matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s

Transkripsi

1 K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius, dan bentuk umum persamaan garis.. Memahami pengertian gradien dan cara menentukan gradien suatu garis.. Memahami cara membentuk persamaan linear.. Memahami hubungan antara sudut dan gradien, termasuk sudut pada dua garis berpotongan. 5. Memahami sifat garis-garis sejajar dan garis-garis tegak lurus.

2 A. APA ITU GARIS? Kalian sering mendengar kata garis? Apa itu garis? Garis adalah himpunan titik-titik ang anggotana lebih dari satu titik. Titik-titik tersebut berderet ke dua arah ang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Sifat suatu garis adalah memanjang terus-menerus. Jika suatu garis memiliki ujung kiri dan kanan, maka dinamakan sebagai segmen garis. Penamaan garis biasana dengan menggunakan huruf kecil, sedangkan segmen garis dengan menggunakan huruf kapital di ujung-ujungna. k garis k P segmen garis PQ Q B. GARIS PADA KOORDINAT CARTESIUS Garis dalam matematika tentuna tidak dinatakan begitu saja. Untuk membedakan dengan pelajaran menggambar, garis digambarkan dalam koordinat Cartesius dan memiliki bentuk persamaan tertentu. Jadi pembeda suatu garis dengan garis lain, selain nama adalah persamaan dalam variabel dan, ang mewakili sifat umum setiap titik. Perhatikan garis pada koordinat Cartesius berikut.

3 5 5 k Oleh karena setiap titik dan pada garis tersebut bernilai sama, maka garis k di atas dapat dinatakan dengan persamaan. Perhatikan kembali contoh grafik berikut! Garis di atas dapat dinamakan atau dinatakan dengan persamaan +, karena hasil penjumlahan dan di setiap titikna selalu bernilai. C. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS Semua garis pada koordinat Cartesius dapat dinatakan dalam bentuk umum persamaan garis berikut. a + b c atau a + b Persamaan di atas berlaku jika variabelna dan. Jika variabelna diubah, maka dan digantikan dengan variabel ang dipakai, misalna dalam variabel v dan t. Selama ang terlibat hana dua variabel, maka kita dapat menggambarkan persamaan garis tersebut pada koordinat Cartesius. Perhatikan gambar berikut.

4 v(m/s) t(s) Garis di atas dapat dinatakan dengan v t + 0. D. GRADIEN SUATU GARIS Unsur penting garis ang perlu kalian ketahui adalah gradien. Gradien garis menunjukkan seberapa curam suatu garis. Tingkat kecuraman suatu garis meliputi seberapa curam garis itu naik dan seberapa curam garis itu turun. Hana saja perlu ada kesepakatan bilamana suatu garis dikatakan naik dan bilamana suatu garis dikatakan turun. Untuk melihat suatu garis naik atau turun sangatlah mudah, aitu lihatlah dari sebelah kiri ke kanan. garis naik garis turun E. MENENTUKAN NILAI GRADIEN SUATU GARIS Gradien suatu garis dapat didefinisikan sebagai angka ang menunjukkan tingkat dan arah kecuraman. Notasi untuk gradien menggunakan huruf m. Suatu garis ang mendatar memiliki nilai m 0, sedangkan suatu garis naik memiliki nilai m > 0, dan garis turun memiliki nilai m < 0. a. Gradien Garis ang Melewati Dua Titik Gradien garis ang melewati dua titik (, ) dan (, ) dapat ditentukan dengan rumus berikut. m

5 Contoh Soal Garis k melalui titik (, ) dan (5, -8). Nilai gradien dari garis k adalah... Oleh karena (, ) (, ) dan (, ) (5, -8), maka diperoleh: m Jadi, nilai gradien dari garis k adalah 9. Contoh Soal Perhatikan gambar grafik berikut ini! Nilai gradien pada gambar tersebut adalah... Garis tersebut melalui titik (, ) (, 0) dan (, ) (0, -). Dengan demikian, gradienna adalah: 5

6 m m 0 0 m Jadi, nilai gradien dari gambar di atas adalah b. Gradien Garis Berbentuk a + b Suatu persamaan garis dapat dibentuk melalui gradienna. Misalkan suatu garis bergradien m melewati titik (, ) dan (, ). Persamaan garis tersebut dapat dinatakan sebagai berikut. m m( ) m m m m+ Bila dibandingkan dengan persamaan garis a + b, dapat diketahui bahwa koefisien adalah gradienna, sehingga dapat disimpulkan sebagai berikut. 0. Setiap bentuk persamaan a + b, maka besar gradienna adalah m a. Contoh Soal Garis (p ) + q memiliki gradien -6. Jika garis tersebut melalui titik (-, ), maka nilai dari p + q adalah... Bentuk (p ) + q memiliki gradien m p, sehingga didapat persamaan: p 6 p 5 Dengan demikian persamaan garisna menjadi 6 + q Oleh karena garis melalui (, ) maka: 6( ) + q q 6 Jadi, nilai dari p + q 6. 6

7 c. Gradien Garis Berbentuk p + q r Gradien suatu garis berbentuk p + q r dapat ditentukan dengan mengarahkan persamaan menjadi bentuk a + b. Perhatikan prosesna berikut! p + q r q p + r p q r + q Berdasarkan proses tersebut didapatkan bahwa untuk bentuk p + q r besaran gradienna adalah Contoh Soal p m q Jika garis + (p + ) 6 memiliki gradien ang berlawanan dengan gradien garis 6 0, maka besar nilai p adalah... + (p + ) 6 memiliki gradien m m Oleh karena m -m, maka: p + + p p + p Jadi, nilai p adalah. dan 6 0 memiliki gradien p + F. MEMBENTUK PERSAMAAN LINEAR Persamaan linear dari suatu garis dapat dibentuk jika memenuhi beberapa kondisi berikut.. Gradien garis m diketahui dan satu titik (, ) pada garis diketahui. Rumus ang digunakan untuk menemukan persamaanna adalah: m( ) 7

8 . Dua titik (, ) dan (, ) pada garis diketahui. Rumus ang digunakan untuk menemukan persamaanna adalah: Contoh Soal 5 Garis k melewati titik (, -5) dan memiliki gradien -. Persamaan garis k adalah... Diketahui (, ) (, -5) dan m -. Dengan demikian persamaan garisna adalah: ( ) ( ) m ( 5) Jadi, persamaan garis k adalah Contoh Soal 5 Suatu bak air memiliki volume 00 liter berisi penuh dengan air. Bak air tersebut hendak dikuras sampai air habis. Di bawah ini adalah data kondisi air per satuan waktu. Waktu (dalam menit) Volume air (v) 85 liter 70 liter 55 liter 0 liter a) Buatlah persamaan ang menunjukkan hubungan antara waktu dan volume! b) Pada menit ke berapa air akan habis? a) Dari data di atas dapat dilihat bahwa volume berkurang secara konstan per menit. Untuk membuat persamaanna, ambil dua titik sebarang, misal (t, v ) (,85) dan (t, v ) (,70). Dengan menggunakan persamaan untuk membentuk garis, diperoleh: 8

9 v v v v t t t t v 85 t v 85 t 5 v 85 5t + 5 v+ 5t 00 b) Oleh karena air akan habis saat v 0, maka: v+ 5t t t 5 t menit atau menit 0 detik. G. GARIS DAN SUDUT Suatu garis ang membentuk sudut tertentu dengan sumbu dapat ditentukan besar gradienna dengan mudah. Perhatikan gambar di bawah ini. Misal α adalah sudut ang terbentuk antara garis dengan sumbu positif. (, ) (, 0) α (, 0) Garis tersebut melalui dua titik (, ) dan (, 0). Dengan demikian besar gradienna adalah: m 0 I m adalah panjang sisi di depan sudut pada segitiga siku-siku, dan adalah panjang sisi di samping sudut pada segitiga siku siku. 9

10 (, ) (, 0) α (, 0) Tangen sudut segitiga didefinisikan dengan: tan sudut sisi depan sudut sisi samping sudut Dengan demikian, diperoleh: I tanα tanα m Contoh Soal 6 Tentukan besar sudut ang dibentuk oleh garis-garis berikut! a) 0 b) + 7 c) 0 a) Gradien dari garis 0 adalah m, sudut ang terbentuk antara garis dengan sumbu adalah: tanα α 5 b) Gradien dari garis + 7 adalah m, sudut ang terbentuk antara garis dengan sumbu adalah: tanα α 5 c) Gradien dari garis 0 adalah m, sudut ang terbentuk antara garis dengan sumbu adalah: 0

11 tanα α 60 Contoh Soal 7 Persamaan garis ang membentuk sudut 0 o dan melalui titik (, ) adalah... m tanα tan0 m Persamaan garis dengan gradien ( ) m ( ) dan melalui titik (, ) adalah: 9 9 H. SUDUT DUA GARIS BERPOTONGAN Dua garis ang berpotongan di bidang Cartesius memiliki sudut di titik potongna. Perhatikan gambar berikut! a + b c p + q r C θ α A β B Misal dua garis a + b c memiliki gradien m tan α dan garis p + q r memiliki gradien m tan β, dua garis tersebut berpotongan di titik C membentuk sudut θ sehingga sudut antara dua garis tersebut adalah θ. Perhatikan segitiga ABC! ABC 80 o β Dengan menggunakan sifat jumlah sudut segitiga α + 80 o β + θ 80 o θ β α tanθ tan β α ( ) {tangen dari kedua sudut}

12 tanβ tanα tanθ + tanβ tanα m m tanθ + m m {rumus selisih dua sudut rangkap untuk tan} Sudut di antara dua garis berpotongan diambil ang paling kecil, oleh karena itu tempatkan nilai m > m. Contoh Soal 8 Tentukanlah sudut antara garis 0 dan garis +! Garis 0 memiliki gradien m dan garis + memiliki gradien m dengan demikian besar sudutna adalah: m m tanθ + m m tanθ + tanθ 6 0 Oleh karena nilai tan θ di atas tidak terdefinisi, maka nilai θ 90 o. Contoh Soal 9 Tentukanlah sudut antara garis 7 dan garis! Garis 7 memiliki m dan garis memiliki m. Misal m dan m, serta θ sudut antara dua garis, maka berlaku:

13 m m tanθ + mm tanθ + tanθ tanθ θ 0 o Jadi, sudut antara garis 7 dan garis adalah 0º. I. GARIS-GARIS SEJAJAR DAN SIFAT-SIFATNYA. Sifat Misalkan garis g : a + b c; a 0 dan b 0 memiliki gradien m. g : r + s t; r 0 dan s 0 memiliki gradien m. a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real. Garis g sejajar dengan garis g, jika dan hana jika gradien kedua garis sama. Secara matematis dinotasikan: g g m m.. Sifat Misalkan garis g : a + b c; a 0 b 0 dan c 0 memiliki gradien m. g : r + s t; r 0 s 0 dan t 0 memiliki gradien m. a, b, c, r, s, t merupakan bilangan real. Jika a b r c s t maka garis g berimpit dengan garis g. Contoh Soal 0 Jika garis + (k ) 0 dan garis (k + ) + 9 sejajar, maka nilai k adalah... Garis + (k ) 0 memiliki gradien m dan garis (k + ) + 9 k k memiliki gradien m +. Oleh karena garis pertama sejajar garis kedua, maka 9 berlaku:

14 m m k + k 9 k+ ( k ) 8 ( ) k + k 8 k + k 0 0 k+ 6 ( k 5) 0 ( ) k -6 atau k 5 Jadi, nilai k adalah k -6 atau k 5. Contoh Soal Jika garis + (m 6) 8 dan garis 6 + (m + ) a berimpit, maka nilai a + m adalah... Oleh karena garis + (m 6) 8 dan garis 6 + (m + ) a berimpit, maka berlaku persamaan: 6 m 6 8 m+ a Tentukan nilai m dengan menggunakan ruas kiri dan tengah m 6 6 m + m 6 m + 6m 8 m+ m 0 m 5 Tentukan nilai a dengan menggunakan ruas kiri dan kanan 8 6 a 8 a 8a 5 a 7 Jadi, nilai dari a + m.

15 J. GARIS-GARIS TEGAK LURUS DAN SIFAT-SIFATNYA Misalkan garis g : b a t; a 0 dan b 0 memiliki gradien m a g : a + b c; a 0 dan b 0 dengan memiliki m b a, b, c, t merupakan bilangan real Garis g berpotongan tegak lurus dengan garis g, dinotasikan g g jika dan hana jika m m -. b a Contoh Soal Garis g tegak lurus pada garis 9 dengan melalui titik (-, ). Persamaan garis g adalah... Garis 9 memiliki gradien m. Dengan demikian, gradien garis g(m ) ang tegak lurus dengan garis tersebut adalah: m m m m Persamaan garis g dengan gradien m dan melalui (, ) (-, ) adalah m ( ) ( ) Jadi, persamaan garis g adalah