Bagian 2 Turunan Parsial
|
|
|
- Ari Hartono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi ang tergantung kepada nilai dan nila saja, tapi juga untuk ungsi-ungsi ang tergantung kepada nilai, nilai, dan nilai z. Tentu saja dalam bagian ini, kemampuan teknik dierensial untuk ungsi satu variabel ang telah anda dapatkan dalam Matematika Teknik sangat bermanaat. Pengetahuan pada Bagian ini diharapkan memberikan sedikit inormasi kepada Anda, bahwa teknik turunan parsial dapat digunakan untuk menelesaikan persoalan dalam bidang tiga dimensi. Sebagai contoh, bahwa volume kotak ang minimum atau maksimum dapat diketahui dengan menerapkan teknik turunan parsial Kompetensi ang diharapkan setelah Anda menelesaikan Bagian Turunan Parsial adalah Anda akan mampu melakukan proses dierensial pada ungsi dua variabel atau lebih dan menerapkanna pada persoalan minimum dan maksimum ungsi.. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Beberapa persamaan ang digunakan dalam matematika atau cabang ilmu lain sangat tergantung kepada dua variabel atau lebih. Sebagai contoh, persamaan garis lurus m + sangat tergantung kepada nilai m dan nilai., persamaan volume benda V p l t sangat tergantung pada panjang, lebar, dan tebal benda, atau persamaan nilai rata-rata ( n /n sangat tergantung pada nilai sampai n. Sehingga dapat dikatakan Y adalah ungsi dua variabel m dan V adalah ungsi tiga variabel p, l, dan t adalah ungsi n variabel,,,..., n Notasi ang digunakan untuk menatakan ungsi dua variabel atau lebih adalah sama seperti notasi untuk ungsi satu variabel. Persamaan z (,. mengandung arti z adalah ungsi ang tergantung kepada nilai dan nilai. Hal ang sama jika kita mempunai persamaan w (,, z. mengandung arti bahwa w adalah ungsi ang bergantung kepada nilai, nilai, dan nilai z. Matematika Teknik /Turunan Parsial 7
2 Graik ungsi dua variabel dapat digambarkan pada bidang atau pada sistem koordinat kartesius, sedangkan graik ungsi tiga variabel dapat digambarkan pada bidang z atau bidang dimensi Contoh. Buatlah sketsa graik ungsi Penelesaian: Sb. Sb. Contoh. Buatlah sketsa graik ungsi (, 0,5 Penelesaian: Sb. z (0,0, z--0,5 (,0,0 (0,,0 Sb. Sb. Contoh. Buatlah sketsa graik ungsi (, + 0,5 Matematika Teknik /Turunan Parsial 8
3 Penelesaian: Sb. z z +0,5 z k Sb. +0,5 k Sb. Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!!. Misalkan (, +. Tentukan (,- dan (a,a. Misalkan (, +. Tentukan (+, - dan (,. Buatlah sketsa graik ungsi (,. Buatlah sketsa graik ungsi 5. Buatlah sketsa graik ungsi + (, (, 9. Turunan Parsial Jika adalah ungsi dua atau lebih variabel bebas, dan satu dari variabel tersebut merupakan nilai ang tetap, maka turunan terhadap variabel tetap tersebut dinamakan turunan parsial ungsi. Misalkan merupakan ungsi dari nilai dan nilai. Jika kita pandang nilai sebagai konstanta dan nilai sebagai variabel, maka (, 0 adalah ungsi ang tergantung kepada nilai saja. Sehingga nilai turunan dinotasikan 0,. ( 0 Dan dinamakan turunan parsial ungsi terhadap pada titik ( 0, 0. Interpretasi geometrik dari turunan parsial ini dapat kita lihat pada Gambar. berikut. Matematika Teknik /Turunan Parsial 9
4 Sb. z Sb. P z(, 0 C Slope ( 0, 0 ( 0, 0 0 Sb. Gambar. Misalkan P adalah titik potong antara permukaan z ((, dan bidang 0. Jika adalah konstanta pada 0 dan merupakan nilai ang bervariasi, maka titik P akan bergerak sepanjang kurva C ang merupakan perpotongan permukaan dengan bidang vertikal 0. sehingga turunan parsial ( 0, 0 dapat diinterpretasikan sebagai kemiringan garis singgung kurva C pada titik ( 0, 0. Nilai ( 0, 0 ang dihasilkan merupakan nilai pada sembarang titik (,. Untuk menghasilkan (, kita melakukan proses turunan pada terhadap nilai dengan menganggap nilai sebagai konstanta. Sebalikna, untuk menghasilkan (, kita melakukan proses turunan terhadap nilai dengan menganggap nilai sebagai konstanta. Contoh. Carilah turunan parsial ungsi titik (, (, + + terhadap dan pada Penelesaian: Anggaplah sebagai konstanta, maka akan didapatkan turunan ungsi terhadap (, (, 6( ( + 8 Anggaplah sebagai konstanta, maka akan didapatkan turunan ungsi terhadap (, +... (, ( ( + 0 Matematika Teknik /Turunan Parsial 0
5 Penulisan untuk menatakan turunan parsial ungsi terhadap dan penulisan untuk menatakan turunan parsial ungsi terhadap kadangkala membuat bingung. Untuk itu penulisan simbol turunan parsial dilakukan seperti di bawah ini., (, ( z dan z. Contoh.5 Carilah turunan parsial ungsi z sin ( terhadap dan terhadap Penelesaian Turunan parsial ungsi z terhadap adalah [ ] [ ] sin(. (. sin( sin( z + (.cos( sin( z +.cos( sin( z + Dengan cara ang sama, turunan parsial ungsi z terhadap adalah cos( 5 z Seperti pada penelesaian turunan biasa, turunan parsial juga mengenal turunan tingkat tinggi, aitu turunan parsial ang dilakukan beberapa kali. Untuk turunan tingkat dua dinotasikan sebagai.5.6 Atau secara umum dapat dinatakan n n n n.7 Contoh.6 Carilah turunan kedua ungsi (, + Penelesaian: Turunan pertama ungsi terhadap dan adalah + + Matematika Teknik /Turunan Parsial
6 Sehingga ( + ( + ( + ( 6 ( + ( 6 + ( + ( 6 + Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!!. Tentukan. Tentukan z dan z dan z / 5 untuk ungsi z ln( + untuk ungsi ( z e sin z 5. Tentukan,,, dan untuk ungsi (, +. Tentukan,,, dan untuk ungsi (, e cos 5. Tentukan,,, dan untuk ungsi (,. Arah Turunan dan Gradien Fungsi Dua Variabel Turunan parsial (, dan (, mempresentasikan perubahan kecepatan ungsi (, pada arah paralel dengan sumbu koordinat dan. Sebagai contoh, jika kita berdiri ( 0, 0,z 0 pada bidang lengkung dan kemudian berjalan pada arah sembarang, maka permukaan z (, akan mempunai kemiringan ang berbeda dari titik ( 0, 0,z 0 pada permukaan tersebut. Deinisi: Jika (, dapat diturunkan pada ( 0, 0, dan jika u (u,u adalah vektor unit, maka arah turunan ungsi (, pada titik ( 0, 0 dalam arah vektor u dideinisikan D u 0, 0 ( 0, 0 u + ( 0, 0 ( u.8 Contoh.7 Tentukan arah turunan ungsi (, di titik (, pada arah vektor a i + j Matematika Teknik /Turunan Parsial
7 Penelesaian Vektor a bukan vektor unit, sehingga vektor unit a adalah a u (i + j i + j atau u /5 dan u /5 a Turunan parsial ungsi terhadap dan adalah (, 6 (, (, (, Jadi arah turunan ungsi adalah D u (, (, u + (, u u + u Persamaan arah turunan Du (, (, u + (, u dapat dinatakan dalam bentuk dot product ang ditulis D ( (, i + (, j(. u i u j (, +.9 u Vektor kedua dari dot product tersebut dinamakan gradien dari ungsi (, dan diberi simbol. Deinisi: Jika adalah ungsi ang tergantung pada dan, maka gradien dari ungsi dideinisikan (, (,i + (, j.0 Contoh.8 Tentukan gradien ungsi soal.7 Penelesaian: (, (,i + (, j 6i + j Sehingga gradien pada titik (, adalah (, 6((i + ( j i + j Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!! Tentukan arah turunan ungsi di titik P pada arah vektor a. (, P(, a i j. (, ln P(, a - i + j. (, + P(-,0 a i + j Tentukan D u ungsi pada titik P Matematika Teknik /Turunan Parsial
8 . (, ( + / P(, u / i + / j 5. (, ln (+ + P(0,0 u -/ 0i - / 0j. Arah Turunan dan Gradien Fungsi Tiga Variabel Materi pada bagian sebelumna akan kita perluas untuk ungsi tiga variabel. Perbedaan mendasar antara ungsi dua variabel dengan ungsi tiga variabel adalah bahwa graik ungsi z (, mempresentasikan sebuah permukaan pada bidang tiga dimensi, sedangkan graik ungsi w (,,z tidak mempunai interpretasi apapun. Teori dan deinisi untuk ungsi tiga variabel dikembangkan dari prinsip dasar ungsi dua variabel. Deinisi: Sebuah ungsi tiga variabel dapat diturunkan pada ( 0, 0,z 0 jika turunan parsial ( 0, 0,z 0, ( 0, 0,z 0, dan z ( 0, 0,z 0 ada, dan Δ ( 0 + Δ, 0 + Δ,z 0 + Δz ( 0, 0,z 0. Persamaan tersebut jika ditulis dalam bentuk lain menjadi Δ ( 0, 0,z 0 Δ + ( 0, 0,z 0 Δ + ( 0, 0,z 0 Δz + ε Δ + ε Δ + ε Δz. ε, ε, ε adalah ungsi dari Δ, Δ, Δz. Arah turunan dari ungsi tiga variabel pada titik ( 0, 0,z 0 ang searah dengan vektor u(u,u,u dideinisikan sebagai D u 0, 0, z0 ( 0, 0, z0 u + ( 0, 0, z0 u + z ( 0, 0, z0 ( u. Sedangkan gradien dari ungsi tiga variabel dideinisikan sebagai (,,z (,,zi + (,,zj + z (,,zk. Contoh.9 Tentukan arah turunan ungsi (,,z z + z pada titik P(,-,0 ang sesuai arah vektor a i + j k Penelesaian: (,,z z + z Jika ungsi diturunak secara parsial terhadap,, dan z akan didapat (,,z (,,z z z (,,z z + (,,z i + ( z j + ( z + k (,-,0 -i + j + k Unit vektor dari vektor a adalah a u (i + j k i + a 9 j k Matematika Teknik /Turunan Parsial
9 Sehingga arah turunan ungsi adalah D u (,,0 (,,0. u + + Latihan Soal. Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!! Tentukan gradien ungsi pada titik P dan gunakan untuk menghitung D u di P. 5 (,, z z P(,-, u /i + /j /k. (,, z e + z P(0,, u /7i /7j + 6/7k. (,, z ln( + + z P(-,, u -/i - /j /k Tentukan arah turunan pada titik P ang sesuai ara vektor a. (,, z z + z P(,-, a i j + k (,, z + z P(-,, a i j k z (,, z P(,0,- a - 6i + j - k z +.5 Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Dua Variabel Dalam buku Matematika Teknik telah dikemukan bagaimana menentukan nilai minimum dan maksimum dari ungsi satu variabel. Konsep ang sama dapat kita terapkan untuk mendapatkan nilai minimum dan maksimum ungsi dua variabel. Karena ungsi dua variabel merupakan permasalahan tiga dimensi, maka nilai minimum dan maksimum ungsi merupakan permasalahan tiga dimensi juga. Untuk mengerti konsep nilai minimum dan maksimum ungsi dua variabel ini, sebaikna anda memahami uraian berikut. Cobalah anda baangkan bahwa saat ini anda sedang berdiri di atas perbukitan lalu anda melihat sekelilingna. Lingkungan sekeliling ang anda lihat akan berupa puncak-puncak gunung, puncak-puncak bukit, lembah-lembah, ngarai-ngarai, dan lain-lain. Hal itu semua menandakan bahwa ada bagian tertinggi dan ada bagian terendah dari permukaan ang anda lihat. Jika seandaikna permukaan bumi ang berupa gunung, bukit, dan lembah tersebut kita misalkan sebagai ungsi z (,, maka puncak gunung tertinggi merupakan nilai absolut maksimum dan lembah terdalam merupakan nilai absolut minimum ungsi z (,. Sebuah ungsi dua variabel dikatakan mempunai relati maksimum pada titik ( 0, 0 jika ada sebuah lingkaran ang berpusat di ( 0, 0 sehingga berlaku ( 0, 0 > (, untuk semua nilai (, dalam domain, dan ungsi dikatakan mempunai absolut maksimum di ( 0, 0 jika ( 0, 0 > (, untuk semua nilai (, dalam domain. Matematika Teknik /Turunan Parsial 5
10 Sebuah ungsi dua variabel dikatakan mempunai relati minimum pada titik ( 0, 0 jika ada sebuah lingkaran ang berpusat di ( 0, 0 sehingga berlaku ( 0, 0 < (, untuk semua nilai (, dalam domain, dan ungsi dikatakan mempunai absolut minimum di ( 0, 0 jika ( 0, 0 < (, untuk semua nilai (, dalam domain. Teorema (Uji parsial satu Jika ungsi mempunai sebuah relati ekstrim pada titik ( 0, 0, dan jika turunan parsial pertamana ada pada titik tersebut, maka ( 0, 0 0 dan ( 0, Teorema (Uji parsial kedua Jika ungsi mempunai turunan parsial kedua ang kontinu dalam lingkaran ang berpusat pada titik kritis ( 0, 0, dan misalkan D ( 0, 0. ( 0, 0 ( 0, 0.6 a. Jika D > 0 dan ( 0, 0 > 0, maka ungsi mempunai relati minimum di ( 0, 0 b. Jika D > 0 dan ( 0, 0 < 0, maka ungsi mempunai relati maksimum di ( 0, 0 c. Jika D < 0, maka ungsi mempunai saddle point di ( 0, 0 d. Jika D 0, maka tidak ada kesimpulan untuk digambarkan. Contoh.0 Cari lokasi relati ekstrim dan saddle point ungsi (, + 8 Penelesaian: Turunan parsial ungsi terhadap dan adalah (, 6 (, + 8 Titik kritis didapat dengan cara membuat nilai turunan sama dengan nol, sehingga didapat persamaan Penelesaian persamaan di atas akan mendapatkan dan 6 sehingga titik (,6 merupakan titik kritis ungsi (,. Untuk menentukan relati ekstrim kita perlu menurunkan sekali lagi ungsi (, (, 6 (, (, Pada titik (,6 akan didapat D (,6. (,6 (,6 6. ( 8... > 0 Karena D > 0 dan (, 6 > 0 maka ungsi tersebut mempunai relati minimum pada titik (,6 Matematika Teknik /Turunan Parsial 6
11 Latihan Soal.5 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!! Cari relati minimum, relati maksimum, dan saddle point ungsi berikut. (, + +. (, +. (, +. (, + e 5. (, e sin.6 Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier Dalam subbab ini anda dikenalkan dengan istilah konstren (contraint. Permasalahan lain dalam ungsi dua variabel adalah bagaimana menentukan nilai maksimum atau minimum ungsi (, akibat konstren g(, 0, sedangkan permasalahan ungsi tiga variabel adalah bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum ungsi (,,z akibat konstren g(,,z 0. Satu cara untuk mengatasi permasalahan tersebut adalah menelesaikan persamaan konstren dan mengsubstitusikan hasilna dalam ungsi. Fungsi hasil substitusi tersebut dapat berupa ungsi dua atau tiga variabel, ang selanjutna dapat dimaksimalkan atau diminimalkan dengan cara menentukan titik kritisna. Namun demikian, jika persamaan konstren sangat rumit untuk diselesaikan dalam satu variabel, maka kita akan memerlukan teknik lain. Pada bagian ini, kita akan mempelajari teknik lain tersebut, ang dikenal dengan metode Pengali Lagrange (Lagrange Multiplier. Misalkan kita mempunai problem bagaimana meminimalkan atau memaksimalkan ungsi (, akibat konstren g(, 0. Graik dari g(, biasana merupakan beberapa kurva C pada bidang. g(,0 ( 0, 0 C Gambar. Matematika Teknik /Turunan Parsial 7
12 Secara geometrik, kita akan menentukan nilai maksimum atau nilai minimum ungsi (, di atas kurva konstren C. Jika ( 0, 0 adalah titik pada kurva konstren C, maka kita dapat mengatakan bahwa (, mempunai sebuah constrained relative maimum di titik ( 0, 0 jika ada sebuah lingkaran ang berpusat di ( 0, 0, sehingga berlaku ( 0, 0 > (,.7 untuk sembarang titik (, pada C dalam lingkaran tersebut. Kita misalkan ungsi dan dan ungsi g adalah ungsi dua variabel dan turunan parsial pertamana adalah kontinu pada selang dimana mempunai kurva konstren g(,0 dan diasumsikan bahwa g 0 pada sembarang titik di kurva tersebut. Jika ungsi mempunai constrained relative maimum, dan nilai maksimum tersebut berada pada titik ( 0, 0 dimana gradien vektor ( 0, 0 dan g( 0, 0 adalah paralel, maka terdapat sebuah bilangan λ, ang disebut Lagrange multiplier (pengali Lagrange sehingga berlaku ( 0, 0 λ g( 0, 0.8 Contoh. Pada titik koordinat berapa pada lingkaran + sebuah ungsi mempunai nilai maksimum? Penelesaian: Kita mempunai ungsi (, akibat konstren g(, + 0 i + j dan g i + j Dari persamaan gradien tersebut dapat dikatakan bahwa g 0 pada sembarang titik di lingkaran +, dengan kata lain dapat dinatakan bahwa ada sebuah constrained relative etremum λ g atau i + j λ (i + j Persamaan tersebut ekivalen dengan persamaan λ dan λ atau dapat ditulis λ dan λ. Jika persamaan ini disubstitusikan, akan didapat atau. Substitusikan persamaan pada + akan didapat 0 atau dan. Jika kedua nilai tersebut kita substitusikan pada persamaan, kita akan mendapatkan ±. Sehingga terdapat empat koordinat ang kemungkinan terdapat nilai maksimumna, aitu:,,,, Dari empat koordinat tersebut, ang mempunai nilai maksimum hana koordinat dan Matematika Teknik /Turunan Parsial 8
13 , dan, Latihan Soal.6 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatna untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir ang benar. Selamat berlatih...!!! Gunakan Lagrange multiplier untuk menentukan nilai maksimum atau minimum ungsi akibat konstren ang diberikan, dan tentukan koordinat titik maksimum atau minimumna.. (, (, + 5. (, + +. (, (, + z + + z Matematika Teknik /Turunan Parsial 9
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial
Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II 016/017 4 Maret 017 Kulia ang Lalu 1.1 Fungsi dua atau lebi peuba 1. Turunan Parsial 1.3 Limit dan Kekontinuan 1.4 Turunan ungsi dua peuba 1.5 Turunan berara
Bagian 4 Terapan Differensial
Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/ Alokasi Waktu: jam Pelajaran (3 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit ungsi dan turunan
BAB III EKSTRIM FUNGSI DUA PEUBAH MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Pengantar
BAB III EKSTRIM FUNGSI DUA PEUBAH 3.1. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Pengantar Konsep Ekstrim dan relative (Maksimum-Minimum) ungsi dua peubah real dirancang dengan cara ang sama sepertiekstrim satu peubah
BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI
BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan
Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
URUNAN PARSIAL. Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: atau f x (x,y), didefinisikan sebagai
6 URUNAN PARSIAL Deinisi Jika ngsi da ariable maka: i Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai ii Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai Tentkan trnan
5.1 Menggambar grafik fungsi
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1
4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan dalam perhitungan turunan ungsi; menggunakan turunan untuk
5. Aplikasi Turunan 1
5. Aplikasi Turunan 5. Menggambar graik ungsi Inormasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi 5.: Asimtot ungsi adalah garis lurus yang didekati oleh graik ungsi.
MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER
MATEMATIKA BISNIS BAB FUNGSI LINIER Hikmah Agustin, S.P.,MM DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainna. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel Variabel
Hendra Gunawan. 21 Maret 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II 2013/2014 21 Maret 2014 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Bagian 1 Sistem Bilangan
Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan
Bagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis ggung
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6
Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa
MATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari-
MATEMATIKA 3 Turunan Parsial -Irma Wulandari- Pengertian Turunan Parsial T = (,) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, ) Rata-rata
PENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
BAB I PENDAHULUAN. dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini. kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis.
BAB I PENDAHULUAN. LATAR BELAKANG Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini disebabkan karena, matematika merupakan
BAB XVII. PROGRAM LINEAR
BAB XVII. PROGRAM LINEAR Bukti : + a + b a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
Matematika Dasar NILAI EKSTRIM
NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien
Darpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Bab 6 Sumber: Let s Learn about Korea, 00 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi komposisi dalam pemecahan masalah;
yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
SOAL-SOAL LATIHAN KALKULUS I SISTEM BILANGAN REAL, PERTAKSAMAAN DAN OPERASI GEOMETRIS KURVA SEDERHANA
SOAL-SOAL LATIHAN KALKULUS I BAB I. SISTEM BILANGAN REAL PERTAKSAMAAN DAN OPERASI GEOMETRIS KURVA SEDERHANA. Tentukan bilangan rasional ang mempunai penajian desimal 5777777.... Tentukan himpunan penelesaian
(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,
PROGRAM LINEAR. Bukti : ax + by = a.b. Pengertian Program Linear : Gunakan persamaan 2 di atas :
PROGRAM LINEAR Bukti : + = a + b = a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan
BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
BAB II FUNGSI ANALITIK
BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan
A. 3 x 3 + 2x + C B. 2x 3 + 2x + C. C. 2 x 3 + 2x + C. D. 3 x 3 + 2x + C. E. 3 x 3 + 2x 2 + C A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 E. 160
7. UN-SMA-- Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 7 m. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tanah tersebut m m m m m 7. UN-SMA-- Pak Musa mempunyai kebun
BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU
BAB PERSAAA DIFERESIAL ORDER SATU PEDAHULUA Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika ang banak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik Persamaan
A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a ) (3a ) 3a 0 adalah, maka akar lainna adalah. Nilai m ang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m ) (m ) ( m ) 0 mempunai dua
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Pada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi terhadap y.
PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah Akan dibahas bentukbentuk integral lipat dalam koordinat kartesius koordinat kutub
PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.a.id Pada materi sebelumnya telah dijelaskan bahwa Teorema Nilai Rata-Rata (TNR dierensial) memegang peranan
AB = AB = ( ) 2 + ( ) 2
Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA HUBUNGAN ANTAR GARIS Titik Tengah Sebuah Segmen Garis : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.10 Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus dan
Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus
Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak
3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
CATATAN KULIAH Pertemuan VIII: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Satu Variabel)
CATATAN KULIAH Pertemuan VIII: Optimasi Tanpa Kendala dan Aplikasinya (Fungsi dengan Satu Variabel) A. Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem Ekuilibrium Tujuan vs. Ekuilibrium Non-Tujuan:. Ekuilibrium Non-Tujuan:
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non linier Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model
Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.
Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f
5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1
5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan
Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan
Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta
PERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat
TEOREMA UJI TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
TEOREMA UJI TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id UJI TURUNAN I-ekstrim relati Andaikan kontinu pada selang (a,b), yang memuat titik kritis c : (i)
Kalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Rencana Pembelajaran
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga
Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Bab 2. Penggambaran Grafik Canggih
Bab Penggambaran Graik Canggih 1. Graik Fungsi Naik/Turun Syarat graik ungsi naik pada sub interval bila pada sub interval tersebut y' Syarat graik ungsi turun pada sub interval bila pada sub interval
4.1 Konsep Turunan. lim Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah :
4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adalah : m PQ c c Q -c Jika c, maka tali busur PQ akan berubah
Persamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Pengantar Kalkulus. Pertemuan - 1
Mata Kuliah Kode SKS : Kalkulus : CIV-101 : 3 SKS Pengantar Kalkulus Pertemuan - 1 Kemampuan Akhir ang Diharapkan : Mahasiswa mampu menjelaskan sistem bilangan real Mahasiswa mampu menelesaikan pertaksamaan
B. Pengertian skalar dan vektor Dalam mempelajari dasar-dasar fisika, terdapat beberapa macam kuantitas kelompok besaran yaitu Vektor dan Skalar.
ANALISIS VEKTOR A. Deskripsi Materi ini akan membahas tentang pengertian, sifat, operasi dan manipulasi besaran fisik scalar dan vector. Pada pembahasan materi medan elektromagnetik berikutna akan melibatkan
Turunan Fungsi dan Aplikasinya
Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T.
TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T. DEFINISI TURUNAN Turunan dari ( terhadap dideinisikan dengan: d d ( lim h 0 ( h-( h RUMUS DASAR TURUNAN n n n k k 0 k u nu u n n ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( ( n n n c RUMUS JUMLAH
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu
Hendra Gunawan. 4 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
MAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur
BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN
Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,
Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pertemuan 9. Contoh. Gambar. 14-Feb-17. Pada gambar di atas P(x 1. ,y 1. ) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan
1-eb-17 ungsi Dua Peubah atau Lebih Pertemuan 9 Turunan Parsial ungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinatakan dalam bentuk eksplisit maka
BAB 1. FUNGSI DUA PEUBAH
BAB. FUNGSI DUA PEUBAH. PENDAHUUAN Pada baian ini akan dibahas perluasan konsep pada unsi satu peubah ke unsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini anda seharusna dapat: - Menentukan domain
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa
Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar
Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah
3. Gabungan Fungsi Linier
3. Gabungan Fungsi Linier Sudaratno Sudirham Fungsi-fungsi linier banak digunakan untuk membuat model dari perubahanperubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur,
TURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi
TURUNAN FUNGSI. Turunan Fungsi Turunan fungsi f disembarang titik dilambangkan dengan f () dengan definisi f ( ) f ( ) f (). Proses mencari f dari f disebut penurunan; dikatakan bawa f diturunkan untuk
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Matematika Teknik 1, Bab 3 BAB III LIMIT. (Pertemuan ke 4)
BAB III LIMIT (Pertemuan ke 4) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang limit, antara lain mengenai pengertian limit secara intuisi/tak formal, pengertian persis tentang limit, pengkajian
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat
JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat La Arapu (Lektor pada Program Pendidikan Matematika FKIP Universitas Haluoleo)
panjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d
INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi
FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I
UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS I Senin, 9 April 001 Waktu :,5 jam 1. Tentukan dy dx jika (a) y 5x (x + 1) (b) y cos x.. Dengan menggunakan de nisi turunan, tentukan f 0 (x) untuk fungsi f berikut f (x)
BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1
BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan
Open Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
2 Akar Persamaan NonLinear
2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan
TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T.
TURUNAN FUNGSI IKA ARFIANI, S.T. DEFINISI TURUNAN Turunan dari ( terhadap dideinisikan dengan: d d ' ' ( lim h 0 ( h-( h RUMUS DASAR TURUNAN ' n n n k k ' 0 k ' u' nu u n n '( ( '( ( '( ( '( ( 0 '( ( n
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR
DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat
Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2
Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat
GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1
GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT sofyan mahfudy-iain Mataram 1 Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan
Geometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Hendra Gunawan. 28 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semeser II, 013/014 8 Mare 014 Kuliah ang Lalu 1.1 Fungsi dua aau lebih peubah 1. Turunan Parsial 1.3 Limi dan Kekoninuan 1.4 Turunan ungsi dua peubah 1.5 Turunan berarah
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
(1) Angka Froude (F R ) = 1 (2.37)
Tujuan Pembelajaran Umum Setelah membaa dan mempelajari modul ini mahasiswa memahami kriteria dan penerapan konsep aliran kritis pada aliran saluran terbuka. Tujuan Pembelajaran Khusus Setelah mempelajari
AFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... 2 PEMBAHASAN... 19
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii SOAL - SOAL... UTS Genap 009/00... UTS Ganjil 009/00... UTS Genap 008/009... 5 UTS Pendek 008/009... 6 UTS 007/008... 8 UTS 006/007... 9 UTS 005/006...