ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
|
|
- Ridwan Lesmana
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR
2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.
3 BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA Definisi Bilangan kompleks adalah bilangan ang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i =. Notasi Bilangan kompleks dinatakan dengan huruf, sedang huruf dan menatakan bilangan real. Jika = + i menatakan sembarang bilangan kompleks, maka dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks biasana dinatakan dengan Re() dan Im (). 3
4 OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS DEFINISI Bilangan kompleks = +i dan bilangan kompleks = +i dikatakan sama, =, jika dan hana jika = dan =. DEFINISI 3 Untuk bilangan kompleks = +i dan = +i jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb: + = ( + ) + i( + ) = ( ) + i( + ) 4
5 Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi C Jadi C = { = + i, R, R }. Jika Im()=0 maka bilangan kompleks menjadi bilangan real, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga R C. Jika Re()=0 dan Im() 0, maka menjadi i dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni dengan =0, akni bilanga i, dinamakan satuan imajiner. 5
6 Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (C,+, ) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan ang berlaku pada bilangan kompleks, dan 3 adalah sebagai berikut:. + C dan C. (sifat tertutup). + = + dan = (sifat komutatif) 3. ( + )+ 3 = +( + 3 ) dan ( ) 3 = ( 3 ) (sifat assosiatif) 4. ( + 3 )=( )+( 3 ) (sifat distribtif) 5. Ada 0=0+i0 C, sehingga +0= (0 elemen netral penjumlahan) 6
7 6. Ada =+i0 C, sehingga = (elemen netral perkalian 7. Untuk setiap =+ic, ada = i) sehingga +( )=0 8. Untuk setiap =+ic, ada - =sehingga - =. Tugas: Buktikan sifat-sifat 8 menggunakan definsi ang telah diberikan. 7
8 Contoh soal:. Jika = +i dan = +i, buktikan bahwa: = ( )+i( ). Diketahui: =+3i dan =5 i. tentukan +,,, dan 8
9 Kompleks Sekawan Jika = + i bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari ditulis, didefinisikan sebagai = (, ) = i. Contoh: sekawan dari 3 + i adalah 3 i, dan sekawan dari 5i adalah 5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : 9
10 Teorema : a. Jika bilangan kompleks, maka :.. Re() 3. Im() 4. Re() Im() 0
11 b. Jika, bilangan kompleks, maka : , dengan 0.
12 Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks Karena = + i dapat dinatakan sebagai = (,), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (,). Pemberian nama untuk sumbu diubah menjadi sumbu Real dan sumbu diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (,), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks = +i = (,) dapat dipandang sebagai vektor. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.
13 Im (,) Bidang Argan O Re 3
14 Im O Re 4
15 Im O Re 5
16 Tugas : Diketahui = + 3i dan = 5 i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand),,, +, -,,, 6
17 Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 : Jika = +i = (,) bilangan kompleks, maka modulus dari, ditulis = +i = Arti geometri dari modulus adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke = (,). Akibatna, jarak antara dua bilangan kompleks = +i dan = +i adalah ( ) ( ) 7
18 Selanjutna apabila = +i dan r real positif, maka = r merupakan lingkaran ang berpusat di titik dengan jari-jari r. Bagaimanakah dengan < r dan > r Gambarkanlah pada bidang. 8
19 Teorema : A. Jika bilangan kompleks, maka berlaku : Re() Im() Re() Re() Im() Im() 9
20 0 B. Jika, bilangan kompleks, maka berlaku : Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan = +i, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B!
21 . Bukti: ) i ( ) i ( ) i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
22 . Bukti: i i i i i ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( terbukti.
23 3 3. Bukti: ) ( 0 0 ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( terbukti
24 4 4. Bukti:
25 Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks Selain dinatakan dalam bentuk = +i = (,), bilangan kompleks dapat dinatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, aitu = (r,). Im (,) (r, ) r O Re 5
26 Adapun hubungan antara keduana, adalah : = r cos, = r sin, sehingga = arc tan (,) dan ( r, ) adalah sudut antara sumbu positif dengan o didapat juga r Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks adalah = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis. dan sekawan dari adalah = (r, -) = r(cos - i sin ). 6
27 Definisi 5 : Pada bilangan kompleks = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut argument dari, ditulis arg. Sudut dengan 0 < atau - < disebut argument utama dari, ditulis = Arg. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6 : Dua bilangan kompleks = r (cos + i sin ) dan = r (cos + i sin ) dikatakan sama, jika r = r, dan =. 7
28 Selain penulisan bilangan kompleks = (, ) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis, maka anda dapat menuliskan dalam rumus Euler (eksponen), aitu = re i, dan sekawanna adalah re -i. Tugas: Buktikan bahwa e i = cos + i sin, dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos, sin dan e t dengan mengganti t = i. 8
29 Contoh : Natakan bilangan kompleks = + i dalam bentuk polar dan eksponen! 9
30 Contoh : Natakan bilangan kompleks = + i dalam bentuk polar dan eksponen! Jawab : 4 = + i, r =, tan =, sehingga = 45⁰= Jadi = (cos + i sin ) = cis = i e 4 30
31 Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah = r(cos + i sin ). Jika = r (cos + i sin ) & = r (cos + i sin ), maka kita peroleh hasil perkalian keduana sebagai berikut : = [r (cos + i sin )][r (cos + i sin )] = r r [(cos cos - sin sin ) + i (sin cos + cos sin )] = r r [cos ( + ) + i sin ( + )] 3
32 Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg( ) = + = arg + arg Pertanaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan... n dan = n? 3
33 Jika diketahui: = r (cos + i sin ) = r (cos + i sin ) n = r n (cos n + i sin n ), untuk n asli, maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian n = r r r n [cos ( n ) + i sin ( n )]. Akibatna jika, = r(cos + i sin ) maka n = r n (cos n + i sin n) Khusus untuk r =, disebut Dalil De-Moivre (cos + i sin ) n = cos n + i sin n, n asli. 33
34 Pembagian: Sedangkan pembagian dan adalah sebagai berikut: r (cos r (cos isin isin Setelah pembilang dan penebut dikalikan dengan sekawan penebut, aitu r (cos - i sin ), maka diperoleh : r [cos ( - ) + i sin ( - )] r Dari rumus di atas diperoleh: arg - = arg arg. ) ) 34
35 Akibat lain jika = r(cos + i sin ), maka: cos( ) isin( ) r Untuk: n n. r cosn isinn Setelah pembilang dan penebut dikalikan sekawan penebut, maka didapat : n n r cos( n) isin( n)
36 Dari dan diperoleh: n r n cos(n) isin(n), Dalil De- Moivre berlaku untuk semua n bilangan bulat. 36
37 Contoh: Hitunglah : 3 i 6 37
38 Contoh: Hitunglah : 3 i 6 Jawab : Misalkan r 3 i, maka 3 tan 3 karena di kuadran IV, maka dipilih jadi o o 3 i cos 30 isin o o 3 i cos80 isin 80 6 ( 0) 6 o 30 38
39 Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika n = w, dan ditulis w. Jika = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari n = w diperoleh: n (cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan n= +k, k bulat. Akibatna rn dan k n Jadi... n 39
40 Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah: = rn [cos( k ) + i sin ( k )], n n k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan n = w, ada n buah akar berbeda ang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,,,3,,(n-); k 0 n <, sehingga diperoleh,, 3,, n sebagai akar ke-n dari. 40
41 Contoh : Hitunglah (-8) /4 Jawab : Misalkan = (-8) /4, berarti harus dicari penelesaian persamaan 4 = -8. Tulis = (cos +i sin) dan 8 = 8(cos80 0 +i sin80 0 ), sehingga 4 (cos4 +i sin4) = 8(cos80 0 +i sin80 0 ), diperoleh 4 = 8, atau = 3 dan k. 4 k k Jadi = 3[cos( )+i sin( )] 4 4 Keempat akar ang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,,,3 ke persamaan terakhir. 4
42 Latihan Soal Bab I. Buktikan Teorema dengan memisalkan = (,) = + i.. Diketahui = 6 + 5i dan = 8 i. Tentukan +, -,, dan / 3. Jika = --i, buktikan + + = Cari bilangan kompleks ang memenuhi sifat: a. - = dan b. 5. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks berlaku :. +. = Re(. ) 6. Hitung jarak antara = + 3i dan = 5 i. 4
43 7.Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva ang terjadi : a. 5 = 6 dan 5 > 6 b. + i = i c. < i < 3 8.Natakan bilangan kompleks = -i dalam bentuk polar dan eksponen! 9. Hitunglah (-+i) 5 0.Tentukan himpunan penelesaian dari : 3 - i = 0 43
44 BAB II FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi ang akan digunakan pada fungsi kompleks. Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan aitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatna. 44
45 . Lingkungan/persekitaran a. Persekitaran o adalah himpunan semua titik ang terletak di dalam lingkaran ang berpusat di o, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N( o,r) atau o < r. b. Persekitaran tanpa o adalah himpunan semua titik o ang terletak di dalam lingkaran ang berpusat di o, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*( o,r) atau 0< o < r. 45
46 Contoh : a. N(i,) atau i <, lihat pada gambar b. N*(O,a) atau 0< O < a, lihat pada gambar Im Im i i O a Re O Re gambar gambar 46
47 . Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis S c,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z ang tidak termasuk di S. Contoh : Gambarkan! A = { Im < }, maka A c = { Im }. B ={ <<4}, maka B c = { atau 4}. 47
48 A = { Im < }, maka A c = { Im }. B ={ <<4}, maka B c = { atau 4}. Im Im A A O c Re 4 B B c O 4 Re 48
49 3. Titik limit Titik o disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) maka N*( o,) S. Jika o S dan o bukan titik limit, maka o disebut titik terasing. 49
50 3. Titik limit Titik o disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) maka N*( o,) S. Jika o S dan o bukan titik limit, maka o disebut titik terasing. 4. Titik batas Titik o disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik ang tidak di S. 50
51 3. Titik limit Titik o disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) maka N*( o,) S. Jika o S dan o bukan titik limit, maka o disebut titik terasing. 4. Titik batas Titik o disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*( o,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik ang tidak di S. 5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. 5
52 6. Interior dan Eksterior Titik o disebut interior dari himpunan S jika ada N ( o,) sehingga N( o,) S. Titik ang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 5
53 6. Interior dan Eksterior Titik o disebut interior dari himpunan S jika ada N ( o,) sehingga N( o,) S. Titik ang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S. 53
54 6. Interior dan Eksterior Titik o disebut interior dari himpunan S jika ada N ( o,) sehingga N( o,) S. Titik ang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S. 8. Himpunan Tertutup Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitna. 54
55 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis ang seluruhna terletak di S. 55
56 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis ang seluruhna terletak di S. 0. Daerah domain Himpunan terbuka S ang terhubung disebut daerah domain. 56
57 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis ang seluruhna terletak di S. 0. Daerah domain Himpunan terbuka S ang terhubung disebut daerah domain.. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasna. 57
58 . Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan titik limitna. 58
59 Contoh :. Diberikan A = { / <}, maka: Im A Re A adalah himpunan terbuka dan terhubung. Batas dari A adalah { / =}. Penutup dari A adalah { / }. 59
60 . Diberikan B = { / <} U {(0,)}, maka: Im B Re B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup. Titik-titik limit dari B adalah { / }. 60
61 3. Diberikan C = { / }, maka: Im Re Titik-titik interior C adalah { / <}. 6
62 Fungsi Kompleks Definisi : Misalkan D himpunan titik pada bidang Z. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan ang memasangkan setiap titik anggota D dengan satu dan hana satu titik w pada bidang W, aitu (,w). Fungsi tersebut ditulis w = f(). Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis D f dan f() disebut nilai dari f atau peta dari oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis R f, aitu himpunan f() untuk setiap anggota D. 6
63 Im( ) Im(w) f w f() Re( ) Re(w) Bidang Z Bidang W 63
64 Contoh : a) w = + i b) w = 4 + i c) w = 5 d) f() = 3 Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z. Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z, kecuali = 64
65 Jika = + i, maka fungsi w = f() dapat diuraikan menjadi w = u(,) + iv(,) ang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real dan. Apabila = r(cos + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ). 65
66 Contoh : Tuliskan f() = i dalam bentuk u dan v! 66
67 Contoh : Tuliskan f() = i dalam bentuk u dan v! Jawab : Misal = + i, maka fungsi w = f() = i = ( + i ) i = ( +i- ) i = ( - ) + i(-). Jadi u = ( - ) dan v = -. 67
68 Jika = r(cos + i sin). Tentukan f() = + i 68
69 Jika = r(cos + i sin). Tentukan f() = + i Jawab f() = + i = [r (cos+i sin)] + i = r [cos - sin + isincos] + i = r (cos - sin ) + r isin + i = r (cos - sin ) +(+r sin)i berarti u = r (cos - sin ) dan v = +r sin). 69
70 Komposisi Fungsi Diberikan fungsi f() dengan domain D f dan fungsi g () dengan domain D g. Jika R f D g, maka ada fungsi komposisi (g f) () = g (f ()), dengan domain D f. f g f ( ) g ( g f ( ) f )( ) g f 70
71 Jika R g D f, maka ada fungsi komposisi (f g) () = f (g ()), dengan domain D g. g f g() f (f g() g)() f g Tidak berlaku hukum komutatif pada (g f) () dan (f g)(). 7
72 Contoh : Misal: f() = 3 i dan g() = + + i Jika R f D g, maka (g f) () = g (f ()) = g(3 i) = (3 i) + (3 i) + i = 9 6i + 3 i + i = 9 3 6i 7
73 Jika R g D f, maka (f g) () = f (g ()) = f( + + i) = i i Karena 9 3 6i i i Jadi (g f) () (f g)() atau (g f) (f g), (tidak komutatif) 73
74 Interpretasi Geometris Untuk setiap variabel bebas = + i anggota domain ada satu dan hana satu variabel tak bebas w = u + iv ang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkanna pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f (). Carana dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik maka f() disebut peta dari. 74
75 Contoh : Diketahui fungsi w = + i. Untuk setiap variabel bebas = + i didapat nilai w = ( ) + ( + )i. Misalna untuk = + i, dan = 3i, berturutturut diperoleh : w = + 3i, dan w = 3 5i. Gambar dari,, w, dan w dapat dilihat di bawah ini Y V bidang Z bidang W 3 w O X O 3 U 3 5 w 75
76 Contoh : Diketahui fungsi w =. Dengan menggunakan = r (cos+i sin), maka diperoleh w = = r (cos+i sin). Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r. Daerah 0 arg dipetakan menjadi daerah 0 arg w. Gambar keduana dapat dilihat di bawah ini. 76
77 bidang W bidang Z r r 77
78 Limi t Diketahui daerah D pada bidang Z dan titik o terletak di dalam D atau pada batas D. Misalkan fungsi w = f() terdefinisi pada D, kecuali di o. Apabila titik bergerak mendekati titik o melalui setiap lengkungan sebarang K dan mengakibatkan nilai f() bergerak mendekati suatu nilai tertentu, aitu w o pada bidang W, maka dikatakan limit f () adalah w o untuk mendekati o, ditulis : lim f() w o o D D K bidang o N * (o, ) Z w o N(w o, ) bidang W f() 78
79 Definisi : Misalkan fungsi w = f() terdefinisi pada daerah D, kecuali di o (titik o di dalam D atau pada batas D). limit f() adalah w o untuk mendekati o, jika untuk setiap > 0, terdapat > 0 sedemikian hingga f() w o <, apabila 0 < o <, ditulis: lim o f() w o 79
80 Perlu diperhatikan bahwa :. Titik o adalah titik limit domain fungsi f.. Titik menuju o melalui sebarang lengkungan K, artina menuju o dari segala arah. 3. Apabila menuju o melalui dua lengkungan ang berbeda, mengakibatkan f() menuju dua nilai ang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk mendekati o. 80
81 Contoh : Buktikan bahwa : lim 3 5 8
82 Contoh : Buktikan bahwa : lim 3 5 Bukti: Misalkan diberikan bilangan > 0, kita akan mencari > 0 sedemikian, sehingga: Lihat bagian sebelah kanan, untuk 8
83 Dari persamaan kanan diperoleh: 3 5 Hal ini menunjukkan bahwa ( )( ) ( ) ( 5)( ) ( ) ( ) 5 telah diperoleh. 83
84 Bukti Formal : Jika diberikan > 0, maka terdapat untuk, diperoleh ( )( ) 5 ( ) ( ), sehingga Jadi 3 5 apabila 0 Terbukti lim
85 Teorema Limit : Teorema : Jika fungsi f mempunai limit untuk menuju o, maka nilai limitna tunggal. 85
86 Teorema Limit : Teorema : Jika fungsi f mempunai limit untuk menuju o, maka nilai limitna tunggal. Bukti: Misal limitna w dan w, maka f() w w f() f() w w sehingga jadi f() w w f() w w w w f() f() w 86
87 Teorema : Misalkan = (,) = +i dan f() = u(,) + iv(,) dengan domain D. Titik o = ( o, o ) = o +i o di dalam D atau batas D. Maka lim o f() lim u(,) o o i o o dan jika dan hana jika lim v(,) o o 87
88 Teorema 3 : Misalkan fungsi f dan g limitna ada. lim f() = a dan lim g() = b, maka. lim (f() +g()) = a + b (untuk o ). lim (f(). g()) = a. b (untuk o ) 3. lim (f() / g()) = a / b (untuk o ) Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut! 88
89 Contoh : Hitunglah lim i i 89
90 90 Contoh : Hitunglah Jawab: i lim i i i) lim ( i i) i)( ( lim i lim i i i
91 Contoh : Jika f() i. Buktikan lim f() tidak ada! 0 9
92 Contoh : Jika f() i. Buktikan lim f() tidak ada! 0 Bukti : Kita tunjukkan bahwa untuk menuju 0 di sepanjang garis = 0, maka lim f() 0 lim (,0) (0,0) f() Sedangkan di sepanjang garis =, lim f() lim f() lim( i) 0 (,) (0,0) Dari dan, terbukti lim 0 0 lim 0 i f() 0 tidak ada 9
93 Kekontinuan Fungsi Definisi : Misalkan fungsi f() terdefinisi di D pada bidang Z dan titik o terletak pada interior D, fungsi f() dikatakan kontinu di o jika untuk menuju o, maka lim f() = f( o ). 93
94 Jadi, ada tiga sarat fungsi f() kontinu di o, aitu :.. 3. f( o lim f() ) ada lim f() o o ada f( o ) Fungsi f() dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f() kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut. 94
95 Teorema 4 : Jika f() = u(,) + iv(,), f() terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan o = o + i o titik di dalam R, maka fungsi f() kontinu di o jika dan hana jika u(, ) dan v(,) masing-masing kontinu di ( o, o ). 95
96 Teorema 5 : Andaikan f() dan g() kontinu di o, maka masingmasing fungsi :. f() + g(). f(). g() 3. f() / g(), g() 0 4. f(g()); f kontinu di g( o ), kontinu di o. 96
97 Contoh : Fungsi f() = Jawab : 4, i 3 4, i, apakah kontinu di i i f(i) = 3 + 4(i) = 3 + 4i, sedangkan untuk mendekati i, lim f() = + i, sehingga lim f() f(i) i jadi f() diskontinu di = i. 97
98 Contoh. Dimanakah fungsi g() kontinu? 3 Jawab : Coba anda periksa bahwa g() diskontinu di = dan =. Jadi g() kontinu di daerah 98
99 BAB III. TURUNAN 3. Definisi Turunan Diberikan fungsi f ang didefinisikan pada daerah D dan o D. Jika diketahui bahwa nilai ada, maka nilai limit ini dinamakan turunan atau derivatif fungsi f di titik o. Dinotasikan : f ( o ) lim o f() f( o o ) 99
100 Jika f ( o ) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di o. Dengan kata lain : f'( Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f terdifferensial pada D o ) lim 0 f lim 0 f( o ) f( o ) Contoh 3.. Buktikan f() = terdifferensiasi diseluruh C 00
101 Bukti : Ditinjau sebarang titik o C f'( o ) lim lim lim o o o o f() f( o o o o ) ( o)( o Karena o sebarang maka f() = terdefferensial di seluruh C o ) 0
102 Teorema 3. Jika f fungsi kompleks dan f ( o ) ada, maka f kontinu di o Bukti : 0
103 Bukti : Diketahui f ( o ) ada Akan dibuktikan f kontinu di o atau lim f() f( ) lim (f() o f( o )) f() lim ( o f() lim ( 0 o f'() 0 f( ) f( ) o o o o ) ( ) lim ( o o o ) o ) o sehingga lim o f() lim f( dengan kata lain f kontinu di o. o o ) f( o ) 03
104 Contoh 3.. Buktikan f() = kontinu di seluruh bidang kompleks tetapi hana terdifferensial di = 0 Bukti : f() = = + berarti u(,) = + dan v(,) = 0 u dan v kontinu di D, maka f() kontinu di D f'(0) lim 0 lim 0 f() f(0) 0 0 lim 0 Jadi f() terdifferensial di = 0 04
105 3. Sarat Chauch-Riemann Sarat ang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di o = o + i o adalah sarat Chauch-Riemann, ang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f. 05
106 Terema 3.. (Sarat Chauch-Riemann Jika f() = u(,) + i v(,) terdifferensial di o = o + i o, maka u(,) dan v(,) mempunai derivatif parsial pertama di ( o, o ) dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauch Riemann u v dan u v derivatif f di o dapat dinatakan dengan f'( ) u (, ) iv (, o o Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di ( o, o ) maka f() = u(,) + i v(,) tidak terdifferensial di o = o + i o o o o ) 06
107 Contoh 3.. Buktikan f() = tidak terdifferensiasi di 0 Bukti : f() = + sehingga u(,) = + v(,) = 0 Persamaan Cauch Riemann u dan u v 0 dan v 0 u v 0 () 07
108 dan u v 0 () () dan () tidak dipenuhi jika 0 atau 0, jadi pasti f tidak terdeferensial di 0 08
109 Catatan : Sarat C-R hana sarat perlu untuk keterdifferensialan. Contoh ( i) ( i) Buktikan fungsi f() = dan f(0) = 0, tidak terdifferensial di 0, memenuhi C-R Bukti : 3 3 u = 3 3 dengan u(0,0) = 0 v = dengan v(0,0) = 0 u (0,0) = lim u(, 0) u(0,0) = o u(0,) u(0,0) u (0,0) = lim = - o 09
110 v (0,0) = v(,0) v(0,0) lim = o v( 0,) v(0,0) v lim (0,0) = o = Jadi persamaan Cauch Riemann terpenuhi Tetapi f() f(0) ( i) ( i) lim lim 0 0 ( )( i) Untuk 0 Sepanjang garis real = lim ( i) o 3 = + i 0
111 i Sepanjang garis real = lim o 3 = ( i) 3 i i Jadi lim f() f(0) tidak ada o sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun persamaan C-R dipenuhi di (0,0)
112 Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Sarat perlu f() = u(,) + iv(,), o = o + i o f () ada maka u u v v,,, ada di ( o, o ) berlaku C-R aitu : u v u v = dan = dan f ( 0 ) = u ( 0, 0 ) + i v ( 0, 0 )
113 ii. Sarat cukup u(,), v(,), u (,), v (,), u (,), v (,) kontinu pada kitar o = o + i o dan di ( o, o ) dipenuhi C-R maka f ( o ) ada 3
114 Contoh 3..3 Buktikan f() = e (cos + i sin ) terdiferensial untuk setiap dalam C Bukti u(,) : = e cos u (,) = e cos v(,) = e sin u (,) = -e sin v (,) = e sin v (,) = e cos ada dan kontinu di setiap (,) C 4
115 Berdasarkan persamaan C-R : u = v dan u = -v dipenuhi di (,) C, dan ada kitar dimana keenam fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (,). Jadi f () ada C. Dan f () = u (,) + i v (,) = e cos + i e sin 5
116 3.3 Sarat C-R Pada Koordinat Kutub Jika f() = u(,) + i v(,) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius maka dengan menggunakan hubungan = r cos dan = r sin, diperoleh = r cos + i sin, sehingga f() = u(r, ) + i v(r, ) dalam sistem koordinat kutub 6
117 Teoreama 3.3. Jika f() = u(r, ) + i v(r, ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (r o, o ) dan jika dalam kitar tersebut u r, u, v r, v ada dan kontinu di (r o, o ) dan dipenuhi C-R aitu: u v v v = dan r r r =, r 0 r maka f () = ada di = o dan f () = (cos o i sin o ) [u r (r o, o ) + i v r (r o, o )] 7
118 Contoh 3.3. Diketahui f() = -3, tentukan f () dalam bentuk kootdinat kutub 8
119 Jawab : f() = -3 = r -3 (cos 3 - i sin 3), maka : u = r -3 cos 3, sehingga u r = -3r -4 cos 3 dan u = -3r -3 sin 3 v = -r -3 sin 3, sehingga v r = 3r -4 sin 3 dan v = -3r -3 cos 3 keenam fungsi ini kontinu dan sarat C-R dipenuhi untuk semua 0 Jadi f() = -3 terdiferensial untuk 0 Dengan demikian f () dalam koordinat kutub adalah : f () = (cos i sin ) (-3r -4 cos 3 + i 3r -4 sin 3) = cis(-) (-3r -4 ) cis(-3) = -3r -4 cis(-4) 9
120 3.4 Aturan Pendiferensialan Jika f(), g() dan h() adalah fungsi- fungsi kompleks serta f (), g () dan h () ada, maka berlaku rumus-rumus : dc d() 0, d d dcf() cf'() d d f() g() f'() g'() d d f()g() f'()g() f()g'() d d f() f'()g() f()g'() d g() g() 0
121 6. 7. n d n d Jika h() biasa dw d n disebut dw d. d d g[f()] maka dengan h'() komposisi g'[f()]f'() (aturanrantai)
122 3.5 Fungsi Analitik Definisi 3.5. Fungsi f analitik di o, jika ada r > 0 sedemikian, hingga f () ada untuk setiap N( o,r) (persekitaran o ) r f diferensiable o Fungsi analitik untuk setiap C dinamakan fungsi utuh
123 Contoh f() = analitik kecuali di = 0. f() = 3 + i 3 diperoleh : u = 3 ; v = 3 sehingga u = 3 ; v = 0 ; u = 0 ; v = 3 dengan menggunakan persamaan C-R : 3 = 3 = dan v = u = 0 persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris = berarti f () ada hana di = Jadi f() tidak analitik dimanapun karena tidak ada kitar. 3
124 Sifat sifat analitik Misalna f dan g analitik pada D, maka : o f g merupakan fungsi analitik o fg merupakan fungsi analitik o f/g merupakan fungsi analitik dengan g 0 o h = g f merupakan fungsi analitik o berlaku aturan L hospital aitu : f f' lim, dengan g() 0 g'() 0 g g' o 4
125 3.6 Titik Singular Definisi 3.6. Titik disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di tetapi untuk setiap kitar dari memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik. 5
126 Jenis kesingularan f() atau titik singular antara lain :. Titik singular terisolasi Titik o dinamakan titik singular terisolasi dari f() jika terdapat 0 demikian sehingga lingkaran o = hana melingkari titik singular lainna. Jika seperti itu tidak ada, maka = o disebut titik singular tidak terisolasi. 6
127 . Titik Pole (titik kutub) Titik = o disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim ( o o ) n f() A 0. Jika n =, o disebut sebagai titik pole sederhana. 3. Titik Cabang Dari fungsi bernilai banak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskan Titik singular o disebut titik singular dapat dihapuskan dari f() jika lim o f() ada. 7
128 5. Titik Singular Essensial Titik singular = o ang tidak memenuhi sarat titik singular pole titik cabang atau titik singular ang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial. 6. Titik Singular tak hingga Jika f() mempunai titik singular di =, maka sama dengan menatakan f(/w) mempunai titik singular di w = 0. 8
129 Contoh 3.6. g() = ( ) berarti titik = i adalah titik pole tingkat dari g() h() = tidak merupakan titik singular k() = ln ( + ) maka titik cabang adalah = dan = karena ( + ) = ( ) ( + ) = 0 9
130 3.7 Fungsi Harmonik f() = u(,) + iv(,) analitik pada D maka u dan v mempunai derivatif parsial di semua orde ang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R, u = v dan u = v Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku v = v. Jika dalam u = v dan u = v diderivatifkan parsial terhadap dan maka (,) D berlaku u + u = 0 v = v = 0 30
131 Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam dimensi. 0 u dan v dimana f() = u(,) + iv(,) analitik pada suatu domain maka f() harmonik pada domain tersebut. Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f() = u(,) + iv(,) analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi ang harmonik konjugat dalam domain itu. 3
132 Contoh 3.7. Diberikan u(,) harmonik pada D dan tentukan fungsi v ang harmonik konjugat dengan u = 4 3 3, (,) C Jawab : Misal diklaim konjugatna adalah v(,) jadi f() = u(,) + iv(,) analitik pada C sedemikian sehingga berlaku C-R u = v dan u = -v u = 4 3 v = 4 3 u = 4 3 v= g() karena v = u maka + g () = sehingga g () = 4 3 diperoleh g() = 4 + C Jadi v = C 3
133 Cara Milne Thomson Cara ang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(,) harmonik pada D andaikan v(,) sehingga f() = u(,)+ iv(,) analitik pada D f () = u (,) + iv (,) sesuai persamaan C-R : f () = u (,) iu (,) = + i dan dan f() = u = i sehingga diperoleh i, i iu, i 33
134 Suatu identitas dalam dan, jika diambil = maka f () = u (,0) iu (,0) Jadi f() adalah fungsi ang derivatifna u (,0) iu (,0) kemudian didapat v(,) 34
135 Contoh 3.7. Dari Contoh 3.7. dengan u= 43 43, (,) C, jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson. Jawab : u = 4 3 u = 4 3 f () = u (,0) iu (,0) = i( 4 3 ) = 4i 3 sehingga f() = i 4 + A f() = i( + i) 4 + A = i( ) + A 35
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB II FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi
Lebih terperinciBAB I BILANGAN KOMPLEKS
BAB I BILANGAN KOMPLEKS. Pengertian Bilangan Kompleks Pada awal perkuliahan bilangan real (R), kita telah mempelajari bilangan real beserta sifat-sifatnya. Sekarang kita akan melanjutkan perkuliahan pada
Lebih terperincix Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan z = 1.
Bab. Fungsi Kmpleks BAB. FUNGSI KOMPLEKS Sebelum membahas ungsi kmpleks,berikut ini diberikan beberapa knsep dan istilah ang akan banak digunakan dalam pembahasan selanjutna.. Daerah di bidang kmpleks
Lebih terperinciMODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS
1 MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd. STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014 2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS A. PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks merupakan
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS 1 BAB III. TURUNAN 3.1 Definisi Turunan Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan z D. Jika diketahui bahwa nilai lim zz f(z) z f(z z ) ada,
Lebih terperinciBAB II FUNGSI ANALITIK
BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
Lebih terperinciBilangan Kompleks. Anwar Mutaqin. Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA DAFTAR ISI 1 BILANGAN KOMPLEKS 1 1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks.................... 1 1.2 Operasi Aritmatika..........................
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciBab 1 Sistem Bilangan Kompleks
Bab 1 Sistem Bilangan Kompleks Bab 1 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Pengertian bilangan kompleks, Sifat-sifat aljabat, dan
Lebih terperinciBil Riil. Bil Irasional. Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + maka bentuk umum bilangan kompleks adalah
ANALISIS KOMPLEKS Pendahuluan Bil Kompleks Bil Riil Bil Imaginer (khayal) Bil Rasional Bil Irasional Bil Pecahan Bil Bulat Sistem Bilangan Kompleks Bil Bulat - Bil Bulat 0 Bil Bulat + Untuk maka bentuk
Lebih terperinciDIKTAT ANALISA KOMPLEKS. BINTI ANISAUL K, M.Pd.
DIKTAT ANALISA KOMPLEKS BINTI ANISAUL K, M.Pd. BAB I BILANGAN KOMPLEKS Sistem bilangan ang sudah dikenal sebelumna aitu sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternata masih belum cukup untuk
Lebih terperinciBab II Fungsi Kompleks
Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x
Lebih terperinciTinjauan Tentang Fungsi Harmonik. Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK
Tinjauan Tentang Fungsi Harmonik Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK Tujuan penulisan ini untuk mengkaji tentang pengertian fungsi harmonik, fungsi harmonik konjugat pada
Lebih terperinciFUNGSI VARIABEL KOMPLEKS. Oleh: Endang Dedy
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo. Aswad
4. Kompleks Kojugate (Sekawan) 5. Bentuk Polar & Eksponensial Bilangan Kompleks BILANGAN KOMPLEKS Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo 6. Perkalian & Pembagian
Lebih terperinciBab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar
Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah
Lebih terperinciFungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC
BILANGAN KOMPLEKS SHINTA ROSALIA DEWI, S.SI, M.SC TUJUAN Mahasiswa diharapkan mampu : Memahami bilangan kompleks Menggambarkan kurva pada bilangan kompleks Mengetahui Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
Lebih terperinciFungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI
MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI IDENTITAS MAHASISWA NAMA NPM KELOMPOK : : : DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi BAB I Bilangan
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciFUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
Lebih terperinciBab I. Bilangan Kompleks
Bab I Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan real yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagian dari himpunan
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris
Lebih terperinciKALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Ketiga)
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VI) Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan
Lebih terperinciBab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub
Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Pertama)
Fungsi Analitik (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu IV) Outline 1 Fungsi Variabel Kompleks 2 Pemetaan/Transformasi/Mappings
Lebih terperinciCATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.
ATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2014 Daftar Isi 1 Bilangan Kompleks
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 2 Bilangan Kompleks - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Simbol j Penyelesaian dari sebuah persamaan kuadratik ax 2 + bx rumus x = b± b2
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciBAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1
BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan
Lebih terperinciPENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 3 Bilangan Kompleks - 2 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Rekap Dari materi sebelumnya telah dipelajari operasi dalam bilangan kompleks (penambahan,
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciUnit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan
Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta
Lebih terperinciKuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinci1 Sistem Bilangan Real
Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciBab III. Integral Fungsi Kompleks
Bab III Integral Fungsi ompleks Integrasi suatu fungsi kompleks f() = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use. Vektor
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Vektor Vektor adalah sebuah besaran ang mempunai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasana digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping)
Lebih terperinci3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciFungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Bab 6 Sumber: Let s Learn about Korea, 00 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi komposisi dalam pemecahan masalah;
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 23 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 23 April 2014 Kuliah ang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
Lebih terperinciBagian 2 Turunan Parsial
Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi
Lebih terperinciPada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi terhadap y.
PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah Akan dibahas bentukbentuk integral lipat dalam koordinat kartesius koordinat kutub
Lebih terperinci1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik
Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan
Lebih terperinciKomposisi fungsi dan invers fungsi. Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. Grafik fungsi invers
Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar
Lebih terperinciMODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS
MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan
Lebih terperinciBAB I SISTEM BILANGAN REAL
BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan
Lebih terperinciSRI REDJEKI KALKULUS I
SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih
Lebih terperinciBAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Lebih terperinciBILANGAN KOMPLEKS. Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus ..(4)
BILANGAN KOMPLEKS A. Pengertian Bilangan Kompleks Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan komleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan
Lebih terperinciMAT 602 DASAR MATEMATIKA II
MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinci11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
Darpublic Nopember 01.darpublic.com 11. Turunan erkalian Fungsi, angkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit 11.1. Fungsi Yang Merupakan erkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi,
Lebih terperinciMODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.
Lebih terperinciBab 3 Fungsi Elementer
Bab 3 Fungsi Elementer Bab 3 ini direncanakan akan disampaikan dalam 3 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: (1) Pertemuan I: Fungsi Eksponensial dan sifat-sifatnya, Fungsi Trigonometri. ()
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Kedua)
Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan
BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATA FPMIPA - UNIVERSITAS PENDIDKAN INDONESIA 1 MINGGU KE- POKOK DAN SUB POKOK BAHASAN TUJUAN INSTRUKSIONAL UMUM (TIU) SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATAKULIAH : FUNGSI KOMPLEKS (3 SKS)
Lebih terperinciFUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut
Lebih terperinciANALISIS AKIBAT INTEGRAL CAUCHY Ricky Antonius, Helmi, Yudhi INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 07, No. 1 (2018), hal 41-46. ANALISIS AKIBAT INTEGRAL CAUCHY Ricky Antonius, Helmi, Yudhi INTISARI Analisis kompleks salah satu cabang matematika
Lebih terperinciTurunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.
Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperincipanjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d
INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciFUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS. Relasi dan Fungsi Pada saat di Sekolah Lanjutan Pertama (SMP) telah dipelajari tentang topik Relasi, Fungsi dan Grafik. Pada materi relasi ini selain menggunakan istilah
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi
Lebih terperinciBAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciMatematika Teknik 1, Bab 3 BAB III LIMIT. (Pertemuan ke 4)
BAB III LIMIT (Pertemuan ke 4) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang limit, antara lain mengenai pengertian limit secara intuisi/tak formal, pengertian persis tentang limit, pengkajian
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Keempat)
Fungsi Analitik (Bagian Keempat) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VII) Outline 1 Fungsi Analitik 2 Fungsi Analitik
Lebih terperinciBAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN
STANDAR KOMPETENSI: BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN Menusun persamaan lingkaran dan garis singgungna. KOMPETENSI DASAR Menusun persamaan lingkaran ang memenuhi persaratan ang ditentukan Menentukan persamaan
Lebih terperinciKARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG
Jumlah 50 Bentuk Pilihan Ganda Standar Kompetensi : Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar : Menggunakan
Lebih terperinci