Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti

Transkripsi

1 Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti

2 Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m > 1 fungsi bernilai vektor multivarabel BAB 1 Indah Yanti

3 Operasi Fungsi Bernilai Vektor Misalkan f: A R m dan g: A R m dengan A R n Jumlahan f + g x = f 1 x + g 1 x,, f m x + g m x Perkalian skalar cf x = cf 1 x,, cf m x Perkalian fungsi f g x = f 1 x g 1 x,, f m x g m x BAB 1 Indah Yanti

4 Catatan Perhatikan bahwa dimensi domain dan kodomain dari dua fungsi yang dioperasikan harus sama. BAB 1 Indah Yanti

5 Cakram Buka DEFINISI Untuk setiap x 0 R n dan bilangan riil r > 0, himpunan D x 0, r = x R n : x x 0 < r disebut cakram buka atau bola buka dengan pusat x 0 dan jari jari r. Dengan x x 0 menyatakan jarak euclidean antara x dan x 0. BAB 1 Indah Yanti

6 Titik Dalam DEFINISI Misalkan himpunan G R n. Titik x 0 G merupakan titik dalam jika terdapat r > 0 sedemikian sehingga D x 0, r G. BAB 1 Indah Yanti

7 Titik Batas DEFINISI Misalkan himpunan G R n. Titik x 0 merupakan titik batas himpunan G jika untuk setiap r > 0 berlaku D x 0, r G dan D x 0, r G c. Catatan Titik batas himpunan G tidak harus selalu ada di dalam G. BAB 1 Indah Yanti

8 Soal 1. Misalkan G = x 1, x 2 0 x 1 < 1 a. Carilah semua titik dalam dari G b. Carilah semua titik batas dari G BAB 1 Indah Yanti

9 Titik Luar DEFINISI Misalkan himpunan G R n. Titik x 0 merupakan titik luar himpunan G jika terdapat r > 0 sedemikian sehingga D x 0, r tidak memuat titik G. BAB 1 Indah Yanti

10 Himpunan Buka DEFINISI Himpunan G R n disebut himpunan buka jika untuk setiap x 0 G terdapat r > 0 sedemikian sehingga cakram buka D x 0, r G. Himpunan G R n disebut himpunan buka jika semua titik di G adalah titik dalam G. BAB 1 Indah Yanti

11 Soal 2. Tentukan apakah himpunan pada soal 1 merupakan himpunan buka atau himpunan tutup. BAB 1 Indah Yanti

12 Neighbourhood DEFINISI Misalkan x 0 R n. Maka sebarang himpunan buka G sedemikian sehingga x 0 G disebut neighbourhood dari titik x 0. BAB 1 Indah Yanti

13 Closure DEFINISI Misal diberikan A R n. Himpunan A, himpunan yang mengandung semua titik A dan titik batas dari A, disebut closure dari A. BAB 1 Indah Yanti

14 Soal 3. Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut merupakan himpunan buka atau himpunan tutup A = x, y R 2 1 x 2 + y 2 < 4 A = x, y = r cos θ, r sin θ R 2 0 θ < π 4, θ2 < r < θ BAB 1 Indah Yanti

15 Limit DEFINISI Pandang fungsi f: A R m, dimana A R n. Misalkan x 0 A dan b R m. Dikatakan fungsi f mempunyai limit b untuk x mendekati x 0, dinotasikan lim f x x x 0 = b jika, diberikan sebarang neighbourhood N dari b, terdapat neighbourhood G dari x 0 sedemikian sehingga f x N untuk setiap x x 0 memenuhi x G A. BAB 1 Indah Yanti

16 Teorema 1A Misalkan f: A R m, dimana A R n. Misalkan x 0 A, dan berlaku lim f x x x 0 = b 1 lim f x x x 0 = b 2 dimana b 1, b 2 R m. Maka b 1 = b 2. Dengan kata lain jika limit ada maka keberadaannya tunggal. BAB 1 Indah Yanti

17 Teorema 1B Misalkan f: A R m dan g: A R m, dimana A R n. Misalkan x 0 A, maka untuk x x 0 berlaku a. Jika f x b, maka cf x cb untuk setiap c R b. Jika f x b 1 dan g x b 2, maka f + g x b 1 + b 2 c. Jika f x = f 1 x,, f m x untuk setiap x A, maka f x b jika dan hanya jika f i x b i untuk setiap i = 1,, m, dimana b = b 1,, b m BAB 1 Indah Yanti

18 Teorema 1C Misalkan f: A R dan g: A R, dimana A R n. Misalkan x 0 A. Maka untuk x x 0 berlaku a. Jika f x b 1 dan g x b 2, maka fg x b 1 b 2 b. Jika f x b 0, maka 1 f x 1 b BAB 1 Indah Yanti

19 Kontinuitas DEFINISI Pandang fungsi f: A R m, dimana A R n. Dikatakan fungsi f kontinu di titik x 0 A jika lim f x = f x 0. x x 0 Fungsi f kontinu di A jika f kontinu di setiap x 0 A. BAB 1 Indah Yanti

20 Teorema 1D Misalkan f: A R m dan g: A R m, dimana A R n. Misalkan x 0 A. a. Jika f kontinu di x 0, maka cf juga kontinu di x 0. b. Jika f dan g kontinu di x 0, maka f + g juga kontinu di x 0. c. Jika f x = f 1 x,, f m x untuk setiap x A, maka f kontinu di x 0 jika dan hanya jika f 1,, f m kontinu di x 0. BAB 1 Indah Yanti

21 Teorema 1E Misalkan f: A R m dan g: A R m, dimana A R n. Misalkan x 0 A. a. Jika f dan g kontinu di x 0, maka fg juga kontinu di x 0. b. Jika f kontinu di x 0 dan f x 0, maka 1 f juga kontinu di x 0. BAB 1 Indah Yanti

22 Teorema 1F Misalkan f: A R m dan g: B R p, dimana A R n dan B R m. Misalkan f A B sedemikian sehingga g f: A R p terdefinisi dengan baik. Jika f kontinu di x 0 A dan g kontinu di y 0 = f x 0 B, maka g f kontinu di x 0. BAB 1 Indah Yanti