4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )

Transkripsi

1 4. TURUNAN

2 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis ggung di ttk P dgn kemiringan m P - Q -

3 b. Keepatan Sesaat Misal sebua benda bergerak sepanjang garis koordinat seingga posia setiap saat diberikan ole s = t. Pada saat t = benda berada di dan saat t = + benda berada di +. Perubaan waktu + Perubaan posisi + Seingga keepatan rata-rata pada selang waktu [,+] adala s v ratarata

4 Jika, diperole keepatan sesaat di = : v Misal = +, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk v Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis ggung dan keepatan sesaat terliat bawa dua masala tersebut berada dalam satu tema, aitu turunan v ratarata Deinisi 4. : Turunan pertama ungsi di titik =, notasi sebagai berikut: bila it diatas ada dideinisikan 4

5 Notasi lain : d, d Conto : Diketaui tentukan 9 5

6 4.. Turunan Sepiak Turunan kiri dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : Turunan kanan dari ungsi di titik, dideinisikan sebagai : bila it ini ada. Fungsi dikatakan mempunai turunandierensiabel di atau ada, jika dan sebalikna dikatakan tidak mempunai turunan di. _ 6

7 7 Conto : Diketaui,, Selidiki apaka dierensiabel di = Jika a, tentukan Jawab : a. b. Jadi, dierensiabel di =.. dan

8 Conto : Diketaui Selidiki apaka dierensiabel di = Jika a, tentukan,, Jawab : a. b. karena tidak dierensiabel di = 8

9 9 Soal Latian. Apaka ungsi,, dierensiabel di =?. Apaka ungsi dierensiabel di setiap bilangan real?. Apaka ungsi,, dierensiabel di =? 4. Apaka ungsi dierensiabel di setiap bilangan real?

10 Teorema 4. Jika dierensiabel di kontinu di. Bukti : Yang perlu ditunjukkan adala Peratikan bawa Maka Siat tersebut tidak berlaku sebalikna. Artina, Jika kontinu di, maka belum tentu dierensiabel di. Hal ini, ditunjukkan ole onto berikut.,... =. Terbukti.

11 Conto Tunjukkan bawa = kontinu di = tetapi tidak dierensiabel di = Jawab Akan ditunjukkan bawa = kontinu di =,, = kontinu di =

12 . Selidiki apaka terdierensialkan di = Karena maka tidak dierensiabel di.

13 4. Aturan Penarian Turunan Fungsi Turunan Pertama Deinisi 4. Misalkan terdeinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari, ditulis, dideinisikan sebagai t, t t atau jika =t- bila itna ada., d d Notasi lain,,, D, D d, bentuk dikenal d d d sebagai notasi Leibniz.

14 4 Dengan menggunakan deinisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk menari turunan sebagai berikut :. Jika =k, maka dengan g. R r r d d r r ; g d g d g g d g d g g g d d g

15 5 6..Tentukan turunan pertama dari. 6 Conto:. Tentukan turunan pertama dari 4 Jawab :. 6. Tentukan turunan pertama dari Jawab : Jawab :

16 Soal Latian Tentukan ungsi turunan pertama dari. /

17 MA4 Kalkulus I 7 4. Turunan Fungsi Sinus dan Cous Bukti: a. Misal = maka a os. b os. t t t. os t t t t t t t t t os. os. os

18 8 b. Misal = os maka os os os os os os os os 4 / os 4 / / os /. os

19 Untuk turunan ungsi trigonometri ang lain dapat diperole dengan menerapkan rumus peritungan turunan, kususna turunan bentuk u/v tan d os d. d d os ot d d d. d d se d os d e. d d s d d. d d os os os os os os os os os se s tan se s ot 9

20 4.4 Aturan Rantai Andaikan = u dan u = g. Jika d dan du ada, maka du d Conto : Tentukan dari Jawab : Misal u seingga bentuk diatas menjadi Karena maka d d d du d d d du du d osu dan d d os du d os u MA4 Kalkulus I

21 Jika = u, u = gv, v =, dan d d Conto : Tentukan Jawab : Misal v d du dv du dv d d d dari 5 Sin d du du dv 4 dv, d, ada, maka dv d 5 u = Sin v du os v os 5 dv 4 u d 4u 4Sin 5 seingga du d d d du dv.. du dv d Sin 5 Cos 5

22 Soal Latian Tentukan ungsi turunan pertama dari os

23 4.5 Turunan Tingkat Tinggi Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-n-. n Turunan pertama Turunan kedua Turunan ketiga Turunan ke-n d " d d " d n Conto : Tentukan dari d d n d d d n d n 4 Jawab : os maka 4

24 Soal Latian A. Tentukan turunan kedua dari os 5. 4

25 4.6 Turunan Fungsi Implisit Jika ubungan antara dan dapat dituliskan dalam bentuk = maka disebut ungsi eksplisit dari, aitu antara peuba bebas dan tak bebasna dituliskan dalam ruas ang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan ungsi implisit dari. Conto :.. Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap ungsi dari. 5

26 6 Jawab: D D D D. D D os os os. D D.. Tentukan d/d dari bentuk implisit berikut

27 Soal Latian Tentukan turunan pertama dari bentuk implisit... tan - = 4. 7

28 4.7 Garis ggung dan garis normal Persamaan garis ggung ungsi = di titik, dengan kemiringan m adala = m. Garis ang tegak lurus dengan garis ggung disebut dengan garis normal. Persamaan garis normal di titik, adala m. 8

29 Conto: Tentukan persamaan garis ggung dan garis normal ungsi 6 di,6. Jawab : 4, Seingga persamaan garis ggung di titik,6 : Persamaan garis normal dititik,6 :

30 Soal Latian. Diketaui kurva ang dinatakan seara implisit Tentukan persamaan garis ggung dan garis normal di titik,. Diketaui kurva ang dinatakan seara implisit Tentukan persamaan garis ggung dan garis normal di titik,