Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai limit fungsi, kekontinuan fungsi, derivatif fungsi dengan satu peubah. Secara umum pengertian ini disajikan dan terangkum dalam Kalkulus I dan II ang lazim disebut Matematika Dasar. Setelah mempelajari modul ini, para pengguna modul ini diharapkan mampu memahami pengertian-pengertian dan sifat-sifat ang berkaitan dengan fungsi dua peubah atau lebih, antara lain mengenai kekontinuan dan derivatif. Secara lebih terperinci, setelah mempelajari modul ini diharapkan : a. mampu menjelaskan pengertian limit dan kekontinuan fungsi peubah banak; b. dapat menjelaskan pengertian derivatif parsial; c. terampil menghitung limit fungsi peubah banak; d. terampil menentukan derivatif fungsi peubah banak.

2 1. Kalkulus III P Kegiatan Belajar 1 Fungsi Peubah Banak ada kegiatan belajar ini dibahas fungsi dari R ke R beserta sifat-sifat ang berlaku pada fungsi tersebut. Sebagaimana diketahui R merupakan ruang produk (product space) antara ruang R dengan dirina a, b dengan sendiri, ang merupakan himpunan semua elemen berbentuk a, b R. Diambil ruang bagian D R dan didefinisikan fungsi f, f : D R dengan rumus f f ( x,, ( x, D, sehingga nilai fungsi f bergantung kepada nilai x dan ang diberikan, fungsi f tersebut dikenal sebagai fungsi dengan peubah dua, atau secara umum disebut fungsi peubah banak, dalam hal ini peubahna disimbolisasi dengan x dan ang masingmasing merupakan peubah real. Selanjutna dibahas pula fungsi dari R ke R beserta berbagai sifat ang berlaku pada fungsi tersebut. LIMIT DAN KEKONTINUAN Pada bagian ini dibahas pengertian limit fungsi, namun sebelumna didefinisikan terlebih dahulu pengertian jarak dua titik dan persekitaran (neighborhood) suatu titik pada R (elemen ruang R juga biasa disebut titik), selanjutna pengertian ini dapat dikembangkan untuk R., x, dalam R didefinisikan Untuk sebarang dua titik ( x ) dan 1 1 pengertian jarak kedua titik tersebut, disimbolkan dengan d, sebagai 1 1 d x x + (1.1) Selanjutna berdasarkan pengertian jarak tersebut, untuk sebarang titik x, dalam R didefinisikan pengertian persekitaran (neighborhood) ( ) titik ( x, ) dengan jari-jari δ, disimbolkan dengan N ( x, ) suatu himpunan bagian dalam R dengan (, ) (, ) δ { δ } N x x R x x + < sebagai δ (1.)

3 MATA410/MODUL 1 1. Definisi 1.1 Fungsi f, f : R R dikatakan mempunai nilai limit untuk ( x, ( x, ), dengan ( x, ) R jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0, sehingga untuk setiap ( x, N ( x, ) berlaku (, ) δ f x A < ε dan biasa ditulis sebagai lim f ( x, A (1.) ( x, ( x, ) D Jika fungsi dimaksud pada Definisi 1.1 terdefinisi pada daerah (region) R x, tersebut di atas harus merupakan titik limit maka titik daerah (region) D, aitu untuk setiap δ > 0 berlaku ( Nδ [ x0, 0 ] \ { x0, 0} ) D. Dengan demikian, ( 0, 0 ) ( x ) C 0, 0 D Contoh 1.1 : x D atau, dengan C D merupakan batas (boundar dari daerah D. x Buktikan lim 0. ( x, ) ( 0,0 ) x + Bukti : Pada contoh ini fungsi f, f ( x, x x + terdefinisi pada kecuali untuk ( x, ) ( 0,0). Dengan demikian, mudah diperlihatkan bahwa titik ( 0,0 ), merupakan titik limit domain fungsi f. Berdasarkan Definisi 1.1 untuk sebarang ε > 0 diberikan harus dibuktikan adana δ > 0 (bergantung pada ε ) sehingga untuk setiap (, ) x, 1 R x + < δ berlaku x x + < ε

4 1.4 Kalkulus III Karena berarti + dan x ( x ), ( x ) x x x , x x x + x + x x + ( x + ) 1 1 ( x + ) x + ( x + ) 1 x + + ( x ) 1 Dengan demikian, apabila diambil δ < ε, didapat f ( x, x 1 x + x + < δ < ε Jadi, terbukti bahwa: x lim 0 ( x, ( 0,0) x + Contoh 1. : x Tentukan nilai limit lim jika ada. ( x, ) ( 0,0 ) x + Penelesaian : Ditinjau nilai limit sepanjang sumbu x, 0, untuk fungsi f dengan df du + dv u v u u v v dx + d + dx + d u v u v u v + dx d u v + + u v Dan nilai limit sepanjang sumbu, x 0, untuk fungsi f tersebut adalah ( lim ) (0, ) ( lim f 0, 0,, ) ( 0,0) 1

5 MATA410/MODUL Dari kedua hasil di atas terbukti bahwa x lim ( x, ( 0,0) x + ternata tidak mempunai nilai. Contoh 1.: Tentukan nilai limit Penelesaian : Sepanjang garis x diperoleh u x + sepanjang garis x. x x x 0 lim lim lim 0 ( x, ( 0,0 ) ( x, x) ( 0,0 ) ( x, x) ( 0,0) x + x + x x Berdasarkan definisi persekitaran (neighborhood) titik (, ) x, Definisi 1.1 dapat pula ditulis sebagai berikut. Fungsi bernilai real f terdefinisi pada daerah (region) x, x, D R, x, dikatakan mempunai nilai limit untuk dengan merupakan titik limit daerah (region) D, jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap (, ), 1 x D x x0 + 0 < δ Selanjutna berdasarkan pengertian limit di atas didefinisikan x,. kekontinuan fungsi f pada suatu titik berlaku f ( x, A < ε. Definisi 1. Fungsi bernilai real f terdefinisi pada daerah (region) D R dikatakan x, D x, merupakan titik limit kontinu di titik, dengan daerah (region) D, jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap ( x, D, (, ) (, ) f x f x < ε. 1 x x0 + 0 < δ berlaku

6 1.6 Kalkulus III Definisi 1. dapat ditulis sebagai berikut. Fungsi bernilai real ƒ terdefinisi pada daerah (region) D R dikatakan x, D jika dipenuhi kontinu di titik ( ) lim f ( x, f ( x, ) ( x, ( x, ) (1.4) Contoh 1.4 : Gunakan Definisi 1. untuk membuktikan fungsi ƒ, dengan rumus 5x + f ( x, kontinu di titik ( 4,1 ). x Bukti : Fungsi f di atas terdefinisi pada ruang R, kecuali pada garis x, sehingga untuk sebarang ε > 0 diberikan, didapat: 5x f ( x, f ( 4,1) x 4 1 5x + 7 x x + 8 x x x x x x x x x Untuk < x < 5, 0 < < pastilah x > 1 sehingga diperoleh x 4 1 f ( x, f ( 4,1) + 8 x x x x x < x

7 MATA410/MODUL Dengan mengambil ( x ) ( ) ( x ) ( ) 1 {( x ) ( ) } < 10δ (, ) ( 4,1) f x f Terbukti fungsi ε δ < diperoleh 10 < 10δ < ε 5x + f, f ( x) x kontinu di titik (4,1). Sifat-sifat ang berlaku pada kekontinuan fungsi diungkapkan pada teorema di bawah ini. Teorema 1. Misalkan f dan g masing-masing merupakan fungsi bernilai real dan terdefinisi pada daerah (region) D R jika fungsi f dan g masing- x, D maka : masing kontinu di titik ( ) a. fungsi f + g juga kontinu di ( x0, 0 ) b. fungsi fg juga kontinu di ( x, ) g x, 0, fungsi c. jika f g juga kontinu di ( x, ) Bukti : Diketahui bahwa fungsi ƒ dan g masing-masing kontinu di titik ( x0, 0 ) berarti ( x0, 0 ) merupakan titik limit daerah (region) D, dan dipenuhi lim f ( x, f ( x, ) dan lim g ( x, g ( x, ) ( x, ( x, ) x, x, a. Ditinjau nilai limit : lim f ( x, g ( x, lim f ( x, ) lim g x, ( x, ( x, ) + + ( x, ( x, ) ( x, ( x, ) f ( x0, 0 ) + g ( x0, 0 ) Terbukti bahwa fungsi ƒ + g kontinu di ( x, ).

8 1.8 Kalkulus III b. Ditinjau nilai limit : lim,, lim, lim,,, f x g x x x ( x, ( x, ) f x g x x, x, f ( x0, 0 ) g ( x0, 0 ) Terbukti bahwa fungsi fg kontinu di ( x0, 0 ). c. Diketahui bahwa ( 0, 0 ) 0 lim f ( x, f x, ( x, ( x0, 0 ) lim ( x, ( x0, 0 ) g ( x, lim g ( x, Terbukti bahwa fungsi (Bukti selesai) g x, selanjutna ditinjau nilai limit : ( x, ( x, ) ( 0, 0 ) (, ) f x g x f g kontinu di (, ) x. Suatu fungsi bernilai real ƒ terdefinisi pada suatu daerah (region) D R, dikatakan kontinu pada daerah (region) D jika untuk setiap x, D x,. diketahui bahwa fungsi ƒ kontinu di Pengertian limit dan kekontinuan fungsi bernilai real terdefinisi pada dapat dikembangkan untuk fungsi bernilai real terdefinisi pada R dengan jalan menggeneralisasikan pengertian jarak dan persekitaran (neighborhood).,, x,, z dalam R, Untuk sebarang dua titik ( x z ) dan pengertian jarak kedua titik tersebut didefinisikan dengan: d ( x1 x ) ( 1 ) ( z1 z ) dan untuk sebarang titik ( x0, 0, z 0 ) dalam titik (,, ) + +, x z dengan jari-jari δ didefinisikan dengan: 0 R R, persekitaran (neighborhood) Nδ ( x0, 0, z0 ) ( x,, z) R ( x x0 ) + ( 0 ) + ( z z0 ) < δ Selanjutna Definisi 1.1 dan Definisi 1. dikembangkan menjadi dua definisi di bawah ini.

9 MATA410/MODUL Definisi 1.4 Fungsi f, f : R R, dikatakan mempunai nilai limit untuk ( x,, z) ( x,, z ), dengan (,, ) 0 x z R jika terdapat bilangan 0 real A sehingga untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap ( x,, z) Nδ ( x0, 0, z0 ) berlaku (,, ) sebagai lim f ( x,, z) A. x z x z,, 0, 0, 0 f x z A < ε dan biasa ditulis Definisi 1.5 Fungsi bernilai real f terdefinisi di daerah (region) D R dikatakan x,, z D x,, z merupakan titik limit kontinu di titik, dengan Definisi 1.5 dapat pula ditulis sebagai berikut. Fungsi bernilai real ƒ terdefinisi pada daerah (region) D R dikatakan x,, z D jika dipenuhi kontinu di titik ( 0 ) lim f ( x,, z) f ( x,, z ) ( x,, z) ( x,, z ) 0 (1.5) 0 Contoh 1.5 : Buktikan bahwa fungsi bernilai real ƒ terdefinisi pada f ( x,, z) 0 kontinu di titik ( 0,0,0 ). 0 daerah (region) D, jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap ( x z),, D, ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) berlaku (,, ) (,, ) 1 x x + + z z < δ f x z f x z < ε 0 x + z x + + z 0,, 0,0,0 ( x,, z) ( 0,0,0) ( x z) R dengan,

10 1.10 Kalkulus III Bukti : Untuk membuktikan fungsi f tersebut di atas kontinu di ( 0,0,0 ) cukup dibuktikan bahwa lim f ( x,, z) 0 ( x,, z) ( 0,0,0) Berdasarkan Definisi 1.4 untuk sebarang ε < 0 diberikan harus dibuktikan adana 0 δ > (bergantung pada ε ) sehingga untuk 1 x + z x + + z < ε x + z x + z x + + z x + + z x x + + z z x + + z 1 1 Karena x ( x z ), ( x z ) dan 1 z x + + z maka diperoleh ( x + + z ) ( x + + z ) x + z x + + z x + + z Dengan mengambil x + z x + + z ( x + + z )( x + + z ) x + + z ( x z ) δ 1 δ <, ε diperoleh δ < ε Terbukti bahwa fungsi ƒ di atas kontinu di ( 0,0,0 ). x + + z berlaku 1

11 MATA410/MODUL LATIHAN 1) ) ) 4) Tentukan nilai limit berikut ini. x lim ( x, ( 0,0) x + lim 4 4 x sepanjang kurva ( x, ( 0,0 ) 4 ( x + ) 5 x + ( x ) lim ( x, ( 0,0) ( x + ) lim f x, ( x, ( 0,0), jika f ( x, 5) Jika diberikan (, ) sin ( x x. 0 0 atau x 1 0 < < x x 0 f x x x 0 maka tentukan titik diskontinu fungsi f tersebut. 1 x f x, e dan x 6) Jika diberikan, tentukan f (, ) x untuk x, agar fungsi f kontinu di mana-mana. 5x + 7) Jika f ( x,, tinjau apakah fungsi f tersebut kontinu di titik x (4,1). 8) Jika Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! x + x f ( x,, tinjau apakah fungsi f tersebut kontinu x + di titik (1,). 9) Jika diberikan fungsi f ( x, x x + 0 x + 0, 0,0 ( x

12 1.1 Kalkulus III tinjaulah apakah fungsi f kontinu di (0,0). 10) Jika diberikan fungsi 0 0 atau x f ( x, 4 ( x 0 < < x x tinjau apakah fungsi f tersebut kontinu di titik (0,0). Petunjuk Jawaban Latihan 1) Lihat Contoh 1.. Tinjau dari sepanjang kurva x. ) Lihat Contoh 1.. Tinjau dari sepanjang kurva x. ) Lihat Contoh 1.. Tinjau dari sepanjang kurva x. 4) Lihat Contoh 1.. Tinjau dari sepanjang kurva x. 5) Lihat Contoh 1.. Tinjau dari sepanjang kurva 1 dan x x 6) Lihat Contoh 1.. Tinjau dari sepanjang kurva x. 7) Lihat Contoh ) Lihat Contoh ) Tinjau dari sepanjang kurva x. Gunakan sarat kekontinuan suatu fungsi seperti pada Kalkulus I. 10) Tinjau dari sepanjang kurva x. Gunakan sarat kekontinuan suatu fungsi seperti pada Kalkulus I. D RANGKUMAN Fungsi bernilai real f (, ) x terdefinisi pada daerah (region) R, dikatakan mempunai nilai limit untuk ( x ( x0 0 ) dengan (, ),,, x merupakan titik limit daerah (region) D jika terdapat bilangan real A sehingga untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0, sehingga untuk setiap ( x, D, f ( x, A ε < dan biasa ditulis lim (, ) 1 x x0 + 0 < δ, berlaku x, 0,0 f x A Fungsi f di atas dikatakan kontinu di titik (, ) x jika dipenuhi

13 MATA410/MODUL lim f x, f x0, 0 ( x, ( x0, 0 ) Pengertian-pengertian di atas dapat digeneralisasikan untuk fungsi f x, dan dengan peubah lebih dari dua. Jika fungsi bernilai real g ( x, ) masing-masing terdefinisi pada daerah (region) D R (, ) dan x merupakan titik limit daerah (region) D maka pengertian limit fungsi di atas memenuhi sifat-sifat berikut. (1) () ( ) lim α f x, + β g x, ( x, ( x, ) α lim f x, + β lim g x, ( x, ( x0, 0 ) ( x, ( x0, 0 ) dengan α, β bilangan real sebarang lim f x, g x, ( x, ( x, ) lim f x, lim g x, ( x, ( x, ) x, x, () Jika g ( x, 0 pada suatu persekitaran (neighborhood) titik ( x, ) maka lim f x, f ( x, ( x, ( x0, 0 ) lim ( x, ( x0, 0 ) g ( x, lim g( x, ( x, ( x, ) lim, 0 dengan g ( x x, x, TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! 1) Fungsi ƒ (x, bernilai real terdefinisi pada daerah (region) D. lim f ( x, ada artina jika. ( x, ( x, ) A. ( 0, 0 ) B. ( 0, 0 ) C. ( 0, 0 ) D. ( 0, 0 ) E. (, ) x merupakan anggota daerah (region) D x merupakan titik dalam (interior point) daerah (region) D x merupakan titik-titik limit daerah (region) D x berada pada batas (boundar dari daerah (region) D x merupakan titik terasing (isolated point) daerah (region) D

14 1.14 Kalkulus III ) Jika diberikan fungsi f ( x, x x + maka lim f ( x, x, 0,0 A. tidak mempunai nilai karena ƒ (0,0) tidak terdefinisi B. tidak mempunai nilai meskipun (0,0) merupakan titik limit domain fungsi ƒ C. titik (0,0) merupakan titik limit domain fungsi ƒ, dan nilai limitna 0 D. titik (0,0) merupakan titik limit domain fungsi ƒ, dan nilai limitna E. tidak mempunai nilai, karena (0,0) merupakan titik terasing dari domain fungsi ƒ x ) Nilai lim adalah. ( x, ) ( 0,0 ) x + A. -1 B. 0 C. 1 D. E. tidak mempunai nilai 4) Fungsi f ( x, ) bernilai real terdefinisi pada daerah (region) D, dikatakan kontinu di ( x0, 0 ),( x0, 0 ) D jika. A. lim f ( x, mempunai nilai B. ( x, ( x, ) lim f x, ( x, ( x, ) f ( x, ) C. fungsi f (, ) D. fungsi f (, ) E. fungsi f ( x, ) terdiferensial di titik ( x, ) x terdiferensial parsial terhadap x x terdiferensial parsial terhadap. 4 x + x + x 5) Nilai lim ( x, ) ( 0,0 ) ( x + ) A. 1 B. C. -1 adalah

15 MATA410/MODUL D. E. 0 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan Jumlah Jawaban ang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % baik sekali 80-89% baik 70-79% cukup < 70% kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian ang belum dikuasai.

16 1.16 Kalkulus III P Kegiatan Belajar Derivatif Parsial ada bagian ini dibahas pengertian derivatif parsial fungsi peubah banak, khususna untuk fungsi dengan dua peubah bebas. Misalkan, f suatu fungsi bernilai real terdefinisi pada suatu daerah (region) D R. Dengan demikian, f merupakan fungsi dengan dua buah peubah bebas, namakan kedua peubah tersebut x dan, sehingga biasa ditulis f f x,. Jika dianggap sebagai konstanta, dengan demikian f merupakan fungsi x saja maka dapat ditentukan derivatif fungsi f terhadap f ( x + h, f ( x, x, aitu jika lim mempunai nilai. Nilai limit tersebut h 0 h disimbolkan dengan dan disebut derivatif parsial fungsi f terhadap x, ( +, ) (, ) f x h f x lim (1.6) h 0 h Dengan cara ang sama dapat ditentukan (jika ada) derivatif fungsi f terhadap, dengan menganggap peubah x sebagai konstanta, aitu f ( x, + k) f ( x, lim (1.7) k 0 k ang disebut derivatif parsial fungsi f terhadap. Contoh 1.6 : Tentukan dan jika diberikan f x, x 1 x. Penelesaian : 1 ( 1 x ).( x) 1 + x 1 x

17 MATA410/MODUL x 1 x. 1 x + 1 x Selanjutna derivatif parsial dari dan disebut derivatif parsial orde dua dari fungsi f, dan terdapat empat buah derivatif parsial orde dua dari f aitu: x Berikut ini diperlihatkan bahwa (, ) (, ) x x f x ( x + h, ( x, lim h 0 h 1 f ( x + h, + k ) f ( x + h, f ( x, + k ) f ( x, lim lim lim h 0 h k 0 k k 0 k 1 lim lim,,,, h k 0 hk { f ( x h k ) f ( x h f ( x k ) f ( x } 1 lim lim,,,, k h 0 kh { f ( x h k ) f ( x k ) f ( x h f ( x }

18 1.18 Kalkulus III ( +, + ) (, + ) ( +, ) (, ) 1 f x h k f x k f x h f x lim lim lim k 0 k h 0 h h 0 h ( x, + k ) ( x, lim k 0 k ( x, ( x, x Contoh 1.7 : Tentukan derivatif parsial orde dua fungsi f jika diberikan (, ) f x x e x +. Penelesaian: x, x e x ( x, x x e x ( x, 6 + e x (, ) (, ) x f x x ( x, x 5 x e + x e x + ( x 1) e x x x 4 x 6xe + 9x e x x e x

19 MATA410/MODUL Contoh 1.8 : Tentukan derivatif parsial orde dua fungsi f, jika diberikan (,, ) + + f x z x z z x Penelesaian: x + z x + z + xz z z x z x x z z z x z z Berdasarkan definisi derivatif parsial fungsi peubah banak, seperti disajikan dengan persamaan (1.6) dan (1.7) maka berbagai sifat ang berlaku pada derivatif fungsi dengan satu peubah bebas juga berlaku di sini. Dengan demikian diperoleh berbagai rumus, sebagaimana diungkapkan di bawah ini. f f x, g g x, Jika diberikan fungsi bernilai real dan masing-masing terdefinisi pada daerah (region) D R maka berlaku sifatsifat berikut ini. ( x, g ( x, (1) f ( x, g ( x, + +

20 1.0 Kalkulus III (, ) (, ) x g x f ( x, g ( x, + + () x, g x, f x,. g x, g ( x, f ( x, + x, g x, f ( x,, g ( x, g ( x, f ( x, + () Jika untuk setiap ( x, D, (, ) 0 g ( x, f ( x, ), g ( x, g ( x, g x maka f x, g x, x x, g x, g ( x, f ( x, f x, g ( x, g ( x, ARTI GEOMETRI DERIVATIF PARSIAL Sebagaimana derivatif (derivatif biasa) fungsi dengan satu peubah bebas ( 0 ) mempunai arti geometri, aitu nilai derivatif fungsi f di 0, df x x dx, x, dengan menatakan gradien garis singgung kurva f ( x) f ( x ) di titik maka derivatif parsial suatu fungsi dengan dua peubah bebas juga mempunai arti geometri. Misal diberikan fungsi bernilai real f, z f ( x, dengan peubah bebas x, dan peubah tak bebas z, mempunai luasan S sebagaimana diungkapkan pada gambar berikut ini.

21 MATA410/MODUL (a) Jika diambil titik ( 0, 0, 0 ) (,, ) 0 (b) Gambar 1.1 P x z pada luasan S maka melalui titik P x z dapat dibuat bidang datar 0 sejajar bidang xo (lihat Gambar 1.1.(a)), ang memotong luasan S menurut kurva merupakan garis singgung kurva melalui titik (,, ) Γ di titik (,, ) x 0 P x0 0 z 0 dibuat bidang datar x x0 Γ x dengan l x P x z. Demikian pula sejajar bidang oz, (lihat Gambar 1.1.(b)), ang memotong luasan S menurut kurva Γ dengan

22 1. Kalkulus III l merupakan garis singgung kurva melalui garis l x dan singgung luasan S di titik (,, ) Γ di titik (,, ) P x z. Selanjutna 0 l dibuat bidang datar δ ang merupakan bidang P x z. 0 Jika cos α, cos β, cosγ merupakan cosinus arah garis normal bidang singgung δ maka bidang singgung tersebut mempunai persamaan berbentuk. cosα x x + cos β + cosγ z z 0 (1.8) 0 Karena bidang singgung δ tidak sejajar sumbu z, berarti cosγ 0 dan jika kedua ruas persamaan di atas dibagi dengan cos γ, maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai z z A x x + B (1.9) 0 cosα dengan A dan cosγ parameter ang harus ditentukan nilaina. cos β B, dan masing-masing merupakan cosγ Jika pada persamaan (1.9) diambil 0 maka diperoleh z z A x x (1.10) ang merupakan persamaan garis l x aitu perpotongan bidang singgung δ dengan bidang datar 0. Sedangkan kurva Γ x (lihat Gambar 1.1.(a)) mempunai persamaan z f x, (1.11) Karena 0 l merupakan garis singgung kurva Γ x di titik P( x,, z ) x 0 maka berdasarkan pengertian geometri dari derivatif, dengan menganggap sebagai konstanta, diperoleh hubungan ( x0, 0 ) A (1.1) Dengan cara ang sama, jika pada persamaan (1.9) diambil x x0 maka diperoleh

23 MATA410/MODUL 1 1. z z B (1.1) ang merupakan persamaan garis l, aitu perpotongan bidang singgung δ dengan bidang datar x x0. Sedangkan kurva Γ (lihat Gambar 1.1.(b)) mempunai persamaan z f x (1.14) karena x 0, l merupakan garis singgung kurva Γ di titik (,, ) P x z maka 0 berdasarkan pengertian geometri dari derivatif, dengan menganggap x sebagai konstanta, diperoleh hubungan ( x0, 0 ) B (1.15) Dengan demikian persamaan (1.9), bidang singgung luasan S di titik P x,, z, dapat ditulis sebagai 0 ( 0, 0 ) 0, 0 f x f x z f ( x0, 0 ) + x x0 0 + (1.16) dan garis normalna mempunai bilangan arah (gradien) ( x0, 0 ) ( x0, 0 ),, 1 (1.17) Garis normal bidang singgung luasan S, z f ( x, di titik P( x0, 0, z 0 ) biasa disebut garis normal luasan S di titik P( x,, z ). Contoh 1.9 : Jika diberikan luasan S dengan persamaan a. persamaan bidang singgung di titik (,, 0); b. cosinus arah normal di titik tersebut. 0 z x + maka tentukan:

24 1.4 Kalkulus III Penelesaian : Diberikan persamaan luasan (, ) f x x + sehingga 4x dan 6 dengan demikian (,) 1 dan (,) z x +, atau dapat ditulis 1 sehingga persamaan bidang singgung luasan z x + di titik (,, 0) adalah z 0 + 1(x ) + 1( ). Untuk menentukan cosinus arah garis normal di titik (,, 0), terlebih dahulu ditentukan nilai ( x0, 0 ) ( x0, 0 ) k ( 1) 1 (1.18) z f x, x + Dengan demikian, cosinus arah garis normal luasan di titik P( x0, 0, z0 ) P(,,0) ( x, ) ( x0, 0 ) aitu, Contoh 1.10 : adalah 1,, k k k 1 1 1,, Diberikan luasan S1, z f1 ( x, ( x + ), dan 17 1 luasan S, z f ( x, ( x ) (1.19)

25 MATA410/MODUL Tunjukkan bahwa kedua garis normal luasan S 1 dan S di setiap titik pada kurva perpotonganna saling tegak lurus. Penelesaian : Kurva perpotongan kedua luasan S 1 dan S adalah ( ) 17 1 ( x + x + ) atau x Jika ( x0, 0, z 0 ) sebarang titik pada perpotongan kedua luasan S 1 dan S, aitu lingkaran x luasan S 1 dan + 1 maka untuk membuktikan kedua garis normal S di titik (,, ) x z saling tegak lurus cukup ditunjukkan 0 bahwa 1 ( x0, 0 ) ( x0, 0 ) 1 ( x0, 0 ) ( x0, 0 ) (1.0) (, ) 1 x0 0 4x0 ( x0, 0 ) 1 x 4 0 (, ) x 1 4 x0, Dengan demikian, diperoleh 1 ( x0, 0 ) ( x0, 0 ) 1 ( x0, 0 ) ( x0, 0 ) karena x 1 1 4x0 x x DIFERENSIAL FUNGSI PEUBAH BANYAK Pada bagian ini dibahas pengertian diferensial fungsi peubah banak, namun untuk mengingatkan pengertian diferensial fungsi terlebih dahulu diulang pengertian diferensial fungsi dengan satu peubah bebas. Jika f merupakan fungsi bernilai real dengan peubah bebas x maka fungsi f dikatakan terdiferensial di x, jika untuk suatu persekitaran (neighborhood) x terdapat bilangan real C sehingga dipenuhi

26 1.6 Kalkulus III x 0 f x + x f x C x lim 0 x (1.1) dan dari persamaan di atas dapat diturunkan f ( x + x) f ( x) lim C x 0 x. ang berarti fungsi f mempunai derivatif di x dengan nilai f ( x) C Diferensial f, disimbolisasi dengan df atau df ( ; ) persamaan (1.1), aitu: x 0 ( + ) ( ; ) f x x f x df x dx lim 0 x x dx, didefinisikan dari dengan demikian, diperoleh hubungan: ' df x; dx f x dx (1.) Selanjutna, jika f suatu fungsi bernilai real dengan dua peubah bebas x dan maka sejalan dengan uraian di atas didefinisikan pengertian diferensial fungsi f, seperti diungkapkan dengan definisi berikut ini. Definisi 1.6 Fungsi f bernilai real dengan dua peubah bebas x dan dikatakan x, jika terdefinisi pada suatu persekitaran terdiferensial di (neighborhood) ( x, ) berlaku dan terdapat bilangan real A dan B sehingga f x + x, + f x, A x + B lim 0 ( x, ( 0,0) x + (1.) dan diferensial fungsi f, df ( x, ; dx, d ), didefinisikan dengan df ( x, ; dx, d Adx + B d (1.4) Dengan mengambil 0, x 0 ( dianggap konstan) persamaan (1.) menjadi

27 MATA410/MODUL f x + x, f x, A x lim 0 ( x,0) ( 0,0) x atau f ( x + x, f ( x, lim A ( x,0) ( 0,0) x atau ( x, A fx ( x, dan dengan mengambil x 0, 0 (x dianggap konstan) persamaan (1.) menjadi f x, + f x, B lim 0 ( 0, ( 0,0) ang berarti f x f x lim ( 0, ( 0,0) atau ( x, (, + ) (, ) B f x (, ) B Dengan demikian, persamaan (1.4) dapat ditulis sebagai f ( x, f ( x, df ( x, ; dx, d dx d + (1.5) Teorema 1.7 Diberikan fungsi bernilai real f, f (, ) R (region) D dan titik ( x0, 0 ) D ( x, ) maka fungsi f kontinu di (, ) x0 0. x, terdefinisi pada daerah. Jika fungsi f terdiferensial di Bukti : Didefinisikan fungsi (, ) u h k dengan

28 1.8 Kalkulus III (, ) u h k jika ( h, k ) ( 0,0). ( +, + ) ( + ) f x h k Ah Bk h + k (1.6) Dengan mengambil h x, k dan berdasarkan persamaan (1.) diperoleh f ( x + h, + k ) f ( x, ( Ah + Bk ) lim u ( h, k ) lim 0 ( h, k ) ( 0.0 ) ( h, k) ( 0,0) h + k Dari persamaan (1.6) diperoleh f ( x + h, + k ) f ( x, Ah + Bk + u ( h, k ) h + k dan untuk ( x, ( x, ) D persamaan di atas menjadi dan ( +, + ) (, ) + + (, ) + f x h k f x Ah Bk u h k h k lim f x + h, + k f x, ( h, k ) ( 0,0) lim Ah + Bk + u ( h, k ) h + k ( h, k ) ( 0,0) atau lim f x + h, + k f x, ( h, k ) ( 0,0) Terbukti bahwa f kontinu di (, ) (Bukti selesai) Contoh 1.11 : x. Tentukan diferensial fungsi f di titik ( x, ) ( 1, ) f ( x, x + x + 1 Penelesaian: f x, x + x + 1 Diketahui ( x, 6x +, jika diberikan

29 MATA410/MODUL ( 1, ) x, ( 1, ) x + 4x Dengan demikian, ( x, ( x, df ( x, ; dx, d dx + d dan ( 6 ) ( 4 ) x + dx + x + x d ( 1, ) ( 1, ) df ( 1,; dx, d dx + d 0 dx + 11 d Pengertian diferensial fungsi peubah banak sebagaimana diungkapkan dengan Definisi 1.6 juga berlaku untuk fungsi dengan n buah peubah bebas x1, x,..., x n. Sehingga untuk fungsi bernilai real f f ( x1, x,..., xn ), diferensial f ang disajikan dengan persamaan (1.5) menjadi df dx1 + dx dxn (1.7) 1 Selanjutna, jika diberikan fungsi bernilai real u u( x, dan v v( x, masing-masing terdefinisi dan mempunai derivatif parsial terhadap x maupun pada suatu daerah (region) D R maka berlaku sifat-sifat berikut ini. (1) d ( u + v) du + dv (1.8) Bukti : ( u + v) ( u + v) d ( u + v) dx + d n

30 1.0 Kalkulus III u v u v + dx d + + u u v v dx + d + dx + d du + dv () d ( uv) u dv + v du (1.9) Bukti : ( uv) ( uv) d ( uv) dx + d u v u v v + u dx v u d + + u v u v v dx + u dx + v d + u d v v u u u dx + d + v dx + d u dv + v du (, ),, 0 maka berlaku () Jika untuk setiap x D v( x u v du u dv d v v Bukti : u u u d dx d v v + v u v u v v u v u dx + d v v u v u v v dx u dx + v d u d v (1.0)

31 MATA410/MODUL u u v v v dx + d u dx d + v v du u dv v Selanjutna jika u u( x, dan v v( x, fungsi terdiferensial terhadap peubah x dan, dan f f ( u, v) masing-masing merupakan merupakan fungsi terdiferensial terhadap u dan v maka berlaku: f f df du dv u + v (1.1) Bukti : df du + dv u v u u v v dx + d + dx + d u v u v u v + dx d u v + + u v Dengan demikian, persamaan (1.1) dapat ditulis sebagai u v u v df + dx d u v + + u v (1.) Contoh 1.7 : Jika diberikan z ln ( x ) + maka tentukan dz. Penelesaian : Misalkan, u x + sehingga z ln Berdasarkan persamaan (1.) diperoleh z u z u dz dx + d u u u.

32 1. Kalkulus III 1 1 x dx + d u u x dx + d x + LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tentukanlah nilai f ( 0, e) f x, e x ln. x dan f ( 0, e) jika x ) Tentukan diferensial f ( x, ) jika f ( x, e x sin ( x ) Tentukan derivatif parsial orde dua fungsi f jika sin x x 0 f ( x, x x < 0 x + x 4) Tunjukkanlah jika u x + maka dipenuhi u u u x x diberikan 5) Tentukanlah derivatif parsial orde dua fungsi f jika a. f ( x x, ln x + f x, x cos + sin x b. c. f ( x, x d. f ( x,, z) ( x + ( + z)( z + x) e. f ( x,, z) sin ( x + z ) 6. Tunjukkanlah jika 1 u x + + z maka dipenuhi

33 MATA410/MODUL 1 1. u u u z 7) Jika diberikan fungsi f, (, ) 0,0 0,0 tunjukan bahwa. x ( x ) x f x x + 0, 0,0 8) Tentukan persamaan bidang singgung luasan x x 7z 1 0 1,1, di titik 9) Buktikan bahwa bola berpotongan saling tegak lurus. x + + z 16 dan ( x, ( 0,0) ( x x + + z Petunjuk : Dua buah luasan dikatakan berpotongan saling tegak lurus jika garis normal kedua luasan di setiap titik pada kurva perpotonganna saling tegak lurus x z x 10) Jika diberikan u f, dengan f fungsi sebarang, buktikan x xz u u u bahwa x + + z 0. z Petunjuk Jawaban Latihan f f 1) Lihat Contoh 1.6, dengan fx, f. f f ) Lihat Contoh 1.6, dengan fx, f. ) Lihat Contoh ) Lihat Contoh ) Gunakan persamaan (1.16).

34 1.4 Kalkulus III 9) Lihat Contoh 1.10, terlebih dahulu tentukan luasan bola 1 dan bola. u v w 10) Diketahui apabila u f ( v, w) maka +. v w RANGKUMAN Fungsi f (, ) x bernilai real terdefinisi pada daerah (region) D R, dikatakan terdiferensial parsial terhadap x dan jika ( x, f ( x + h, f ( x, lim mempunai nilai, dan h 0 h (, ) (, + ) (, ) x f x k f x lim mempunai nilai. k 0 k Jika fungsi-fungsi f ( x, ) dan (, ) terhadap x dan maka dipenuhi sifat-sifat : x, g x, (1) f ( x, g ( x, + + g x di atas terdiferensial parsial (, ) (, ) x g x f ( x, g ( x, + + () x, g x, f x, g x, g ( x, f ( x, + x, g x, f ( x, g ( x, g ( x, f ( x, + () Jika g ( x, 0 untuk setiap ( x, D (, ) g ( x, f ( x, g ( x, g ( x, g ( x, f ( x, ), g ( x, g ( x, maka f x, g x, x f x, g x, x

35 MATA410/MODUL Fungsi f (, ) dengan ( 0, 0 ) terdiferensial di (, ) berlaku x terdefinisi pada suatu daerah (region) D R x merupakan titik limit himpunan D, dikatakan x jika terdapat bilangan real A dan B sehingga f x + x, + f x, A x + B lim 0 ( x,0) ( 0,0) x + Mudah diperlihatkan bahwa f x + x, f x, x, A lim ( x,0) ( 0,0) x x f x, + f x, x, B lim ( 0, ( 0,0) dan diferensial fungsi f didefinisikan sebagai ( x, ( x, df ( x, ; dx, d dx + d Diberikan fungsi f ( x, ) terdefinisi pada daerah (region) D R dengan ( 0, 0 ) terdiferensial di titik ( x, ) maka fungsi f ( x, ) kontinu di (, ) x merupakan titik limit daerah (region) D. Jika fungsi f x. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban ang paling tepat! 1) Jika diberikan fungsi ( x, f x, x 1 x maka ( x, dan terdefinisi. A. untuk semua (x, B. untuk semua pasangan x dan bernilai positif C. untuk semua pasangan x dan bernilai negatif D. untuk semua (x, dalam lingkaran terbuka dengan pusat (0,0) dan radius 1 E. untuk semua (x, dalam lingkaran tertutup dengan pusat (0,0) dan radius 1

36 1.6 Kalkulus III ) Jika diberikan fungsi mempunai nilai. A. e B. 1 e C. 6e D. 15e E. e f x x e x, +, maka ( 1, 1) ) Jika diberikan fungsi f ( x, x +, maka bilangan arah garis normal luasan fungsi f di titik (,, f (,)) adalah. A.,,0 B. 1,1,-1 C. 1,1,1 D ,, E ,, ) Jika diberikan fungsi titik (,1) adalah. A. 14 dx 0 d B. 0 dx 14 d C. 14 dx + 0 d D. 0 dx + 14 d E. 14 dx 0 d f ( x, x + x + 1 maka diferensial f di 5) Jika diberikan fungsi f ( x, ln ( x ) adalah. A. x dx + d B. x dx + d C. x dx + x + x + d + maka diferensial f

37 MATA410/MODUL D. E. x dx + x + x + dx + x + x + d d Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif ang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban ang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingkat penguasaan Jumlah Jawaban ang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % baik sekali 80-89% baik 70-79% cukup < 70% kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul berikutna. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian ang belum dikuasai.

38 1.8 Kalkulus III Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C ) C ) E 4) B 5) B Tes Formatif 1) E ) A ) B 4) C 5) C

39 MATA410/MODUL Daftar Pustaka Salas, SL & Hille, E. (198). Calculus One and Variables. (Part II). 4 th Edition. New York: John Wile and Sons. Talor, A.E & Robert, M.W. (198). Advanced Calculus. rd edition. New York: John Wile and Sons.