Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan"

Transkripsi

1 Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta mengkaji sistem persamaan linear dengan dua peubah. Kompetensi ang harus dikuasai setelah Anda mempelajari konsep dasar aljabar adalah mampu menggunakan konsep dasar aljabar dalam menelesaikan masalah matematika maupun masalah pada bidang lain ang terkait dengan konsep tersebut. Unit ini terdiri dari tiga subunit aitu persamaan, pertidaksamaan, dan sistem persamaan linear. Masing-masing subunit akan dilengkapi dengan latihan-latihan sederhana untuk membantu Anda dalam memahami konsep ang telah dipelajari. Media ang dapat Anda gunakan dalam mempelajari konsep dasar aljabar ini, selain melalui bahan ajar cetak, Anda juga dapat mempelajarina dengan mengakses web ang telah disediakan. Unit ini merupakan salah satu prasarat pengetahuan ang harus Anda kuasai untuk mengkaji dan memecahkan masalah matematika terutama masalah matematika di bidang aljabar dalam kehidupan sehari-hari. Kajilah materi dalam setiap subunit sampai tuntas. Kerjakanlah latihan dan tugas-tugas ang ada di setiap subunit. Setelah Anda selesai mempelajari satu subunit, kerjakanlah tes formatif untuk mengukur tingkat penguasaan Anda. Cobalah mengerjakan sendiri tes formatif tersebut agar Anda benar-benar mengetahui seberapa besar penguasaan Anda terhadap materi ang baru dipelajari. Jika Anda belum mencapai tingkat penguasaan ang disaratkan, pelajari kembali materi pada subunit ang bersangkutan. Jangan segan untuk bertana atau meminta bantuan kepada orang ang Anda anggap mampu atau kepada dosen pengampu mata kuliah ini. Anda bisa melakukan latihan menelesaikan soal berulang-ulang baik soal ang tersedia dalam bahan ajar cetak maupun dalam bahan ajar web. Selamat mempelajari unit ini, semoga Anda berhasil. Pemecahan Masalah Matematika -

2 Subunit Persamaan S ubunit berisi bahasan mengenai persamaan linear dan kuadrat dan bagaimana menentukan penelesaianna. Persamaan merupakan salah satu konsep matematika ang digunakan dalam menentukan suatu model matematika dan penelesaianna terkait dengan pemecahan masalah matematika dalam bidang aljabar. Sebelum kita membahas mengenai persamaan, terlebih dahulu akan dibahas mengenai beberapa istilah ang dipakai dalam subunit ini. Istilah-istilah tersebut antara lain: variabel, koefisien, konstanta, dan suku. Selain istilah-istilah tersebut juga akan dibahas beberapa manipulasi aljabar ang akan digunakan untuk menelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Pertama-tama kita akan membahas mengenai variabel. Variabel adalah sebuah lambang ang menatakan atau mewakili sebarang bilangan real. Variabel biasa dinotasikan dengan huruf kecil, seperti :,, a, u, dan lain sebagaina. Jika beberapa variabel ang sama dijumlahkan akan diperoleh perkalian antara bilangan ang menatakan banakna variabel dan variabel tersebut. Contoh : Jika maka hal ini berlaku juga untuk a a a atau disingkat menjadi a. Demikian juga karena operasi perkalian mempunai sifat komutatif, aitu maka sifat tersebut berlaku juga dalam perkalian dengan variabel, aitu a a a. Selanjutna perhatikan contoh di atas. Pada a, bilangan disini menatakan banakna variabel a dan disebut koefisien dari variabel a. Hasil kali a a disebut suku atau lebih lengkapna suku aljabar. Jika suku aljabar ini tidak memuat variabel, dengan kata lain hana terdiri dari bilangan saja maka bilangan tersebut disebut konstanta. Jika suatu suku dikalikan dengan suatu bilangan atau variabel baik variabel ang sama maupun berbeda, hasil kalina merupakan suku juga. Contoh : Jika a b maka diperoleh ab ang merupakan sebuah suku. Sedangkan koefisien dari ab adalah. - Unit

3 Jika dua suku ang sama dijumlahkan atau lebih maka akan diperoleh perkalian antara bilangan ang menatakan banakna suku dengan suku tersebut. Contoh : Jika maka diperoleh. Jika dua suku ang memuat variabel sama atau lebih maka untuk menederhanakanna, kita dapat menggunakan aturan distributif. Contoh : Jika m 7m maka diperoleh ( 7)m 0m. Jadi kesimpulanna, dua suku atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel ang sama. Sebalikna, dua suku atau lebih tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut memuat variabel ang berbeda. Contoh : k m, 7 dan lain sebagaina. Pada setiap suku aljabar dapat dikenakan operasi perkalian dan pembagian seperti pada bilangan. Contoh : a. ( ) 8 b. 0t : (0 : )t t Sifat-sifat operasi hitung pada bilangan ang telah kita kenal adalah sifat komutatif, assosiatif dan distributif. Sifat-sifat tersebut juga berlaku pada pengerjaan operasi hitung pada suku aljabar. Contoh : a. u v v u uv b. a (b c) (a b) c c. u (a b) (u a) (u b) au bu Sebelum Anda mempelajari materi lebih lanjut cobalah kerjakan latihan berikut ini, untuk memperdalam materi mengenai variabel, koefisien, konstanta, suku aljabar dan manipulasi-manipulasi aljabar ang telah dipelajari di atas.. Jika diberikan ab maka tentukanlah a. koefisien dari dan b. konstanta ang ada pada ab c. suku aljabar ang ke. Untuk soal-soal berikut, sederhanakanlah. Pemecahan Masalah Matematika -

4 a. p b. 0 c. m d. n e. a b f. 8ab ba g. 7gh gl 8hg gl Berikut ini pembahasan dari soal-soal latihan di atas.. a. Koefisien dari adalah dan koefisien dari adalah. a. Konstanta ang ada pada ab adalah. c. Suku aljabar ang ke dari ab adalah ab.. a. p p b. 0 0 c. m m d. n n n Perhatikan penelesaian soal d. Setiap bilangan ang dikalikan dengan akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Demikian juga berlaku bahwa setiap variabel ang dikalikan dengan akan menghasilkan variabel itu sendiri. e. a b ( a) ( b) ( ) (a b) Menggunakan sifat assosiatif ab f. 8ab ba 8ab ab Menggunakan sifat komutatif (8 )ab Menggunakan sifat distributif ab h. 7gh gl 8hg gl 7gh 8gh gl gl (7 8) gh ( )gl gh 8gl Selanjutna kita akan membahas persamaan. Pernataan atau kalimat matematika tertutup ang menatakan hubungan sama dengan disebut kesamaan. Contoh : 0, 0, 8 Selanjutna kita akan mempelajari penggunaan variabel dalam kesamaan. Perhatikan salah satu contoh di atas aitu 0. Jika variabel menatakan - Unit

5 bilangan pada kesamaan tersebut maka diperoleh 0. Jadi 0 menjadi kalimat matematika ang terbuka. Kalimat matematika 0 disebut persamaan. Jadi persamaan adalah suatu pernataan atau kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda. Persamaan 0 memuat variabel dimana nilai adalah jika kalimat terbuka tersebut diubah menjadi pernataan ang benar. Nilai disebut penelesaian dari persamaan 0. Jadi menelesaikan persamaan berarti menemukan bilangan di mana jika setiap variabel dalam persamaan tersebut diganti dengan bilangan itu maka diperoleh pernataan ang bernilai benar. Persamaan ang akan kita bahas dalam unit ini adalah persamaan linear dan kuadrat. Kita akan mengkaji dan menelesaikan persamaan linear dan kuadrat tersebut. Persamaan linear adalah suatu persamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah. Secara simbolik, persamaan linear adalah persamaan ang berbentuk a b 0 dengan a, b R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a 0. Contoh : a. 9 b. 7 c. 7 d. 7 7 e. ( ) 8 Bagaimana menentukan nilai ang memenuhi persamaan di atas? Menentukan nilai dalam persamaan linear berarti menelesaikan persamaan linear tersebut. Untuk itu terlebih dulu Anda harus memahami konsep berikut ini. Jika kedua ruas dalam suatu persamaan dikurangi atau ditambah dengan suatu bilangan ang sama maka hal tersebut tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan tersebut. Demikian juga jika kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan ang sama juga tidak akan merubah nilai kebenaran dari persamaan itu. Bagaimana Saudara, apakah Anda telah paham dengan konsep tersebut? Cobalah Anda membuat contoh untuk menjelaskan konsep ini. Kemudian bandingkan dengan contoh berikut ini. Pemecahan Masalah Matematika -

6 Contoh : Diberikan persamaan 0. Kedua ruas dari persamaan tersebut kita tambah dengan sehingga diperoleh ( ) 0. Ruas kiri jika diselesaikan menghasilkan: ( ) 0, dan ruas kanan jika diselesaikan menghasilkan: 0. Jadi ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan menghasilkan bilangan ang sama aitu. Jadi jika kedua ruas persamaan 0 kita tambah dengan bilangan maka hasilna tidak merubah nilai kebenaranna. Dengan demikian suatu persamaan tidak akan berubah penelesaianna jika kedua ruas persamaan tersebut diberi perlakuan berikut ini.. Ditambah atau dikurangi dengan bilangan ang sama.. Dikali atau dibagi dengan bilangan ang sama asal bukan nol. Persamaan baru ang diperoleh dengan persamaan aslina dikatakan ekuivalen dan keduana mempunai penelesaian ang sama. Sekarang kita telah siap untuk menelesaikan persamaan linear pada contoh ang telah diberikan di atas. a. Penelesaian persamaan linear 9 adalah sebagai berikut. 9 Kedua ruas dikurangi dengan Jadi penelesaian persamaan linear 9 adalah. b. Selanjutna kita akan menentukan penelesaian persamaan linear Kedua ruas dikurangi dengan 7 : : Kedua ruas dibagi dengan ( : ) Jadi penelesaian persamaan linear 7 adalah. Bagaimana Saudara, mudah bukan? Untuk contoh berikutna cobalah Anda selesaikan sendiri dan hasilna dapat Anda cocokkan dengan penelesaian persamaan linear berikut ini. a. Penelesaian persamaan linear 7 adalah sebagai berikut. 7 Kedua ruas dikalikan Jadi penelesaian persamaan linear 7 adalah. - Unit

7 b. Untuk contoh ang keempat, penelesaian persamaan linear 7 7 adalah sebagai berikut Kedua ruas ditambah dengan 7 7 Kedua ruas dikurangi dengan (7 ) : : Kedua ruas dibagi dengan ( : ) 7 7 c. Penelesaian persamaan linear untuk contoh terakhir aitu ( ) 8 adalah sebagai berikut. ( ) Menggunakan aturan distributif 8 8 Kedua ruas dikurangi dengan 8 8 : 8 : 8 Kedua ruas dibagi dengan 8 (8 : 8) Jadi penelesaian persamaan linear ( ) 8 adalah. Kita telah mempelajari persamaan linear dan berlatih untuk menelesaikan persamaan linear. Selanjutna kita akan mempelajari persamaan kuadrat dan penelesaianna. Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan ang pangkat tertinggi dari variabelna adalah. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah a b c 0 dengan a, b, c R di mana R adalah himpunan bilangan real dan a 0. Contoh : 0, 9 0, 7 0 dan lain sebagaina. Bagaimana cara menelesaikan persamaan kuadrat di atas? Sebelum kita mengkaji hal tersebut dan berlatih menelesaikan persamaan kuadrat, terlebih dahulu kita akan membahas mengenai aturan faktor nol. Aturan faktor nol menatakan bahwa hasil kali sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol. Misalkan 0 0, atau Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol maka salah satu atau kedua bilangan tersebut adalah nol. Secara simbolik dinatakan bahwa jika ab 0 maka a 0 atau b 0. Kata atau pada a 0 atau b 0 Pemecahan Masalah Matematika - 7

8 berarti bahwa salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa jadi kedua-duana sama dengan nol. Konsep mengenai hal ini akan Anda pelajari lebih dalam pada unit. Aturan faktor ini akan kita pakai dalam menelesaikan persamaan kuadrat. Contoh : Dengan menggunakan aturan faktor nol, tentukanlah penelesaian persamaan kuadrat berikut ini. a. 0 b. 7 8 c. d. 0 Baiklah kita akan mencoba menelesaikan persamaan kuadrat di atas. a. Persamaan kuadrat 0 dapat diubah menjadi ( 8) 0 dengan menggunakan aturan distributif. Selanjutna dengan menggunakan aturan faktor nol akan diperoleh 0 atau 8 0 Sehingga diperoleh 0 atau 8. Jadi penelesaian persamaan kuadrat 0 adalah 0 atau 8 b. Dengan cara ang sama dengan a, maka penelesaian persamaan kuadrat 7 8 sebagai berikut Kedua ruas ditambah dengan 8 ( ) 0 7 Menggunakan sifat distributif 7 0 atau 0 Menggunakan aturan faktor nol Jadi penelesaian persamaan 7 8 adalah 0 atau. Bagaimana saudara? Apakah cukup jelas? Cobalah anda menelesaikan persamaan kuadrat berikutna dan kemudian cocokkan jawaban Anda dengan penelesaian berikut ini. a. Penelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. - 8 Unit

9 Kedua ruas dikalikan dengan 7 7 Kedua ruas dibagi dengan atau Jadi penelesaian persamaan kuadrat adalah atau. Perhatikan bahwa ada dua nilai ang memenuhi persamaan aitu atau. Jadi ingatlah bahwa persamaan a akan mempunai dua nilai aitu a dan a. Penelesaian persamaan linear seperti di atas merupakan penelesaian persamaan linear dengan menggunakan aturan akar kuadrat. b. Sekarang bagaimana penelesaian persamaan kuadrat 0? Untuk memahami penelesaian persamaan kuadrat tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini. Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti gambar berikut ini. (a) (b) (c) Gambar. Persegi (a) menatakan banakna, persegi panjang (b) menatakan banakna dan persegi (c) menatakan konstanta. Oleh karena itu untuk menatakan persamaan 0 dibutuhkan bangun (a), bangun (b) dan bangun (c) seperti berikut ini. Gambar. Pemecahan Masalah Matematika - 9

10 Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah persegi panjang baru seperti gambar dengan ukuran luas ang sama dengan bangun pada gambar. Gambar. Persegi ang baru terbentuk mempunai panjang dan lebar masing-masing ( ) dan ( ), sehingga ukuran luasna ( )( ). Jadi persamaan kuadrat 0 sama dengan persamaan ( )( ) 0. Dengan demikian untuk menelesaikan persamaan kuadrat tersebut akan lebih mudah. Dengan menggunakan aturan faktor nol diperoleh ( ) 0 atau ( ) 0. Jadi penelesaian persamaan kuadrat 0 adalah atau. Jadi secara umum, jika dan merupakan penelesaian suatu persamaan kuadrat maka persamaan kuadrat tersebut adalah ( ) 0. Cara menelesaikan persamaan kuadrat di atas disebut menelesaikan persamaan kuadrat dengan cara menfaktorkan. Jika suatu persamaan kuadrat ang berbentuk a b c 0 tidak dapat diselesaikan dengan cara-cara di atas, kita dapat menggunakan rumus berikut ini. b ± b ac a Contoh : Selesaikan persamaan kuadrat 7 0 dengan menggunakan rumus di atas. Dari persamaan kuadrat 7 0 maka a, b -7 dan c -. Nilai a, b dan c ini dimasukkan ke dalam rumus, sehingga diperoleh - 0 Unit

11 ( 7) ± ( 7)..( ). 7 ± ± 97 7 ± 9, , ,889 atau, atau 0,7 Jadi penelesaian persamaan kuadrat 7 0 adalah, atau - 0,7. Pemecahan Masalah Matematika -

12 Rangkuman Variabel adalah suatu lambang ang menatakan atau mewakili sebarang bilangan real ang biasana dinotasikan dengan huruf kecil. Koefisien suatu variabel merupakan bilangan ang menatakan banakna variabel tersebut. Suku aljabar menatakan setiap hasil kali variabel dengan bilangan, variabel dengan variabel baik ang sama maupun ang berbeda. Sebuah suku aljabar ang tidak memuat variabel, dengan kata lain hana merupakan bilangan saja disebut konstanta. Persamaan adalah suatu pernataan atau kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan dan dibatasi dengan tanda. Persamaan linear merupakan persamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna. Manipulasi aljabar ang dapat dilakukan untuk menelesaikan persamaan linear adalah sebagai berikut. a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan ang sama b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan ang sama Persamaan kuadrat adalah persamaan ang memiliki pangkat tertinggi pada variabelna adalah. Untuk menelesaikan persamaan kuadrat, dibutuhkan sebuah aturan ang disebut aturan faktor nol. Cara penelesaian persamaan kuadrat adalah sebagai berikut. a. Dengan aturan faktor nol b. Dengan menggunakan akar kuadrat c. Dengan menfaktorkan d. Dengan menggunakan rumus Tes Formatif Kerjakanlah tes formatif ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi persamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban ang Anda anggap benar.. Pengertian koefisien adalah. A. suku aljabar ang tidak memuat variabel B. suku aljabar ang mempunai pangkat tertinggi C. bilangan ang menatakan banakna suku aljabar D. bilangan ang menatakan banakna variabel. Jika diberikan persamaan 8 0 maka koefisien dari adalah... - Unit

13 A. -8 B. C. D. 8. Berikut ini ang merupakan contoh persamaan linear adalah... A. 7 C. ( ) B. 7 D. 0. Penelesaian persamaan adalah... A. C. B. D.. Persamaan linear berikut ini ang mempunai penelesaian adalah... A. C. B. D. Pemecahan Masalah Matematika -

14 . Perhatikan cara penelesaian persamaan kuadrat berikut ini atau 9 Penelesaian persamaan kuadrat di atas menggunakan... A. aturan faktor nol B. akar kuadrat C. cara memfaktorkan D. rumus 7. Penelesaian persamaan ( ) adalah... A. B. 0 atau C. atau D. atau 8. Persamaan berikut ini ang mempunai penelesaian adalah... A. ( ) C. B. ( ) D. 9. Penelesaian persamaan kuadrat 0 adalah... A. atau C. atau B. atau D. atau 0. Penelesaian persamaan kuadrat 0 adalah... A. B. atau C. 0 atau D. atau Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban ang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutna. Sebalikna jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian ang belum Anda kuasai dengan baik. - Unit

15 M Subunit Pertidaksamaan ateri ang akan dibahas pada subunit adalah pertidaksamaan dan penelesaianna. Pertidaksamaan ang dibahas adalah pertidaksamaan linear dan kuadrat. Dalam subunit ini kita juga akan mempelajari bagaimana menatakan penelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan garis bilangan. Pertidaksamaan adalah suatu pernataan atau kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Biasana diantara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda >,, atau <. Kita akan mempelajari pertidaksamaan linear terlebih dahulu. Analog dengan persamaan linear, pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna sama dengan. Contoh : >,, dan lain sebagaina. Selanjutna kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan penelesaian pertidaksamaan linear. Tetapi terlebih dahulu kita akan memahami dan mempelajari konsep berikut ini. Perhatikanlah gambar di bawah. Gambar. Jika keduana dikurangi dengan, maka akan diperoleh Gambar. Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 0 > dikurangi dengan maka diperoleh 0 8 Pemecahan Masalah Matematika -

16 dan dimana 8 >. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikurangi dengan bilangan ang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Demikian juga jika kedua ruas ditambah dengan bilangan ang sama. Jika pada gambar, masing-masing dikalikan dengan maka akan diperoleh Gambar. Jadi jika kedua ruas pertidaksamaan 0 > dikalikan dengan maka diperoleh 0 0 dan dimana 0 >. Secara umum, jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif ang sama maka hal ini tidak akan mengubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Bagaimana jika kedua ruas pertidaksamaan tersebut dikalikan dengan bilangan -? Menurut Saudara, apakah akan merubah tanda pertidaksamaan? Mari kita selidiki bersama-sama. Kedua ruas pertidaksamaan 0 > dikalikan dengan - maka diperoleh 0 (-) -0 dan (-) - dimana -0 < -. Jadi ternata jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif ang sama maka hal ini akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan ruas kanan. Perubahan tersebut dari < menjadi > dan sebalikna serta dari menjadi. Demikian juga berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dibagi dengan bilangan negatif ang sama, akan merubah tanda pertidaksamaan di antara ruas kiri dan kanan dari pertidaksamaan tersebut. Dengan cara ang sama seperti pada perkalian, cobalah Anda menjelaskan konsep ini. Sekarang kita mengkaji dan membahas penelesaian pertidaksamaan linear. Contoh : Tentukan penelesaian pertidaksamaan a. > 7 b. 8 c. d. ( ) > ( ) Penelesaian pertidaksamaan linear di atas adalah sebagai berikut. - Unit

17 a. Penelesaian pertidaksamaan linear > 7 > 7 Kedua ruas dikurangi dengan > Jadi penelesaian pertidaksamaan > 7 adalah semua bilangan ang kurang. Akan lebih jelas jika penelesaian tersebut disajikan dengan garis bilangan berikut ini. dari ang dinotasikan dengan himpunan { ; > } Gambar.7 Perhatikan lingkaran di nilai pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran tersebut tidak diarsir. Hal ini menatakan bahwa nilai ang memenuhi pertidaksamaan > 7 adalah semua bilangan ang lebih dari tetapi tidak sama dengan ( ). b. Penelesaian pertidaksamaan linear Kedua ruas dikurangi dengan 8 Jadi penelesaian pertidaksamaan 8 adalah { ; }. Jika penelesaian ini disajikan dalam bentuk garis bilangan, akan diperoleh Gambar.8 Perhatikan lingkaran di nilai - pada garis bilangan. Daerah di dalam lingkaran diarsir. Hal ini menatakan bahwa nilai ang memenuhi pertidaksamaan 8 adalah semua bilangan ang kurang dari - termasuk bilangan - itu sendiri. c. Penelesaian pertidaksamaan linear. (Kedua ruas dikalikan dengan ) Pemecahan Masalah Matematika - 7

18 Jadi penelesaian pertidaksamaan linear penelesaian ini disajikan dengan garis bilangan sebagai berikut. adalah { ; }. Jika Gambar.9 d. Penelesaian pertidaksamaan linear ( ) > ( ). 8 > (Menggunakan sifat distributif) > > (Kedua ruas dikurangi dengan ) > > (Kedua ruas dikurangi dengan ) > < (Kedua ruas dibagi dengan -) < Jadi penelesaian pertidaksamaan linear ( ) > ( ) adalah { ; < }. Bahasan selanjutna mengenai pertidaksamaan kuadrat. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna. Contoh : > 0 Kita akan mencoba menelesaikan pertidaksamaan pada contoh di atas. Dengan memfaktorkan ruas kiri dari pertidaksamaan diperoleh ( )( ) > 0 Selanjutna kita andaikan pertidaksamaan di atas merupakan persamaan sehingga diperoleh ( )( ) 0. Dengan menggunakan aturan faktor diperoleh ( ) 0 atau ( ) 0 sehingga atau garis bilangan ang dibatasi oleh nilai. Jadi kita mempunai daerah pada dan seperti gambar berikut ini. Gambar.0-8 Unit

19 Selanjutna kita akan menguji daerah mana ang memenuhi peridaksamaan > 0 dengan cara memasukkan sebarang bilangan ang terletak pada masing-masing daerah ke pertidaksamaan > 0. Misalna untuk bilangan - diperoleh ( ) ( ) maka semua bilangan ang terletak di daerah ang memuat bilangan -, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan > 0 akan menghasilkan bilangan positif. Selanjutna untuk bilangan - diperoleh ( ) ( ) maka semua bilangan ang terletak di daerah ang memuat bilangan -, jika dimasukkan ke dalam pertidaksamaan > 0 akan menghasilkan bilangan negatif. Analog untuk bilangan 0, akan menghasilkan bilangan positif. Jadi bilangan ang memenuhi pertidaksamaan > 0 adalah semua bilangan ang terletak pada daerah ang memuat bilangan - atau 0. Dengan kata lain, penelesaian pertidaksamaan > 0 adalah himpunan { ; < atau > }. Penelesaian tersebut dapat disajikan dalam bentuk garis bilangan seperti berikut ini. Gambar. Pemecahan Masalah Matematika - 9

20 Latihan Berikut ini soal-soal ang berkaitan dengan penelesaian pertidaksamaan kuadrat. Selesaikan soal-soal tersebut, kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan di bawahna. Tentukan himpunan penelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini ang dinatakan dengan menggunakan himpunan dan garis bilangan.. > > Pedoman Jawaban Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda mengalami kesulitan dalam menentukan himpunan penelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas? Silahkan Anda mencocokkan jawaban Anda dengan pembahasan berikut ini.. Langkah pertama ang kita lakukan adalah membagi kedua ruas dengan bilangan sehingga diperoleh >. Kemudian kita anggap pertidaksamaan tersebut adalah persamaan > sehingga dengan aturan penarikan akar kuadrat diperoleh dan. Selanjutna kita uji bilangan-bilanan ang menjadi anggota himpunan penelesaian > 8 dengan memasukkan bilangan, 0, dan ke pertidaksamaan > 8 sebagai berikut. ( ) > 8 > 8 > 8 (0) > 8 8 > 8 0 > 8 8 > 8 Pernataan benar Pernataan salah Pernataan benar Berdasarkan uji coba di atas, maka bilangan ang memenuhi pertidaksamaan () > 8 > 8 > 8 adalah semua bilangan ang kurang dari - atau lebih dari. Dengan kata lain himpunan penelesaian pertidaksamaan > 8 adalah { ; < atau > } dan penajianna dalam garis bilangan sebagai berikut. - 0 Unit

21 Gambar. Anda perhatikan lingkaran pada nilai dan berlubang. Hal ini menatakan bahwa nilai dan tidak memenuhi pertidaksamaan > 8.. Kedua ruas pertidaksamaan 0 dikurangi dengan bilangan sehingga diperoleh. Selanjutna kedua ruas dibagi dengan -. Ingat bahwa pembagian ang dilakukan pada kedua ruas pertidaksamaan akan mengubah tanda pertidaksamaan. Jadi diperoleh >. Selanjutna pertidaksamaan > dianggap persamaan sehingga diperoleh nilai dan. Pengujian akan dilakukan dengan memasukkan nilai, 0, dan sebagai berikut. ( ) 0 0 (0) Pernataan benar Pernataan salah Pernataan benar Berdasarkan pengujian di atas diperoleh himpunan penelesaian pertidaksamaan 0 adalah { ; atau } dan jika dinatakan dalam garis bilangan sebagai berikut. () 0 0 Gambar.. Pertidaksamaan > 0 dianggap menjadi persamaan 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh ( )( ) 0 0 atau atau atau 0 0 Selanjutna kita lakukan pengujian dengan memasukkan nilai, 0, dan ke dalam pertidaksamaan > 0 sebagai berikut. ( ) ( ) > 0 7 > 0 > 0 > 0 > 0 ( 0) ( 0) > 0 > 0 > 0 ( ) ( ) > 0 8 > 0 7 > 0 Pemecahan Masalah Matematika -

22 Pernataan salah Pernataan benar Pernataan salah Berdasarkan pengujian di atas, maka himpunan penelesaian pertidaksamaan > 0 adalah { ; < < } dan jika dinatakan dalam garis bilangan sebagai berikut. Gambar.. Pertidaksamaan 9 0 dianggap sebagai persamaan 9 0 sehingga dengan cara memfaktorkan diperoleh 9 0 ( )( ) 0 0 Pengujian akan dilakukan cukup dengan cara memasukkan nilai 0 pada pertidaksamaan 9 0 sebagai berikut ( 0) Pernataan benar Berdasarkan pengujian diperoleh himpunan penelesaian pertidaksamaan 9 0 ; atau penelesaian pertidaksamaan adalah { } 9 0 dapat dinatakan dengan diagram garis berikut ini. Gambar. Kita sudah mempelajari pertidaksamaan linear dan kuadrat. Semoga apa ang disajikan dalam subunit ini dapat dipahami dengan baik. Selanjutna silahkan Anda menguji tingkat penguasaan terhadap materi dengan mengerjakan tes formatif pada subunit ini. Selamat mengerjakan. - Unit

23 Rangkuman Pertidaksamaan adalah suatu pernataan atau kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan tidak sama dengan antara ruas kiri dan ruas kanan. Di antara ruas kiri dan ruas kanan diberi tanda <, >,, atau. Pertidaksamaan linear merupakan pertidaksamaan ang memiliki pangkat tertinggi pada variabelna. Untuk menelesaikan pertidaksamaan linear dapat dilakukan manipulasi-manipulasi aljabar seperti pada penelesaian persamaan linear. Tetapi harus diingat bahwa jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif ang sama maka akan merubah tanda ang ada di antara ruas kiri dan ruas kanan. Tanda < berubah menjadi >, tanda menjadi dan sebalikna. Penelesaian pertidaksamaan linear dapat disajikan dengan garis bilangan atau dengan himpunan. Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna. Untuk mempermudah penelesaian pertidaksamaan kuadrat, diandaikan pertidaksamaan itu menjadi persamaan kuadrat sehingga kita dapat menentukan nilai ang menjadi batas daerah pada garis bilangan. Selanjutna untuk menentukan semua nilai ang memenuhi persamaan kuadrat tersebut, dilakukan pengujian dengan cara memasukkan bilangan ang terletak pada masing-masing daerah pada garis bilangan. Tes Formatif Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi pertidaksamaan dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban ang Anda anggap benar.. Pertidaksamaan linear adalah... A. pertidaksamaan ang tidak memuat konstanta B. pertidaksamaan ang memiliki variabel C. pertidaksamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna D. pertidaksamaan ang mempunai pangkat tertinggi pada variabelna Pemecahan Masalah Matematika -

24 . Berikut ini ang merupakan pertidaksamaan linear adalah... A. B. > 0 C. D. ( ) <. Jika pertidaksamaan linear > dikalikan dengan bilangan - maka diperoleh pertidaksamaan... A. > C. > B. < D. < 7. Berikut ini ang merupakan penelesaian pertidaksamaan adalah... A. { ; } B. { ; } C. ; 0 7 D. ; 0 atau 7. Pertidaksamaan linear ang mempunai penelesaian ang ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah... A. 8 < B. 8 > C. 8 D Himpunan penelesaian pertidaksamaan <... ditunjukkan oleh A. - Unit

25 B. C. D. 7. Penelesaian pertidaksamaan > adalah... A. ; < < B. ; < atau > C. { ; < < } D. { ; < atau > } 8. Pertidaksamaan kuadrat ang mempunai himpunan penelesaian ang ditunjukkan oleh garis bilangan berikut adalah... A. ( )( ) B. ( )( ) < C. ( )( 7) D. ( )( 7) < 9. Garis bilangan berikut ang menatakan penelesaian pertidaksamaan 0 > 9 adalah... A. B. C. D. 0. Himpunan penelesaian pertidaksamaan kuadrat 0 adalah... A. { ; - } C. { ; atau } C. { ; } D. { ; atau } Pemecahan Masalah Matematika -

26 Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban ang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari sub unit selanjutna. Sebalikna jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian ang belum Anda kuasai dengan baik. - Unit

27 D Subunit Sistem Persamaan Linear alam subunit ini, kita akan mempelajari sistem persamaan linear ang paling sederhana aitu sistem persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Sistem persamaan linear disebut juga persamaan linear simultan. Untuk mempelajari materi ini perhatikan contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari berikut ini. Contoh :Diketahui Ari membeli 0 buku dan pensil dengan harga Rp..00,-. Sedangkan Dita membeli buku dan pensil dengan harga Rp..000,-. Berapa harga sebuah buku dan sebuah pensil? Untuk menelesaikan permasalahan di atas, kita buat tabel berikut. Tabel. Banak buku Banak pensil Harga Ari 0 Rp..00,- Dita Rp..000,- Misalkan menatakan harga sebuah buku dan menatakan harga sebuah pensil. Berdasarkan tabel dapat dibentuk persamaan-persamaan berikut Persamaan-persamaan di atas mempunai dua variabel (aitu dan ) dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu, sehingga persamaan-persamaan itu disebut persamaan linear dengan dua variabel atau peubah. Dua persamaan linear ang diperoleh merupakan kalimat matematika ang menatakan permasalahan di atas. Dengan kata lain kedua persamaan tersebut merupakan model matematika dari permasalahan ang diberikan. Materi mengenai model matematika akan dipelajari lebih lanjut di unit 8. Jadi nampak bahwa kedua persamaan tersebut erat kaitanna, sehingga kedua persamaan itu dinamakan sistem persamaan linear. Untuk membedakan apakah sekumpulan persamaan linear merupakan suatu sistem atau bukan biasana pada sekumpulan persamaan tersebut diberi tanda {. Jadi dari permasalahan di atas diperoleh sistem persamaan linear dengan dua peubah aitu Pemecahan Masalah Matematika - 7

28 Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut. a b c a b c dengan a, a, b, b, c, dan c merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Pada contoh tadi, kita diminta menentukan harga sebuah buku dan sebuah pensil. Hal ini berarti kita menentukan nilai dan ang memenuhi sistem persamaan Misalkan nilai p dan q ang memenuhi sistem persamaan linear di atas, artina jika nilai dan pada sistem persamaan linear diganti dengan p dan q maka diperoleh pernataan ang benar. Jika nilai dan tersebut ditulis sebagai pasangan berurutan ( p, q), pasangan berurutan ini disebut penelesaian sistem persamaan linear tersebut. Pada contoh di atas penelesaian sistem persamaan linear adalah (000,00). Kita akan menguji apakah (000,00) merupakan penelesaian dengan cara memasukkan nilai 000 dan 00 ke dalam sistem persamaan linear sebagai berikut. 0(000) (00) benar (000) (00) benar Ternata dengan memasukkan nilai-nilai tersebut diperoleh pernataan ang benar, maka (000,00) merupakan penelesaian persamaan tersebut. Jadi menelesaikan sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti variabel nilai dan sehingga diperoleh pernataan ang benar. Ada tiga masalah dalam menelesaikan sistem persamaan linear aitu:. ada tidakna penelesaian. metode penelesaian. deskripsi selengkapna mengenai penelesaian tersebut. Dalam subunit ini, kita akan pelajari dua metode penelesaian sistem persamaan linear aitu metode substitusi dan eliminasi. Sebelumna akan dijelaskan bahwa manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidakna penelesaian sistem persamaan. - 8 Unit

29 . Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemna.. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan ang bukan nol.. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemna. Penjelasan mengenai hal ini langsung menggunakan contoh-contoh penelesaian sistem persamaan linear ang akan dibahas selanjutna. Selanjutna kita akan membahas penelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi. Untuk menelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan metode substitusi, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.. Dipilih salah satu persamaan linear ang sederhana, kemudian natakan sebagai atau sebalikna.. Masukkan (substitusikan) atau ang diperoleh pada langkah satu ke persamaan ang lain sampai diperoleh nilai dan. Bagaimana cara menelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode substitusi, akan lebih jelas dengan mempelajari contoh-contoh berikut ini. Contoh : Tentukan penelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut ini dengan metode substitusi. 8 Penelesaian : Kita pilih persamaan 8, kemudian kita natakan sebagai sehingga diperoleh 8. Persamaan 8 kita masukkan ke dalam persamaan sehingga diperoleh Dari sini diperoleh ( 8 ) 8 8 ( ) 8 Pemecahan Masalah Matematika - 9

30 Jadi penelesaian sistem persamaan linear 8 adalah (-,-). Latihan Bagaimana Saudara, apakah Anda telah memahami cara menelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode substitusi? Silahkan Anda berlatih menelesaikan sistem persamaan linear dua peubah pada soal-soal berikut. Setelah Anda selesai mengerjakanna, cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan ang ada. Tentukan penelesaiann sistem persamaan linear berikut dengan metode substitusi. a. b Pedoman Jawaban Latihan a. Dari persamaan 9, variabel dinatakan dalam sehingga diperoleh 9. Persamaan 9 disubstitusikan ke dalam persamaan sehingga diperoleh (9 ) Selanjutna nilai disubstitusikan ke persamaan 9 sehingga diperoleh 9 9 () 9 Jadi penelesaian sistem persamaan linear 9 adalah (,). - 0 Unit

31 b. Dari persamaan 7, variabel dinatakan dalam diperoleh 7. Persamaan 7 disubstitusikan ke persamaan 7 sehingga diperoleh 7 ( 7) Selanjutna nilai disubstitusikan ke persamaan 7 diperoleh 7 () Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah (, ). 7 Berikut akan dibahas bagaimana cara menelesaikan sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi. Menentukan penelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi dilakukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut ini.. Nilai ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel.. Nilai ditentukan dengan menghilangkan atau mengeliminasi variabel. Langkah-langkah ini akan lebih jelas dengan contoh berikut. Contoh : Tentukan penelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. 8 Penelesaian : Berdasarkan persamaan-persamaan ang terdapat dalam sistem di atas, kita akan menghilangkan atau mengeliminasi variabel terlebih dahulu sehingga diperoleh nilai sebagai berikut. Pemecahan Masalah Matematika -

32 Unit Untuk memperoleh nilai kita akan mengeliminasi variabel dengan cara sebagai berikut. 8 Sehingga diperoleh Jadi penelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah (-,-). Latihan Setelah Anda memahami penelesaian sistem persamaan linear dua peubah dengan metode eliminasi, silahkan kerjakan soal-soal berikut kemudian cocokkan jawaban Anda dengan pembahasan ang ada. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear dua peubah berikut dengan metode eliminasi. a. b. 0 0 c. Pedoman Jawaban Latihan a. Penelesaian sistem persamaan linear adalah sebagai berikut.

33 Pemecahan Masalah Matematika - Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah,. b. Penelesaian sistem persamaan linear 0 0 adalah sebagai berikut Jadi penelesaian sistem persamaan linear 0 0 adalah 8 7,. c. Penelesaian sistem persamaan linear adalah sebagai berikut Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah ( ),. Dalam menelesaikan suatu sistem persamaan linear biasana kedua metode penelesaian tersebut digunakan secara bersamaan. Berikut ini contoh penggunaan kedua metode dalam menelesaikan sistem persamaan linear.

34 Unit - Contoh : Tentukan penelesaian sistem persamaan linear. Penelesaian : Langkah pertama menggunakan metode eliminasi, aitu: Nilai disubstitusi ke ruas persamaan pertama diperoleh: 0 0 Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah ( ),0. Tidak semua sistem persamaan linear dua peubah mempunai penelesaian. Contoh berikut merupakan sistem persamaan ang dimaksud. Contoh : Tentukan penelesaian sistem persamaan linear. Penelesaian : 0 Dari pengerjaan di atas diperoleh pernataan ang salah artina tidak ada nilai dan ang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Jadi sistem persamaan linear tidak mempunai penelesaian.

35 Rangkuman Persamaan ang mempunai dua variabel dan pangkat tertinggi pada variabel tersebut sama dengan satu disebut persamaan linear dengan dua variabel/ peubah. Sistem persamaan linear merupakan sekumpulan persamaan linear ang mempunai hubungan, misalna sekumpulan persamaan tersebut merupakan kalimat matematika ang menatakan suatu permasalahan matematis. Bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua peubah adalah sebagai berikut. a b c a b c dengan a, a, b, b, c, dan c merupakan bilangan-bilangan real. Setiap persamaan dalam suatu sistem persamaan disebut ruas persamaan. Menelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah bagaimana mencari nilai pengganti untuk variabel nilai dan sehingga diperoleh pernataan ang benar. Manipulasi aljabar berikut ini tidak akan mengubah ada tidakna penelesaian sistem persamaan.. Penambahan atau pengurangan ruas-ruas persamaan ke ruas-ruas persamaan lain dalam sistemna.. Perkalian setiap ruas dengan sebarang bilangan ang bukan nol.. Pengubahan urutan persamaan dalam sistemna. Manipulasi aljabar tersebut digunakan dalam menelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. Ada dua metode penelesaian sistem persamaan linear aitu metode substitusi dan eliminasi. Terkadang kedua metode tersebut digunakan sekaligus dalam menelesaikan sistem persamaan linear. Suatu sistem dikatakan tidak mempunai penelesaian jika tidak terdapat nilai dan ang memenuhi sistem persamaan linear tersebut. Pemecahan Masalah Matematika -

36 Tes Formatif Kerjakanlah tes formatif berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi sistem persamaan linear dengan cara memberi tanda silang (X) pada salah satu jawaban ang Anda anggap benar.. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear 9 dengan menggunakan metode substitusi.. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear 9 dengan menggunakan metode eliminasi. 0, 0,. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear, 0,8 7 dengan menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus. 9. Tentukan penelesaian sistem persamaan linear 7. Jika diketahui sistem persamaan linear, maka tentukan nilai 7. Umpan Balik Dan Tindak Lanjut Setelah mengerjakan tes formatif, bandingkan jawaban Anda dengan kunci jawaban ang terdapat pada akhir unit ini. Jika Anda dapat menjawab dengan benar minimal 80%, Anda dinatakan berhasil dengan baik. Selamat, silahkan Anda mempelajari materi pada unit selanjutna. Sebalikna jika jawaban benar Anda kurang dari 80%, pelajari kembali uraian dalam sub unit ini, terutama bagian-bagian ang belum Anda kuasai dengan baik. - Unit

37 Kunci Tes Formatif Kunci Tes Formatif. D. Koefisien merupakan bilangan ang melekat pada variabel sehingga bilangan ini menatakan banakna variabel.. B.. B. Perhatikan variabel dimana variabel tersebut mempunai pangkat sama dengan.. B. Kedua ruas persamaan dikalikan dengan sehingga diperoleh. A.. B. 7. C. Persamaan ( ) ekuivalen dengan persamaan 0 sehingga dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh ( )( ) 0 atau atau 0 0 dimasukkan ke persamaan ( ) 8. B. Jika pernataan ang benar. akan diperoleh 9. D. Persamaan 0 ekuivalen dengan persamaan 0 sehingga dengan memfaktorkan diperoleh ( )( ) 0 atau atau D. Untuk menelesaikan persamaan kuadrat 0 digunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan diperoleh a, b, dan c sehingga diperoleh Pemecahan Masalah Matematika - 7

38 b ± ( ) ± ± 8 ± 8 ± b ac a ( ).. Jadi penelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah atau. Kunci Tes Formatif. C.. A. Pertidaksamaan > mempunai variabel dengan pangkat tertinggi sama dengan.. D. 7. B. Kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan sehingga diperoleh 7 7. C. Ambil bilangan -0 kemudian masukkan ke dalam pertidaksamaan ang terdapat pada pilihan. 8? 0 8? ( 0) 8? Agar pernataan ang diperoleh benar maka tanda ang harus diberikan adalah > atau. Dengan melihat lingkaran pada bilangan -8 aitu diarsir penuh maka tanda ang memenuhi adalah. Jadi pertidaksamaan dengan penelesaian tersebut adalah Unit

39 7. B. Kedua ruas pertidaksamaan < dikalikan dengan bilangan diperoleh 7 < 7 < < 7. B. Penelesaian pertidaksamaan > adalah: > > 0 ( )( ) > 0 Andaikan pertidaksamaan menjadi persamaan sehingga diperoleh ( )( ) 0 0 atau 0 atau atau Selanjutna selidiki daerah pada garis bilangan ang merupakan penelesaian dari pertidaksamaan > sebagai berikut. Ambil nilai, 0 dan. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke pertidaksamaan sehingga diperoleh > ( ) ( ) > >.0.0 > >.. > 7 > 0 > > > 8 > Pernataan benar Pernataan salah Pernataan benar Dengan melihat hasil substitusi di atas maka himpunan penelesaian pertidaksamaan > adalah himpunan ; < atau >. 8. A. Pilihan C dan D tidak mungkin karena ruas kanan pertidaksamaan tersebut bukan nol sehingga bilangan dan 7 bukan merupakan penelesaian. Selanjutna kita ambil bilangan nol, kemudian kita masukkan ke dalam pertidaksamaan A dan B sebagai berikut. A. B. Pemecahan Masalah Matematika - 9

40 ( )( ) (0 )(0 ) ( )( ) ( )( ) (0 )(0 ) < ( )( ) < < 0 0 < Pernataan benar Pernataan salah Jadi pertidaksamaan A ang mempunai penelesaian seperti ang ditunjukkan oleh garis bilangan. 9. D. Pertidaksamaan 0 > 9 ekuivalen dengan 9 > 0. Dengan menganggap pertidaksamaan tersebut sebagai persamaan, maka diperoleh 9 0. Dengan memfaktorkan persamaan tersebut diperoleh ( 7)( 7) Selanjutna kita lakukan pengujian dengan mengambil sebarang bilangan sebelum dan sesudah bilangan 7, sebagai berikut. Diambil 0 sehingga 0 > 9 0 > 9 Pernataan benar Diambil 8 sehingga 0 > 9 (8) 0(8) > (8) 9 80 > 9 > 7 Pernataan benar Jadi bilangan ang memenuhi pertidaksamaan 0 > 9 adalah semua bilangan real kecuali 7. Mengapa 7 tidak termasuk ke dalam penelesaian? Hal ini disebabkan tanda pertidaksamaan tidak menggunakan tanda sama dengan. 0. A. Dengan menganggap pertidaksamaan 0 sebagai persamaan 0 diperoleh nilai ang memenuhi persamaan dengan menggunakan rumus sebagai berikut. Dari persamaan tersebut diperoleh a, b, dan c sehingga - 0 Unit

41 b ± b ac a ±..( ) ± 8 ± ± Dengan mengambil sebarang bilangan ang terletak di antara bilangan dan, misalna ang disubstitusikan ke pertidaksamaan 0 diperoleh 0 ang merupakan pernataan salah. Jadi himpunan penelesaian pertidaksamaan tersebut adalah { ; }. Kunci Tes Formatif. Dari persamaan, variabel dinatakan dalam sehingga diperoleh. Persamaan tersebut disubstitusikan ke persamaan 9 sehingga diperoleh 9 () ( ) Selanjutna diperoleh disubstitusikan ke persamaan sehingga Pemecahan Masalah Matematika -

42 Jadi penelesaian sistem persamaan linear 9 adalah,.. Penelesaian sistem persamaan linear 9 dengan menggunakan metode eliminasi adalah sebagai berikut. Pertama kita akan mengeliminasi variabel agar diperoleh nilai sebagai berikut. 9 Diperoleh ,9 9 Diperoleh Jadi penelesaian sistem persamaan linear adalah, , 0,. Penelesaian sistem persamaan linear dengan, 0,8 7 menggunakan metode substitusi dan eliminasi sekaligus, sebagai berikut. - Unit

43 Agar lebih mudah melakukan penghitungan, sistem persamaan linear di atas dikalikan dengan bilangan 0 sehingga diperoleh Dengan metode eliminasi diperoleh Selanjutna nilai disubstitusikan ke salah satu persamaan, misalkan kita substitusikan ke persamaan 0 sehingga diperoleh Jadi penelesaian sistem persamaan linear 0, 0,, 0,8 7 adalah,.. Penelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi kemudian substitusi adalah sebagai berikut. 9 Nilai disubstitusi ke ruas persamaan kedua, aitu: Diperoleh Pemecahan Masalah Matematika -

44 Unit - 9 () Jadi penelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah ( ), 9.. Penelesaian sistem persamaan linear 7 adalah sebagai berikut. 7 Sehingga diperoleh () 7 Jadi penelesaian sistem persamaan di atas adalah ( ),, maka 7 7 ) 7( () 7

45 Daftar Pustaka Roberts, D.M, et.all. 00. Mathematics A. [Online]. Tersedia di: [0 Mei 00].00. Aljabar. [Online}. Tersedia di: [0 Januari 007].00. Penelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah dengan Metode Grafik dan Substitusi. [Online]. Tersedia di: [ Maret 007]. 00. Year 9 Interactive Maths-Second Edition. [Online]. Tersedia di: [7 Oktober 00] Pemecahan Masalah Matematika -

46 Glosarium Eliminasi : salah satu metode penelesaian sistem persamaan dengan cara menghilangkan salah satu variabel dalam persamaan-persamaan Kesamaan : pernataan atau kalimat tertutup ang menatakan hubungan sama dengan Konstanta : suku aljabar ang tidak memuat variabel Koefisien : bilangan ang menatakan banakna variabel Persamaan : kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan sama dengan Penelesaian persamaan : suatu bilangan tertentu ang jika menggatikan variabel dalam suatu persamaan maka diperoleh pernataan ang benar Persamaan linear : persamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah Persamaan kuadrat : persamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah Pertidaksamaan : kalimat matematika terbuka ang menatakan hubungan tidak sama dengan Pertidaksamaan linear : pertidaksamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah Pertidaksamaan kuadrat : pertidaksamaan ang pangkat tertinggi pada variabelna adalah Sistem persamaan linear : sekumpulan persamaan linear ang terkait satu sama lain Substitusi : salah satu metode dalam menelesaikan sistem persamaan dengan cara memasukkan salah satu variabel dalam salah satu persamaan ang dinatakan dalam variabel lain ke persamaan ang lain Suku aljabar : hasil kali variabel dengan bilangan atau variabel dengan variabel Variabel : sebuah lambang ang menatakan atau mewakili sebarang bilangan real - Unit

Penulis Penelaah Materi Penyunting Bahasa Layout

Penulis Penelaah Materi Penyunting Bahasa Layout Penulis Clara Ika Sari Budhayanti Josef Tjahjo Baskoro Edy Ambar Roostanto Bitman Simanullang Penelaah Materi M. Syaifuddin Penyunting Bahasa Yumiati Layout Renaldo Rhesky N Kata Pengantar Pendidikan Jarak

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Drs. Karso Modul 9 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Modul ang sekarang Anda pelajri ini adalah modul ang kesembilan dari mata kuliah Matematika Sekolah Dasar Lanjut. Adapun

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan

MAT. 03 Persamaan dan Ketidaksamaan MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan i Kode MAT. 0 Persamaan dan Ketidaksamaan + = - 5 6 - - + = BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum

Lebih terperinci

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1 BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan

Lebih terperinci

Bab 4. Sistem Persamaan Linier dan Variabel. Standar Kompetensi

Bab 4. Sistem Persamaan Linier dan Variabel. Standar Kompetensi Bab 4 Sistem Persamaan Linier dan Variabel Standar Kompetensi Memahami sistem persamaan linear dua variabel, dan menggunakanna dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar.1 Menelesaikan sistem persamaan linear

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER

MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER MATEMATIKA BISNIS BAB FUNGSI LINIER Hikmah Agustin, S.P.,MM DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainna. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel Variabel

Lebih terperinci

E-learning matematika, GRATIS

E-learning matematika, GRATIS Penusun : Afifatuz Zahro, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. Pendahuluan Modul ini menajikan standart kompetensi Memecahkan Masalah Yang Berkaitan

Lebih terperinci

Unit 5 PELUANG. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan

Unit 5 PELUANG. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan Unit 5 PELUANG lara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan P ada unit lima ini kita akan membahas peluang. Peluang merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari cara menghitung tingkat keyakinan seseorang

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT

Lebih terperinci

kkkk EKSPONEN 1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009 A. 4 2 B. 3 2 C. 2 D. 1 E. 0 Solusi: [B] 2. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009 Jika x1

kkkk EKSPONEN 1. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009 A. 4 2 B. 3 2 C. 2 D. 1 E. 0 Solusi: [B] 2. SIMAK UI Matematika Dasar 911, 2009 Jika x1 kkkk. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009... EKSPONEN A. 4 B. C. D. E. 0 Solusi: [B]. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika dan merupakan akar-akar persamaan 6, maka... A. B. C. D. E. Solusi: [C] 6 6 0. SIMAK

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linier FTI-UY

Sistem Persamaan Linier FTI-UY BAB V Sistem Persamaan Linier Salah satu hal penting dalam aljabar linear dan dalam banak masalah matematika terapan adalah menelesaikan suatu sistem persamaan linear. Representasi Sistem Persamaan Linear

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear

Lebih terperinci

Unit 6 PENALARAN MATEMATIKA. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan. Selamat belajar, semoga Anda sukses.

Unit 6 PENALARAN MATEMATIKA. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan. Selamat belajar, semoga Anda sukses. Unit 6 PENALARAN MATEMATIKA Clara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan D alam menyelesaikan permasalahan matematika, penalaran matematis sangat diperlukan baik di bidang aritmatika, aljabar, geometri dan pengukuran,

Lebih terperinci

SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini. SOAL DAN JAWABAN TENTANG NILAI MUTLAK Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini. Jawaban: Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut.

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi MENCARI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI A. METODE TITIK POJOK

MATEMATIKA. Sesi MENCARI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI A. METODE TITIK POJOK MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 08 Sesi N MENCARI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI Kita sudah belajar bagaimana menggambar daerah dari batas pertidaksamaan ang diketahui atau pun sebalikna. Suatu

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP Nama Sekolah : SMP Negeri 3 Singaraja Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : VIII / Ganjil Alokasi Waktu : 2 40 menit A. Standar Kompetensi Memahami Sistem

Lebih terperinci

matematika Wajib Kelas X PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. DEFINISI PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

matematika Wajib Kelas X PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. DEFINISI PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-3 Kelas X matematika Wajib PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi dan solusi persamaan linear

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

Himpunan dan Sistem Bilangan Real

Himpunan dan Sistem Bilangan Real Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan

Lebih terperinci

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan

Lebih terperinci

Materi VI. Matik memiliki notasi yang berbeda dengan determinan. Garis pembatas sedikit disikukan Contoh. matrik ini memiliki ordo (3x4)

Materi VI. Matik memiliki notasi yang berbeda dengan determinan. Garis pembatas sedikit disikukan Contoh. matrik ini memiliki ordo (3x4) Materi VI Tujuan :. Mahasiswa dapat mengenali matrik.. Mahasiswa dapat mengunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matrik. Mahasiswa dapat merubah persamaan linier menjadi persamaan matrik..

Lebih terperinci

F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN

F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN Modul 3 F u n g s i Drs. Wahu Widaat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN

PERTIDAKSAMAAN PECAHAN PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.

Lebih terperinci

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel Konstanta Faktor

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Variabel Konstanta Faktor ALJABAR BENTUK ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif

Lebih terperinci

KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT. Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih

KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT. Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih 126 1 5 Dosen Pembimbing: Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c

MATEMATIKA. Sesi PROGRAM LINEAR CONTOH SOAL A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN. ax + by c MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 07 Sesi N PROGRAM LINEAR A. BENTUK UMUM PERTIDAKSAMAAN LINEAR a + b c CONTOH SOAL 1. Ubahlah 4-4 kedalam bentuk umumna 4 - -4 B. MENGGAMBAR DAERAH PERTIDAKSAMAAN

Lebih terperinci

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Bab 6 Sumber: Let s Learn about Korea, 00 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi komposisi dalam pemecahan masalah;

Lebih terperinci

PROGRAM LINIER. B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

PROGRAM LINIER. B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel PROGRAM LINIER A. Pengertian Program Linier Program linier adalah suatu cara ang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan ang berhubungan dengan optimasi linier (nilai maksimum atau nilai minimum).

Lebih terperinci

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat

Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : ALJABAR

MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : ALJABAR MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT MATA PELAJARAN : MATEMATIKA ASPEK : ALJABAR STANDAR KOMPETENSI LULUSAN 2. Memahami operasi bentuk aljabar, konsep persamaan dan pertidaksamaan linear, persamaan

Lebih terperinci

BENTUK-BENTUK ALJABAR

BENTUK-BENTUK ALJABAR BENTUK-BENTUK ALJABAR (Pembelajaran Matematika SMP) Oleh : H. Karso FPMIPA UPI A. Kalimat Matematika dalam Bentuk Aljabar Serta Unsur-unsurnya Dalam pelajaran matematika pengertian kalimat matematika dibedakan

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

Bab. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Pengertian SPLDV Penyelesaian SPLDV Penerapan SPLDV

Bab. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Pengertian SPLDV Penyelesaian SPLDV Penerapan SPLDV Bab Sumb er: Science Encylopedia, 1997 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Harga 3 buku tulis dan pensil adalah Rp13.00,00, sedangkan harga 5 buku tulis dan pensil adalah Rp15.000,00. Dapatkah kamu menghitung

Lebih terperinci

Kata-kata Mutiara. Lelah dalam belajar itu wajar Tapi... tetap semangat dan jangan menyerah dalam belajar...!!!

Kata-kata Mutiara. Lelah dalam belajar itu wajar Tapi... tetap semangat dan jangan menyerah dalam belajar...!!! Persamaan dan Pertidaksamaan Linear dengan Satu Variabel 1 Kata-kata Mutiara Lelah dalam belajar itu wajar Tapi... tetap semangat dan jangan menyerah dalam belajar...!!! Jika seseorang bepergian dengan

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : X (Sepuluh) / Ganjil Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat,

Lebih terperinci

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar,persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel.

Bab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar,persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel. Bab Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar,persamaan dan pertidaksamaan linier satu variabel. Kompetensi Dasar 1.1. Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya. 1.. Melakukan

Lebih terperinci

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan

Lebih terperinci

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI 1 BALONGAN

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI 1 BALONGAN PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI BALONGAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Kode. Dok PBM. Edisi/Revisi A/ Tanggal 7 Juli 7 Halaman dari 8 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Lebih terperinci

Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi

Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Contoh : Persamaan Derajat Tinggi Materi Matematika Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat Persamaan Linear Persamaan linear dengan n peubah adalah persamaan dengan bentuk : dengan adalah bilangan- bilangan real, dan adalah peubah. Secara

Lebih terperinci

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi . Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,

Lebih terperinci

Modul 04 Pertidaksamaan

Modul 04 Pertidaksamaan Modul 04 Pertidaksamaan 4.1. Pengertian Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan () dan mengandung variabel. Menyelesaikan suatu pertidaksamaan

Lebih terperinci

Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik

Menentukan Nilai Optimum dengan Garis Selidik D Menentukan Nilai ptimum dengan Garis Selidik Selain dengan menggunakan uji titik pojok, nilai optimum juga dapat ditentukan dengan menggunakan garis selidik. Persamaan garis selidik dibentuk dari fungsi

Lebih terperinci

Sumber: Kamus Visual, 2004

Sumber: Kamus Visual, 2004 1 BILANGAN BULAT Pernahkah kalian memerhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0

Lebih terperinci

Modul ini adalah modul ke-1 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini

Modul ini adalah modul ke-1 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini PENDAHULUAN Konsep Pra - Bilangan dan Bilangan Cacah KONSEP PRA-BILANGAN DAN BILANGAN CACAH Modul ini adalah modul ke-1 dalam mata kuliah. Isi modul ini membahas tentang konsep pra-bilangan dan bilangan

Lebih terperinci

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi . Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,

Lebih terperinci

A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a ) (3a ) 3a 0 adalah, maka akar lainna adalah. Nilai m ang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m ) (m ) ( m ) 0 mempunai dua

Lebih terperinci

Program Linear. Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan. Sistem Pertidaksamaan Linear B. Program Linear

Program Linear. Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan. Sistem Pertidaksamaan Linear B. Program Linear Bab w. me da li.c om : er mb Su ww Program Linear Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan ang banak digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Misalna, program

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a

Lebih terperinci

BAB V. PERTIDAKSAMAAN

BAB V. PERTIDAKSAMAAN BAB V. PERTIDAKSAMAAN Pengertian: Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri dan kanannya dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan > (lebih dari), < (kurang dari), (lebih besar dari dan sama

Lebih terperinci

BAB II PROGRAM LINEAR

BAB II PROGRAM LINEAR BAB II PROGRAM LINEAR A RINGKASAN MATERI. Pengertian Program linear adalah suatu permasalahan dalam matematika dengan tujuan untuk mengoptimalkan fungsi obektif ang berbentuk linear dengan kendala/batasan

Lebih terperinci

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL

Silabus. Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Silabus Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas / Program : X / UMUM Semester : GANJIL Sandar Kompetensi:. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma Kompetensi

Lebih terperinci

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s

matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat

Lebih terperinci

E-learning matematika, GRATIS

E-learning matematika, GRATIS A. Pengertian Matriks Editor Penusun : Sulistowati, S.Pd. ; Sumani, S.Pd. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si.. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Matriks ang

Lebih terperinci

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN

Lebih terperinci

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M 2 (Z) ABSTRACT

SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M 2 (Z) ABSTRACT SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M 2 (Z) Miftakhul Rohmah 1, Sri Gemawati 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN No : 14

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN No : 14 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN No : 14 Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : V / 1 Alokasi : 2 jam pelajaran A. Standar Kompetensi 2. Memahami bentuk aljabar, persamaan dan pertidaksamaan linear

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s

matematika K-13 FUNGSI KOMPOSISI K e l a s K-1 matematika K e l a s XI FUNGSI KOMPOSISI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi fungsi dan sifat-sifat fungsi.. Memahami

Lebih terperinci

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI 1 BALONGAN

PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI 1 BALONGAN PEMERINTAH PROVINSI JAWA BARAT DINAS PENDIDIKAN SMK NEGERI BALONGAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Kode. Dok PBM.0 Edisi/Revisi A/0 Tanggal 7 Juli 207 Halaman dari RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

Lebih terperinci

Himpunan dan Sistem Bilangan

Himpunan dan Sistem Bilangan Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Dr. Wahyu Widayat H PENDAHULUAN impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih memahami

Lebih terperinci

LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP (SILABUS)

LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) ANALISIS MATERI KOMPETENSI SISWA SMP (SILABUS) LAMPIRAN A : SILABUS KTSP KLS VII SEMESTER GANJIL SEKOLAH KELAS MATA PELAJARAN SEMESTER BILANGAN Standar Kompetensi KOMPETENSI DASAR 1.1 Melakukan operasi hitung bilangan bulat. : SMP : VII : MATEMATIKA

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL

SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) SISTEM PERSAMAAN LINEAR, KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear Bentuk umun persamaan linear satu vareabel Ax + b = 0 dengan a,b R ; a 0, x adalah vareabel Contoh: Tentukan penyelesaian dari 4x-8 = 0 Penyelesaian.

Lebih terperinci

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

Bab. Faktorisasi Aljabar. A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar C. Pecahan dalam Bentuk Aljabar

Bab. Faktorisasi Aljabar. A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar C. Pecahan dalam Bentuk Aljabar Bab Sumber: Science Encylopedia, 997 Faktorisasi Aljabar Masih ingatkah kamu tentang pelajaran Aljabar? Di Kelas VII, kamu telah mengenal bentuk aljabar dan juga telah mempelajari operasi hitung pada bentuk

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan

Lebih terperinci

PENGEMBANGAN KISI-KISI UJIAN SEMESTER GANJIL TAHUN 2016/2017

PENGEMBANGAN KISI-KISI UJIAN SEMESTER GANJIL TAHUN 2016/2017 PENGEMBANGAN KISI-KISI UJIAN SEMESTER GANJIL TAHUN 2016/2017 Jenis Sekolah : SMP Waktu : 90 menit Mata Pelajaran : Matematika Banyak soal : 25/5 Kelas : VII Pembuat Soal : Tim Kurikulum : KTSP Bentuk Soal

Lebih terperinci

A. UNSUR - UNSUR ALJABAR

A. UNSUR - UNSUR ALJABAR PENGERTIAN ALJABAR Bentuk ALJABAR adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat hurufhuruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan

Lebih terperinci

BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Banak masalah dalam kehidupan sehari-hari ang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menelesaikan masalah tersebut kita perlu menelesaikan pula persamaan

Lebih terperinci

E-learning matematika, GRATIS

E-learning matematika, GRATIS 1 Penusun Editor : Rifan Nadhifi, S.Si. ; Imam Indra Gunawan, S.Si. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. A. Sistem Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi

Lebih terperinci

PETA STANDAR KOPETENSI

PETA STANDAR KOPETENSI Program Linear PETA STANDAR KOPETENSI MATEMATIKA NON TEKNIK II TINGKAT II SEMESTES SEMESTER STANDAR KOPETENSI G STANDAR KOPETENSI I STANDAR KOPETENSI H STANDAR KOPETENSI J KETERANGAN : SEMESTER Standar

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

MODUL ALJABAR Untuk SMP/MTSN

MODUL ALJABAR Untuk SMP/MTSN MODUL ALJABAR Untuk SMP/MTSN 1 Pendahuluan Aljabar merupakan bahasa simbol dan relasi. Dalam kehidupan seharihari aljabar seringkali digunakan tanpa memperdulikan apa pengertian aljabar tersebut. Dalam

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011

Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011 Soal-Soal dan Pembahasan SBMPTN - SNMPTN Matematika Dasar Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 31 Mei 2011 1. Jika 6(3 40 ) ( 2 log a) + 3 41 ( 2 log a) = 3 43, maka nilai a adalah... A. B. C. 4 D.

Lebih terperinci

8 MATRIKS DAN DETERMINAN

8 MATRIKS DAN DETERMINAN 8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk

Lebih terperinci

EKSPLORASI BILANGAN. 1.1 Barisan Bilangan

EKSPLORASI BILANGAN. 1.1 Barisan Bilangan EKSPLORASI BILANGAN Fokus eksplorasi bilangan ini adalah mencari pola dari masalah yang disajikan. Mencari pola merupakan bagian penting dari pemecahan masalah matematika. Eksplorasi pola-pola bilangan

Lebih terperinci

Homepage : ekopujiyanto.wordpress.com HP :

Homepage : ekopujiyanto.wordpress.com    HP : Kuliah ke-2: Sistem Bilangan Real Homepage : ekopujiyanto.wordpress.com E-mail : ekop2003@yahoo.com eko@uns.ac.id HP : 081 2278 3991 Materi Kuliah ke-2 Sistem Bilangan Real Sifat-sifat Relasi Urutan Garis

Lebih terperinci

FAKTORISASI SUKU ALJABAR

FAKTORISASI SUKU ALJABAR 1 FAKTORISASI SUKU ALJABAR Pernahkah kalian berbelanja di supermarket? Sebelum berbelanja, kalian pasti memperkirakan barang apa saja yang akan dibeli dan berapa jumlah uang yang harus dibayar. Kalian

Lebih terperinci

2 Akar Persamaan NonLinear

2 Akar Persamaan NonLinear 2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan

Lebih terperinci

17. SOAL-SOAL PROGRAM LINEAR

17. SOAL-SOAL PROGRAM LINEAR 17. SOAL-SOAL PROGRAM LINEAR EBTANAS2000 1. Himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan 5x + 10 2x + 8 2 x = 2 titik (2,0 titk potong dengan sumbu jika x = 0 = 10 titik (0,10 daerah 5x + 10 berada pada

Lebih terperinci