2 Akar Persamaan NonLinear

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "2 Akar Persamaan NonLinear"

Shinta Oesman
7 tahun lalu
Tontonan:

1 2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan menjadi ( 3)( 2) = 0 sehingga diperoleh akar persamaanna adalah = 2 dan = 3, dan sebagaina Akan tetapi, akar persamaan akan sulit dicari jika persamaan tersebut tidak dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat ang bukan pecahan Sebagai contoh adalah akar dari persamaan = 0 Grafik fungsi f() = diberikan sebagai berikut akar f( ) = Jelas bahwa grafik fungsi memotong sumbu horisontal di sekitar = 05, dengan nilai sesungguhna belum dapat diketahui Ada tiga metoda ang akan dipelajari di sini, aitu metoda bagi dua, metoda Newton (-Raphson) dan metoda Sekan Masing-masing memiliki kelebihan dan kekurangan masing-masing 21 Metoda Bagi Dua (Bisection ) Misalkan f suatu fungsi kontinu ang nilaina berbeda tanda pada kedua ujung selang tertutup [a,b] dengan a < b Dengan kata lain, f (a) f (b) < 0 Maka f mempunai suatu akar pada selang (a, b) Jadi, ada bilangan r dengan a < r < b sehingga f (r) = 0 Algoritma Metoda Bagi dua adalah sebagai berikut 1 Tentukan selang lokasi akar [a, b], dengan f(a), f(b) 0 2 Tentukan titik tengah selang, akni c 0 = a+b 2 Bagi menjadi dua subselang [a,c 0] dan [c 0,b] 3 Periksa nilai dari f(a)f(c 0 ) Jika nilaina negatif, maka selang [a,c 0 ] adalah selang lokasi akar ang baru Sebalikna jika nilaina positif maka selang lokasi akar ang baru adalah [c 0,b] Jika f(c 0 ) = 0, maka c 0 adalah akar dari persamaan 7

2 4 Ulangi langkah 1 dan seterusna untuk c 1 dan seterusna Iterasi dihentikan jika telah didapat c i dengan error ang dikehendaki Algoritma tersebut diilustrasikan sebagai berikut f(a)f(c0) < 0 [ ] a c0 =05 b [ ] a c0 =05 c1 =025 f(c1)f(c0) < 0 b Langkah 1 Langkah 2 Contoh: Diketahui fungsi f() = sin Tentukan ang menebabkan f() = 1 dengan metoda bagi dua Diketahui nilai tersebut berada pada selang [0, 2] Solusi: Persamaan ang dimaksud adalah f() = 1 sin = 1 sin 1 = 0 (4) Mulai dengan a 0 = 0 nilai f(0) = dan b 0 = 2, nilai f(2) = Akar dari persamaan(4) terletak pada selang [0, 2] Titik tengah selang ini adalah c 0 = = 1 Diperoleh f(c 0 ) = Sehingga nilai f(c 0 )f(b 0 ) < 0 Akar berada pada selang [1, 2] Kita bekerja pada selang a 1 = 1 dan b 1 = 2 Langkah-langkahna ditabelkan sebagai berikut k a k c k b k f(c k ) Kriteria untuk penghentian iterasi adalah banakna iterasi ang dibatasi, misalkan sebanak 4 kali Iterasi dapat pula dihentikan berdasarkan error, misalkan dibatasi bahwa errorna tidak boleh lebih dari 005 Untuk soal ini, jika kriteria penghentianna adalah berdasarkan jumlah iterasi sebanak 4 maka akarna adalah c 4 = dan jika kriteria penghentianna adalah berdasarkan error maka akar persamaan tersebut adalah c 5 = Tugas Mandiri Dengan metoda Bagi dua tentukan akar dari persamaan berikut 1 e 2 = 0, [a 0,b 0 ] = [ 24, 16] 2 cos() + 1 = 0, [a 0,b 0 ] = [08, 16] 8

3 3 ln() 5 + = 0, [a 0,b 0 ] = [32, 40] = 0, [a 0,b 0 ] = [60, 68] 22 Metoda Newton (-Raphson) Jika f adalah fungsi kontinu dan memiliki turunan f pada selang tertutup [a,b], maka untuk mencari akar persamaan fungsi ang terletak pada selang tersebut dapat digunakan metoda Newton Algoritma metoda Newton adalah sebagai berikut 1 Ambilah suatu titik tebakan awal 0 ang dekat dengan posisi akar 2 Dari titik tersebut, hitunglah nilai f( 0 ) dan f ( 0 ) Tarik garis singgung dengan kemiringan f ( 0 ) sampai memotong sumbu Titik perpotongan garis singgung dengan sumbu ini akan menjadi titik tebakan ang baru, sebutlah 1 3 Ulangi langkah 1 dan seterusna hingga diperoleh titik i ang menghasilkan f(a i ) dengan error ang diinginkan Titik i ang demikian adalah akar persamaan ang diperoleh secara numerik f( 0 ) f( 1 ) Langkah 1 f() Langkah 2 f() f( 2 ) akar 2 3 f( 3 ) 3 Langkah 3 f() Langkah 4 f() Contoh: Tentukan akar dari f() = 3 2 sin dengan tebakan awal 0 = 1 sebanak 3 kali iterasi Solusi: Diketahui 0 = 1 maka f( 0 ) = f(1) = Tarik garis singgung dari titik (1, 06829) sehingga memotong sumbu Persamaan garis singgung ini adalah f( 0 ) = f ()( 0 ) 9

4 Sehingga titik tebakan baruna menjadi 0 f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) f( 0 ) = f ( 0 ) 0 f ( 0 ) = 0 f( 0) f ( 0 ) (5) Persamaan (5) adalah rumusan untuk mencari titik tebakan baru Secara umum, untuk mencari titik tebakan awal ke n + 1 adalah n+1 = n f( n) f ( n ) (6) Pada soal ini, turunan fungsi f() adalah Perhitunganna ditabelkan sebagai berikut f () = cos n n f ( n ) f ( n ) Dengan demikian diperoleh akar persamaan tersebut adalah = Tugas Mandiri 1 Gunakan metode Newton untuk menentukan akar dari e cos = 0 dengan tebakan awal 0 = π sampai dengan 5 iterasi 2 2 Gunakan metode Newton untuk menentukan titik potong dari dua buah kurva ang diberikan pada nomor 1 Bandingkanlah hasilna dengan nomor 1 3 Analisa apa ang terjadi jika metode Newton digunakan untuk mencari akar dari persamaan = 0 dengan tebakan awal 0 = 3, 0 = 15, dan 0 = 4 Tentukan pula akar dari persamaan tersebut dengan menggunakan metode bisection pada selang [ 1, 2] 4 Selesaikan persamaan tak linear berikut ini dengan terlebih dahulu mengeliminasi, kemudian gunakan metode Newton untuk mencari dengan tebakan awal 0 = 1 { = 5 sin tan = 4 5 Gunakan metode Newton untuk mencari akar dari persamaan e 2 = cos + 1 dengan tebakan awal 0 = 0, 0 = 1, dan 0 = 4 10

5 23 Metoda Secant Metode ini mirip dengan metode Newton, hana saja f ( n ) pada persamaan (6) diganti dengan hampiran ang mudah dihitung Karena turunan didefinisikan sebagai sehingga untuk h ang kecil, f () = lim h 0 f ( + h) f () h f f ( + h) f () () h Khususna, jika = n dan h = n 1 n, maka akan diperoleh f ( n ) f ( n 1) f ( n ) n 1 n Jika hasil ini disubstitusikan pada metode Newton, maka akan diperoleh metode secant, aitu n n 1 n+1 = n f ( n ) f ( n ) f ( n 1 ) Contoh: Gunakan metode secant untuk menentukan akar dari f () = 3 2 sin dengan 0 = 1 dan 2 = 2 sampai 5 kali iterasi Solusi: n n f ( n ) Pada bagian ini, diperkenalkan tiga metode untuk menelesaikan persamaan f () = 0 Jika metode bisection dapat digunakan, maka metode ini akan selalu konvergen, namun kekonvergenan ini lebih lambat dibandingkan dengan dua metode ang lainna Metode bisection ini memerlukan dua tebakan awal (aitu di ujung-ujung selang), sama seperti metode secant Sarat kedua metode ini lebih ringan dibandingkan dengan metode Newton Metode bisection dan secant, fungsina cukup kontinu, sedangkan pada metode Newton, fungsina haruslah diferensiabel Kelebihan metode Newton adalah hana memerlukan satu tebakan awal saja Sama seperti metode secant, kekonvergenanna lebih cepat dibandingkan dengan metode bisection Namun, demikian kedua metode ini tidak selalu konvergen Tugas Mandiri 1 Gunakan metode bisection, Newton, dan secant untuk mencari akar terbesar dari persamaan = 0 sampai dengan 4 desimal di belakang koma (semua akar dari persamaan tersebut berada pada selang [ 3, 3]) 2 Gunakan metode secant untuk mencari akar dari himpunan fungsi f k () = 2e k + 1 3e k untuk k = 1, 2, 3,,10 Gunakan selang [0, 1] 11

dokumen-dokumen yang mirip

BAB IV. Pencarian Akar Persamaan Tak Linier. FTI-Universitas Yarsi

BAB IV. Pencarian Akar Persamaan Tak Linier. FTI-Universitas Yarsi BAB IV Pencarian Akar Persamaan Tak Linier i 1 Pendahuluan Salah satu masalah dalam matematika & teknik Akar dari f() adalah sehingga f() = 0. Secara geometris, ajar dari f() adalah nilai sehingga kurva