Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
|
|
- Dewi Indradjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic
2 BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan fungsi besaran. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan = f () (1.1) Perhatikan bahwa penulisan = f () bukanlah berarti sama dengan f kali, melainkan untuk menatakan bahwa merupakan fungsi dari ang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah akan memiliki nilai jika kepada kita berikan suatu nilai. dan adalah peubah (variable) ang dibedakan menjadi peubah-takbebas () dan peubah-bebas (). Peubah-bebas adalah simbol dari suatu besaran ang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas memiliki nilai ang tergantung dari nilai ang dimiliki. Dilihat dari nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran ang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis L T = L (1+ λt ) dengan L T adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L adalah panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebalikna, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturna makin tinggi. Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalna, ia akan bertambah panjang namun tidak bertambah temperaturna. Walaupun nilai di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi. 1-1
3 1.. Domain Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas bervariasi. Dalam kebanakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut: a). rentang nilai berupa bilangan-nata ang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai a < < b Ini berarti bahwa bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, ang dapat kita gambarkan sebagi berikut: a b a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut. b). rentang nilai a < b ang kita gambarkan sebagai a b Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah terbuka. c). rentang nilai a b Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan a b 1.3. Kurva, Kekontinuan, Simetri Kurva. Fungsi = f () dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari ke arah kiri sampai + ke arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu- atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat 1- Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
4 menggambarkan nilai-nilai pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah memiliki nilai ang berupa bilangan-nata. 3 Q[-,] III -1 IV R[-3,-3] II - -3 P[,1] S[3,-] -4 Gb.1.1. Sistem koordinat - atau koordinat sudut-siku. Catatan: Suatu bilangan-nata dapat dinatakan dengan desimal terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1,, 3,...adalah bilangan-nata bulat; 1,586 adalah bilangan-nata dengan desimal terbatas; π adalah bilangan-nata dengan desimal tak terbatas, ang jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilaina adalah 3, Selain sumbu- ditetapkan pula sumbu- ang tegak lurus pada sumbu-, memanjang ke arah ke bawah dan + arah ke atas, ang melewati titik referensi di sumbu- dan disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu- dengan sumbu- merupakan titik referensi ang disebut titikasal dan kita tulis berkoordinat [,]. Pada sumbu- ditetapkan juga satuan skala seperti halna pada sumbu-, ang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi bilangan-nata di sumbu-. Besaran fisik ang dinatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu- tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-; misalna sumbu- menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu- menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala. Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu- dan sumbu-, selanjutna kita sebut bidang -, akan terbagi dalam 4 kuadran, aitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1. I 1-3
5 Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita natakan posisina sebagai K[ k, k ], dengan k dan k berturut-turut menunjukkan jumlah skala di sumbu- dan di sumbu- dari titik K ang sedang kita tinjau. Pada Gb.1.1. misalna, posisi empat titik ang digambarkan di kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[,1], Q[-,], R[-3,-3] dan S[3,-]. Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nata akan berkaitan dengan satu titik di bidang -. Dengan cara inilah pasangan nilai ang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi = f() dapat divisualisasikan pada bidang -. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi di bidang -, dan kurva ini memiliki persamaan = f(), sesuai dengan pernataan fungsi ang divisualisasikanna. Contoh: sebuah fungsi 1-4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik =, 5 (1.) Setiap nilai akan menentukan satu nilai. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai dan akan terlihat seperti pada Tabel-1.1. Tabel dst. -,5,5 1 1,5 dst. Fungsi =, 5 ang memiliki pasangan nilai dan seperti tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb.1.. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titikasal [,] dan memiliki kemiringan tertentu (ang akan kita pelajari lebih lanjut), dan persamaan garis ini adalah =, 5.,5 R 1,5 Q 1,5 P -, Gb.1.. Kurva dari fungsi =, 5
6 Dengan contoh ini, relasi (1.) ang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan aitu persamaan dari kurva ang diperoleh. Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita bisa mendapatkan dengan mudah nilai jika diketahui nilai, dan sebalikna kita juga dapat memperoleh nilai jika diketahui nilai. Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi =, 5 membentuk kurva dengan persamaan =, 5 di bidang -. Dalam contoh ini titiktitik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-,5], Q[,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris. Kekontinuan. Suatu fungsi ang kontinu dalam suatu rentang nilai tertentu, akan membentuk kurva ang tidak terputus dalam rentang tersebut. Sarat untuk terjadina fungsi ang kontinu dinatakan sebagai berikut: Suatu fungsi = f() ang terdefinisi di sekitar = c dikatakan kontinu di = c jika dipenuhi dua sarat: (1) fungsi tersebut memiliki nilai ang terdefinisi sebesar f(c) di = c; () nilai f() akan menuju f(c) jika menuju c; pernataan ini kita tuliskan sebagai lim f ( ) = f ( c) c ang kita baca limit f() untuk menuju c sama dengan f(c). Contoh: Kita lihat misalna fungsi = 1/. Pada = fungsi ini tidak terdefinisi karena 1/ tidak dapat kita tentukan berapa nilaina; lim f ( ) tidak terdefinisi jika menuju nol. Kedua persaratan c kekontinuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinu di =. Hal ini berbeda dengan fungsi ang terdefinisikan di = (lihat selanjutna ulasan di Bab-3) sebagai = u( ), = 1 untuk = untuk < 1-5
7 ang bernilai untuk < dan bernilai 1 untuk. Perhatikan Gb = 1/ = 1/ -1 Tak terdefinikan di =. 1 = u() Gb.1.3. Fungsi Terdefinisikan di = = 1/ dan =u() Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu a) jika fungsi tidak berubah apabila kita ganti dengan maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-; b) jika fungsi tidak berubah apabila dan dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c) jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-. d) jika fungsi tidak berubah jika dan diganti dengan dan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [,]. Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini. Kurva =,3 simetris terhadap sumbu-. Jika kita ganti nilai = dengan = -, nilai tidak berubah karena berpangkat genap. Kurva =,5 3 simetris terhadap titik-asal [,]. Di sini 1-6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
8 berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika diganti dan diganti. Kurva + = 9 simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap sumbu-, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV. =,3 6 3 tidak berubah bila diganti tidak berubah jika dan diganti dengan dan = 9 =,5 3 tidak berubah jika diganti dan diganti dengan dan -6 dan dipertukarkan diganti dengan Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi ang memiliki simetri Bentuk Implisit Suatu fungsi kebanakan dinatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas secara eksplisit dinatakan dalam, seperti = f (). Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana nilai tidak diberikan secara eksplisit dalam. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk implisisit. = 1 + = = = 8 (1.3) 1-7
9 Walaupun tidak dinatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas. Contoh pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem koordinat - dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh ang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk persamaan kuadrat ang akar-akarna adalah ( = + + = ), 1 ± = 4( 8) Nilai 1 dan dapat dihitung untuk setiap ang masih memberikan nilai nata untuk. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai 4( 8) = ± (1.4) ang merupakan bentuk pernataan eksplisit = f (). Kurva fungsi ini terlihat pada Gb Gb.1.5. Kurva -8 = ± 4( 8) 1-8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
10 1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banak Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi ang hana memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal. 1). =,5. Pada fungsi ini setiap nilai hana memberikan satu nilai. Kurva dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu- namun dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang Gb.1.6. Kurva =,5 ). = +. Pada fungsi ini, hana mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb ,6 1,,8,4,5 1 1,5 Gb.1.7. Kurva = + 1-9
11 3). =. Peubah tak-bebas hana mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8. Sesungguhna kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva = +. Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana mengambil nilai baik positif maupun negatif.,5 1 1,5 -,4 -,8 4). = log1. -1, -1,6 Gb.1.8. Kurva = Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baikna kita mengingat kembali tentang logaritma. log 1 adalah logaritma dengan basis 1; log 1 a berarti berapakah 1 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi = log1 berarti 1 = 1 = log 1 1= ; = log 1 1= 3 ; 3 = log 1 =,313;...dst. Kurva fungsi = log1 terlihat pada Gb.1.9.,8,4 -, ,8 Gb.1.9. Kurva = log1 1-1 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
12 5). = =. Fungsi ini berlaku untuk nilai negatif maupun positif. Perhatikanlah bahwa tidak hana sama dengan, melainkan ±. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.1. Gb.1.1. Kurva = = Fungsi Bernilai Banak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banak. 1). Fungsi = ±. Perhatikan bahwa ada dua nilai untuk setiap nilai. Sesungguhna bernilai ± dan bukan hana saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb Jika hana mengambil nilai positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan pada contoh dan 3 pada fungsi bernilai tunggal. 1,5 1,5 -, ,5 1 1,5,5 3-1,5 - Gb Kurva = ± 1-11
13 ). Fungsi 1 =. Fungsi ini bernilai banak; ada dua nilai untuk setiap nilai. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb Gb.1.1. Kurva = 1/ = ± 1/ 1.6. Fungsi Dengan Banak Peubah Bebas Fungsi dengan banak peubah bebas tidak hana tergantung dari satu peubah bebas saja,, tetapi juga tergantung dari peubah bebas ang lain. Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas dan t dinatakan sebagai = f (, t) (1.5) Sesungguhna dalam peristiwa fisis banak fungsi ang merupakan fungsi dengan peubah-bebas banak, misalna persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi () dan waktu (t). Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banak sebagai w= f (,, z, u, v) (1.6) untuk menatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas,, z,u,dan v. Fungsi dengan peubah bebas banak juga mungkin bernilai banak, misalna 1-1 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
14 ρ = + + z (1.7) Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hana meninjau nilai positif dari ρ dan kita natakan fungsi ang bernilai tunggal ini sebagai ρ =+ + + z (1.8) 1.7. Sistem Koordinat Polar Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinatakan dalam skala sumbu- dan sumbu-, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinatakan oleh jarak titik ke titik asal [,] ang diberi simbol r, dan sudut ang terbentuk antara r dengan sumbu- ang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku posisi titik dinatakan sebagai P(,) maka dalam koordinat polar dinatakan sebagai P(r,θ). Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah = r sinθ ; = r cosθ ; r = + θ = tan 1 ( / ) Hubungan ini terlihat pada Gb rcosθ θ r Gb Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar. P rsinθ 1-13
15 1.8. Fungsi Parametrik Dalam koordinat sudut-siku fungsi = f () mungkin juga dituliskan sebagai = (t) = (t) (1.1) jika dan masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi ang demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan Dalam buku ini kita hana akan membahas fungsi-fungsi dengan peubah bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banak peubah bebas dibahas di buku lain. Kita juga membatasi diri hana pada bilangan nata. Bilangan kompleks belum akan kita bahas sehingga fungsi-fungsi kompleks belum dicakup Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik
16 1-15
1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik
Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM,
Lebih terperinci2. Fungsi Linier x 5. Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):
Darpublic Nopember 3 www.darpublic.com. Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai dari sampai +. Kita tuliskan = k [.] dengan k bilangan-nata. Kurva fungsi ini terlihat
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB Fungsi Linier.. Fungsi Tetapan Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari sampai +. Kita tuliskan
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham
Lebih terperinci11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
Darpublic Nopember 01.darpublic.com 11. Turunan erkalian Fungsi, angkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit 11.1. Fungsi Yang Merupakan erkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi,
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Fungsi dan Grafik
Sudaratno Sudirham Fungsi dan Grafik Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Buku Fungsi dan Grafik (pdf) tersedia
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic ii BAB 3 Gabungan Fungsi Linier Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran
Lebih terperinci3. Gabungan Fungsi Linier
3. Gabungan Fungsi Linier Sudaratno Sudirham Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahanperubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur,
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratn Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic BAB 6 Fungsi Trignmetri 6.. Peubah Bebas Bersatuan Derajat Berikut ini adalah fungsi-fungsi trignmetri dengan sudut
Lebih terperinciBAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Lebih terperinci4. Mononom dan Polinom
Darpulic www.darpulic.com 4. Mononom dan Polinom Sudaratno Sudirham Mononom adalah pernataan tunggal ang erentuk k n, dengan k adalah tetapan dan n adalah ilangan ulat termasuk nol. Fungsi polinom merupakan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,
Lebih terperinciPENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial
Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 213 www.darpublic.com 7. Gabungan Fungsi Sinus 7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus Banak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalna gelombang cahaa, gelombang radio pembawa,
Lebih terperinciFUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL
FUNGSI DAN GRAFIK DIFERENSIAL DAN INTEGRAL Sudaryatno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral darpublic Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaryatno
Lebih terperincix X dapat dipetakan ke setiap y Y. hanya jika (jikka) satu x X dapat dipetakan ke satu y Y. RELASI : F: X Y menghasilkan himpunan pasangan berurut:
RELASI DAN FUNGSI Dalam matematika modern, Relasi dan Fungsi digunakan untuk menunjukkan hubungan setiap elemen Domain dengan setiap elemenrange ang membentuk pasangan bilangan berurut. Hubungan himpunan
Lebih terperinciBAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1
BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan
Lebih terperinci2 Akar Persamaan NonLinear
2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciDiferensial dan Integral
Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua
Lebih terperinciBAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA
. Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan
Lebih terperinciFUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
Lebih terperinci5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
Lebih terperincimatematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s
K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,
Lebih terperinciPTE 4109, Agribisnis UB
MATEMATIKA EKONOMI PTE 4109, Agribisnis UB 1 Materi ang dipelajari Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear -Penggal -Simetri - Perpanjangan
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciF U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI
F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.
Lebih terperincipanjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d
INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciBab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK
Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar defleksi (lendutan) pada balok, memahami metode-metode penentuan defleksi dan dapat menerapkan
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Lebih terperinciKALKULUS UNTUK STATISTIKA
Mulyana f( ) g( ).8.9.9 KALKULUS UNTUK STATISTIKA.8 8. BUKU AJAR g ( ) h ( ).. 8. UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA JURUSAN STATISTIKA BANDUNG Kata Pengantar Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan
Lebih terperinciRencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Lebih terperinciA B A B A B a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d d d. Gambar 1. Gambar 2. Gambar 3. Relasi Fungsi Relasi Bukan Fungsi Relasi Bukan Fungsi
sumbu y F U N G S I Definisi Fungsi Fungsi adalah pemetaan atau kejadian khusus dari suatu relasi. Jika himpunan A dan B memiliki relasi R sedemikian rupa sehingga setiap elemen himpunan A terhubung dengan
Lebih terperincix d x t 0 t d t d t d t Kecepatan Sesaat
Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung kecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu ang sangat singkat atau t mendekati nol. Penulisanna secara matematis
Lebih terperinciAB = AB = ( ) 2 + ( ) 2
Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA HUBUNGAN ANTAR GARIS Titik Tengah Sebuah Segmen Garis : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.10 Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus dan
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciBab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar
Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah
Lebih terperinciPertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinciBagian 7 Koordinat Kutub
Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan
Lebih terperinciBAB I SISTEM KOORDINAT
BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciFUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinciBab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub
Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciBAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI
BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan
Lebih terperinciFungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan
Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG
Lebih terperinciZulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Lebih terperinciSistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus
Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat pada Bidang Datar Disusun dengan pasangan angka urut (ordered pair) (a,b) : a dan b berturut- turut adalah
Lebih terperinci8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik
8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponnsial, Hiprbolik 8.. Fungsi Logarithma Natural. Sudaratno Sudirham Dfinisi. Logaritma natural adalah logaritma dngan mnggunakan basis bilangan. Bilangan ini, sprti halna
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciSolusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH
Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde- dengan Metode Analitis.. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum: f ( ) g( ), f dan g fungsi sembarang. b. Metode
Lebih terperinciF u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN
Modul 3 F u n g s i Drs. Wahu Widaat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan
Lebih terperinciCIRI-CIRI DISTRIBUSI NORMAL
DISTRIBUSI NORMAL CIRI-CIRI DISTRIBUSI NORMAL Berbentuk lonceng simetris terhadap x = μ distribusi normal atau kurva normal disebut juga dengan nama distribusi Gauss, karena persamaan matematisnya ditemukan
Lebih terperinciA. Menentukan Letak Titik
Apa yang akan Anda Pelajari? Koordinat Cartesius Mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus Menentukan persamaan garis lurus Menggambar grafik garis lurus Menentukan Gradien, Persamaan garis
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral oleh Sudaratno Sudirham i Hak cita ada enulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darublic,
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR 16. Jika maka Jawab : E 17. Diketahui premis-premis sebagai berikut : 1) Jika maka 2) atau Jika adalah peubah pada himpunan bilangan real, nilai yang memenuhi agar kesimpulan dari kedua
Lebih terperinciatau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1
i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y=
Lebih terperinci4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1
4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba
Lebih terperinciMatematika SMA (Program Studi IPA)
Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/0 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 0 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Hario Pamungkas 4.. Menyelesaikan persamaan trigonometri. Nilai
Lebih terperinciFUNGSI EKSPONENSIAL & FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI EKSPONENSIAL & FUNGSI LOGARITMA NAMA: KELAS: 1 P a g e FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA I. FUNGSI EKSPONEN Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a (a konstan) adalah fungsi yang didefinsikan
Lebih terperinciAnalisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s
Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik () BAB 4 Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde Pertama Sebagaimana kita ketahui, kondisi operasi
Lebih terperinciBab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciPeta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus
PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis
Lebih terperinciModul Matematika MINGGU 4. g. Titik Potong fungsi linier
MINGGU 4 Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum : Hubungan dan : 1. Hubungan 2. a. Pengertian fungsi b. Jenis-jenis fungsi c. Diagram fungsi d. Pengertian fungsi linier e. Penggambaran
Lebih terperinciFungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN
Modul 5 Fungsi Non-Linear F PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel
Lebih terperinciLogaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Logaritma adalah operasi matematika ang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan. Rumus dasar logaritma: b c = a ditulis sebagai b log a = c (b disebut basis) Beberapa orang menuliskan b log
Lebih terperinciBAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola
Lebih terperinciFungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
Lebih terperinciRchmd: rls&fngs-smk2004 1
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran
Lebih terperinciPengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
Lebih terperinciE. Grafik Fungsi Kuadrat
/9/05 Jurnal Materi Umum Persamaan Kuadrat Peta Konsep Fungsi Kuadrat Peta Konsep Daftar Hadir MateriE SoalLatihan5 PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester E. Grafik Fungsi Kuadrat Menelesaikan
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Aritmatika Interval
Sudaryatno Sudirham Aritmatika Interval Kata Pengantar Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval. Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC
BILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC TUJUAN Mahasiswa diharapkan mampu : Memahami bilangan kompleks Menggambarkan kurva pada bilangan kompleks Mengetahui Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Lebih terperinciFungsi kuadrat. Hafidh munawir
Fungsi kuadrat Hafidh munawir Bentuk Umum Persamaan Kuadrat Bentuk umum atau Bentuk Baku persamaan kuadrat adalah: a + b + c = Dengan a,b,c R dan a serta adalah peubah (variabel) a merupakan koefisien
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
Lebih terperinciIntegral lipat dua BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA. gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan
BAB V INTEGRAL LIPAT 5.1. DEFINISI INTEGRAL LIPAT DUA gambar 5.1 Luasan di bawah permukaan 61 Pada Matematika Dasar I telah dipelajari integral tertentu b f ( x) dx yang dapat didefinisikan, apabila f
Lebih terperinci