PENDAHULUAN KALKULUS

Transkripsi

1 . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu kah anda bilangan apa saja ang termasuk pada kategori bilangan-bilangan tersebut? Bilangan-bilangan ang merupakan anggota bilangan asli adalah,,,.... Bilangan asli biasana dinatakan dengan N. Secara matematis himpunan bilangan asli dapat ditulis sebagai berikut. N,,,4,, Bilangan asli ini disebut juga sebagai bilangan ang paling sederhana. Himpunan bilangan asli ditambahkan dengan 0maka himpunan bilangan tersebut menjadi { 0,,,,... }. Himpunan bilangan tersebut merupakan bilangan cacah. Bilangan cacah biasana dinotasikan dengan C. Sehingga himpunan bilangan cacah dapat ditulis sebagai berikut. C0,,,,4,, Himpunan bilangan cacah ditambahkan negatif dari bilanganbilangan asli maka himpunan bilangan tersebut adalah bilangan bulat. Bilangan bulat dapat juga dinotasikan dengan Z. Secara matematis, himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai berikut. Z, 4,,,,0,,,,4,, Dalam pengkuran, bilangan-bilangan bulat kurang memadai untuk digunakan karena tidak memiliki ketelitian ang cukup. Hal ini dapat menuntun kepada pembagian/rasio dua bilangan bulat ang dikenal sebagai bilangan rasional/terukur atau Q. Bilangan ang merupakan bilangan a rasional dapat dinatakan ke dalam bentuk dengan b 0, a dan b b adalah bilangan bulat. Sehingga bilangan rasional dapat dikatakan merupakan gabungan dari bilangan bulat dan pecahan. Kekurangan dari bilangan rasional dapat memberikan hasil berupa bilangan irrasional. Gabungan bilangan rasional dan irrasional ang dapat mengukur panjang (positif) beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut dan nol disebut juga bilangan real atau R. Sistem bilangan tidak hana berakhir pada bilangan real saja, melainkan dapat diperluas lagi menjadi sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks berbentuk a + ib Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

2 dengan a dan badalah bilangan real. Akan tetapi pembahasan sistem bilangan konsep ini akan dibahas pada bahasan fungsi kompleks. Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal, karena bilangan rasional dapat dinatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Jika pembilang dibagi dengan penebut maka dihasilkan suatu bentuk desimal. Bilangan Real (R) Bilangan Rasional (Q) Bilangan Bulat (Z) Bilangan Cacah (C) Bilangan Asli (N) Ada dua dentuk desimal dari bilangan rasional, aitu bentuk desimal berakhir dan bentuk desimal berulang. Bentuk desimal berakhir biasana diakhiri dengan nol ang berulang. Contoh : Bentuk desimal berakhir 0,4 0, ,7 0, Bentuk desimal berulang 0,... 0, , , Jika bilangan rasional dapat dinatakan ke dalam bentuk desimal berakhir dan berulang, dapatkah berlaku kebalikanna aitu bilang ang mempunai bentuk desimal berakhir dan berulang dapat dikatakan sebagai bilangan rasional? Contoh : Buktikan apakah 0,7 ; 0, ; 0, Jawab : 7 7 0, Misalkan 0, maka 000 6,66... sehingga Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

3 000 6, ,66... Misalkan 0, maka 00 7, sehingga 00 7, , Jadi dapat disimpulkan bahwa bilangan bentuk desimal berakhir dan berulang merupakan bilangan rasional Bentuk akar dari bilangan rasional pada umumna merupakan bilangan irrasional. Selain itu ada juga bilangan ang bukan bentuk akar ang juga merupakan bilangan irrasional. Contoh : Bentuk Akar 4,, , , Bentuk Bukan Akar π, log 0, Akan tetapi ada bentuk akar ang hasilna merupakan bilangan rasional sehingga bentuk akar tersebut tidak bisa dikategorikan sebagai bilangan 4 irrasional seperti 6 4 ; 8 9 ; ; Selain itu, ada juga bentuk bukan akar ang hasilna merupakan bilangan rasional sehingga menjadikanna bukan bilangan irrasional seperti log00 ; log8 ; log8 4. SIFAT-SIFAT PADA BILANGAN REAL Sifat-sifat Operasi pada Bilangan Real Asosiatif Penjumlahan : a + ( b + c) ( a + b) + c Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

4 Perkalian : a ( b c) ( a b) c Komutatif Penjumlahan : a + b b + a Perkalian : a b b a Distributif Depan : a ( b + c) a b + a c Belakang : ( b + c) a b a + c a Identitas Penjumlahan : a a a Perkalian : a a a Invers (Kebalikan) Penjumlahan : a + ( a) ( a) + a 0 Perkalian : a a a a dengan a, b, cadalah bilangan real. Sifat-sifat Urutan pada Bilangan Real Himpunan bilangan real ang anggotana selain nol dipisahkan sama besar menjadi dua himpunan aitu himpunan bilarang real positif dan negatif. Sehingga kita mengenal tanda-tanda seperti < (dibaca lebih kecil daripada ), > (dibaca lebih besar daripada ), (dibaca sama dengan ). Jika < maka positif. Selain itu juga diperoleh bahwa < >. Berikut ini adalah sifat-sifat urutan pada bilangan real aitu a. Trikotomi Jika dan adalah bilangan real maka salah satu di antara tiga hal berikut ini akan berlaku < atau atau > b. Transitif Jika < dan < zmaka < z, dengan,, zadalah bilangan real. Jika > dan > z maka > z, dengan,, zadalah bilangan real. c. Penjumlahan < + z < + z; > + z > + z d. Perkalian z adalah bilangan real positif, z adalah bilangan real negatif, < z < z, > z > z < z > z, > z < z Tanda (dibaca lebih kecil daripada atau sama dengan ) dan (dibaca lebih besar daripada atau sama dengan ) juga melambangkan 4 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

5 urutan suatu bilangan real. Jika maka maka positif atau nol. Jika positif atau nol. Sifat-sifat b, c, dan d dapat juga berlaku untuk tanda dan.. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN INTERVAL Persamaan Persamaan adalah suatu kalimat matematika ang mengandung nilai-nilai ang belum diketahui (variabel/peubah) dan dihubungkan oleh tanda kesamaan ( ). Persamaan biasana didefinisikan berdasarkan banak variabelna, pangkat tertinggi variabel, atau jenis variabelna. Penelesaian dari persamaan adalah satu atau sejumlah bilangan berhingga ang membuat persamaan menjadi berlaku. Menelesaikan suatu persamaan adalah tugas dasar dalam matematika. Contoh 4 : Persamaan linear 0 dengan penelesaian adalah. Persamaan kuadrat 6 0 dengan penelesaian adalah dan. Persamaan eksponen 8 dengan penelesaian adalah 6. Pertidaksamaan dan Interval Pertidaksamaan Pertidaksamaan mempunai karakteristik ang kurang lebih sama dengan persamaan. Perbedaanna terletak pada tanda hubung ang digunakan aitu <, >,,. Selain itu himpunan penelesaian dari suatu pertidaksamaan adalah seluruh bilangan ang berada pada interval bilangan. Contoh : 0 < 6 0 Interval Ada tiga jenis interval ang biasana dijumpai aitu interval terbuka, tertutup, dan kombinasi keduana. Interval terbuka biasana menggunakan tanda >, < atau keduana, misal a < < b. Interval terbuka a < < b sebenarna terdiri dari dua buah pertidaksamaan > a dan < b ang menunjukkan semua bilangan di antara titik dan tapi tidak termasuk titik dan. Interval terbuka biasana dinatakan dengan tanda kurung (, ). Interval tertutup biasana menggunakan tanda, atau Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

6 keduana, misal a b. Interval tertutup a b sebenarna terdiri dari dua buah pertidaksamaan a dan b ang menunjukkan semua bilangan di antara titik dan termasuk titik dan. Interval tertutup biasana dinatakan dengan tanda kurung [, ]. Kombinasi dari interval tertutup dan terbuka seperti a < b ; a < b dapat dinatakan dengan tanda kurung [, ) dan (, ]. Adapun beragam kemungkinan interval dapat dilihat pada Tabel. Tabel. Ragam Kemungkinan Interval Penulisan Himpunan Penulisan Interval Grafik : a < < b ( a, b) { } ( a b) { : a b} [ a, b] { : a < b} [ a, b) { : a < b} [ a, b) { : b} (,b] { : < b} (,b) { : a} [ a, ) { : > a} ( a, ) [ a b] [ a b) ( a b] [ a ( a ] b ] b R (, ) Penelesaian Pertidaksamaan Pertidaksamaan dapat diselesaikan tanpa mengubah himpunan penelesaian. Khususna: a. Menjumlahkan bilangan ang merupakan invers penjumlahan pada kedua ruas dari suatu pertidaksamaan. 6 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

7 b. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan positif. c. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan negatif, tetapi kemudian arah tanda pertidaksamaan harus dibalik. Contoh 6 : Selesaikan pertidaksamaan 7 < 4 dan perlihatkan grafik himpunan penelesaianna. Jawab: < (tambahkan 7) ( 4) + < ( 4) < ( ) < > (tambahkan ( 4)) (kalikan ) (ubah tanda karena perkalian dengan ) 0 Contoh 7 : Selesaikan pertidaksamaan + 6 < 4dan perlihatkan grafik himpunan penelesaianna. Jawab : + 6 < 4 + ( 6) ( 6) < 4 + ( 6) ( ) Contoh 8 : < < ( ) < Selesaikan pertidaksamaan 6 < 0. Jawab : ( 6 < 0 ( )( + ) < 0 [ ) dari perhitungan diperoleh 0 dan + 0. Jadi titik - dan adalah titik pemisah.untuk penelesaian dari pertidaksamaan tentukan terlebih dahulu titik uji pada interval (, ),(,) dan (, ). Pada interval (, ) titik uji ang dipilih adalah, pada interval (,) 7 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

8 titik uji ang dipilih adalah 0 dan pada interval (, ) titik uji ang dipilih adalah 4. Maka proses selanjutna adalah Titik Uji Nilai dari Tanda ( ) ( + ) ( )( + ) Karena ( )( + ) < 0 maka himpunan penelesaian dari pertidaksamaan tersebut berada pada interval (,) atau > dan <. Grafik himpunan penelesaian dari pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai berikut. Titik uji Nilai Mutlak Titik Pemisah Titik Pemisah Nilai mutlak suatu bilangan real, dinatakan oleh, didefinisikan sebagai Contoh 9 : jika jika 0 < ( ) Dari definisi nilai mutlak tidak ada menjelaskan bahwa (lihat Contoh 9). Akan tetapi adalah benar bahwa selalu taknegatif dan adalah benar juga bahwa antara dengan titik asal aitu 0 dan ( ). Mencoba membaangkan sebagai jarak a sebagai jarak antara titik dengan a merupakan salah satu cara terbaik untuk memahami nilai mutlak. a a 0 a 8 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

9 Sifat-sifat Nilai Mutlak a. a b a b b. a b a b c. a + b a + b d. a b a b Pertidaksamaan ang Melibatkan Nilai Mutlak a. < a a < < a b. > a < a atau > a Contoh 0 : Selesaikanlah pertidaksamaan 4 <. Jawab : Jika ditambahkan 4 pada ketiga ruas maka diperoleh 4 < < 4< + 4 < < + 4 < < 6 Jika memandang 4 < sebagai jarak maka jarak antara titik dan 4 harus lebih kecil daripada Sehingga nilai ang memenuhi adalah seluruh bilangan ang ada di antara dan 6, aitu < < 6. Contoh : Selesaikanlah pertidaksamaan. Jawab : atau atau atau atau Himpunan penelesaian dari pertidaksamaan adalah gabungan dua interval 4,. aitu [, ) ( ) ] [ 9 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

10 Kuadrat ang Melibatkan Nilai Mutlak a. b. Apakah operasi kuadrat mempertahankan pertidaksamaan? Misal 4 < tetapi ( 4 ) >, sebalikna < 4 dan < 4. Dari dua hal tersebut diperoleh bahwa operasi kuadrat tidak selalu mempertahankan pertidaksamaan. Jika bekerja hana pada bilangan taknegatif maka a < b a < b. Sehingga jika mengingat bahwa nilai mutlak suatu bilangan real adalah taknegatif maka Contoh : + < 6 < 9 <. + ( + ) < ( ) < 4 < < 0 ( + )( ) < 0 Diperoleh tiga interval aitu (, ) , (, ) dan (, ). Titik Uji Nilai dari Tanda ( +) ( ) ( + )( ) Karena ( + )( ) < 0 maka himpunan penelesaianna adalah semua bilangan ang berada pada interval (, ).. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS Koordinat Cartesius dibentuk oleh dua garis bilangan real ang saling tegak lurus dan berpotongan di titik nol kedua garis. Garis mendatar di sebut sumbu dan garis tegak disebut sumbu. Titik potong keduana dinamakan titik asal dan diberi label Ο. Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat daerah ang disebut kuadran, aitu kuadran I, II, III, dan IV (Lihat Gambar ). Tiap titik P (Lihat Gambar ) pada bidang koordinat dapat dinatakan oleh sepasang bilangan sebagai titik koordinatna. Jika P mempunai koordinat (,), maka suatu garis tegak ang melalui P akan 0 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

11 memotong sumbu di, dan suatu garis mendatar ang melalui akan memotong sumbu di. Titik (,) merupakan pasangan terurut dan sehingga urutanna tidak bisa dibalik. Bilangan pertama di koordinat- dan bilangan kedua di koordinat- Bilangan disebut absis dan bilangan disebut ordinat. Kuadran II Kuadran I b P( a, b) Ο Ο a Kuadran III Kuadran IV Rumus Jarak Gambar Gambar d Q (, ) Ο P (, ) Gambar 4 Jarak ( d ) antara dua titik P dan Q ang masing-masing mempunai koordinat, ) dan, ) adalah: ( ( ( ) + ( ) d ( P, Q) Contoh : Carilah jarak antara (,) dan ( 4, )! Jawab : Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

12 ( ) + ( ) d ( 4 ( ) ) + (( ) ) 6 + ( 4) , Rumus Titik Tengah Dua titik P (, ) dan Q (, ) dengan dan. Jika P dihubungkan oleh sebuah garis lurus ke Q maka jarak antara dan adalah serta jarak antara dan adalah. Titik tengah ruas garis ang menghubungkan P dan Q berada pada pertengahan garis penghubung kedua titik tersebut. Pertengahan garis penghubung kedua titik tersebut dapat dicari dengan membagi dua jarak antara dan serta jarak antara dan. Sehingga diperoleh dan. Titik tengah ruas garis ang menghubungkan P dan Q adalah Jadi titik tengah ruas garis ang menghubungkan P dan Q adalah + +, Contoh 4 : Tentukan jarak antara (,) dengan titik tengah ruas garis ang menghubungkan titik (, ) dan ( 4,). Jawab : Titik tengah ruas garis ang menghubungkan titik (, ) dan ( 4,) adalah + +, + 4 +,,, Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

13 d ((,),(, )) ( ( ) ) , GARIS DAN PERSAMAAN GARIS Garis Pengertian Garis atau garis lurus adalah objek geometri ang terbentuk dari paling sedikitna dua titik ang terhubung. Dari satu titik dapat dibuat tak terhingga banakna garis, namun dari dua titik hana dapat dibuat satu garis. Kedudukan Dua Garis Dua garis berpotongan Dua garis dikatakan berpotongan jika keduana berpotongan di satu titik ang disebut titik potong. Jika perpotongan dua garis tersebut pada satu membentuk sudut 90 maka dua garis itu disebut saling tegak lurus. Dua garis sejajar Dua garis dikatakan sejajar jika garis tersebut berada pada satu bidang dan jika diteruskan tidak akan berpotongan atau dengan kata lain kedua garis tersebut tidak mempunai titik potong. Dua garis berhimpit Dua garis dikatakan berhimpit jika kedua garis mempunai paling sedikit dua titik potong. Gradien/Kemiringan B (, ) A(, ) Ο Gambar Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

14 Umumna (Gambar ) untuk sebuah garis melalui A (, ) dan (, ), kemiringan () dari garis tersebut adalah B dengan Contoh : Gradien garis ang melalui titik (,) dan (,0) m m (*) 4 adalah 0 4 Berdasarkan (*), maka untuk gradien garis-garis horizontal (sejajar sumbu ) adalah bernilai 0, sedangkan garis-garis vertikal (sejajar sumbu ) nilaina tidak didefinisikan (karena adana pembagian dengan 0). Dua garis ang sejajar mempunai gradien ang sama: m m. Sedangkan dua garis ang saling tegak lurus mempunai gradien ang saling berlawanan dan berkebalikan: m. m Persamaan Garis Persamaan garis dapat disusun dari dua titik koordinat ang dilalui garis atau satu titik koordinat ang dilalui dan besar kemiringanna. Bentuk umum persamaan garis lurus adalah A + B + C 0 Persamaan garis ang melalui satu titik (, ) dengan gradien madalah m( ) Jika satu garis mempunai titik potong di sumbu misal di titik ( 0,b) seperti maka kemiringan garis tersebut adalah m + b Garis ang melalui dua titik A (, ) dan (, ) garisna adalah Contoh 6 : B maka persamaan Tentukan persamaan garis ang melalui titik ( 4,) dan (, ) Jawab : m 6 ( 4) 0 6! Pilih salah satu titik dan gunakan persamaan garis ang melalui satu titik. 4 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

15 m( ) m( ) ( ( 4) ) 0 ( + 4) Pendahuluan Kalkulus ( ) ( 6) atau tanpa menghitung gradienna, dapat juga dicari dengan menggunakan persamaan garis ang melalui dua titik. ( 4) 6 ( 4) Jadi persamaan garis ang melalui titik ( 4,) + 0. EVALUASI Latihan ) Sederhanakanlah soal berikut ini: a. 4 ( 8 ) + 6 b. ( ( 7 + 6) + 4) + c. d e. ( + )( ) f. ( + 7 ) ( + 4) dan (, ) 4 6 adalah Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

16 ) Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini. 9 + a. ( )( ) b. ( ) c. d ) Ubahlah bilangan rasional ini menjadi desimal. a. b. 7 c. d ) Ubahlah desimal berikut ini menjadi suatu hasil bagi bilangan bulat. a. 0, b.,66666 c. 0,7 d. 0,64 Latihan ) Gambarlah grafik dari interval berikut ini. a. (,) b., 8 c., 4 d. 7, ) Natakan himpunan penelesaianna dalam cara penulisan interval dan sketsalah grafikna. a. 7 < e. ( + )( )( ) > 0 b. > 6 4 f. 6 < 0 c. < 6 4 d. < g. h Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

17 i. j. < + 0 k. < 6 Latihan ) Gambarlah titik-titik berikut ini dalam bidang koordinat dan carilah jarak antara titik-titik tersebut.,,, a. ( ) ( ) b. ( 4,), (,4) c. (,),( 6,) d. ( 4,),(, 8) ) Buktikan bahwa segitiga ang titik-titik sudutna adalah (,), (,4) ( 0,8) adalah sama kaki. dan ) Tentukan jarak antara (,) dengan titik tengah ruas garis ang menghubungkan (, ) dan ( 4,). 4) Carilah titik pada sumbu- ang berjarak sama dari (,) dan ( 6,4). ) Carilah panjang ruas garis ang menghubungkan titik-titik tengah A,, B,6, C 4,7 dan dengan ruas-ruas AB dan CD dengan ( ) ( ) ( ) D (,4). Latihan 4 ) Carilah kemiringan dari garis ang melalui dua titik berikut ini. a. (,) dan (,) b. (,) dan (-,-6) c. (,) dan ( 4,7) d. (, 4) dan ( 0,-6) e. (,0) dan ( 0,) f. ( 6,0) dan ( 0,6) ) Carilah persamaan untuk tiap garis dan tulislah dalam bentuk A + B + C 0. a. Melalui (,4) dan gradien. b. Melalui (,) dan gradien 4. c. Memotong sumbu- di dan gradien. d. Memotong sumbu- di dan gradien., dan 4,8 e. Melalui ( ) ( ) f. Melalui ( 4,) dan ( 8,) 7 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

18 ) Carilah gradien dan perpotongan pada sumbu- untuk tiap garis berikut ini. a. + b. + c. + 6 d ) Tulislah persamaan garis ang (, ) a. Sejajar garis + ang: b. Sejajar garis ang melalui (,) dan (,-) c. Tegak lurus garis + 6 SELAMAT BEKERJA 8 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd