4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

Transkripsi

1 4. TURUNAN MA4 Kalkulus I

2 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Sinun Kemirinan tali busur PQ adala : m PQ Jika à, maka tali busur PQ akan beruba menjadi aris sinun di ttk P dn kemirinan m P - Q - MA4 Kalkulus I

3 n b. Keepatan Sesaat Misal sebua benda bererak sepanjan aris koordinat seina posisina setiap saat diberikan ole s t. Pada saat t benda berada di dan saat t benda berada di. Perubaan waktu Perubaan posisi n s Seina keepatan rata-rata pada selan waktu [,] adala v rata rata MA4 Kalkulus I

4 Jika 0, diperole keepatan sesaat di : v Misal, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk v Dari dua bentuk diatas : kemirinan aris sinun dan keepatan sesaat terliat bawa dua masala tersebut berada dalam satu tema, aitu turunan v 0 rata rata Deinisi 4. : Turunan pertama unsi di titik, notasi sebaai berikut: bila it diatas ada 0 ' ' dideinisikan MA4 Kalkulus I 4

5 Notasi lain : d, ' d Conto : Diketaui ' tentukan ' 9 MA4 Kalkulus I 5

6 4.. Turunan Sepiak Turunan kiri dari unsi di titik, dideinisikan sebaai : ' Turunan kanan dari unsi di titik, dideinisikan sebaai : ' bila it ini ada. Funsi dikatakan mempunai turunandierensiabel di atau ada, jika ' ' ' ' dan ' _ sebalikna dikatakan tidak mempunai turunan di. ' MA4 Kalkulus I 6

7 Conto : Diketaui,, < Selidiki apaka dierensiabel di Jika a, tentukan ' Jawab : a. b. ' ' ' Jadi, dierensiabel di. dan. MA4 Kalkulus I 7

8 MA4 Kalkulus I 8 Teorema 4. Jika dierensiabel di è kontinu di. Bukti : Yan perlu ditunjukkan adala Peratikan bawa Maka Siat tersebut tidak berlaku sebalikna. Artina, Jika kontinu di, maka belum tentu dierensiabel di. Hal ini, ditunjukkan ole onto berikut.,...0 '. Terbukti.

9 Conto Tunjukkan bawa kontinu di 0 tetapi tidak dierensiabel di 0 Jawab Akan ditunjukkan bawa kontinu di 0, 0, < 0 q q q kontinu di 0 MA4 Kalkulus I 9

10 Selidiki apaka terdierensialkan di 0 ' ' Karena ' ' 0 0 maka tidak dierensiabel di 0. MA4 Kalkulus I 0

11 4. Aturan Penarian Turunan Funsi Turunan Pertama n n Deinisi 4. Misalkan terdeinisi pada selan I. Funsi turunan pertama dari, ditulis ', dideinisikan sebaai t ', Ι t t atau jika t- ', Ι 0 bila itna ada. d d n Notasi lain ',,, D, D d, bentuk dikenal d d d sebaai notasi Leibniz. MA4 Kalkulus I

12 n Denan menunakan deinisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk menari turunan sebaai berikut :. Jika k, maka.. 4. r r r ; r R d d d d d d ' ' ' ' d 5. denan 0. d ' 0 ' ' MA4 Kalkulus I

13 MA4 Kalkulus I Bukti aturan ke-4 Misal ' ' ' ' '

14 MA4 Kalkulus I 4 6. '.Tentukan turunan pertama dari. 6 Conto. Tentukan turunan pertama dari 4 Jawab : 0. ' 6. Tentukan turunan pertama dari Jawab : ' Jawab :

15 Soal Latian Tentukan unsi turunan pertama dari. / MA4 Kalkulus I 5

16 4. Turunan Funsi Sinus dan Cosinus a. sin ' Bukti: os b. os ' sin a. Misal sin maka sint ' t t sin t t os sin t t t os t os.. os. t 0 t sin t MA4 Kalkulus I 6

17 b. Misal os maka ' os os os os sin 0 0 os sin sin sin 0 os os sin sin 0 sin os os sin sin sin / sin sin os sin 0 / 0 / 4 / 4 0 os.0 sin sin MA4 Kalkulus I 7

18 Untuk turunan unsi trionometri an lain dapat diperole denan menerapkan rumus peritunan turunan, kususna turunan bentuk u/v sin tan d os d. d d os ot d sin d d. d d se d os d e. d d s d sin d. d d os sin os sin os sin sin os os sin se os s sin sin tan se os os os s ot sin sin MA4 Kalkulus I 8

19 4.4 Aturan Rantai n Andaikan u dan u. Jika d dan du ada, maka du d Conto : Tentukan dari Jawab : Misal u seina bentuk diatas menjadi Karena maka d d d du d d d du du d osu dan d d os du d sin os sin u MA4 Kalkulus I 9

20 Jika u, u v, v, dan d d Conto : Tentukan Jawab : Misal v d du dv du dv d d d dari 5 d du Sin 4 du dv, dv d, Ada, maka dv d 5 u Sin v du osv os 5 dv 4 u d 4u 4Sin 5 seina du d d du dv.. Sin 5 Cos d du dv d 5 MA4 Kalkulus I 0

21 n Conto : Tentukan ' jika d d jawab : d d ' '. MA4 Kalkulus I

22 Soal Latian Tentukan unsi turunan pertama dari sin os sin tan [ ] MA4 Kalkulus I

23 4.5 Turunan Tinkat Tini n n n n n Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-n-. n d Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketia Turunan ke-n n n Conto : Tentukan dari d d ' d d " d d "' d n n d '' d n 4 sin n Jawab : ' os maka '' 4 sin MA4 Kalkulus I

24 Soal Latian A. Tentukan turunan kedua dari sin 4 os π B. Tentukan nilai seina bila " a C. Tentukan nilai a, b dan dari b bila 5, ' dan ' ' 4 MA4 Kalkulus I 4

25 4.6 Turunan Funsi Implisit n n Jika ubunan antara dan dapat dituliskan dalam bentuk maka disebut unsi eksplisit dari, aitu antara peuba bebas dan tak bebasna dituliskan dalam ruas an berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan unsi implisit dari. Conto :. 0. sin Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit diunakan aturan rantai dan anap unsi dari. MA4 Kalkulus I 5

26 Tentukan d/d dari bentuk implisit berikut. 0. sin Jawab. D D D D D D 0 0 ' ' 0. D ' ' sin D os ' ' 0 os ' os ' os os MA4 Kalkulus I 6

27 Soal Latian Tentukan turunan pertama ' dari bentuk implisit. 0. sin. 4. tan - 0 sin MA4 Kalkulus I 7

28 4.7 Garis sinun dan aris normal n Persamaan aris sinun unsi di titik 0, 0 denan kemirinan m adala 0 m 0. n Garis an teak lurus denan aris sinun disebut denan aris normal. n Persamaan aris normal di titik 0, 0 adala m 0 0. MA4 Kalkulus I 8

29 Conto: Tentukan persamaan aris sinun dan aris normal unsi 6 di,6. Jawab : ' 4 ', Seina persamaan aris sinun di titik,6 : Persamaan aris normal dititik,6 : MA4 Kalkulus I 9

30 Tentukan persamaan aris sinun dan aris normal pada kurva 6 0 di titik denan absis Jawab : Jika disubstitusikan nilai pada persamaan kurva diperole dan - Seina diperole titik dimana akan ditentukan persamaan aris sinun dan aris normalna adala, dan,- Hitun terlebi daulu ' denan menunakan turunan unsi implisit D 6 D 0 ' ' 0 0 MA4 Kalkulus I 0

31 ' ' 0 ' Di titik,..9 5 ',.. 5 Persamaan aris sinun ' 6 Persamaan aris normal 8 MA4 Kalkulus I

32 Di titik,- ', Persamaan aris sinun 4 Persamaan aris normal MA4 Kalkulus I