BAB I SISTEM KOORDINAT

Transkripsi

1 BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita kenal, antara lain sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: ), sistem koordinat kutub, sistem koordinat tabung, dan sistem koordinat bola. Pada bidang (R ), letak titik pada umumna dinatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Sedangkan pada ruang (R ) letak suatu titik pada umumna dinatakan dalam koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola. 1. Sisten Koordinat dalam Bidang (R ) Sebagaimana telah dijelaskan di atas, bahwa letak suatu titik dalam bidang dinatakan dalam koordinat Cartesius dan koordinat kutub. Masingmasing sistem koordinat dalam bidang dijabarkan sebagai berikut: 1) Sistem Koordinat Cartesius x < 0 > 0 Y x > 0, > 0 Kwadran II Kwadran I X Kwadran III Kwadran IV x < 0, < 0 x > 0, < 0 Gambar 1 Berdasarkan Gambar 1 di atas, terdapat 4 bidang simetris ang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat X dan Y, masing-masing bidang ang

2 dibatasi oleh bidang dinamakan kwadran, sehingga terdapat 4 kwadran, aitu kuadran I (x>0, >0), kwadran II (x<0, >0), kwadran III (x<0, <0), dan kwadran IV (x>0, <0). Misalkan P(x,) sebarang titik pada bidang XOY, maka titik tersebut posisina dapat dikwadran I, atau II, atau III, atau kwadran IV tergantung besaran x dan. Jika letak titik P(x,), maka x disebut absis, disebut ordinat dan P(x,) disebut koordinat. Perhatikan gambar berikut ini. Misal P(x 1, 1) dan terletak di kwadran I hal ini berarti x 1 >0 dan 1 >0 Y P x 1, ) ( 1 1 O(0,0) x 1 M ( x 1,0) X Gambar OPM Pthagoras Berdasarkan gambar di atas, tampak suatu segitiga aitu ang salah satu sudutna siku-siku dititik M. Menurut teorema OP OM + MP (x 1-0) + ( 1-0) x x + atau ditulis dengan notasi OP + x 1 Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik ang menghubungkan titik O(0,0) dengan titik P(x 1, 1 ) Selanjutna perhatikan gambar berikut. Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo

3 ( 1 Y P x 1, ) X Q( x, ) R( x, ) Gambar Gambar di atas menunjukkan segitiga PQR ang masing-masing titik sudutna aitu P x 1, ) terletak pada kuadran II, Q x, ) terletak pada ( 1 ( kuadran IV, R x, ) terletak pada kuadran III dan jarak masing-masing titik dinatakan oleh: ( 1. PQ ( xq xp ) + ( Q P ) ( x x1 ) + ( 1). PR ( xr xp ) + ( R P ) ( x x1) + ( 1). QR ( xr xq ) + ( R Q ) ( x x ) + ( 1) ) Sistem Koordinat Kutub Sistem koordinat Cartesius, menatakan bahwa letak titik pada bidang dinatakan dengan pasangan ( x, ), dengan x dan masing-masing menatakan jarak berarah ke sumbu- dan ke sumbu-x. Pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinatakan dengan Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo

4 pasangan bilangan real ( r,θ ), dengan r menatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan θ adalah sudut antara sinar ang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub) P( r, θ) r O θ Gambar 4 Berbeda dengan sistem koordinat Cartesius (Rene Descartes: ) dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinatakan dalam tak hingga banak koordinat. Sebagai contoh, letak titik P (, π ) dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar ang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar π radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak satuan dari titik asal O (lihat Gambar 1..4 (a)). Titik P dapat pula dinatakan dalam koordinat (, π kπ ) +, dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 1..4 (b)). Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat (, 4π ) pun juga menggambarkan titik P (lihat Gambar 1..4 (c)). Pada koordinat ang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada baangan sinar O P. P (, π ) P (, π + kπ ) π (a) (b) π + kπ Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 4

5 P (, 4π ) 4π O P (c) Gambar 5 Secara umum, jika ( r,θ ) menatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinatakan sebagai berikut: ( r, θ + kπ ) atau (, θ + (k + 1)π ) r dengan k bilangan bulat. Kutub mempunai koordinat ( 0, θ ) dengan θ sebarang bilangan. Hubungan Antara Sistem Koordinat Cartesius dan Sistem Koordinat Kutub Suatu titik P berkoordinat ( x, ) dalam sistem koordinat Cartesius dan ( r, θ ) dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, emikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut: Y P ( x, ) ( r, θ ) r r O θ r X Gambar 6 Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 5

6 Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut: (1.1) x r cosθ r sinθ atau: (1.) r x x + θ arcsin arccos r r Contoh 1) Natakan ke dalam sstem koordinat Cartesius. a. 4, A b. 5, π 5π B c. C, 4 6 Jawab Dengan menggunakan persamaan (1.1): π π a. x 4 cos 4sin. Jadi, (, ) A. π 5 π 5 b. x 5cos 5sin Jadi, dalam sstem koordinat Cartesius B,. 5π 5π c. x cos sin. 6 6 Jadi, C,. Apabila x 0 maka persamaan (1.) dapat dinatakan sebagai: (1.) r x + θ arctan, x 0 x Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.), karena memberikan nilai θ ang berbeda, θ arctan akan x 0 θ π. Untuk menentukan nilai θ Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 6

7 ang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV. Apabila dipilih nilai θ ang lain, maka r x +. ) Natakan ke dalam sistem koordinat kutub: a. ( 4, 4) P b. Q ( 4,4) Penelesaian: Dari persamaan (1.), diperoleh: a. r ± 4 + ( 4) ± 4 4 π 7π θ arctan atau Selanjutna, karena letak titik P di kwadran IV, maka: 7π r 4 dengan θ, atau 4 π r 4 dengan θ. 4 7π Jadi, P 4, atau π P 4, 4 4. b. r ± ( 4) + 4 ± 4 Jadi, 4 π 7π θ arctan atau Selanjutna, karena letak titik Q di kwadran II, maka: π r 4 dengan θ, atau 4 7π r 4 dengan θ. 4 π Q 4, atau 7π Q 4, 4 4. ) Natakan persamaan r asin θ ke dalam sistem koordinat Cartesius. Jawab Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh: Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 7

8 r a( r sinθ ) Selanjutna, karena r x + dan r sin θ maka: x + a x + a 0, aitu persamaan lingkaran dengan pusat ( 0, a ) dan jari-jari a. 4) Natakan x ke dalam sstem koordinat kutub. Penelesaian: Dengan substitusi x r cosθ dan r sinθ maka diperoleh: r cos θ + 4r sin θ 16 r (1 + sin θ ) 16. Soal Latihan Untuk soal 1 8, natakan masing-masing dengan dua koordinat ang lain, satu dengan r > 0 dan ang lain dengan r < ( 6, π ). (, π 5). ( 5, π 4) 4. ( 5,7π 4) 5. (,5 ) π 6. ( 7, 5π 6) 7. ( 6, 7π ) 8. ( 4,6π 7) Untuk soal 9 16, natakan dalam sistem koordinat Cartesius. 9. ( 6, π ) 10. ( 4, π 8) 11. ( 5, π 4) 1. ( 6,7π 4) 1. (,5 ) π 14. ( 7, 5π 6) 15. ( 6, 7π ) 16. ( 4,7π 8) Untuk soal 17, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub. 17. (, ) 18. (,) 19. (, ) 0. (,1) 0, 11. (, ). (, 6 ) 1. ( ) Untuk soal 4 9, natakan masing-masing persamaan ke dalam sistem koordinat Cartesius. 4. r cosθ 5. r 1+ sinθ 6. 4 r 1 cosθ Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 8

9 7π 7. r 4 8. θ 9. r θ 4 Natakan persamaan pada soal 0 ke dalam sistem koordinat kutub. 0. x x. x 1. Tunjukkan bahwa jarak titik P ( r, θ ) dan Q ( R, ϕ) adalah: d r + R rr cos( ϕ θ ) 1. Sistem Koordinat dalam Ruang (R ) 1) Koordinat Cartesius Untuk menatakan posisi sebuah benda di dalam ruang, dibutuhkan suatu sistem koordinat ang memiliki pusat koordinat dan sumbu koordinat. Sistem koordinat ang paling umum adalah Koordinat Cartesius. Jika kita berbicara ruang dimensi, maka koordinat Kartesian dimensi memiliki pusat di O dan sumbu koordinat ang saling tegaklurus, aitu x dan. Selanjutna koordinat Kartesian dimensi dapat diperluas menjadi Kartesian dimensi ang berpusat di O dan memiliki sumbu x, dan z. Pada Gambar berikut menatakan titik P dapat dinatakan dalam x, dan z. OP adalah jarak titik P ke pusat O. Gambar 7 Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 9

10 Koordinat Cartesius dimensi (x,, z) pada Gambar 7 di atas dapat diubah menjadi Koordinat Tabung dan koordinat bola. Hubungan diantara ketigana, jika P(x,,z) adalah letak titik dalam koordinat Cartesius, maka P( r, θ, z) adalah letak dalam koordinat tabung dan P ( ρ, θ, φ) adalah titik dalam koordinat bola (Spherical Coordinate). Hubungan ketiga koordinat dapat digambarkan sebagai berikut: Z Z Z P( x,, z) P( r, θ, z) P( ρ, θ, φ) φ X θ X θ X Y Y Y Gambar 8 Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dihubungkan oleh persamaan: x r cos θ r cos θ z z x + tan θ x r Perhatikan contoh berikut: 1. (,,5) menatakan letak titik P pada ruang dalam koordinat Cartesius. Ubah dan Natakan letak titik P dalam koordinat tabung. Jawab Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 10

11 Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dinatakan dalam hubungan x r cos θ, r cos θ, z z, x r sehingga: r + 18 π tanθ 1 atau θ arctan1 4 Jadi koordinat tabung dari,,5) ( adalah π,,5 4 + dan tan θ. 6, π, menatakan letak titik Q pada ruang dalam koordinat tabung. 6 Ubah dan Natakan letak titik Q dalam koordinat Cartesius. Jawab Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dinatakan dalam hubungan x r cos θ, r cos θ, z z, x r sehingga: π x 6 cos 6. 6 π 1 6 sin 6. 6 Jadi koordinat Cartesius,, 6 + dan 6 π adalah (,, ) tan θ x x ρ x + + z π π. 8,, menatakan letak titik W dalam koordinat bola. Ubah dan natakan letak titik W dalam koordinat Cartesius dan koordinat tabung. Jawab Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 11

12 Koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunai hubungan sebagai berikut: r ρ sin φ atau r x + θ θ z ρ cosφ x ρ sin φ cosθ ρ sin φ sin θ ρ x + + z sehingga dari titik π π 8,, diketahui π ρ 8, θ dan φ π dan diperoleh π π 1 x 8 sin cos 8. π π 8 sin sin 8. 6 π 1 z 8cos 8 4 π r ρ sin atau r x π π Jadi koordinat Cartesius 8,, π π π tabung 8,, adalah 4,, (, 4,6) ( ) adalah (,6, 4) ), dan koordinat 4 menatakan letak titik M dalam koordinat Cartesius. Ubah dan natakan letak titik W dalam koordinat tabung dan koordinat bola. Jawab Koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunai hubungan sebagai berikut: Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 1

13 r ρ sin φ atau r x + θ θ z ρ cosφ x ρ sin φ cosθ ρ sin φ sin θ z ρ cos φ ρ x + + sehingga dari titik ( 4,4,6) dan diperoleh r tanθ 5π θ 6 ρ x x + x z ( 4) z diketahui x 4, 4 dan z 6 + (4 ( 4) z ρ cos φ 6 10cosφ φ arccos 6 10 ) + (4 ) Jadi koordinat tabung ( 4,4,6) ( 4,4,6) 5π 6 adalah 10,, ar cos (6) 10 5 adalah 8, π,6, dan koordinat bola , π, 8 menatakan letak titik T dalam koordinat tabung. Ubah dan natakan letak titik T dalam koordinat Cartesius dan koordinat bola. Jawab Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 1

14 Koordinat Cartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunai hubungan sebagai berikut: r ρ sin φ atau r x + θ θ z ρ cosφ x ρ sin φ cosθ ρ sin φ sin θ z ρ cos φ ρ x + + z 4 sehingga dari titik 4, π 4π, 8 diketahui r 4, θ, z 8 dan diperoleh 4π θ 4π x r cosθ x 4cos 4π r sin θ 4sin ρ ( ) + ( ) + ( 8) 4 5 z ρ cos φ cos φ φ Jadi koordinat Cartesius 5 arccos 5 4 4, π, 8 adalah (,, 8), dan koordinat bola 4 4, π, 8 adalah 4π 4 5,, qrc cos 5 5. Untuk latihan bagi pembaca ubah koordinat berikut dalam koordinat ang sesuai: Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 14

15 No 1. (,6, 4). (,,) Koordinat Cartesius Tabung Bola. (,,4) 4. (,, ) 4 π,, 4 π 8,, π...,, π , π, , π, , π, π π 8,, π π 4,, , π, π π 1,, 4 Di atas telah dibahas transformasi dari koordinat Cartesius ke koordinat tabung dan koordinat bola. 1.4 Sistem Koordinat Lainna Selain sistem koordinat di atas, terdapat beberapa sistem koordinat ang penggunaanna dalam ilmu hisab. Sistem koordinat tersebut adalah: 1. Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical Coordinate).. Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical Coordinate).. Koordinat Ekuator Geosentrik (Geocentric Equatorial Coordinate). 4. Koordinat Horison (Horizontal Coordinate). Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 15

16 Keempat sistem koordinat di atas termasuk ke dalam koordinat bola. Sebenarna masih ada sistem koordinat lainna, seperti Sistem Koordinat Ekuator Toposentrik (Topocentric Equatorial Coordinate). Namun tidak dibahas dalam tulisan ini. Sekilas, banakna sistem koordinat di atas bisa membuat rumit. Namun pembagian sistem koordinat di atas berasal dari benda langit manakah ang dijadikan pusat koordinat, apakah bidang datar sebagai referensi serta bagaimana cara mengukur posisi benda langit lainna. Penting pula untuk diketahui bahwa seluruh benda langit dapat dianggap seperti titik. Bisa pula dianggap seperti benda ang seluruhna terkonsentrasi di pusat benda tersebut. Jika kita memperoleh jarak bumibulan, maka ang dimaksud adalah jarak antara pusat bumi dengan pusat bulan. Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik dan Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik sebenarna identik. Yang membedakan keduana hanalah manakah ang menjadi pusat koordinat. Pada Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik, ang menjadi pusat koordinat adalah matahari (helio matahari). Sedangkan pada Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik, ang menjadi pusat koordinat adalah bumi (geo bumi). Karena itu keduana dapat digabungkan menjadi Sistem Koordinat Ekliptika. Pada Sistem Koordinat Ekliptika, ang menjadi bidang datar sebagai referensi adalah bidang orbit bumi mengitari matahari (heliosentrik) ang juga sama dengan bidang orbit matahari mengitari bumi (geosentrik). Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical Coordinate) Pada koordinat ini, matahari (sun) menjadi pusat koordinat. Benda langit lainna seperti bumi (earth) dan planet bergerak mengitari matahari. Bidang datar ang identik dengan bidang x adalah bidang ekliptika atu bidang bumi mengitari matahari. Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 16

17 Gambar 9 Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik 1. Pusat koordinat: Matahari (Sun).. Bidang datar referensi: Bidang orbit bumi mengitari matahari (bidang ekliptika) aitu bidang x.. Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE), didefinisikan sebagai sumbu x. 4. Koordinat: 5. r jarak (radius) benda langit ke matahari 6. l sudut bujur ekliptika (ecliptical longitude), dihitung dari VE berlawanan arah jarum jam 7. b sudut lintang ekliptika (ecliptical latitude), aitu sudut antara garis penghubung benda langit-matahari dengan bidang ekliptika. Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical Coordinate) Pada sistem koordinat ini, bumi menjadi pusat koordinat. Matahari dan planet-planet lainna nampak bergerak mengitari bumi. Bidang datar x adalah bidang ekliptika, sama seperti pada ekliptika heliosentrik. Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 17

18 Gambar 10 Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik 1. Pusat Koordinat: Bumi (Earth). Bidang datar referensi: Bidang Ekliptika (Bidang orbit bumi mengitari matahari, ang sama dengan bidang orbit matahari mengitari bumi) aitu bidang x.. Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE) ang didefinisikan sebagai sumbu x. 4. Koordinat: 5. Jarak benda langit ke bumi (seringkali diabaikan atau tidak perlu dihitung) 6. Lambda Bujur Ekliptika (Ecliptical Longitude) benda langit menurut bumi, dihitung dari VE. 7. Beta Lintang Ekliptika (Ecliptical Latitude) benda langit menurut bumi aitu sudut antara garis penghubung benda langit-bumi dengan bidang ekliptika Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 18

19 Ketika bumi bergerak mengitari matahari di bidang Ekliptika, bumi juga sekaligus berotasi terhadap sumbuna. Penting untuk diketahui, sumbu rotasi bumi tidak sejajar dengan sumbu bidang ekliptika. Atau dengan kata lain, bidang ekuator tidak sejajar dengan bidang ekliptika, tetapi membentuk sudut kemiringan (epsilon) sebesar kira-kira,5 derajat. Sudut kemiringan ini sebenarna tidak bernilai konstan sepanjang waktu. Nilaina semakin lama semakin mengecil. Gambar 11 Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik 1. Pusat koordinat: Bumi. Bidang datar referensi: Bidang ekuator, aitu bidang datar ang mengiris bumi menjadi dua bagian melewati garis khatulistiwa. Koordinat: 4. jarak benda langit ke bumi. 5. Alpha Right Ascension Sudut antara VE dengan proeksi benda langit pada bidang ekuator, dengan arah berlawanan jarum jam. Biasana Alpha bukan dinatakan dalam satuan derajat, tetapi jam (hour disingkat h). Satu putaran penuh 60 derajat 4 jam 4 h. Karena itu jika Alpha dinatakan dalam derajat, maka bagilah dengan 1 untuk memperoleh satuan derajat. Titik VE menunjukkan 0 h. Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 19

20 6. Delta Declination (Deklinasi) Sudut antara garis hubung benda langitbumi dengan bidang ekliptika.nilaina mulai dari -90 derajat (selatan) hingga 90 derajat (utara). Pada bidang ekuator, deklinasi 0 derajat. Seringkali, Alpha (right ascension) dinatakan dalam bentuk H (hour angle). Hubungan antara Alpha dengan H adalah H LST - Alpha. Disini, LST adalah Local Sidereal Time, ang sudah penulis bahas sebelumna pada tulisan tentang Macam-Macam Waktu Sistem Koordinat Horison Pada sistem koordinat ini, pusat koordinat adalah posisi pengamat (bujur dan lintang) ang terletak di permukaan bumi. Kadang-kadang, ketinggian pengamat dari permukaan bumi juga ikut diperhitungkan. Bidang datar ang menjadi referensi seperti bidang x adalah bidang horison (bidang datar di sekitar pengamat di permukaan bumi). Gambar 1 Sistem Koordinat Horison 1. Pusat koordinat: Pengamat di permukaan bumi. Bidang datar referensi: Bidang horison (Horizon plane) Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 0

21 . Koordinat: 4. Altitude/Elevation sudut ketinggian benda langit dari bidang horison. h 0 derajat berarti benda di bidang horison. h 90 derajat dan -90 derajat masing-masing menunjukkan posisi di titik zenith (tepat di atas kepala) dan nadir (tepat di bawah kaki). 5. A (Azimuth) Sudut antara arah Utara dengan proeksi benda langit ke bidang horison. Jarak benda langit ke pengamat dalam sistem koordinat ini seringkali diabaikan, karena telah dapat dihitung sebelumna dalam sistem koordinat ekliptika. Catatan penting: Dalam banak buku referensi, azimuth seringkali diukur dari arah selatan (South) ang memutar ke arah barat (West). Gambar 7 di atas juga menunjukkan bahwa azimuth diukur dari arah Selatan. Namun demikian, dalam pemahaman umum, orang biasana menjadikan arah Utara sebagai titik referensi. Karena itu dalam tulisan ini penulis menjadikan sudut azimuth diukur dari arah Utara. Untuk membedakanna, lambang untuk azimuth dari arah selatan dinatakan sebagai As, sedangkan azimuth dari arah utara dinatakan sebagai A saja. Hubungan antara As dan A adalah A As derajat. Jika As atau A negatif, tinggal tambahkan 60 derajat. Suatu sistem koordinat dengan sistem koordinat lainna dapat dihubungkan melalui transformasi koordinat. Misalna, dari algoritma untuk menghitung posisi bulan menurut sistem koordinat ekliptika geosentrik, kita dapat menentukan jarak bulan dari pusat bumi, sudut lambda dan beta. Selanjutna, sudut lambda dan beta ditransformasi untuk mendapat sudut alpha dan delta dalam sistem koordinat ekuator geosentrik. Dari alpha dan beta, serta memperhitungkan posisi pengamat (bujur dan lintang) dan waktu saat pengamatan/penghitungan, maka sudut ketinggian (altitude) dan azimuth bulan menurut sistem koordinat horison dapat diketahui dengan tepat. Rumus-rumus transformasi koordinat ang membutuhkan pengetahuan trigonometri Ucapan Terima Kasih Kepada : Dwi Purnomo 1