Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36
|
|
- Handoko Gunawan
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini dapat berupa satu titik, satu garis lurus, dua garis lurus ang berpotongan, elips, lingkaran, parabola dan hiperbola. Titik Satu garis Sepasang garis Elips Lingkaran Parabola Hiperbola Irisan kerucut ang berupa elips/lingkaran, parabola dan hperbola disebut Conic. Secara umum conic dapat diformulasikan sebagai berikut: L P Perhatikan sebuah garis lurus dan sebuah titik F diluar garis tersebut. Conic adalah kumpulan semua titik P ang bersifat PF = k dengan k suatu konstanta. PL Kumpulan titik-titik ini berbentuk kurva di bidang. F Elips : conic dengan 0 < k < 1 Parabola : conic dengan k = 1 Hiperbola : conic dengan k > 1 Penurunan rumus Conic dalam bentuk persamaan dan dapat dilihat pada bukubuku kalkulus.
2 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 37 Parabola Bentuk umum : = a 2 + b + c dengan a, b, dan, c konstanta. Berikut disajikan grafik dari parabola untuk berbagai nilai a, b, dan, c. Pada gambar di atas, D = b 2 4ac, disebut diskriminan. Puncak parabola adalah ( b 2a, D 4a ). Catatan: Persamaan parabola dapat pula berbentuk = a 2 + b + c.
3 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 38 Elips/Lingkaran Bentuk umum : 2 a b 2 = 1 Bila a = b, persamaan di atas disebut lingkaran. Bila a b, persamaan di atas disebut elips = = 1 ( 2) ( 1)2 3 2 = 1 ( 2) ( 1)2 2 2 = 1 Latihan: 1. Tuliskan persamaan = 0 dalam bentuk baku dan gambarkan. 2. Tuliskan persamaan = 0 dalam bentuk baku dan gambarkan. 3. Tentukan persamaan lingkaran ang ujung garis tengahna melalui titik (1, 3) dan (7, 11).
4 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 39 Hiperbola Bentuk umum : 2 a 2 2 b 2 = 1 atau - 2 a b 2 = 1 Hiperbola memiliki sepasang garis asimtot miring = b a dan = b a = = 1 Bila hiperbola di atas kita rotasikan dengan sudut sebesar π 2 gambar hiperbola seperti di bawah ini. maka akan diperoleh = k, k > 0 = k, k < 0 Tunjukkan bila hiperbola 2 2 = 1 dirotasikan sebesar π 2 persamaan berbentuk = k dan tentukan nilai k. hasilna adalah
5 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 40 Persamaan Parameter Kurva di Bidang Perhatikan dua buah kurva berikut ini: Kurva sebelah kiri dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi = f(), sedangkan kurva sebelah kanan tidak dapat. Supaa setiap kurva di bidang dapat direpresentasikan dalam bentuk persamaan, maka diperkenalkan penajian dalam bentuk parameter sebagai berikut: Misalkan = f(t) dan = g(t) dua buah fungsi kontinu pada interval I = [a, b]. Pasangan (, ) = (f(t), g(t)) disebut persamaan parameter kurva dibidang. Variabel t disebut parameter. Contoh: = t 2 + 2t dan = t 3 2 t 3 variabel t dieliminasi sbb: = t 3 t = + 3, = t 2 + 2t = ( + 3) 2 + 2( + 3) = ? Contoh: Diberikan persamaan kurva (, ) = (a cost, b sint) 0 t π Eliminasilah parameter t, lalu gambar grafik serta arahna. Diskusi: Apakah kurva dalam bentuk persamaan parameter selalu dapat dinatakan sebagai fungsi = f()? Apakah sebuah fungsi selalu dapat ditulis dalam bentuk persamaan parameter?
6 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 41 Istilah 2 Diberikan persamaan kurva = f(t) dan = g(t) a t b Titik ((a), (a)) disebut titik awal. Titik ((b), (b)) disebut titik akhir. Bila titik awal dan titik akhir berimpit, kurva disebut tertutup. Bila untuk setiap t 1 t 2 dengan a < t1, t2 < b berlaku ((t 1 ), (t 1 )) ((t 2 ), (t 2 )), maka kurva disebut sederhana. P Q Q P P=Q P=Q Sederhana, tak tertutup Tak sederhana, tak tertutup Sederhana, tertutup Tak sederhana, tertutup Sikloid Perhatikan sebuah roda berjari-jari a ang menggelinding sepanjang sumbu- (lihat gambar di bawah ini). animation Mula-mula titik P berada di titik asal. Misalkan t menatakan sudut antara segmen CP dan kedudukan vertikal mula-mula, diukur sesuai putaran jarum jam (pada gambar titik P sudah menggelinding sejauh t radian).
7 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 42 ON = panjang busur PN = at = OM = ON - MN = at a sin t = a(t sin t) = MP = NR = NC + CR = a a cost = a(1 cost) Jadi persaman lintasan sikloid adalah ((t), (t)) = (a(t sin t), a(1 cost)) Sikloid mempunai keistimewaan berikut: animation 1 animation 2 Bila sebuah partikel dilepaskan dari titik P1 (lihat gambar di samping) dan bergerak ke bawah sepanjang lengkungan tersebut sampai titik dasar L maka waktuna akan minimum bila lintasan tersebut berbentuk sikloid. Untuk mencapai titik terendah L, waktu ang diperlukan sebuah partikel ang awalna di P1 dan di P2 adalah sama. Fenomena ini cocok untuk diterapkan pada jam bandul (simpanganna dibuat berbentuk sikloid), mengapa? Turunan Fungsi berbentuk Parameter Misalkan (, ) = (f(t), g(t), a t b menatakan persamaan kurva di bidang. Bila f (t) dan g (t) ada maka d d = d/dt d/dt = g (t) f (t) Latihan: 1. Tentukan d2 d 2 dari = 5 cost dan = 4 sint, 0 < t < Diberikan = 2t 1, = t 2 + 2, Hitung d. Petunjuk: natakan semua variabel dalam parameter t 3. Hitung luas daerah di atas sumbu- dan di bawah lengkungan sikloid ((t), (t)) = (t sin t, 1 cost) 0 t 2π
8 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 43 Sistem Koordinat Ruang, R 3 Oktan 1 bidang o bidang o bidang o (2,3,2) ( a,b,c) ( a p) ( b q) ( c r) (2,-1,-1) ( p,q,r)
9 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 44 Vektor Vektor adalah sebuah besaran ang mempunai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasana digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping) dan namana menggunakan sebuah huruf kecil dengan anak panah di atasna ( u). Pangkal u Ujung Ilustrasi Perhatikan sebuah benda ang bergerak sepanjang sumbu- dengan laju 10 m/detik dan benda kedua bergerak sepanjang lingkaran dengan laju ang sama. Apakah kedua benda tersebut mempunai kecepatan ang sama? Apakah kecepatan kedua benda tersebut mempunai percepatan? Ilustrasi ini memberikan gambaran bahwa kecepatan merupakan sebuah vektor. Arah sebuah vektor ditentukan dari sudut ang dibentuk oleh sumbu- positif dengan arah vektor tersebut. Dua buah vektor dikatakan sama bila panjang/besar dan arahna sama, sedangkan posisi pangkalna tidak perlu sama. Penjumlahan dua buah vektor Cara 1: Pangkal vektor v digeser ke ujung dari vektor u. Vektor u + v adalah vektor ang pangkalna sama dengan pangkal vektor u dan ujungna berada pada ujung vektor v. (lihat gambar sebelah kiri).
10 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 45 Cara 2: Pangkal vektor v di geser ke pangkal vektor u, kemudian dibuat jajaran genjang sesuai dengan ujung-ujung vektor v dan u. Vektor u + v adalah diagonal jajaran genjang ang berpangkal di pangkal vektor u (lihat gambar sebelah kanan). Sifat komutatif: u + v = v + u Perkalian sebuah vektor dengan skalar/bilangan Latihan: 1. u A m v B C Bila AB = 2 3 AC, Natakan vektor m dalam u dan v T 1 T N Sebuah benda digantung seperti pada gambar. Tentukan besarna gaa tegangan tali T 1 dan T 2
11 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 46 Representasi Vektor secara Aljabar di R 2 (Bidang) dan di R 3 (Ruang) Sebuah vektor dapat kita representasikan pada koordinat kartesius sebagai berikut: u u, u u u 1 u u1, u2, u3 P = (7, 5, 2) Q = (11, 2, 8) PQ = 11 7, 2 5, 8+2 PQ = 4, 7, 6 Sebuah vektor di bidang ang berpangkal di pusat koordinat dan ujungna pada titik (u 1, u 2 ) kita notasikan sebagai u 1, u 2. Notasi kurung lancip digunakan untuk membedakan dengan pengertian titik. Hal ang sama berlaku untuk vektor di ruang. Misalkan u = u 1, u 2 dan v = v 1, v 2. Untuk memperoleh rumus penjumlahan u + v, perhatikanlah gambar di samping kanan. Dari ilustrasi geometri tersebut diperoleh rumus: u + v = u 1 + v 1, u 2 + v 2 Hal ang sama berlaku untuk vektor di ruang. Bila a = a 1, a 2, a 3 dan b = b 1, b 2, b 3, a + b = a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 Misalkan c R, maka berlaku c u = cu 1, cu 2 u2+ v2 u 2 v 2 u v u 1 v v 1 u+ v u1+ v1 Sifat 2 : Misalkan u, v, w tiga buah vektor dan a, b R, maka berlaku: 1. u + v = v + u (komutatif) 2. ( u + v) + w = v + ( u + w) (asosiatif) 3. u + 0 = u dengan 0 = 0, 0 4. u + ( u) = 0 5. a(b u) = (ab) u = u(ab)
12 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB a( u + v) = a u + a v 7. (a + b) u = a u + b u 8. 1 u = u Vektor Basis Perhatikan : u = u 1, u 2 = u 1 1, 0 + u 2 0, 1. j i i j k 1 Vektor 2 î = 1, 0 dan ĵ = 0, 1 disebut vektor 2 basis di bidang. Dengan demikian, kita dapat menuliskan u = u 1, u 2 sebagai u = u 1 î + u 2 ĵ. i k Hal ang sama berlaku untuk vektor di ruang. Vektor basisna adalah: î = 1, 0, 0, ĵ = 0, 1, 0, dan k = 0, 0, 1. Jadi u = u 1, u 2, u 3 = u 1 î + u 2 ĵ + u 3 k Panjang vektor: Panjang sebuah vektor u = u 1, u 2, ditulis u = u u2 2. Contoh: Diberikan u = 4, 3, tentukan u dan 2 u Hasil kali titik/dalam: Misalkan u = u 1, u 2, dan v = v 1, v 2 dua buah vektor. Hasil kali titik/dalam dari u dan v adalah u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 Perhatikan bahwa hasilna merupakan sebuah skalar. Sifat 2 Hasil Kali Titik: Misalkan u, v, w tiga buah vektor dan c R, maka: 1. u v = v u (komutatif) 2. u ( v + w) = u v + u w distributif 3. c( u v) = (c u) v = u (c v) 4. 0 u = u u = u 2 6. u v = u v cos(θ), θ sudut antara u dan v. Akibat: u v u v = 0 u 2 j u u u u 1
13 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 48 Vektor Proeksi u w v Perhatikan gambar di samping. Vektor u diproeksikan pada v dan hasilna adalah vektor w. Bagaimana menentukan vektor w? w = u cos θ = u u v u v w = w vektor satuan dari vektor v. w = u u v u v v v = u v u v v v v = v v 2 Latihan: 1. Tentukan b supaa 8, 6 dan 3, b saling tegak lurus. 2. Bila A = (4, 3), B = (1, 1) dan C = (6, 4), gunakan konsep vektor untuk menentukan sudut ABC. 3. Cari vektor proeksi u = 1, 5 pada v = 3, 3 4. Cari vektor proeksi u = 4, 5, 3 pada v = 2, 2, 6 Persamaan Bidang di Ruang v Q P n Perhatikan bidang v (warna pink). Titik P = ( 0, 0, 0 ) terletak pada bidang v. Vektor n = A, B, C tegak lurus terhadap v. Akan ditentukan persamaan bidang v. Ambil sebarang titik Q = (,, ) pada bidang v. Jelas vektor PQ = 0, 0, 0 n. 0, 0, 0 A, B, C = 0 A( 0 ) + B( 0 ) + C( 0 ) = 0. Latihan: 1. Misalkan P = (1, 2, 3) dan Q = (4, 4, 2). Tentukan persamaan bidang ang melalui titik P dan tegak lurus terhadap vektor PQ. 2. Tentukan sudut antara bidang = 5 dan bidang = Buktikan jarak dari titik ( 0, 0, 0 ) ke bidang A + B + C = D adalah A 0 +B 0 +C 0 D A2 +B 2 +C 2.
14 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 49 Persamaan Garis di Ruang Diberikan titik P = ( 0, 0, 0 ) dan vektor v = a, b, c Akan ditentukan persamaan garis ang melalui titik P dan sejajar dengan vektor u. Misalkan Q = (,, ) sebuah titik sebarang pada garis tersebut. Vektor v sejajar dengan vektor PQ, sehingga PQ = t v, dengan t R. 0, 0, 0 = t a, b, c. v P Dengan demikian diperoleh persamaan parameter untuk garis, aitu: = 0 + ta = 0 + tb = 0 + tc disebut sebagai Persamaan Parameter dari garis. Bila parameter t dieliminasi diperoleh persamaan sebagai berikut: 0 = 0 = 0 a b c Latihan: disebut Persamaan Simetrik dari garis di atas. 1. Cari persamaan simetrik dari garis ang melalui titik (2, 5, 1) dan sejajar vektor < 4, 3, 2 >. 2. Cari persaman garis ang merupakan perpotongan antara bidang = 14 dan = 28. Q
15 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 50 Hasil Kali Silang (Cross Product) Hasil kali silang hana didefinisikan pada vektor di ruang. Misalkan u = u 1, u 2, u 3 dan v = v 1, v 2, v 3 dua buah vektor. Hasil kali silang dari u dan v didefinisikan sebagai: u v = î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 + î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 + î ĵ ˆk u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u v = (u 2 v 3 u 3 v 2 )î (u 1 v 3 u 3 v 1 )ĵ + (u 1 v 2 u 2 v 1 )ˆk Sifat 2 Hasil Kali Silang: Misalkan u, v tiga buah vektor maka: 1. ( u v) u dan ( u v) v, akibatna u ( u v) = 0 dan v ( u v) = 0 2. u, v, dan ( v v) membentuk right handed triple 3. u v = u v sin θ, dengan θ sudut antara u dan v. Latihan: 1. Cari persamaan bidang ang melalui tiga titik (1, 2, 3), (4, 1, 2), dan ( 2, 3, 0). 2. Periksa, apakah hasil kali silang bersifat komutatif, aitu u v = v u. 3. Tunjukkan, secara geometri, u v adalah luas jajaran genjang seperti pada gambar di sebelah kiri bawah. 4. Tunjukkan, secara geometri, w ( u v) adalah volume parallelepiped seperti pada gambar di sebelah kanan bawah. u v w u v
16 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 51 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva r(t) P Perhatikan sebuah titik P ang bergerak di ruang dengan lintasan seperti pada gambar di samping kiri. Posisi titik P pada saat t dinatakan oleh vektor ang berpangkal di titik asal dan ujungna di titik P. Posisina tersebut dapat ditulis sebagai r(t) = f(t), g(t), h(t). Vektor r merupakan fungsi dengan variabel real t dan nilaina adalah sebuah vektor. Fungsi demikian disebut fungsi bernilai vektor. Bentuk umum fungsi berbentuk vektor dengan variabel real: atau F(t) = f(t) î + g(t) ĵ = f(t), g(t) dengan t R F(t) = f(t) î + g(t) ĵ + h(t) k = f(t), g(t), h(t) dengan t R Untuk selanjutna hana akan dibicarakan fungsi bernilai vektor di ruang. Untuk fungsi bernilai vektor di bidang aturanna sama saja, hana komponenna dua buah. Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor Pengertian konsep limit untuk fungsi bernilai vektor sama dengan konsep limit di fungsi real biasa. Untuk perhitunganna berlaku sifat berikut: Misalkan F(t) = f(t), g(t), h(t), maka lim t c F(t) = lim t c f(t), lim t c g(t), lim t c h(t) Turunan dan Integral fungsi bernilai vektor juga mewarisi sifat-sifat di fungsi real sbb: Misalkan F(t) = f(t), g(t), maka a. F (t) = f (t), g (t) b. F(t) dt = f(t) dt, g(t) dt
17 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 52 Sifat 2 Operasi Aljabar Fungsi Bernilai Vektor: Misalkan F(t), G(t) fungsi bernilai vektor, h(t) fungsi real dan c R, maka: 1. D t [ F(t) + G(t)] = F (t) + G (t) 2. D t [cf(t)] = cf (t) 3. D t [h(t) F(t)] = h(t) F (t) + h (t) F(t) 4. D t [ F(t) G(t)] = F (t) G(t) + F(t) G (t) 5. D t [ F(h(t))] = F (h(t)) h (t) Contoh: Diberikan F(t) = (t 2 + t) î + e t ĵ. a. Tentukan F (t) dan F (t) dan sudut antara F (0) dan F (0). b. Tentukan D t [t 3 1 F(t)] dan 0 F(t) dt Perhatikan sebuah titik P ang bergerak di bidang/ruang dengan posisi setiap saat r(t). Dari hukum Fisika, kecepatan v dan percepatanna a adalah: v(t) = r (t), dan a(t) = r (t) Arah dari vektor kecepatan v dapat dikaji dari definisi turunan r, aitu v(t) = lim. Dengan r(t+h) r(t) h 0 h demikian arah v sama dengan arah garis singgung terhadap r(t). Latihan: r(t+h) r(t) r(t+h) - r(t) 1. Sebuah titik P bergerak sepanjang lingkatran berjari-jari r dengan laju ω rad/detik. Bila kedudukan awalna di (1, 0), tentukan kecepatan dan percepatanna pada saat t = 0, 5 dan gambarkan. 2. Sebuah titik P bergerak dengan posisi setiap saat (, ) = (3 cos t, 2 sin t). a. Gambarkan grafik lintasan P dan arahna. b. Tentukan kecepatan, laju dan percepatanna. c. Tentukan saat kapan lajuna maksimum dan berapa nilaina. d. Tunjukkan vektor percepatanna selalu menuju titik asal. 3. Diberikan sebuah kurva di ruang dengan persamaan r(t) =< t, t2 2, t3 3 persamaan garis singgungna pada saat t = 2. >. Carilah
Open Source. Not For Commercial Use. Vektor
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Vektor Vektor adalah sebuah besaran ang mempunai nilai dan arah. Secara geometri vektor biasana digambarkan sebagai anak panah berarah (lihat gambar di samping)
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Lebih terperinciKINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK
KINEMATIKA GERAK 1 PERSAMAAN GERAK Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang. Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinciB. Pengertian skalar dan vektor Dalam mempelajari dasar-dasar fisika, terdapat beberapa macam kuantitas kelompok besaran yaitu Vektor dan Skalar.
ANALISIS VEKTOR A. Deskripsi Materi ini akan membahas tentang pengertian, sifat, operasi dan manipulasi besaran fisik scalar dan vector. Pada pembahasan materi medan elektromagnetik berikutna akan melibatkan
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciBAB I ANALISIS VEKTOR
BAB I ANALISIS VEKTOR A. Deskripsi Materi ini akan membahas tentang pengertian, sifat, operasi dan manipulasi besaran fisik scalar dan vector. Pada pembahasan materi medan elektromagnetik berikutna akan
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Lebih terperinci1 Sistem Koordinat Polar
1 Sistem Koordinat olar ada kuliah sebelumna, kita selalu menggunakan sistem koordinat Kartesius untuk menggambarkan lintasan partikel ang bergerak. Koordinat Kartesius mudah digunakan saat menggambarkan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinciBAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI
BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciANALISA VEKTOR. Skalar dan Vektor
ANALISA VEKTOR Skalar dan Vektor Skalar merupakan besaran ang dapat dinatakan dengan sebuah bilangan nata. Contoh dari besaran skalar antara lain massa, kerapatan, tekanan, dan volume. Sedangkan besaran
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciFUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor
ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinci1 Posisi, kecepatan, dan percepatan
1 osisi, kecepatan, dan percepatan osisi suatu benda pada suatu waktu t tertentu kita tulis sebaai r(t). Jika saat t = t 1 benda berada pada posisi r 1 r(t 1 ) dan saat t = t 2 > t 1 benda berada pada
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciFIsika KTSP & K-13 KESEIMBANGAN BENDA TEGAR. K e l a s. A. Syarat Keseimbangan Benda Tegar
KTSP & K-1 FIsika K e l a s XI KESEIMNGN END TEG Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami sarat keseimbangan benda tegar.. Memahami macam-macam
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinci2.2 kinematika Translasi
II KINEMATIKA PARTIKEL Kompetensi yang akan diperoleh setelah mempelajari bab ini adalah pemahaman dan kemampuan menganalisis serta mengaplikasikan konsep kinematika partikel pada kehidupan sehari-hari
Lebih terperinciPETA KOMPETENSI MATA KULIAH GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG (PEMA4317) XIII
PETA KOMPETENSI MATA KULIAH GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG (PEMA4317) XIII ix Tinjauan Mata Kuliah G eometri Analitik merupakan suatu bidang studi dari hasil perkawinan antara Geometri dan Aljabar.
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciINTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta
INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.
Lebih terperinciMatematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004
Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 00 UAN-SMA-0-0 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah x + x + 0 = 0 x + x 0 = 0 x x + 0 = 0 x x 0 = 0 x + x + 0 = 0 UAN-SMA-0-0 Suatu peluru ditembakkan ke
Lebih terperinciKinematika Gerak KINEMATIKA GERAK. Sumber:
Kinematika Gerak B a b B a b 1 KINEMATIKA GERAK Sumber: www.jatim.go.id Jika kalian belajar fisika maka kalian akan sering mempelajari tentang gerak. Fenomena tentang gerak memang sangat menarik. Coba
Lebih terperinciBab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub
Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 10 Maret 01 Kuliah ang Lalu 10.1- Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem
Lebih terperincimatematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s
K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,
Lebih terperinciPERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH
PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH Dibuat untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang yang diampu oleh M. Khoridatul Huda, S. Pd., M. Si. Oleh: TMT 5E Kelompok
Lebih terperinciKINEMATIKA. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
KINEMATIKA Fisika Tim Dosen Fisika 1, ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sasaran Pembelajaran Indikator: Mahasiswa mampu mencari besaran
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Lebih terperinci8. Nilai x yang memenuhi 2 log 2 (4x -
1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 2. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum
Lebih terperinciTAHUN PELAJARAN 2003/2004 UJIAN NASIONAL. Matematika (D10) PROGRAM STUDI IPA PAKET 2 (UTAMA) SELASA, 11 MEI 2004 Pukul
DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 00/004 SMA/MA Matematika (D0) PROGRAM STUDI IPA PAKET (UTAMA) SELASA, MEI 004 Pukul 07.0 09.0 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL Hak Cipta pada
Lebih terperinci1. Sebuah kawat yang panjangnya 10 meter akan dibuat bangun yang berbentuk 3 persegi panjang kongruen seperti pada gambar di bawah.
1. Sebuah kawat yang panjangnya 10 meter akan dibuat bangun yang berbentuk 3 persegi panjang kongruen seperti pada gambar di bawah. Luas maksimum daerah yang dibatasi oleh kawat tersebut adalah... 3,00
Lebih terperinciHUBUNGAN SATUAN PANJANG DENGAN DERAJAT
GEOMETRI BIDANG Pada bab ini akan dibahas bentuk-bentuk bidang dalam ruang dimensi dua, keliling serta luasan dari bidang tersebut, bentuk ini banyak kaitannya dengan kegiatan ekonomi (bisnis dan manajemen)
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila
Lebih terperinciSudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial
Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciKINEMATIKA. A. Teori Dasar. Besaran besaran dalam kinematika
KINEMATIKA A. Teori Dasar Besaran besaran dalam kinematika Vektor Posisi : adalah vektor yang menyatakan posisi suatu titik dalam koordinat. Pangkalnya di titik pusat koordinat, sedangkan ujungnya pada
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciKESETIMBANGAN MOMEN GAYA
43 MDUL PERTEMUAN KE 5 MATA KULIAH : ( sks) MATERI KULIAH: Momen gaa, sarat kedua kesetimbangan, resultan gaa sejajar, pusat berat, kopel. PKK BAHASAN: KESETIMBANGAN MMEN GAYA 5. PENGERTIAN MMEN GAYA Besar
Lebih terperinciPeta Kompetensi Mata Kuliah Geometri Analitik Bidang dan Ruang (PEMA4317) xiii
ix G Tinjauan Mata Kuliah eometri Analitik merupakan suatu bidang studi dari hasil perkawinan antara Geometri dan Aljabar. Kita telah mengetahui bahwa himpunan semua titik pada suatu garis lurus berkorespondensi
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinci(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada
f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1999
Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciJawaban Soal OSK FISIKA 2014
Jawaban Soal OSK FISIKA 4. Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dimana posisinya sebagai fungsi dari waktu dapat dinyatakan dengan kurva seperti terlihat pada gambar samping (x dalam meter dan t dalam
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinci1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.
1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciPENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciFISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO
i FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO Departemen Fisika Universitas Airlangga, Surabaya E-mail address, P. Carlson: i an cakep@yahoo.co.id URL: http://www.rosyidadrianto.wordpress.com Puji
Lebih terperinciGERAK MELINGKAR BERATURAN
Pengertian Gerak melingkar GERAK MELINGKAR BERATURAN Gerak melingkar beraturan adalah gerak yang lintasannya berbentuk lingkaran dengan laju konstan dan arah kecepatan tegak lurus terhadap arah percepatan.
Lebih terperinciBAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciBAB I SISTEM KOORDINAT
BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita
Lebih terperinci1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l B. 2 < p < 3 C.
1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 Kunci : C Persamaan fungsi : F(x)
Lebih terperinciFungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial
Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan
Lebih terperinciIII HASIL DAN PEMBAHASAN
Fungsi periodizer kutub tersebut dapat dituliskan pula sebagai: p θ, N, θ 0 = π N N.0 n= n sin Nn θ θ 0. () f p θ, N, θ 0 = π N N j= j sin Nj θ θ 0 diperoleh dengan menyubstitusi variabel θ pada f θ =
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciDAFTAR ISI. C. Operasi Aljabar pada Vektor di R 3 1. Penjumlahan Vektor Pengurangan vektor Perkalian skalar dengan vektor...
PRAKATA Puji sukur kehadirat Allah SWT. Tanpa karunia-na kami tidak akan bisa menelesaikan buku ini terselesaikan tepat pada waktuna. Sholawat serta salam kita panjatkan kepada Nabi besar kita, Muhammad
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciDarpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1
Lebih terperinciFISIKA XI SMA 3
FISIKA XI SMA 3 Magelang @iammovic Standar Kompetensi: Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu dalam menyelesaikan masalah Kompetensi Dasar: Merumuskan hubungan antara konsep torsi,
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciBAB 1 ANALISA SKALAR DANVEKTOR
1.1 Skalar dan Vektor BAB 1 ANAISA SKAA DANVEKT Skalar merupakan besaran ang dapat dinatakan dengan sebuah bilangan nata. Simbul,, dan z ang digunakan merupakan scalar, dan besarna juga dinatakan dalam
Lebih terperinciIlustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.
Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f
Lebih terperinciPengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT
KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar
Lebih terperinciRespect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperincix d x t 0 t d t d t d t Kecepatan Sesaat
Kecepatan Sesaat Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung kecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu ang sangat singkat atau t mendekati nol. Penulisanna secara matematis
Lebih terperinciPembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
Lebih terperinci