Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks

Transkripsi

1 Kode Mata Kuliah : TE 318 SKS : 3 Matematika Teknik I Prasarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta dapat menerapkan metode penelesaianna Pokok Bahasan : PD orde satu, PD separable, PD eksak, PD linier homogen dan non-homogen, sistem persamaan diferensial. Integral garis riil, teorema Green, integral permukaan, teorema Stokes, teorema Gauss, integral garis kompleks, deret Laurent, metode integral residu. Kepustakaan : 1. Krezig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 8 th Edition, John Wile & Sons Inc., Pipes,L.A, Applied Mathematic for Engineer and Phsicis, McGraw-Hill, /10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 1

2 Matematika Teknik I 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT.

3 Persamaan Diferensial Biasa dan Ordena Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatu persamaan ang melibatkan turunan pertama atau lebih dari fungsi sembarang terhadap variabel x. Contoh : cos x x + e x (x + ) ' d dx Orde suatu persamaan diferensial ditentukan dari turunan tertinggi ang terdapat dalam persamaan tersebut. 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 3

4 Istilah biasa membedakan dengan persamaan diferensial parsial Contoh : u u c t x u u c t x u u + 0 x u x u x u + + u + f ( x, ) u z Persamaan Persamaan Persamaan 0 Gelombang Aliran Panas Dimensi Dimensi Laplace Dimensi Persamaan Poisson Satu 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 4 Satu Satu Dimensi Persamaan Laplace Dimensi Dua Tiga

5 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 5

6 Konsep Penelesaian Suatu fungsi g(x) dikatakan suatu penelesaian persamaan diferensial orde pertama ang diberikan pada interval a<x<b, jika g(x) didefinisikan dan dapat dideferensiasikan seluruhna pada selang tersebut sehingga persamaan tersebut menjadi suatu identitas,jika dan masing-masing digantikan dengan g dan g Contoh : Buktikan bahwa fungsi g(x) x merupakan penelesaian persamaan diferensial orde pertama x g x Sekarang subtitusikan g dan g ke persamaan diferensial x(x) x (terbukti) 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 6

7 Penelesaian Implisit Kadang-kadang suatu penelesaian persamaan diferensial muncul sebagai fungsi implisit, aitu secara implisit diberikan dalam bentuk G(x,) 0 Contoh Fungsi terhadap x secara implisit diberikan oleh : x + 1 0merupakan penelesaian implisit dari persamaan diferensial -x pada selang -1 < x < 1 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 7

8 Penelesaian Umum dan Penelesaian Khusus Contoh : cos x Dengan mengintegralkan maka didapat penelesaianna : Bila c 0 sin x + c (c konstanta sembarang) maka penelesaianna adalah sin x Bila c 1,5 maka penelesaianna adalah sin x + 1,5 dan sebagaina Bila c belum diketahui/ditentukan disebut Penelesaian Umum Bila c sudah diketahui/ditentukan disebut Penelesaian Khusus 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 8

9 Suatu persamaan diferensial orde pertama dapat mempunai lebih dari satu penelesaian Penelesaian cos x sin x + c 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 9

10 Penelesaian Singular Dalam beberapa kasus terdapat penelesaian lain dari persamaan ang diberikan oleh penelesaian tersebut ternata tidak dapat diperoleh dengan memberikan nilai tertentu pada sembarang konstanta dari penelesaian umum, penelesaian ang demikian disebut penelesaian singular dari persamaan tersebut. Contoh : x + 0 mempunai penelesaian umum cx - c 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 10

11 Penelesaian singular Setiap penelesaian khusus menggambarkan suatu garis singgung pada parabola ang digambarkan oleh penelesaian singular 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 11

12 Persamaan Diferensial Terpisah Beberapa persamaan diferensial dapat dirubah ke dalam bentuk : d g() f(x) ' dx g()d f(x)dx Persaman ini disebut persamaan diferensial terpisah Dengan mengintegralkan maka didapat g ( ) d f ( x) dx + c 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 1

13 Contoh: Selesaikan Penelesaian d dx Dengan persamaan ' x : x integrasi ln x diferensial d didapat + xdx : c e x + c Ae x A e c 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 13

14 Persamaan Diferensial Eksak Suatu persamaan diferensial orde pertama berbentuk : M(x,)dx + N(x,)d 0 Dikatakan eksak jika ruas kiri persamaan tersebut merupakan diferensial total atau eksak du u x dari suatu fungsi u(x,) dx + u d 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 14

15 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 15 d u dx x u du + Sarat Eksak x N M eksak Sarat x u x N x u M N u M x u

16 Contoh : a. dx + xd 0 b. (4x + 3 ) dx + xd 0 Apakah eksak? a. M N x Karena M N x, maka persamaan tersebut eksak b. M 4x + 3, N x M 6 M Karena N x, N x maka persamaan tersebut tidak eksak 09/10/007 Ir. I Noman Setiawan, MT. 16