ()? c. Tentukan domain, kodomain, dan range dari. 6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

3 A. Fungsi dan Siatna Sebelum membahas beberapa macam ungsi, mari awali bagian ini dengan mengulang pengertian relasi dan ungsi.. Pengertian Relasi Dari himpunan A dan B ang tidak kosong dikatakan bahwa ada suatu relasi dari A ke B jika ada anggota himpunan A ang berpasangan dengan anggota himpunan B. Amati diagram pada Gambar 6.. Relasi ang ditunjukkan diagram tersebut dapat dituliskan dalam bentuk himpunan pasangan terurut berikut. a. {(, ), (, 6), (, 7), (5, 6)} b. {(Hasan, Rudi), (Hasan, Ani), (Tina, Rudi)} c. {(a, ), (b, ), (c, z), (p, q), (r, s)} Daerah asal (domain) dari relasi pada Gambar 6. (a) adalah {,, 5}, daerah kawanna (kodomain) adalah {, 6, 7, 8}, dan daerah hasilna (range) adalah {, 6, 7}. Dapatkah Anda menentukan domain, kodomain, dan range dari Gambar 6. (b) dan (c)? Misalkan antara dan ang keduana bilangan real terdapat hubungan (relasi) H, ang dinatakan sebagai =. Graik relasi ini berupa garis lurus seperti diperlihatkan pada Gambar 6.. Domain relasi ini adalah D H = { R}, kodomainna adalah { R} dan rangena adalah R = { H R}. Titik-titik (, ) ang memenuhi hubungan ini begitu banak sehingga jika dirinci satu per satu tidak mungkin dilakukan. Dalam matematika, hubungan ini ditulis dengan {(, ) = ;, R}. Relasi {(, ) = ;, R} jika disajikan dalam diagram Cartesius terdiri atas semua titik ang terletak pada kurva =, seperti diperlihatkan pada Gambar 6.(a). Adapun relasi {(, ) + = 5;, R} terdiri atas semua titik ang terletak pada + = 5 seperti diperlihatkan pada Gambar 6.(b). Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk umum relasi? Cobalah natakan bentuk tersebut dengan kalimat Anda sendiri. Konsep ang telah Anda pelajari tersebut memperjelas deinisi berikut. Deinisi 6. Relasi H dari himpunan A ke himpunan B ialah himpunan bagian dari himpunan pasangan berurutan ang merupakan himpunan bagian dari A B. Jadi, H disebut relasi dari A ke B jika H himpunan bagian dari {(, ) A, B}. A 5 A Hasan Tina A a b c p r Gambar 6. Gambar 6. (a) (b) (c) O B B B Rudi Ani z s q = Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 7

4 Domain dari suatu relasi adalah himpunan ang anggotana terdiri atas unsur-unsur pertama dari semua pasangan berurutan ang merupakan anggota relasi tersebut. Adapun range-na adalah himpunan ang anggotana terdiri atas unsur-unsur kedua dari semua pasangan berurutan ang merupakan anggota relasi itu. = O (a) + = 5 5 O 5 5 (b) Gambar 6.. Pengertian Fungsi Amati kembali Gambar 6.. Pada relasi {(, ) = ;, R}, setiap unsur pada daerah asal (domain) dihubungkan dengan satu dan hana satu unsur pada daerah hasil (range). Misalna, dihubungkan dengan, dengan, 0 dengan 0, dengan, dengan, dan seterusna. Sekarang amati Gambar 6.(a). Pada relasi {(, ) = ;, R}, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan dengan satu dan hana satu unsur pada daerah hasil; dihubungan dengan, dengan, 0 dengan 0, dengan, dengan, dan seterusna. Relasi {(, ) = ;, R} dan relasi {(, ) = ;, R} disebut ungsi. Berbeda dengan Gambar 6. (b), aitu relasi {(, ) + = 5;, R}. Pada relasi ini, untuk nilai ang sama misalna =, terdapat dua nilai ang berbeda, aitu = dan =. Jadi, relasi {(, ) + = 5;, R) bukan ungsi. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menatakan pengertian ungsi? Cobalah natakan pengertian ungsi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep ang telah Anda pelajari tersebut memperjelas deinisi berikut. Deinisi 6. Fungsi ialah relasi dengan setiap unsur dari daerah asalna dipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah kawanna. O (a) = Contoh 6. Di antara graik pada Gambar 6., manakah ang menatakan suatu ungsi dari R R,, R? Jelaskan jawaban Anda. Jawab: a. Dari Gambar 6.(a) tampak bahwa untuk = dihubungkan dengan R, misalna dengan 0, dengan, dengan, dan seterusna. Akibatna, relasi {(,) = ;, R} bukan merupakan ungsi. 8 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

5 b. Dari Gambar 6.(b) tampak bahwa setiap unsur pada domain dihubungkan dengan satu dan hana satu unsur pada range. Misalna, dihubungkan dengan ; dihubungkan dengan ; 0 dihubungkan dengan 0; dengan ; dan seterusna. Dengan demikian, relasi {(,) = ;, R} merupakan ungsi. Graik pada Gambar 6.(b), menatakan ungsi. O Diketahui ungsi : R R dan () =. a. Hitunglah ( ), ( ), (0), (), dan (). b. Jika (a) =, tentukan nilai a ang memenuhi. c. Gambarkan graik ungsi tersebut. d. Jika daerah asal ungsi tersebut adalah D = {, R}, tentukan daerah hasilna. Jawab: a. () = ( ) = ( ) = 9 = 8 ( ) = ( ) = 0 (0) = (0) = () = () = () = () = 8 b. (a) = a = a a = + a = a = a = ± Jadi, nilai a ang memenuhi adalah a = dan a =. c. Sketsa graik tampak pada Gambar 6.5. d. Daerah hasil dari ungsi = () = adalah R = { 8, R} R Contoh 6.. Siat-Siat Fungsi a. Fungsi Injekti Misalkan, himpunan A = {,, } dan himpunan B = {p, q, r, s}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan ungsi dan ungsi g ang dinatakan dengan diagram panah pada Gambar 6.6. Pada Gambar 6.6(a), untuk setiap anggota himpunan A ang berbeda mempunai peta ang berbeda di himpunan B. Fungsi ang demikian dinamakan ungsi injekti atau ungsi satu-satu. Gambar 6. Daerah hasil Gambar 6.5 A A (b) Daerah asal (a) Fungsi : A Æ B g (b) Fungsi g : A Æ B Gambar 6.6 = B p q r s B p q r s Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 9

6 Soal Terbuka Buatlah 5 buah ungsi ang satu-satu dan ungsi ang tidak satu-satu. A (a) Fungsi : A Æ B g P Q a b (b) B z 6 Fungsi g : P Æ Q Gambar 6.7 Pada Gambar 6.6(b), terdapat dua anggota himpunan A ang berbeda, aitu dan mempunai peta ang sama, aitu r di himpunan B. Oleh karena itu, ungsi g bukan ungsi injekti. Sekarang, amati kembali Gambar 6.. Dari graik ungsi () = pada gambar tersebut, untuk setiap domain dan ( ) maka ( ) ( ). Misalkan untuk =, = maka ( ) =, ( ) =, dan ( ) ( ). Jadi, untuk nilai ang berbeda menghasilkan nilai = () ang berbeda pula. Fungsi ang demikian disebut ungsi injekti atau ungsi satu-satu. Amati pula graik ungsi () = pada Gambar 6.(a). Pada ungsi ini, untuk setiap domain dan ( ) terdapat hubungan ( ) = ( ), misalna ( ) = () = dan ( ) = () =. Jadi, untuk nilai ang berbeda terdapat nilai = () ang sama. Fungsi ang demikian bukan merupakan ungsi injekti. Secara umum, jika ungsi dari himpunan A ke himpunan B maka setiap unsur di dalam A dikawankan dengan tepat suatu unsur tertentu ang khas di dalam B. Jika dua unsur ang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan tepat satu unsur ang berbeda pula di dalam B maka disebut ungsi injekti atau ungsi satu-satu. b. Fungsi Surjekti Misalkan, himpunan A = {,, } dan himpunan B = {,, z}. Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan ungsi ang ditentukan dengan diagram panah pada Gambar 6.7(a). Pada Gambar 6.7(a), tampak bahwa daerah hasil dari ungsi, aitu R = {,, z} sehingga R = B, dalam hal ini B adalah daerah kawan. Suatu ungsi ang daerah hasilna sama dengan daerah kawanna dinamakan ungsi surjekti atau ungsi onto. Jadi, ungsi pada Gambar 6.7(a) merupakan ungsi surjekti. Coba Anda selidiki Gambar 6.7(b). Apakah ungsi g : P Q merupakan ungsi surjekti? Jelaskan jawaban Anda. Sekarang, amatilah graik (( ) = (Gambar 6.). Graik tersebut memiliki daerah hasil (range) R sama dengan daerah kawanna (kodomainna). Oleh karena itu, ungsi () = disebut ungsi surjekti atau ungsi onto. Secara umum, jika pada suatu ungsi dari A ke B daerah hasilna R = B maka ungsi itu disebut ungsi surjekti atau ungsi onto. Akan tetapi, jika R ÃB maka ungsi tersebut bukan merupakan ungsi surjekti. Suatu ungsi ang bersiat injekti dan surjekti disebut ungsi bijekti. Jadi, ungsi = merupakan ungsi bijekti. 50 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

7 Selidikilah ungsi berikut, apakah merupakan ungsi injekti atau bukan, jika injekti apakah juga merupakan ungsi bijekti? a. = () = +, R, b. = () =, R, Jawab: Contoh 6. a. Graik ungsi = () = +, R tampak pada Gambar 6.8 (a). Amati untuk setiap domain dan ( ) maka ( ) ( ). Jadi, ungsi = () = +, R merupakan ungsi injekti. Oleh karena range R sama dengan daerah kawanna (kodomainna) maka ungsi = () = +, R merupakan ungsi surjekti. Dengan demikian, ungsi = (( ) = +, R adalah ungsi bijekti. b. Graik dari ungsi = () =, R diperlihatkan pada Gambar 6.8(b). Pada gambar tersebut, tampak bahwa terdapat nilai-nilai, D dengan, tetapi ( ) = ( ). Jadi, ungsi = () =, R bukan ungsi injekti. 6 (a) = () = (b) Gambar 6.8 Mari, Cari Tahu Selidikilah bersama orang teman, sejarah penggunaan lambang = (). Anda dapat mencarina di buku atau internet. Laporkan hasilna di depan kelas. Tes Kompetensi Subbab A Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Di antara graik berikut ini, manakah ang menatakansuatu ungsi darirr,, R? Jelaskan jawaban Anda. (a) (b). Dari sketsa graik berikut ini, manakah ang merupakan relasi? Tentukan pula mana ang merupakan ungsi dari. Jika ungsi, tentukan siatna injekti, surjekti, atau bijekti. a. = b. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 5

8 . Buatlah sketsa graik relasi-relasi berikut. Kemudian, tunjukkan mana ang merupakan ungsi dari R R. a. {(,) = ;, R} b. {(,) = ;, R} c. {(,) = ;, R} d. {(,) = ;, R} e. {(,) = 5 ;, R}. {(,) = 5 ;, R}. Periksalah ungsi berikut, apakah merupakan ungsi injekti atau bukan. Jika injekti, apakah merupakan ungsi bijekti? a. = ;, R b. = ( + ) ;, R c. = ;, R dan d. = 8 ;, R 5. Tentukan daerah asal ungsi-ungsi berikut ini. a. () = b. 6. Gambarkan graik ungsi berikut ini. Kemudian, tentukan daerah asalna agar menjadi ungsi injekti. a. = () = b. = () = cos, 0 π 7. Jelaskan cara ang Anda lakukan untuk menentukan apakah suatu ungsi satu-satu atau bukan. B. Aljabar Fungsi Anda telah mempelajari ungsi () = mempunai daerah asal D = { R}. Demikian halna dengan ungsi g() = dengan daerah asal D g = { R} telah Anda pelajari pula. Pada bab ini, Anda akan mempelajari cara membentuk ungsi baru dari hasil operasi aljabar dua ungsi dan g ang diketahui tersebut, aitu sebagai berikut. ( + g)() = () + g() = + ( g)() = () g() = ( g)() = () g() = ( ) Ê ˆ = ( ) g Ë g g ( ) = ( ) -, ( ) π 0 - Anda pun akan mempelajari cara menentukan daerah asal ungsi hasil operasi. Untuk itu pelajari uraian berikut. Misalkan, () dan g() adalah ungsi-ungsi ang diketahui, berlaku hal-hal berikut. Jumlah dari ungsi () dan g() adalah ( + g)() = () + g() dengan D + g = D «D g. Selisih dari ungsi () dan g() adalah ( g)() = () g() dengan D g = D «D g. 5 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

9 Perkalian dari ungsi () dan g() adalah ( g)() = () g() dengan D g = D «D g. Pembagian dari ungsi () dan g() adalah g ( ) g, dengan D = D «D g dan g() 0 g Diketahui ungsi () = 5 dan g() =, tentukan operasi ungsi-ungsi berikut. Tentukan pula daerah asalna. a. ( + g) () c. ( g) () b. ( g) () d. Ê ˆ ( ) Ë g Jawab: D = { R} dan D g ={ 0, R}. a. ( + g)() = () + g() = 5 + D +g Contoh 6. = D «D g = { R} «{ 0, R} = { 0, R} b. ( g) () = () g() = 5 D g = { 0, R} c. g g 0 D g = { 0, R} d. 5 g g D {, R} g Tes Kompetensi Subbab B Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan g g g,,, g, dan g serta tentukan pula daerah asal ungsi hasil operasi tersebut jika diketahui ungsi-ungsi seperti berikut. a. dan g b. dan g. Diketahui ungsi () = dan g() =. Tentukanlah: a. ( + g) () b. ( g) () c. ( g) (5) Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 5

10 g g Gambar 6.9 g Gambar 6.0 C. Fungsi Komposisi. Pengertian Fungsi Komposisi Sebelum Anda mempelajari ungsi komposisi lebih lanjut, pelajari uraian berikut ini. Misalkan (( ) = + dengan D = { R} dan g(( ) = dengan D g = {, R}. Fungsi komposisi g dapat digambarkan pada Gambar 6.9. Mula-mula unsur D dipetakan oleh ke baangan, aitu (( ). Kemudian, (( ) dipetakan oleh g ke g(( ( )). Dengan demikian, ungsi komposisi g adalah pemetaan D oleh ungsi, kemudian baanganna dipetakan lagi oleh g. Uraian tersebut memperjelas deinisi berikut. Deinisi 6. Diketahui, dan g dua ungsi sebarang maka ungsi komposisi dan g ditulis g, dideinisikan sebagai (g )() = g(( ()) untuk setiap D g. Untuk = Anda peroleh () = ang berada dalam daerah asal ungsi g. Baangan, aitu () = dapat dipetakan oleh g ke g(( ()) sebab g() = =0. Lain halna jika =. Untuk = diperoleh () = ang berada di luar daerah asal ungsi g. Baangan, aitu () = tidak dapat dipetakan oleh g ke ungsi komposisi g(( ()) sebab g. Nilai ini tidak terdeinisi jika Anda membatasi daerah kerja pada himpunan seluruh bilangan real. Dari uraian itu dapat dipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukan jika baangan jatuh ke dalam daerah asal ungsi g. Dengan demikian, diperoleh daerah asal ungsi komposisi g adalah Dgo { D, Dg}. Dengan pemikiran ang sama, ungsi komposisi g adalah pemetaan D g oleh ungsi g, kemudian baanganna dipetakan lagi oleh. Dengan demikian, daerah asal ungsi komposisi g adalah D { D, D }. og D g Misalkan diketahui (( ) = + dan g(( ) =. Kedua ungsi itu dapat digambarkan seperti Gambar Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

11 Daerah hasil R = {, R} tidak dapat dipetakan oleh g() = sebab untuk, g() tidak terdeinisi. Coba jelaskan mengapa g(( ) tidak terdeinisi untuk. Jika Anda analisis uraian tersebut, diperoleh hal-hal berikut. Fungsi ( ) = + dan g( ( ) = dapat dikomposisikan menjadi ungsi komposisi g sebab irisan antara daerah hasil ungsi dan daerah asal ungsi g bukan merupakan himpunan kosong. R «D g = {, R} «{{, R} = {, R}. R g Fungsi () = + dan g() = tidak dapat dikomposisikan menjadi ungsi komposisi g sebab irisan antara daerah hasil ungsi dan daerah asal ungsi g merupakan himpunan kosong. R «D g = {, R} «{, R} = Ø. Pe embahasan Soal Fungsi g: R R ditentukan oleh g(( ) = + dan ungsi : R R sehingga ( g)(( ) = + maka ( ) =... Jawab: g(( ) = + ( g) ( ) = + (g(( )) = ( + ) 5 ( ) = 5 maka ( ) = ( ) 5 = Soal Ebtanas 999 Sarat ang harus dipenuhi agar ungsi dan ungsi g dapat dikomposisikan menjadi ungsi komposisi (g ) adalah irisan antara daerah hasil ungsi dan daerah asal ungsi g bukan himpunan kosong, atau R D g Ø. Contoh 6.5. Jika () = dan g() = +, tentukan g ().. Jika g() = + dan Jawab:. g () = g { ()} = () + = + h() = + +5, tentukan h g().. h g() = h{g()} = {g()} + {g()} + 5 = ( + ) + ( + ) + 5 = = Tugas Anda telah mengetahui sarat ungsi dan ungsi g dapat dikomposisikan menjadi ungsi g. Bagaimana dengan sarat agar ungsi g dapat dikomposisikan? Selidikilah bersama teman Anda kemudian laporkan hasilna kepada guru Anda. Contoh 6.6 Diketahui () = + 5 dan g() =. Tentukan:. ( g) () dan (g ) (). a. daerah asal ( g) () dan daerah hasil ( g) () b. daerah asal (g ) () dan daerah hasil (g ) () Jawab:. ( g) () = (g ()) = ( ) = ( ) + 5 = 6² + 5 (g ) () = g ( ()) = g ( + 5) = ( + 5) = ( ) = Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 55

12 . a. Daerah asal ( g) () = D = { R} dan g daerah hasil( g) () = R = { R}. g b. Daerah asal (g ) () = D g = { R} dan daerah hasil(g ) () = R g = { R}. Situs Matematika Anda dapat mengetahui inormasi lain tentang Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers melalui internet dengan mengunjungi situs berikut.. Siat-Siat Komposisi Fungsi Untuk mempelajari siat-siat komposisi ungsi, pelajari uraian berikut. Diketahui, () = + 5 dan g() = + 6. ( g) () = ( g(( )) = ( + 6) = ( + 6) + 5 = + (g ) ( ) = g ( ( )) = g ( + 5) = ( + 5) + 6 = + 6 Amati lagi hasil contoh 6.5. Apakah nilai ( g)() sama dengan (g ) ()? Coba selidiki untuk ungsi lainna. Apa ang Anda peroleh? Jika melakukanna dengan benar, akan diperoleh kesimpulan berikut. ( g) () (g ) () Amati ungsi () = +, g() =, dan h() = + 5. Misalkan, (g h) () = s() maka s(( ) = ( g h) ( ) = g (h ( )) = g ( + 5) = ( + 5) = sehingga ( (g h))() = ( s) () = (s()) = ( ) = ( ) + = = Jadi, ( g h) () = Kemudian, misalkan ( g) () = t() maka t() = ( g) () = (g ()) = ( ) = + sehingga ((( g) h) () = (t h) () = t(h()) = t ( + 5) = ( + 5) + = ( ) + = Jadi, ( (g h)) () = Amati lagi uraian tersebut. Apa ang Anda peroleh mengenai nilai (g h)() jika dihubungkan dengan nilai ( g) h()? Apakah hal ini berlaku untuk ungsi ang lainna? Untuk itu, bersama dengan teman sebangku buat buah ungsi. Kemudian, hitung nilai (g h) dan ( g) h. Apakah hasil keduana sama? Ulangi lagi untuk ungsi lainna. Apakah Anda dapat memperoleh kesimpulan berikut? ( (g h)) () = ((( g) h) () 56 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

13 Contoh 6.7 Diketahui () = dan I() =. a. Carilah ( I)() dan (I ) (). b. Apakah ( I)() = (I ) ()? Jawab: a. ( I)() = (I ()) = () = (I )() = I ( ()) = I (5 + 6) = b. Dari hasil (a) tampak bahwa ( I)() = (I ) (). Dalam hal ini ungsi I() = disebut ungsi identitas terhadap operasi komposisi ungsi. Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga siat-siat komposisi ungsi? Cobalah natakan siat-siat komponen ungsi dengan kata-kata Anda sendiri. Operasi komposisi pada ungsi-ungsi pada umumna tidak komutati. ( g)(( ) (g )(( ) Operasi komposisi pada ungsi-ungsi bersiat asosiati ( (g h))(( ) = ((( g) h)(( ) Dalam operasi komposisi pada ungsi-ungsi terdapat sebuah ungsi identitas, aitu I(( ) = sehingga ( I)( ( ) = (I )( ( ) = (( ). Menentukan Fungsi atau g jika Diketahui Fungsi Komposisi dari atau g Pada bagian sebelumna, Anda telah belajar menentukan ungsi komposisi g atau g jika ungsi dan g diketahui. Bagaimana jika terjadi sebalikna? Fungsi ang diketahui adalah ungsi komposisi dan salah satu ungsi ang membentuk komposisi ungsi tadi, bagaimana cara menentukan ungsi lainna? Anda dapat menentukan ungsi g(( ) jika diketahui ungsi komposisi ( g) () = 0 5 dan () = 5, aitu sebagai berikut. ( g)() = 0 5 (g()) = 0 5 (g()) 5 = 0 5 (g()) = 0 g() = 5 Soal Terbuka. Diketahui ungsi komposisi ( g)(( ) = +. Tentukan ungsi dan g ang mungkin.. Diketahui ungsi komposisi (g )(( ) =. Tentukan ungsi dan g ang mungkin. Sebutkan pula cara Anda memperoleh jawaban ini. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 57

14 Untuk menentukan ungsi () jika diketahui ungsi komposisi ( g)() = 0 5 dan g() = 0 carana sebagai berikut. ( g)() = 0 5 (g()) = 0 5 (0 ) = 0 5 = (0 ) (0 ) = (0 ) 6 () = 6 Jika ungsi dan ungsi komposisi g atau g diketahui maka ungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika ungsi g dan ungsi komposisi g atau g diketahui maka ungsi dapat ditentukan. Contoh 6.8 Diketahui g () = dan () =. Tentukan g(). Jawab: g () = (g ()) = g ( ) = = g( ) g() = Tes Kompetensi Subbab C Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan g() dan g ( ) dari ungsiungsi berikut ini. a. ( ) = dan g() = + b. () = + dan g() = + c. Untuk soal nomor a dan b, tentukan g( ) dan g ( ).. Diketahui () = 5 dan g() =. Tentukan nilai jika diketahui sebagai berikut. a. g() = 6 b. g g ( ) =. Diketahui () =, g() =, dan h() =. Tentukanlah nilai dari ungsi-ungsi berikut ini. a. g h () = b. g () = 5. a. Jika () = + 7 dan g () = ( ), tentukanlah g(). b. Jika g() = ( ) dan g () = ( 5), tentukanlah (). 58 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

15 c. Jika ( ) = 5 dan g ( ) = 5 tentukanlah g ( ). d. Jika g () = dan g () =, tentukanlah. 5. Diketahui () = 5, g() = 6 5, carilah nilai a ang mungkin jika a. g(a) = 85 b. g (a) = 6. Fungsi dan g dinatakan dalam pasangan terurut berikut. = {( a, b), (c, d), (e, ), (g, h), (i, j)} g = {( b, ), (d, ), (, 5), (h, 7), (j, 9)} Natakan ungsi-ungsi komposisi berikut ini dalam pasangan terurut. a. c. g b. g g d. g 7. a. Jika ( ) =, g() = sin, dan (g (a)) = 7, tentukan nilai a. b. Jika ( ) =, g () =, dan h(( ) = +, tentukan g h (0). 8. Harga sebuah produk p ang terjual sebanak memenuhi persamaan Misalkan, c adalah biaa membuat buah produk tersebut ang memenuhi persamaan c = Jika semua produk terjual, 5 tentukan biaa c sebagai ungsi dari harga p. 9. Volume sebuah balon (dalam cm ) adalah V(r) = r. Jika jari-jari r bertambah terhadap waktu t (dalam sekon) memenuhi rumus r (t) = t, t 0. Tentukan volume balon sebagai ungsi waktu. 0. Sebuah drum ang berbentuk tabung mempunai volume 500 cm. Bagian alas dan atasna dibuat dari bahan ang berharga Rp6.000,00 per cm. Adapun bagian sisa dibuat dari bahan berharga Rp.000,00 per cm. a. Ekspresikan biaa total bahan c sebagai ungsi dari r (jari-jari tabung). b. Berapa harga total bahan untuk membuat drum dengan jari-jari cm atau 8 cm? p = + 00, 0 00 D. Fungsi Invers Di SMP, tentuna Anda telah belajar cara mengubah satuan dari derajat Celsius ke Fahrenheit, aitu dengan 9 menggunakan persamaan. Bagaimana cara 5 mengubah satuan dari Fahrenheit ke Celsius? Untuk mengetahuina, Anda harus belajar ungsi invers. Apakah setiap ungsi selalu memiliki ungsi invers? untuk mengetahuina, lakukan aktivitas matematika berikut. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 59

16 Aktivitas Matematika Lakukanlah kegiatan berikut bersama kelompok Anda. Langkah ke- a. Melengkapi tabel ungsi = () Misalkan ungsi dari ke dideinisikan sebagai = (( ), seperti Tabel 6.. Salin dan lengkapilah Tabel 6. di buku tugas Anda. Tabel 6. Fungsi = () (masukan) (keluaran) b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti Tabel 6., kemudian salin dan lengkapilah Tabel 6. di buku tugas Anda. Tabel 6. (masukan) (keluaran) Ingatlah Lambang di dalam bukan berupa pangkat. Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6. merupakan ungsi dari ke? Tuliskan hasil penelidikan Anda di buku tugas Anda. Langkah ke- a. Melengkapi tabel ungsi s = g(r) Misalkan ungsi g dari r ke s dideinisikan sebagai s = g(r), seperti Tabel 6.. Salin dan lengkapilah Tabel 6. di buku tugas Anda. Tabel 6. Fungsi s = g(r) r (masukan) s (keluaran) b. Menukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran Tukarkan nilai-nilai masukan dan keluaran tersebut seperti Tabel 6., lalu salin dan lengkapi Tabel 6. di buku tugas Anda. Tabel 6. s (masukan) r (keluaran) 0 Coba Anda selidiki, apakah Tabel 6. merupakan ungsi dari ske r? Tuliskan hasil penelidikan Anda di buku tugas Anda. Langkah ke- Dapatkah Anda menduga, ungsi ang bagaimana ang memiliki ungsi invers? Jawablah dengan cara menganalisis Tabel 6. sampai dengan Tabel Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

17 Jika ungsi memetakan setiap D ke R maka balikan dari ungsi mengembalikan unsur tersebut ke unsur semula. Proses pembalikan tersebut belum tentu meng- hasilkan ungsi baru. Jika ungsi bijekti maka pembalikan tersebut menghasilkan ungsi baru. Akan tetapi, jika bukan ungsi bijekti pembalikan itu hana menghasilkan suatu relasi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut. Telah diketahui ungsi = seperti Gambar 6. merupakan ungsi bijekti. Amati bahwa setiap dua unsur ang berbeda di dalam domain dikawankan dengan dua unsur ang berbeda di dalam daerah kawan. Sebagai contoh, = dan = dikawankan berturut-turut dengan = dan =. Balikan dari ungsi ini akan menghubungkan dua unsur ang berbeda tersebut dengan dua unsur semula ang berbeda, aitu dengan dan dengan. Balikan dari ungsi tersebut jelas sesuai dengan aturan ungsi, ang hana membolehkan setiap unsur di dalam daerah asalna dihubungkan dengan satu dan hana satu unsur di dalam daerah hasil. Jadi, balikan dari ungsi (( ) = merupakan ungsi. Lain halna dengan ungsi = seperti Gambar 6.. Fungsi ini bukan merupakan ungsi bijekti. Amati bahwa setiap unsur dan di dalam domain dikawankan dengan unsur ang sama di dalam daerah kawan. Contohna, unsur dan keduana dipetakan ke unsur ang sama, aitu. Akibatna, balikan dari ungsi ini menghubungkan dengan dua unsur ang berbeda, aitu dan. Balikan dari ungsi ini jelas menalahi aturan ungsi. Jadi, balikan dari ungsi () = bukan merupakan ungsi, tetapi hana relasi saja. Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga bentuk umum ungsi invers? Cobalah natakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep ang telah Anda pelajari tersebut memperjelas deinisi berikut. Deinisi 6. Misalkan, merupakan ungsi bijekti dengan daerah asal D dan daerah hasil R.. Fungsi invers(ungsi balikan) adalah jika dan hana jika ( ) () = untuk setiap di dalam D dan ( ) () = untuk setiap di dalam R. R Dari Deinisi 6. tampak bahwa setiap D dipetakan oleh ke () dan () oleh dikembalikan ke. Demikian halna untuk setiap R dipetakan oleh ke () dan = O Gambar 6. = O Gambar 6. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 6

18 () oleh dikembalikan ke. Dengan demikian, invers suatu ungsi invers menghasilkan ungsi asalna, dituliskan ( ) =. Dari uraian tersebut, Anda dapat menentukan invers suatu ungsi dengan langkah-langkah sebagai berikut. Diketahui, = (). Selesaikan persamaan sehingga diperoleh sebagai ungsi atau = (). Ganti variabel dengan pada () sehingga diperoleh () = sebagai ungsi invers dari = (). Contoh 6.9 = O () = 5 7 () = Gambar 6. Tentukan invers dari ungsi berikut ini. = ( ) = 5 7 Kemudian, gambarkan graik ( ) dan (). Jawab: = = + 7 = 7 5 = () = 7 5 Jadi, ungsi invers dari = ( ) = 5 7 adalah ( ) = 7. 5 Gambar graik () = 5 7 dan () = 7 5 tampak pada Gambar 6.. Amati Gambar 6. dengan saksama, bagaimana posisi graik () dan () terhadap =. Apakah simetris? Jika Anda amati graik () dan () dengan saksama, tampak bahwa graik () simetris terhadap graik (). Graik () diperoleh dari graik (( ) dengan mencerminkanna terhadap garis =. Oleh karena itu, untuk mencari () jika diketahui ( ) dapat pula dikerjakan dari persamaan () =. Coba Anda selesaikan invers dari () = 5 7 dengan menggunakan () =. Soal Terbuka Bersama teman sebangku, buatlah 5 ungsi ang mempunai invers. Berikan alasanna. Kemudian, berikan hasilna pada teman ang lain untuk dicek dan dikomentari. Contoh 6.0. Diketahui () = + dan g() =. Periksalah apakah g merupakan balikan (invers) dari.. Tentukan ungsi invers dari () =. 6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

19 Jawab:. Untuk menentukan apakah g ungsi invers, periksalah apakah ungsi komposisi (g ) () = dan ( g) () =. (g ) () = g { ()} = g ( + ) = = ( g) () = {g ()} = ( ) + = - = + = Jadi, g merupakan balikan sehingga juga balikan g. Dengan kata lain, g = dan = g.. = () = ( ) = + = + = + ( ) = + = = () = Jadi, () =. Tantangan untuk Anda Diketahui () = a b c d. Tentukan. Jika c 0, apakah sarat a, b, c, dan d sehingga =. Tes Kompetensi Subbab D Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan invers dari ungsi-ungsi berikut. Kemudian, gambarkan graik ungsi dan dalam satu diagram. a. ( ) = 5 b. () = c. ( ) = d. ( ) = e. ( ) =. () = 0 + g. () = ; 5 5 h. ( ) = 6 + 5; i. ( ) = 9; 0. Tunjukkan bahwa ungsi g merupakan invers bagi ungsi. a. () = dan g () = b. () = 5 dan g () = 5 c. () = 5 6 dan g () = 6 5 d. ( ) = 0 dan g () = log e. ( ) = dan g () = log. () = dan g () = Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 6

20 . Diketahui ( ) = + 8, g() = 5 dan h() =. Tentukan nilai-nilai ungsi berikut. a. () b. g (5) c. g (6) d. h ( 7 ) e. () + g (8). (9) + g () h ( ). Tunjukkan bahwa ungsi invers dari ungsi-ungsi berikut sama dengan ungsi asalna. a. () = b. () = 5 c. () = d. () = 9 e. () = 6. () = 0 5. Misalkan, () = a + b; a 0 dan g() = c + d; c 0. Apa saratna agar merupakan balikan g, demikian pula sebalikna g merupakan balikan. 6. Untuk mengubah satuan dari derajat Celsius ke derajat Fahrenheit, digunakan rumus = () = 9. Sebalikna, 5 untuk mengubah satuan dari derajat Fahrenheit ke derajat Celsius, digunakan rumus = g () = 5 9. Tunjukkan bahwa adalah invers dari g. 7. Permintaan barang di suatu negara memenuhi persamaan p() = 00 50, dengan p adalah harga barang (dalam dolar) dan banak barang ang diproduksi (dalam jutaan). Ekspresikan banak barang sebagai ungsi dari p. 8. Dari beberapa macam ungsi ang telah dipelajari, ungsi manakah ang memiliki invers? g z g Gambar 6.5 E. Invers dari Fungsi Komposisi Seperti halna ungsi ang lain, ungsi komposisi dapat memiliki invers, asalkan sarat ungsi invers dipenuhi. Amati Gambar 6.5. Diketahui, ungsi dan g keduana bijekti. Fungsi memetakan ke dan ungsi g memetakan ke z. Oleh karena dan g bijekti maka balikan ungsi adalah dan balikan ungsi g adalah g. Amati bahwa ungsi komposisi g memetakan ke z sehingga balikan g, aitu (g ) memetakan z ke. Dari Gambar 6.5 tampak bahwa g memetakan z ke dan memetakan ke. Dengan demikian, pemetaan komposisi g memetakan z ke. Jadi, invers ungsi komposisi (g ) adalah (g ) () = ( g )() 6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

21 Analog dengan cara tersebut, invers ungsi komposisi ( g) adalah ( g) () = (gg ( )() Contoh 6. Diketahui () = 6 dan g () = 9. Tentukan a. ( g) () b. (g ) () Jawab: () = g g () = ( ()) = g (g ()) = ( ()) 6 = (g ()) 9 = ( ()) = 6 () = 6 a. ( g) () = g () = g ( ()) g () = 9 = g - ± + 6 = ± Ê = ± + 6 ˆ + Ë Á b. (g ) () = (g ()) = ( ) = Contoh 6. Jika () =, g () =, dan h () = g { ()}, tentukan h (). Jawab: Pertama, hitung g() sebagai berikut. g () = g () = g () + = (g () + ) = = g - ( ) + Hal Penting invers Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 65

22 Jadi, g () =. Kemudian, hitung h() sebagai berikut. h () =g { ()} h () = Hitung h () sebagai berikut. h () = h () = h () = (h () ) = = h Jadi, h () = h ( ) = - = - - ( - )( - ) = =. - + Tes Kompetensi Subbab E Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan (), g (), ( g) (), dan (g ) () jika diketahui: a. ( ) = dan g () = + b. ( ) = 5 dan g () = c. ( ) = dan g () = d. ( ) = 5 dan g () = e. () = dan g() = 6. () = 6. Diketahui dan g 8. Tentukanlah: a. ( g) ( ) d. ( g) ( ) b. (g ) () e. (g ) ( + ) c. (g ) ( ) -. ( g) ( ) Rangkuman Fungsi atau pemetaan dari A ke B dideinisikan sebagai suatu relasi dari himpunan A ke B, dengan setiap A dipasangkan pada satu dan hana satu B. Himpunan unsur-unsur dalam A disebut daerah asal (domain). Himpunan peta dari A ke B disebut daerah hasil (range). Sekarang tuliskan rangkuman materi ang telah dipelajari di buku latihan Anda. Beberapa siswa membacakan hasilna di depan kelas. 66 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

23 Releksi Setelah Anda mempelajari Bab 6,. tuliskanlah materi mana ang menurut Anda sulit dan ang mudah,. bagian manakah ang menurut Anda sangat menarik dan penting untuk dipelajari. Tes Kompetensi Bab 6 A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasanna.. Jika () = + maka ( ) + () ( ()) sama dengan... a. + d. + 5 b. + e. + 5 c. +. Jika ()= dan g () = 5 maka g(( ) adalah... a. d. 5 b. e. c.. Jika h( + ) = + maka h() =... a. + d. b. e. c. +. Jika () = maka ( ) ( ) + () =... a b c d e Fungsi berikut ini ang dapat digolongkan ke dalam ungsi satu-satu adalah... a. () = k, k konstanta sebarang b. () = + 9 c. () = 9 d. () = + e. () = Jika () = a +, g() = b, dan C = a + b maka jumlah kedua ungsi tersebut adalah... a. a d. ab = b. b e. a = C c. C 7. Jika ( + ) = () + (), untuk semua bilangan rasional dan serta () = 0, maka () adalah... a. 0 b. 5 c. 0 d. 0 e. tidak dapat ditentukan 8. Diketahui (g()) = 5 dan g() = 5 maka nilai (0) adalah... a. d. b. e. c Fungsi : R R dengan () = + n g: R R dengan g() = 0 Jika g () = g () maka nilai n ang memenuhi persamaan itu adalah... Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 67

24 a. 5 d. 0 b. 0 e. 5 c Jika () = 5, g() = 5, dan h() = g( ( ()) maka h () =... a. 5 5 b. 5 Ê ± + 5 ˆ Á Ë c. 5 5 d. 5 Ê ± + 5 ˆ Á Ë e Jika = {(, ), (, 5), (, ), (5, ) g = {(, ), (, ), (, ), (5, ), (, )} maka g =... a. {(, ), (, ), (, ), (, ), (5, )} b. {(, ), (, ), (, ), (, ), (5, 5)} c. {(, ), (, ), (, ), (, ), (5, )} d. {(, ), (, ), (, ), (, 5), (5, )} e. {(, ), (, ), (, ), (, 5), (5, 5)}. Jika suatu ungsi ditentukan sebagai himpunan pasangan berurut = {(, ), (, 5), (, ), (5, 0)} maka =... a. {(, ), (5, ), (, ), (5, 0)} b. {(, ), (5, ), (, ), (5, 0)} c. {(, ), (, 5), (, ), (5, 0)} d. {(, ), (5, ), (, ), (0, 5)} e. {(, ), (5, ), (, ), (5, 0)}. Jika = {(, ), (, 5), (7, ), (9, )}, g = {(, ), (6, 0), (7, ), (9,), (0, 6)}, dan h = g maka h sama dengan... a. {( ) } (, 7, ), ( 9 ) b. {( ) } (, 7, - ) ( ), 9 c. {( ) } (, 7, - ) ( ), 9, - d. {(, - ) ( } 7, - ) ( ), 9, - e. {(, - ) ( } 7, ), ( 9 ). Apabila g() = + dan g(( ()) = 5 + maka () =.... a. ( ) b. ( + ) c. ( ) d. (5 + + ) e. (5 + ) 5. Jika (( ) = dan g (( ) = + maka g() =... a. d. 6 b. + e. c. 6. Pernataan-pernataan berikut benar, kecuali... a. ( )( ) = ( )( ) b. ( g )( ) = ( g) ( ) c. jika ( ) = + maka ( ) = d. jika ( ) = maka a ( ) = ( + ) e. jika () = maka () = 7. Jika () = p q r s () =... a. s q r p d. s q r p b. s q e. s q r p p r c. s q r p 8. Diketahui () = log, g() = π, dan h() = sin, g h() = 0, nilai ang memenuhi adalah Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

25 a. p d. p 8 b. p e. p 8 c. p 9. Fungsi berikut ini ang memiliki invers ungsi adalah... a. = + + d. = 5 b. = + 5 e. = + + c. = + 0. Jika () = + dan g() = 0, π maka () () = + () g() = () () = () g () = Pernataan ang benar adalah... a.,, dan d.,, dan b. dan e.,, dan c. dan. Jika () = dan g() = + maka (g )() =... a. d. b. + e. c.. Diketahui () = + 5dan g() =. Jika g(a) = 5 maka a =... a. d. b. e. c. 0. Fungsi berikut ini ang tidak memiliki ungsi invers adalah... a. = d. = 5 log b. = + e. = + 0 c. = Jika () =, dengan R dan adalah ungsi invers dari () maka kedua kurva () dan () akan berpotongan pada titik... a. (, ) d. (, ) b. (, ) e. (, ) c. (, ) 5. Jika : 5 maka adalah... a. 5 log d. = m b. 5 log e. log 5 c. log 5 6. Invers dari = dengan m konstanta m sebarang adalah... a. m d. = b. m e. = + m c. = m 7. Diketahui = {(, ), (, ), (5, ), (6, 8)} maka () adalah... a. d. 6 b. 5 e. 8 c. 8. Jika () = 8 dan g() = + maka (g()) =... a. 8 log ( + ) d. 8 log + b. 8 log ( ) e. log ( + ) c. 8 log 9. Diketahui () = 5 dan h() = + untuk setiap bilangan real, 0 maka (h( ) ) =... a. 5 log ( 5 + ) d. 5 log 6 b. 5 log ( 5 ) e. 5 log 5 c. 5 log ( + ) 0. Reservoir A Jika = ( ) = +, z = ( ) = +, w = (z) = z + = () Reservoir z = () Reservoir w = (z) B C maka ungsi komposisi dari ke w adalah... a. ( + ) d. ( + 6) b. ( + 7) e. (6 + 8) c. ( + ) Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 69

26 B. Jawablah dengan singkat, tepat, dan jelas.. Dari ungsi-ungsi berikut, tentukan ( ), ( ), (0), (), dan (). Kemudian, gambarkan graikna. Jika daerah asalna D ={ < <, R}, tentukan daerah hasilna. a. () = b. () = c. () = d. () = e. () = +. () =. Diketahui ungsi dan g. Tentukanlah: a. ( + g) () b. Ê ˆ Ë g ˆ (- ) c. ( g) ( ) d. ( g) ( 0) e. ()g( ). g ( 7) : (). Tentukan g h() dan h g () dari ungsi-ungsi berikut ini. a. () =, g() = +, dan h() = b. () =, g() = +, dan h() = c. ( ) =, g() = +, dan h() = d. ( ) = 8, g() =, dan h() =. Jumlah mobil ang diproduksi suatu pabrik selama hari setelah t jam operasi adalah n(t) = 00t 0t, 0 t < 0. Jika biaa produksi n mobil (dalam dolar) adalah C(n) = n, tentukan biaa C sebagai ungsi dari waktu. Berapakah biaa memproduksi mobil selama bulan? 5. Dengan menggunakan siat () =, tentukan () untuk ungsi-ungsi berikut. a. () = + 7 b. () = ( + ) c. () = ( +) ( ) d. () = 5 e. () = 8 6. () = 8 70 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam