PENDAHULUAN KALKULUS

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PENDAHULUAN KALKULUS"

Transkripsi

1 . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu kah anda bilangan apa saja ang termasuk pada kategori bilangan-bilangan tersebut? Bilangan-bilangan ang merupakan anggota bilangan asli adalah,,,.... Bilangan asli biasana dinatakan dengan N. Secara matematis himpunan bilangan asli dapat ditulis sebagai berikut. N,,,4,, Bilangan asli ini disebut juga sebagai bilangan ang paling sederhana. Himpunan bilangan asli ditambahkan dengan 0maka himpunan bilangan tersebut menjadi { 0,,,,... }. Himpunan bilangan tersebut merupakan bilangan cacah. Bilangan cacah biasana dinotasikan dengan C. Sehingga himpunan bilangan cacah dapat ditulis sebagai berikut. C0,,,,4,, Himpunan bilangan cacah ditambahkan negatif dari bilanganbilangan asli maka himpunan bilangan tersebut adalah bilangan bulat. Bilangan bulat dapat juga dinotasikan dengan Z. Secara matematis, himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai berikut. Z, 4,,,,0,,,,4,, Dalam pengkuran, bilangan-bilangan bulat kurang memadai untuk digunakan karena tidak memiliki ketelitian ang cukup. Hal ini dapat menuntun kepada pembagian/rasio dua bilangan bulat ang dikenal sebagai bilangan rasional/terukur atau Q. Bilangan ang merupakan bilangan a rasional dapat dinatakan ke dalam bentuk dengan b 0, a dan b b adalah bilangan bulat. Sehingga bilangan rasional dapat dikatakan merupakan gabungan dari bilangan bulat dan pecahan. Kekurangan dari bilangan rasional dapat memberikan hasil berupa bilangan irrasional. Gabungan bilangan rasional dan irrasional ang dapat mengukur panjang (positif) beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut dan nol disebut juga bilangan real atau R. Sistem bilangan tidak hana berakhir pada bilangan real saja, melainkan dapat diperluas lagi menjadi sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks berbentuk a + ib Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

2 dengan a dan badalah bilangan real. Akan tetapi pembahasan sistem bilangan konsep ini akan dibahas pada bahasan fungsi kompleks. Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal, karena bilangan rasional dapat dinatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Jika pembilang dibagi dengan penebut maka dihasilkan suatu bentuk desimal. Bilangan Real (R) Bilangan Rasional (Q) Bilangan Bulat (Z) Bilangan Cacah (C) Bilangan Asli (N) Ada dua dentuk desimal dari bilangan rasional, aitu bentuk desimal berakhir dan bentuk desimal berulang. Bentuk desimal berakhir biasana diakhiri dengan nol ang berulang. Contoh : Bentuk desimal berakhir 0,4 0, ,7 0, Bentuk desimal berulang 0,... 0, , , Jika bilangan rasional dapat dinatakan ke dalam bentuk desimal berakhir dan berulang, dapatkah berlaku kebalikanna aitu bilang ang mempunai bentuk desimal berakhir dan berulang dapat dikatakan sebagai bilangan rasional? Contoh : Buktikan apakah 0,7 ; 0, ; 0, Jawab : 7 7 0, Misalkan 0, maka 000 6,66... sehingga Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

3 000 6, ,66... Misalkan 0, maka 00 7, sehingga 00 7, , Jadi dapat disimpulkan bahwa bilangan bentuk desimal berakhir dan berulang merupakan bilangan rasional Bentuk akar dari bilangan rasional pada umumna merupakan bilangan irrasional. Selain itu ada juga bilangan ang bukan bentuk akar ang juga merupakan bilangan irrasional. Contoh : Bentuk Akar 4,, , , Bentuk Bukan Akar π, log 0, Akan tetapi ada bentuk akar ang hasilna merupakan bilangan rasional sehingga bentuk akar tersebut tidak bisa dikategorikan sebagai bilangan 4 irrasional seperti 6 4 ; 8 9 ; ; Selain itu, ada juga bentuk bukan akar ang hasilna merupakan bilangan rasional sehingga menjadikanna bukan bilangan irrasional seperti log00 ; log8 ; log8 4. SIFAT-SIFAT PADA BILANGAN REAL Sifat-sifat Operasi pada Bilangan Real Asosiatif Penjumlahan : a + ( b + c) ( a + b) + c Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

4 Perkalian : a ( b c) ( a b) c Komutatif Penjumlahan : a + b b + a Perkalian : a b b a Distributif Depan : a ( b + c) a b + a c Belakang : ( b + c) a b a + c a Identitas Penjumlahan : a a a Perkalian : a a a Invers (Kebalikan) Penjumlahan : a + ( a) ( a) + a 0 Perkalian : a a a a dengan a, b, cadalah bilangan real. Sifat-sifat Urutan pada Bilangan Real Himpunan bilangan real ang anggotana selain nol dipisahkan sama besar menjadi dua himpunan aitu himpunan bilarang real positif dan negatif. Sehingga kita mengenal tanda-tanda seperti < (dibaca lebih kecil daripada ), > (dibaca lebih besar daripada ), (dibaca sama dengan ). Jika < maka positif. Selain itu juga diperoleh bahwa < >. Berikut ini adalah sifat-sifat urutan pada bilangan real aitu a. Trikotomi Jika dan adalah bilangan real maka salah satu di antara tiga hal berikut ini akan berlaku < atau atau > b. Transitif Jika < dan < zmaka < z, dengan,, zadalah bilangan real. Jika > dan > z maka > z, dengan,, zadalah bilangan real. c. Penjumlahan < + z < + z; > + z > + z d. Perkalian z adalah bilangan real positif, z adalah bilangan real negatif, < z < z, > z > z < z > z, > z < z Tanda (dibaca lebih kecil daripada atau sama dengan ) dan (dibaca lebih besar daripada atau sama dengan ) juga melambangkan 4 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

5 urutan suatu bilangan real. Jika maka maka positif atau nol. Jika positif atau nol. Sifat-sifat b, c, dan d dapat juga berlaku untuk tanda dan.. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN INTERVAL Persamaan Persamaan adalah suatu kalimat matematika ang mengandung nilai-nilai ang belum diketahui (variabel/peubah) dan dihubungkan oleh tanda kesamaan ( ). Persamaan biasana didefinisikan berdasarkan banak variabelna, pangkat tertinggi variabel, atau jenis variabelna. Penelesaian dari persamaan adalah satu atau sejumlah bilangan berhingga ang membuat persamaan menjadi berlaku. Menelesaikan suatu persamaan adalah tugas dasar dalam matematika. Contoh 4 : Persamaan linear 0 dengan penelesaian adalah. Persamaan kuadrat 6 0 dengan penelesaian adalah dan. Persamaan eksponen 8 dengan penelesaian adalah 6. Pertidaksamaan dan Interval Pertidaksamaan Pertidaksamaan mempunai karakteristik ang kurang lebih sama dengan persamaan. Perbedaanna terletak pada tanda hubung ang digunakan aitu <, >,,. Selain itu himpunan penelesaian dari suatu pertidaksamaan adalah seluruh bilangan ang berada pada interval bilangan. Contoh : 0 < 6 0 Interval Ada tiga jenis interval ang biasana dijumpai aitu interval terbuka, tertutup, dan kombinasi keduana. Interval terbuka biasana menggunakan tanda >, < atau keduana, misal a < < b. Interval terbuka a < < b sebenarna terdiri dari dua buah pertidaksamaan > a dan < b ang menunjukkan semua bilangan di antara titik dan tapi tidak termasuk titik dan. Interval terbuka biasana dinatakan dengan tanda kurung (, ). Interval tertutup biasana menggunakan tanda, atau Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

6 keduana, misal a b. Interval tertutup a b sebenarna terdiri dari dua buah pertidaksamaan a dan b ang menunjukkan semua bilangan di antara titik dan termasuk titik dan. Interval tertutup biasana dinatakan dengan tanda kurung [, ]. Kombinasi dari interval tertutup dan terbuka seperti a < b ; a < b dapat dinatakan dengan tanda kurung [, ) dan (, ]. Adapun beragam kemungkinan interval dapat dilihat pada Tabel. Tabel. Ragam Kemungkinan Interval Penulisan Himpunan Penulisan Interval Grafik : a < < b ( a, b) { } ( a b) { : a b} [ a, b] { : a < b} [ a, b) { : a < b} [ a, b) { : b} (,b] { : < b} (,b) { : a} [ a, ) { : > a} ( a, ) [ a b] [ a b) ( a b] [ a ( a ] b ] b R (, ) Penelesaian Pertidaksamaan Pertidaksamaan dapat diselesaikan tanpa mengubah himpunan penelesaian. Khususna: a. Menjumlahkan bilangan ang merupakan invers penjumlahan pada kedua ruas dari suatu pertidaksamaan. 6 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

7 b. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan positif. c. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan negatif, tetapi kemudian arah tanda pertidaksamaan harus dibalik. Contoh 6 : Selesaikan pertidaksamaan 7 < 4 dan perlihatkan grafik himpunan penelesaianna. Jawab: < (tambahkan 7) ( 4) + < ( 4) < ( ) < > (tambahkan ( 4)) (kalikan ) (ubah tanda karena perkalian dengan ) 0 Contoh 7 : Selesaikan pertidaksamaan + 6 < 4dan perlihatkan grafik himpunan penelesaianna. Jawab : + 6 < 4 + ( 6) ( 6) < 4 + ( 6) ( ) Contoh 8 : < < ( ) < Selesaikan pertidaksamaan 6 < 0. Jawab : ( 6 < 0 ( )( + ) < 0 [ ) dari perhitungan diperoleh 0 dan + 0. Jadi titik - dan adalah titik pemisah.untuk penelesaian dari pertidaksamaan tentukan terlebih dahulu titik uji pada interval (, ),(,) dan (, ). Pada interval (, ) titik uji ang dipilih adalah, pada interval (,) 7 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

8 titik uji ang dipilih adalah 0 dan pada interval (, ) titik uji ang dipilih adalah 4. Maka proses selanjutna adalah Titik Uji Nilai dari Tanda ( ) ( + ) ( )( + ) Karena ( )( + ) < 0 maka himpunan penelesaian dari pertidaksamaan tersebut berada pada interval (,) atau > dan <. Grafik himpunan penelesaian dari pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai berikut. Titik uji Nilai Mutlak Titik Pemisah Titik Pemisah Nilai mutlak suatu bilangan real, dinatakan oleh, didefinisikan sebagai Contoh 9 : jika jika 0 < ( ) Dari definisi nilai mutlak tidak ada menjelaskan bahwa (lihat Contoh 9). Akan tetapi adalah benar bahwa selalu taknegatif dan adalah benar juga bahwa antara dengan titik asal aitu 0 dan ( ). Mencoba membaangkan sebagai jarak a sebagai jarak antara titik dengan a merupakan salah satu cara terbaik untuk memahami nilai mutlak. a a 0 a 8 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

9 Sifat-sifat Nilai Mutlak a. a b a b b. a b a b c. a + b a + b d. a b a b Pertidaksamaan ang Melibatkan Nilai Mutlak a. < a a < < a b. > a < a atau > a Contoh 0 : Selesaikanlah pertidaksamaan 4 <. Jawab : Jika ditambahkan 4 pada ketiga ruas maka diperoleh 4 < < 4< + 4 < < + 4 < < 6 Jika memandang 4 < sebagai jarak maka jarak antara titik dan 4 harus lebih kecil daripada Sehingga nilai ang memenuhi adalah seluruh bilangan ang ada di antara dan 6, aitu < < 6. Contoh : Selesaikanlah pertidaksamaan. Jawab : atau atau atau atau Himpunan penelesaian dari pertidaksamaan adalah gabungan dua interval 4,. aitu [, ) ( ) ] [ 9 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

10 Kuadrat ang Melibatkan Nilai Mutlak a. b. Apakah operasi kuadrat mempertahankan pertidaksamaan? Misal 4 < tetapi ( 4 ) >, sebalikna < 4 dan < 4. Dari dua hal tersebut diperoleh bahwa operasi kuadrat tidak selalu mempertahankan pertidaksamaan. Jika bekerja hana pada bilangan taknegatif maka a < b a < b. Sehingga jika mengingat bahwa nilai mutlak suatu bilangan real adalah taknegatif maka Contoh : + < 6 < 9 <. + ( + ) < ( ) < 4 < < 0 ( + )( ) < 0 Diperoleh tiga interval aitu (, ) , (, ) dan (, ). Titik Uji Nilai dari Tanda ( +) ( ) ( + )( ) Karena ( + )( ) < 0 maka himpunan penelesaianna adalah semua bilangan ang berada pada interval (, ).. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS Koordinat Cartesius dibentuk oleh dua garis bilangan real ang saling tegak lurus dan berpotongan di titik nol kedua garis. Garis mendatar di sebut sumbu dan garis tegak disebut sumbu. Titik potong keduana dinamakan titik asal dan diberi label Ο. Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat daerah ang disebut kuadran, aitu kuadran I, II, III, dan IV (Lihat Gambar ). Tiap titik P (Lihat Gambar ) pada bidang koordinat dapat dinatakan oleh sepasang bilangan sebagai titik koordinatna. Jika P mempunai koordinat (,), maka suatu garis tegak ang melalui P akan 0 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

11 memotong sumbu di, dan suatu garis mendatar ang melalui akan memotong sumbu di. Titik (,) merupakan pasangan terurut dan sehingga urutanna tidak bisa dibalik. Bilangan pertama di koordinat- dan bilangan kedua di koordinat- Bilangan disebut absis dan bilangan disebut ordinat. Kuadran II Kuadran I b P( a, b) Ο Ο a Kuadran III Kuadran IV Rumus Jarak Gambar Gambar d Q (, ) Ο P (, ) Gambar 4 Jarak ( d ) antara dua titik P dan Q ang masing-masing mempunai koordinat, ) dan, ) adalah: ( ( ( ) + ( ) d ( P, Q) Contoh : Carilah jarak antara (,) dan ( 4, )! Jawab : Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

12 ( ) + ( ) d ( 4 ( ) ) + (( ) ) 6 + ( 4) , Rumus Titik Tengah Dua titik P (, ) dan Q (, ) dengan dan. Jika P dihubungkan oleh sebuah garis lurus ke Q maka jarak antara dan adalah serta jarak antara dan adalah. Titik tengah ruas garis ang menghubungkan P dan Q berada pada pertengahan garis penghubung kedua titik tersebut. Pertengahan garis penghubung kedua titik tersebut dapat dicari dengan membagi dua jarak antara dan serta jarak antara dan. Sehingga diperoleh dan. Titik tengah ruas garis ang menghubungkan P dan Q adalah Jadi titik tengah ruas garis ang menghubungkan P dan Q adalah + +, Contoh 4 : Tentukan jarak antara (,) dengan titik tengah ruas garis ang menghubungkan titik (, ) dan ( 4,). Jawab : Titik tengah ruas garis ang menghubungkan titik (, ) dan ( 4,) adalah + +, + 4 +,,, Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

13 d ((,),(, )) ( ( ) ) , GARIS DAN PERSAMAAN GARIS Garis Pengertian Garis atau garis lurus adalah objek geometri ang terbentuk dari paling sedikitna dua titik ang terhubung. Dari satu titik dapat dibuat tak terhingga banakna garis, namun dari dua titik hana dapat dibuat satu garis. Kedudukan Dua Garis Dua garis berpotongan Dua garis dikatakan berpotongan jika keduana berpotongan di satu titik ang disebut titik potong. Jika perpotongan dua garis tersebut pada satu membentuk sudut 90 maka dua garis itu disebut saling tegak lurus. Dua garis sejajar Dua garis dikatakan sejajar jika garis tersebut berada pada satu bidang dan jika diteruskan tidak akan berpotongan atau dengan kata lain kedua garis tersebut tidak mempunai titik potong. Dua garis berhimpit Dua garis dikatakan berhimpit jika kedua garis mempunai paling sedikit dua titik potong. Gradien/Kemiringan B (, ) A(, ) Ο Gambar Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

14 Umumna (Gambar ) untuk sebuah garis melalui A (, ) dan (, ), kemiringan () dari garis tersebut adalah B dengan Contoh : Gradien garis ang melalui titik (,) dan (,0) m m (*) 4 adalah 0 4 Berdasarkan (*), maka untuk gradien garis-garis horizontal (sejajar sumbu ) adalah bernilai 0, sedangkan garis-garis vertikal (sejajar sumbu ) nilaina tidak didefinisikan (karena adana pembagian dengan 0). Dua garis ang sejajar mempunai gradien ang sama: m m. Sedangkan dua garis ang saling tegak lurus mempunai gradien ang saling berlawanan dan berkebalikan: m. m Persamaan Garis Persamaan garis dapat disusun dari dua titik koordinat ang dilalui garis atau satu titik koordinat ang dilalui dan besar kemiringanna. Bentuk umum persamaan garis lurus adalah A + B + C 0 Persamaan garis ang melalui satu titik (, ) dengan gradien madalah m( ) Jika satu garis mempunai titik potong di sumbu misal di titik ( 0,b) seperti maka kemiringan garis tersebut adalah m + b Garis ang melalui dua titik A (, ) dan (, ) garisna adalah Contoh 6 : B maka persamaan Tentukan persamaan garis ang melalui titik ( 4,) dan (, ) Jawab : m 6 ( 4) 0 6! Pilih salah satu titik dan gunakan persamaan garis ang melalui satu titik. 4 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

15 m( ) m( ) ( ( 4) ) 0 ( + 4) Pendahuluan Kalkulus ( ) ( 6) atau tanpa menghitung gradienna, dapat juga dicari dengan menggunakan persamaan garis ang melalui dua titik. ( 4) 6 ( 4) Jadi persamaan garis ang melalui titik ( 4,) + 0. EVALUASI Latihan ) Sederhanakanlah soal berikut ini: a. 4 ( 8 ) + 6 b. ( ( 7 + 6) + 4) + c. d e. ( + )( ) f. ( + 7 ) ( + 4) dan (, ) 4 6 adalah Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

16 ) Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini. 9 + a. ( )( ) b. ( ) c. d ) Ubahlah bilangan rasional ini menjadi desimal. a. b. 7 c. d ) Ubahlah desimal berikut ini menjadi suatu hasil bagi bilangan bulat. a. 0, b.,66666 c. 0,7 d. 0,64 Latihan ) Gambarlah grafik dari interval berikut ini. a. (,) b., 8 c., 4 d. 7, ) Natakan himpunan penelesaianna dalam cara penulisan interval dan sketsalah grafikna. a. 7 < e. ( + )( )( ) > 0 b. > 6 4 f. 6 < 0 c. < 6 4 d. < g. h Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

17 i. j. < + 0 k. < 6 Latihan ) Gambarlah titik-titik berikut ini dalam bidang koordinat dan carilah jarak antara titik-titik tersebut.,,, a. ( ) ( ) b. ( 4,), (,4) c. (,),( 6,) d. ( 4,),(, 8) ) Buktikan bahwa segitiga ang titik-titik sudutna adalah (,), (,4) ( 0,8) adalah sama kaki. dan ) Tentukan jarak antara (,) dengan titik tengah ruas garis ang menghubungkan (, ) dan ( 4,). 4) Carilah titik pada sumbu- ang berjarak sama dari (,) dan ( 6,4). ) Carilah panjang ruas garis ang menghubungkan titik-titik tengah A,, B,6, C 4,7 dan dengan ruas-ruas AB dan CD dengan ( ) ( ) ( ) D (,4). Latihan 4 ) Carilah kemiringan dari garis ang melalui dua titik berikut ini. a. (,) dan (,) b. (,) dan (-,-6) c. (,) dan ( 4,7) d. (, 4) dan ( 0,-6) e. (,0) dan ( 0,) f. ( 6,0) dan ( 0,6) ) Carilah persamaan untuk tiap garis dan tulislah dalam bentuk A + B + C 0. a. Melalui (,4) dan gradien. b. Melalui (,) dan gradien 4. c. Memotong sumbu- di dan gradien. d. Memotong sumbu- di dan gradien., dan 4,8 e. Melalui ( ) ( ) f. Melalui ( 4,) dan ( 8,) 7 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

18 ) Carilah gradien dan perpotongan pada sumbu- untuk tiap garis berikut ini. a. + b. + c. + 6 d ) Tulislah persamaan garis ang (, ) a. Sejajar garis + ang: b. Sejajar garis ang melalui (,) dan (,-) c. Tegak lurus garis + 6 SELAMAT BEKERJA 8 Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1 BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan

Lebih terperinci

AB = AB = ( ) 2 + ( ) 2

AB = AB = ( ) 2 + ( ) 2 Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA HUBUNGAN ANTAR GARIS Titik Tengah Sebuah Segmen Garis : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.10 Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus dan

Lebih terperinci

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak

Lebih terperinci

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan

Lebih terperinci

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA

KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER

MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER MATEMATIKA BISNIS BAB FUNGSI LINIER Hikmah Agustin, S.P.,MM DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainna. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel Variabel

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1 Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a ) (3a ) 3a 0 adalah, maka akar lainna adalah. Nilai m ang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m ) (m ) ( m ) 0 mempunai dua

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b 2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan

Lebih terperinci

MA5032 ANALISIS REAL

MA5032 ANALISIS REAL (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN BULAT

SISTEM BILANGAN BULAT SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil

Lebih terperinci

BAB I SISTEM KOORDINAT

BAB I SISTEM KOORDINAT BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita

Lebih terperinci

BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN

BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN STANDAR KOMPETENSI: BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN Menusun persamaan lingkaran dan garis singgungna. KOMPETENSI DASAR Menusun persamaan lingkaran ang memenuhi persaratan ang ditentukan Menentukan persamaan

Lebih terperinci

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus

Peta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

PROGRAM LINEAR. Bukti : ax + by = a.b. Pengertian Program Linear : Gunakan persamaan 2 di atas :

PROGRAM LINEAR. Bukti : ax + by = a.b. Pengertian Program Linear : Gunakan persamaan 2 di atas : PROGRAM LINEAR Bukti : + = a + b = a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan

Lebih terperinci

BAB XVII. PROGRAM LINEAR

BAB XVII. PROGRAM LINEAR BAB XVII. PROGRAM LINEAR Bukti : + a + b a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Ri l

Sistem Bilangan Ri l Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π

Lebih terperinci

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c

MATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 07 Sesi N PROGRAM LINEAR A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR a + b c CONTOH SOAL 1. Ubahlah 4-4 kedalam bentuk umumna 4 - -4 B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian

Lebih terperinci

1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional

1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional 1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang teristimewa dan penting adalah himpunan bilangan real. Tetapi apakah bilangan real

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

PERSAMAAN LINEAR/GARIS LURUS

PERSAMAAN LINEAR/GARIS LURUS PERSAMAAN LINEAR/GARIS LURUS SILABI Fungsi linear Titik potong gradien dari garis lurus Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear - Cara dwi- kordinat - Cara koordinat- lereng - Cara

Lebih terperinci

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.

Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real. Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3

Lebih terperinci

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Drs. Karso Modul 9 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Modul ang sekarang Anda pelajri ini adalah modul ang kesembilan dari mata kuliah Matematika Sekolah Dasar Lanjut. Adapun

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Bilangan dan Aljabar untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

2 Akar Persamaan NonLinear

2 Akar Persamaan NonLinear 2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan

Lebih terperinci

F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN

F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN Modul 3 F u n g s i Drs. Wahu Widaat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan

Lebih terperinci

BAB VI BILANGAN REAL

BAB VI BILANGAN REAL BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul

Lebih terperinci

Bilangan Riil, Nilai Mutlak, Fungsi

Bilangan Riil, Nilai Mutlak, Fungsi Bilangan Riil, Nilai Mutlak, Fungsi Kalkulus Dasar - Kimia Mohammad Mahfuzh Shiddiq Universitas Lambung Mangkurat September 13, 2016 M.Mahfuzh S. () kalkulus dasar September 13, 2016 1 / 20 Sistem Bilangan

Lebih terperinci

PTE 4109, Agribisnis UB

PTE 4109, Agribisnis UB MATEMATIKA EKONOMI PTE 4109, Agribisnis UB 1 Materi ang dipelajari Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear -Penggal -Simetri - Perpanjangan

Lebih terperinci

BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di

BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA. A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA A. Deskripsi Buku Ajar Matematika SMA/MA Kelas X yang digunakan di SMA/MA Kecamatan Anjir Muara Berdasarkan BAB III telah diuraikan bahwa penelitian ini bertujuan

Lebih terperinci

Modul Matematika MINGGU 4. g. Titik Potong fungsi linier

Modul Matematika MINGGU 4. g. Titik Potong fungsi linier MINGGU 4 Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum : Hubungan dan : 1. Hubungan 2. a. Pengertian fungsi b. Jenis-jenis fungsi c. Diagram fungsi d. Pengertian fungsi linier e. Penggambaran

Lebih terperinci

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1 TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk

Lebih terperinci

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K. LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

& & # = atau )!"* ( & ( ( (&

& & # = atau )!* ( & ( ( (& MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank 1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasannya.

Soal dan Pembahasannya. Soal dan Pembahasanna Perhatikan tabel di bawah ini! p q p q ~ q B B B S S B S S Nilai kebenaran dari pernataan majemuk p q ~ q pada tabel di atas adalah p q p q ~ q p q ~ q B B B S B B S S B B S B B S

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6 Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA. SD Kelas 4, 5, 6

Ringkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA. SD Kelas 4, 5, 6 Ringkasan Materi Soal-soal dan Pembahasan MATEMATIKA SD Kelas 4, 5, 6 1 Matematika A. Operasi Hitung Bilangan... 3 B. Bilangan Ribuan... 5 C. Perkalian dan Pembagian Bilangan... 6 D. Kelipatan dan Faktor

Lebih terperinci

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan i Kode MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan + = - 5 6 - - + = BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN

Lebih terperinci

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)

Lebih terperinci

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004

DURASI PEMELAJARAN KURIKULUM SMK EDISI 2004 DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT TUJUAN : MATEMATIKA : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan

Lebih terperinci

Bagian 1 Sistem Bilangan

Bagian 1 Sistem Bilangan Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK Nama Siswa LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK : Kelas : KOMPETENSI DASAR: 3.2 Mendeskripsikan dan menganalisis konsep nilai mutlak dalam persamaan dan pertidaksamaan serta

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila

Lebih terperinci

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers

Komposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar

Lebih terperinci

sama dengan p q. Perhatikan tabel berikut. p q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B

sama dengan p q. Perhatikan tabel berikut. p q B B S S B S S B S S B B S S S B B S B S S S S B B S B B Soal nomor 1, dengan soal sebagai berikut: Jawab : D Pernyataan majemuk pada soal ini adalah suatu disjungsi. Misalkan p: Petani panen beras. q: Harga beras murah., pernyataan di atas dapat dinotasikan

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah

Lebih terperinci

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif

Lebih terperinci

LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP (SILABUS)

LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP (SILABUS) LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL SEKOLAH KELAS MATA PELAJARAN SEMESTER BILANGAN Standar Kompetensi KOMPETENSI DASAR 1.1 Melakukan operasi hitung bilangan bulat. : SMP : VII : MATEMATIKA

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

TRANSFORMASI. Kegiatan Belajar Mengajar 6

TRANSFORMASI. Kegiatan Belajar Mengajar 6 Kegiatan elajar Mengajar 6 TRNSFORMSI Drs. Zainuddin, M.Pd Tranformasi (perpindahan) ang dipelajari dalam matematika, antara lain translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dan

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN A. Bilangan Bulat I. Pengertian Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Pengertian HIMPUNAN Himpunan adalah suatu kumpulan dari sejumlah obyek. Sedangkan obyek yang ada didalamnya disebut anggota/elemen/unsur. Benda-benda yang berada di sekitar

Lebih terperinci

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran

SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks

Lebih terperinci

Program Linear. Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan. Sistem Pertidaksamaan Linear B. Program Linear

Program Linear. Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan. Sistem Pertidaksamaan Linear B. Program Linear Bab w. me da li.c om : er mb Su ww Program Linear Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan ang banak digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Misalna, program

Lebih terperinci

KALKULUS UNTUK STATISTIKA

KALKULUS UNTUK STATISTIKA Mulyana f( ) g( ).8.9.9 KALKULUS UNTUK STATISTIKA.8 8. BUKU AJAR g ( ) h ( ).. 8. UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MIPA JURUSAN STATISTIKA BANDUNG Kata Pengantar Diktat ini disusun dalam upaya pengadaan

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1

Lebih terperinci

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)

Lebih terperinci

BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL

BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL A. Pertidaksamaan Rasional Pada sistem bilangan, terdapat dua jenis bilangan yaitu bilangan real dan imajiner. Jika

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS 1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............

Lebih terperinci