Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar

Transkripsi

1 Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah lebih dari satu cukup penting untuk di pahami mengingat masalah ang dihadapi dalam dunia nata umumna adalah fungsi dengan peubah lebih satu sebagai contoh harga barang tergantung dari beberapa factor dimana factor dapat kita pandang sebagai satu peubah. 1.1 Fungsi Dua Peubah Definisi 1. Misalkan D suatu himpunan di R Fungsi dua peubah bernilai real dengan daerah definisi D adalah aturan ang memasangkan setiap unsur ( di D dengan tepat satu unsur di R Aturan fungsi f dapat ditulis sebagai z =f(. peubah disebut peubah bebas dan z adalah peubah tak bebas. Bentuk pemetaanna dapat dilihat dalam gambar berikut :

2 Tidak semua rumus memberikan suatu fungsi. Sebagai contoh aturan z = + tidak mendefinisikan fungsi. Sebab untuk ( ada dua nilai z ang memenuhi aitu z = ± + Daerah Definisi ( Domian dan daerah jelajah (Range Misalkan fungsi dua peubah adalah : f ( D f = {( z = f ( D f } Sdan daerah nilaina adalah : R f ={ z z = f ( ( D } Contoh 1 Tentukan Daerah definisi dan daerah nilai fungsi : f ( = Penelesaian Agar f ( R saratna adalah ( O dan O atau ( O dan OJadi daerah definasi fungsi f adalah D= {( ( O dan O atau ( O dan O} Kemudian daerah nilai fungsi f adalah R f = [Ooo] Contoh ƒ( = + 5

3 Domain dari ƒ adalah himpunan semua pasangan ( ang memenuhi dan sebab + 5 akan bernilai riil jika jadi domain ƒ adalah himpunan ( ang berada di luar dan pada lingkaran + = 5 tapi. Contoh 3 ƒ( = 5 Domain dari ƒ atau D ƒ adalah himpunan semua pasangan ( ang memenuhi sebab 5 bernilai riil jika atau + 5. Jadi D ƒ = {( + 5}. Ini adalah himpunan titik-titik ( ang berada di dalam dan pada lingkaran + = 5 (lihat gambar 4.

4 Fungsi Fungsi Dengan peubah lebih dari dua Yang telah kita pelajari diatas dapat kita perluas untuk fungsi lebih dari dua peubah. Notasi untuk fungsi tiga peubah adalah z = ƒ(1 3 sedangkan untuk n peubah adalah z = ƒ( Sebagai contoh fungsi dengan tiga peubah adalah ƒ(z = - z. 1. LIMIT FUNGSI DUA PEUBAH Definisi 1. A. Jika P( dan A(ab titik-titik di dalam R maka jarak antar P dan A ang ditulis P - dengan :

5 Gambar : jarak P dan A di R Definisi 1.3 (bola buka di R Misalkan A (ab titik di R dan r bilangan positif maka bola buka B (Ar didefinisikan sebagai himpunan semia titik di dalam lingakaran berpusat di A dengan jari-jari r atau himpunan semua titik P ( di R di mana P A < r Jadi B(Ar = {( R < r } Definisi 1.4 it fungsi di titk ( Gambar 7 : Bola buka B(Ar Misalkan f ( terdefinisi pada bola buka B (Ar ang memuat ( kecuali mungkin di ( sendiri maka f(=l ( (( Jika untuk setiap ε > ang cukup kecil maka tedapat δ > sehingga untuk setiap ( B dan < δ berlaku f ( L < ε

6 Gambar 8: tafsiran geometri definisi it fungsi dua peubah Dari gambar 8 jika ( di dalam bola buka B( δ maka L - ε < f ( < L + ε. Dengan konsep it tersebut di atas berarti bahwa nilai fngsi f ( dapat di buat sembarang dekat ke- L denagan cara mengambil ( ang cukup dekat ke- (. Dari sini di peroleh bahwa jarak f ( ke- L dapat di buat lebih kecil dari sembarang bil.ε > ang telah di tetapkan dengan cara mengambil ( ang jarakna ke ( lebih kecil dari suatu bilangan δ > ang besarna bergantung dari ε > tadi. Perhatikan bahwa pada kasus ini ( menuju ( dari segala arah karena titkna terletak dalam bola buka hal ini dapat di lihat dalam gambar berikut: Contoh 3 Buktikan bahwa Penelesain : Gambar 9 : cara mendekati ( ( + 3 = 11 ( (13 Untuk membuktikan it tersebutpertama kita harus ambil є> sembarang.kemudian kita harus mencari δ > sedemikian sehingga berlaku.

7 < є untuk setiap ( ang memenuhi ( 1 + ( 3 < δ Dengan menggunakan ketidak samaan segitiga akni a+b a + b maka Diperoleh = = Karena - 1 < ( 1 + ( 3 dan -3 < ( 1 + ( 3 Maka ( 1 + ( ( 1 + ( =5 (-1 +(-3 3 Karena < ( 1 + ( 3 < δ maka ( 1 + ( 3 < 5δ 1 Dengan memilih δ = ε 5 Maka < 5 ε = ε 5 Dimana < ( 1 + ( 3 < δ Jadi terbukti bahwa ( (13 ( + 3 = 11 Contoh 4 Tujukkan bahwa = ( ( + Bukti AmbiL є> sembarang Akan di buktikan terdapat δ > sedemikian hingga + < ε untuk < + < δ Perhatikan bahwa

8 = Selanjutna dengan mengambil + < ε maka juga berlaku < ε + Jadi dengan memilih δ = 1 ε maka p + < 1 + ε < ε Beberapa sifat it fungsi dua peubah : Misalkan ( ( f(=l dan ( ( g( = M maka 1. ( ( (f(+ g( = ( ( f(+ ( ( g(. ( ( (f(.g( = ( ( f(. ( ( g( 3. f ( = ( ( f ( = L dengan M ( ( g( M ( ( g( Dengan sifat it tersebut kita dapat menghitung nilai it hana dengan mensubstitusikan niai peubah. untuk fungsi rasional bisa di lakukan asalkan penebut tidak sama dengan Nol. Seperti pada fungsi satu peubah untuk fungsi rasional ang penebutna Nol maka harus di lakukan penguraian terlebih dahulu. Hal ini dapat dilihat contoh berikut : Contoh 5 Hitunglah it berikut ini! ( ( + Penelesaian: 3

9 ( + ( + 1 = ( ( + ( ( + = + 1 = 1 ( ( Cara menunjukkan bahwa it fungsi dua peubah tidak ada Misalna S 1 dan S adalah dua Subhimpunan di daerah dfinisi D f R. Jika f maka f( tidak ada. ( ( ( ( ( ( S1 ( S ( ( Rumus ini seperi it sepihak pada fungsi satu peubah tetapi it sepihak pada fungsi dua peubah mempunai lebih banak kemungkinan. Contoh 6. Tunjukkan bahwa fungsi f ang didefinisikan oleh: f ( = + Tidak mempunai it di titik asal Penelesaian Fungsi f didefinisikan dimana saja di bidang terkecuali di titik asal. Pilih S 1 himpunan semua titik pada sumbu. Maka nilai fungsi f adalah f ( = = 1 + Jadi it f ( untuk ( mendekati ( sepanjang sumbu adalah ( f ( = = 1 ( ( ( + Pilih S himpunan semua titik pada sumbu. Maka nilai fungsi f adalah f ( = = 1 + Jadi it f ( untuk ( mendekati ( sepanjang sumbu adalah ( f ( = ( ( ( + = 1

10 Karena ( ( f ( = 1untuk ( S 1 tidak sama dengan ( ( f ( = 1 untuk ( S maka f ( = tidak puna it di titik asal. + Contoh 6. Apakah it fungsi tersebut f ( = + jika( ( jika( = ( di titik ( ada? Penelesaian Untuk menelidiki nilai it tersebut ambil S adalah himpunan semua titik pada garis = m. Maka fungsi dapat dituliskan menjadi ( m m f ( = = + ( m 1+ m Perhatikan bahwa itna bergantung pada nilai m. Ini berarti bahwa ( ( f ( tidak ada. Misalkan it suatu fungsi melalui semua kemungkinan garis lurus ada dan sama tetapi kita tidak dapat menimpulkan bahwa it tersebut ada. Sebab dalam hal ini kita belum melihat semua kemungkinan cara mendekat. Berikut ini adalah Contoh fungsi ang itnaa ada dan mempunai nilai sama jika dihitung melalui garis tetapi nilai it tersebut berbeda jika dihitung melalui lengkungan kuadrat. Contoh 7 Misalkan f ={ jika 4 jika = Apakah it f( di titik ( ada?

11 Penelesaian Pilih S 1 adalah garis =m. Maka f = m 4 m = Pilih garis S adalah garis =m maka f = Dengan Demikian m 4 m = 4 f tidak ada m m = untuk setiap bil. M m 1 m = m 1 m Mengingat it sepihak pada fungsi dua peubah mempunai lebih banak kemungkinan maka satu-satuna cara memperlihatkan bahwa suatu it fungsi ada hana dengan membuktiksn langsung berdasarkan definisi atau sifat-sifat it fungsi. 1.3 KEKONTINUAN Seperti pada fungsi satu peubahang dimaksud dengan fungsi kontinu adalah fungsi ang nilai itna sama dengan nilai fungsina. Jelasna didefinisikan sebagai berikut : Definisi 1.5 Fungsi kontinu fungsi f( dikatakan fungsi kontinu di titik ( jika memenuhi i. f ada ii. f ada iii. f = f Sebalikna jika salah satu sarat tidak dipenuhi pada (i(ii(iii maka f( dikatakan tidak kontinu (diskontinu di titik (. Contoh 8 Misalkan f = { jika jika =

12 Selidiki apakah f( kontinu di titik ( Penelesaian i. f = ii. Dari contoh 4 kita telah ditunjukkan bahwa f = iii. f = f = Karena dipenuhi sarat kekontinuan maka f( kontinu di titik (. Contoh 9 Selidiki apakah fungsi tersebut f = { jika jika = kontinu di titik ( Penelesaian Perhatikan bahwa f(= tetapi dari contoh 6 telah diselidiki bahwa f tidak ada. Jadi salah satu sarat kekontinuan akni sarat (ii tidak dipenuhi. Dengan demikian f( tersebut diatas tidak kontinu dititik (. Teorema 1.1 Jika ƒ dan g fungsi ang kontinu di ( maka : 1. ƒ ± g kontinu di (. ƒg kontinu di ( 3. ƒ / g kontinu di ( asalkan g( Bukti : Analog pada fungsi kontinu satu peubah (kalkulus I.

13 Dari teorema diatas dapat dikatakan bahwa fungsi poun dua peubah kontinu dimanamana karena merupakan jumlah dan hasil kali fungsi-fungsi kontinu. Sebagai contoh fungsi f (=5 ² - ³ + 4 adalah kontinu dimana-mana di bidang. Teorema 1. (Fungsi komposisi. Jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di (ab dan f suatu fungsi satu peubah dan kontinu di g (ab maka fungsi komposisi f g ang didefinisikan oleh (f g(= f(g( adalah kontinu di (ab Contoh 9 Misalkan F(=cos(³-4 + ². Tunjukan bahwa f ( kontinu disetiap titik dari bidang. Penelesaian Misalkan g (= ³ ². karena g ( adalah suatu polinom maka kontinu dimana-mana. Kemudian perhatikan f (t =cos t kontinu di t t Є R. Dengan Teorema 1. maka F (= f (g( kontinu disemua (.

14 SOAL-SOAL LATIHAN I. Tentukan Domain (daerah definisi dari fungsi di bawah ini : 1. f ( = 3. f ( = 5 5. f ( = 5 ² ² 4. f(= + 5. f(= 6. f(= + 7..f(= II Buktikan it fungsi berikut ini secara definisi 1. (3 4 = 1 ( (3. (5 3 = ( (4 3. ( + = 5 ( (1 III Selidiki apakah fungsi di bawah ini itna ada atau tidak ada untuk ( (. 1. f(= f(= +. f(= f(= ( f(= 6. f(= + IV Selidiki apakah fingsi ini kontinu di titik ( + F(= + jika ( ( jika ( = (

15 . f ( = = + ( ( jika jika 3. f ( = = + ( ( jika jika 4. f ( = = + ( ( jika jika V. 1. Diketahui f ( = = jika jika apakah fungsi f kontinu di titik (11?. Misalkan f ( = = jika g jika ( 4 Jika f kontinu di seluruh bidang cari suatu rumus untuk g( VI. Tentukan daerah kekontinuan fungsi di bawah ini: 1. f( = 4. f( = f( = f( =