DIKTAT ANALISA KOMPLEKS. BINTI ANISAUL K, M.Pd.

Transkripsi

1 DIKTAT ANALISA KOMPLEKS BINTI ANISAUL K, M.Pd.

2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS Sistem bilangan ang sudah dikenal sebelumna aitu sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternata masih belum cukup untuk menelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru ang disebut bilangan kompleks. Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks. A. Pengertian Bilangan Kompleks Mengapa perlu bilangan kompleks? mempunai penelesaian dengan. tidak mempunai penelesaian jika. Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga mempunai penelesaian. Selanjutna perlu dikembangkan suatu sistem bilangan aitu bilangan kompleks. Definisi Bilangan Kompleks Bilangan kompleks : merupakan pasangan berurut, dengan,. Ditulis :,. merupakan bilangan ang berbentuk i dengan, dan, i. Ditulis : i. Jika i, maka Re = bagian riil, Im = bagian imajiner, i = satuan imajiner dan i.

3 Ada beberapa hal ang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks aitu. C = himpunan bilangan kompleks = i,, & i.. Jika Re dan Im 3. Jika Re dan Im 4. Kesamaan bilangan kompleks. Misalkan i dan i. jika dan hana jika maka dinamakan bilangan imajiner murni. maka merupakan bilangan riil. dan. Contoh a. i Re b. i Re dan Im. dan Im. B. Bidang Kompleks Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut,, sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik, pada bidang kompleks bidang, dengan sumbu sumbu riil dan sumbu sumbu imajinair. Selain itu, bilangan kompleks i, juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik,. sumbu imajinair, i O sumbu riil Gambar. Bidang kompleks 3

4 C. Operasi Aljabar Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil. Operasi Aljabar pada bilangan kompleks Misalkan i dan i. a. Penjumlahan : i b. Pengurangan : i c. Perkalian : d. Pembagian : i i i i, Perlu diperhatikan :. negatif. Jika i maka i.. kebalikan Jika i maka i. Sifat Operasi Aljabar a. Hukum komutatif b. Hukum asosiatif c. Hukum distributif 3 3 d. Elemen netral dalam penjumlahan i 4

5 e. Elemen netral dalam perkalian i.. D. Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan Penajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks. Definisi modulus nilai mutlak Modulus nilai mutlak i didefinisikan sebagai bilangan riil non negatif Modulus = = dan ditulis sebagai. Secara geometri, menatakan jarak antara titik, dan titik asal. Misalkan i dan i. Jarak antara dan didefinisikan dengan. Selanjutna, persamaan R menatakan bilangan kompleks ang bersesuaian dengan titik-titik pada lingkaran dengan pusat dan jari-jari R. Definisi bilangan kompleks sekawan Bilangan kompleks sekawan dari i didefinisikan sebagai bilangan kompleks i. Secara geometri, bilangan kompleks sekawan dan merupakan pencerminan titik, terhadap sumbu riil. i dinatakan dengan titik, Contoh a. 3 4i b. 3 3i menatakan lingkaran dengan pusat 3, 3 dan jari-jari R. c. Jika 3 4i maka 3 4i. 5

6 Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan a. b. Re Re c. Im Im d. e. f. g. h. i. j. k. Re, Im i l. m. Pertidaksamaan Segitiga : n. o. p. n n. E. Bentuk Kutub Bentuk kutub bilangan kompleks Bilangan kompleks i dapat disajikan dalam koordinat kutub r,. Misalkan r cos dan r sin maka i dapat dinatakan dalam bentuk kutub r cos i r sin r cos i sin r cis 6

7 dengan r = modulus nilai mutlak = =. = argumen dari = arg = arc tg,. r θ = + i Nilai argumen dari arg tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan sesuai dengan kuadran dimana titik berada. Sedangkan, nilai utama principal value dari arg ditulis Jelas, Arg dengan Arg adalah tunggal. arg Arg n, n,,,. Perlu diperhatikan bahwa : r r cos i sin r cos i sin cis r cis arg arg Operasi aljabar bentuk kutub dan sifat argumen Misalkan r cos i dan r cos i sin dengan r, r, arg, arg. a. Perkalian r r cis cis sin arg arg arg. b. Pembagian r cis cis r. 7

8 arg arg arg. c. Invers sebarang bilangan kompleks i r e aitu cis. r arg arg. Contoh 3 i i 3 Diketahui. Tentukan bentuk kutub dari dan. i Penelesaian : Menggunakan sifat argumen diperoleh : cis cis cis cis cis 4 cis. 6 Selain dalam bentuk umum i dan bentuk kutub rcos i sin, bilangan kompleks juga dapat dinatakan dalam bentuk eksponen. Bentuk eksponen Bentuk eksponen bilangan kompleks i r e i aitu dengan i e cos i sin dinamakan rumus Euler. Operasi aljabar bentuk eksponen i i Misalkan r e dan r e. a. Perkalian r b. Pembagian i i r e e r r i e 8

9 i e r r c. Invers sebarang bilangan kompleks i r e aitu r i e Bentuk pangkat Misalkan i r e, maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan riil diperoleh n i n i n r e n r e, n,,, Rumus Moivre Jika r, maka bentuk pangkat di atas menjadi atau n i n i n e e, i n i n e e, n,,,. Selanjutna dapat ditulis dalam bentuk cos isin n cos n isin n ang disebut Rumus Moivre. F. Bentuk Akar Bentuk akar Misalkan ditulis n r cis, akar pangkat n dari bilangan kompleks atau n. Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah akar untuk k n r k k cos i sin n n, k,,,, n. n aitu Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari n r. Contoh 4 Tentukan semua akar dari 3 8i dan gambarkan akar-akar tersebut dalam bidang kompleks. 9

10 Penelesaian : Misalkan 8i, maka r 8 dan arctg 8, 3 k k 3 sin 8 i 8 cos i, k,,. k 3 3 Sehingga diperoleh 3 i 8 cos sin cos isin 3 i cos isin i. 7 7 cos i sin 3 i Ringkasan Bilangan kompleks i mempunai bentuk kutub r cis, dan bentuk eksponen i r e, dengan arg.

11 BAB II FUNGSI KOMPLEKS A. DEFINISI Pada analisis kompleks, ang perlu di perhatikan adalah fungsi kompleks ang dapat diturunkan pada domain tertentu. Pertama-tama akan di definisikan dahulu bahwa : S adalah himpunan bilangan kompleks, dan fungsi f dan S adalah aturan ang menetapkan setiap di dalam S suatu bilangan kompleks w, disebut sebagai nilai fungsi f di, di tulis sebagai : Pada rumus diatas, merupakan peubah kompleks. Jadi, S merupakan domain dari definisi fungsi f. oleh karena itu, himpunan ang merupakan seluruh nilai fungsi f disebut sebagai jangkauan range dari f. sedangkan w adalah bilangan komplek juga, sehingga dapat dituliskan sebagai :, dengan u merupakan bagian nata real dan v merupakan bagian imajiner. Jadi, w bergantung pada Pada rumus di atas menunjukkan bahwa fungsi kompleks ekuivalen dengan pasangan fungsi dan ang keduana bergantung pada dua peubah dan. Domain asal fungsi Domain hasil fungsi Contoh :

12 Tuliskan dalam bentuk u dan v! Jawab : Misalkan, maka fungsi Jadi, Jika maka dan Berarti, dan B. OPERASI PADA FUNGSI KOMPLEKS Operasi pada fungsi menangkut operasi pada penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian didefinisikan sebagai berikut: a b c d Masing masing dengan sarat dan untuk d ditambahkan sarat Contoh: Diberikan fungsi Maka diperoleh: a b

13 c d masing-masing pernataan a, b, dan c dengan sarat d dengan sarat dan untuk pernataan C. FUNGSI ELEMENTER. FUNGSI EKSPONENESIAL Sebelum mengetahui lebih lanjut disini kita definisikn fungsi eksponensial dapat ditulis Dimana rumus sebslumna Dan gunakan untuk mendapatkan radians. Dari sini didapat definisi bahwa mengurangi ke fungsi eksponensial ang biasa dalam kalkulus dimana ; dan beberapa penjelasan di kalkulus, sering ditulis untuk. Catatan bahwa pada saat suku ke positif akar dari adalah untuk menentukan dimana, pernataan menceritakan bahwa fungsi eksponensial komplek adalah juga. dimana. Kecuali untuk penjelasan bagian 8 bahwa biasana mengharuskan untuk menggantikan seperti kumpulan dari suku ke akar dari. Sesuai dengan definisi, ; dan titik titik keluar di bagian 3, definisi ini mengingatkan dari penebab sifat Maka adalah merupakan perluasan dari sifat di kalkulus, 3 dan 3

14 Tetapi dan keduana real, dan kita mengetahuina dari bagian 7, bahwa Dari sini Dan didapat ; The right hand terakhir karena dari pernataan. sifat 3 tidak dapat di tegakkan. Bagaimana melihat sifat 3 memungkinkan untuk menulis, atau 4 Dari sini dinatakan fakta bahwa, ini mengikuti bahwa. Ada suatu bilangan dari sifat sebelumna bahwa dengan contoh bagian, untuk contoh, ang diharapkan. Sesuai 5 Masing masing dimana pada bidang. Catatan bahwa perbedaan dari untuk semua menceritakan bahwa adalah seluruhna bagian 3. Itu benar juga bahwa 6 untuk sembarang bilangan komplek Ini jelas ditulis pada definisi di bentuk dimana dan Yang mana menceritakan bahwa 7 dan Pernataan 6 maka mengikuti pengamatan dari bagian adalah selalu positif. Sementara sifat dari ini, bagaimanapun, tidak diharapkan. Untuk contoh, dimisalkan dan Kita tentukan bahwa adalah berkala, dengan teor periode imajiner : 8 Menurut contoh illustrasi lainna sifat dari bahwa tidak mempunai. aitu, saat tidak pernah negative, maka nilai dari ada. 4

15 Contoh. Carilah semua nilai ang memenuhi 9 Untuk menentukan, kita tulis persamaan 9. Maka dari bagian 8 mengenai persamaan dua bilangan komplek adalah sama dalam bilangan eksponensial,jadi dan Jadi, dan diperoleh.. Fungsi Trigonometri Persamaan sec.6 menjelaskan bahwa e i cos isin dan e i cos isin Pada setiap bilangan real, dan dari persamaan ini diperoleh e i i e i i i sin dan e e cos Sehingga, i i e e sin dan i e cos Definisi diatas ang mendasari pendefinisian sinus itu dan fugsi cosinus dari suatu variabel kompleks seperti berikut : i i e e sin, i e cos i e i Fungsi itu adalah keseluruhan saat menggabungkan garis-garis lurus latihan 3, bagian.4 dari keseluruhan fungsi i e dan eksponensial itu, ditemukan dari pertanaan bahwa d d sin cos, cos sin. d d i e i i e. Diketahui turunanna dari fugsi Itu adalah mudah dengan melihat dari defenisi bahwa 3 sin sin dan cos cos Dan suatu variasi identitas ang lain dari trigonometri adalah benar pada variabel kompleks. 5

16 Contoh. Tunjukkan bahwa 4 sin cos sin sin, Gunakan defenisi dan baik dari fungsi ekspoesial, pertama ditulis sin cos e i e i i e i e i Kemudian dilakukan perkalian untuk menghilangkan di sebelah kanan e e i e e i i i i i i Atau sin sin ; Dan identik 4 ang tidak bisa dipungkiri Idetik 4 dipelajari pada identitas lihat latihan 3 dan 4 5 sin sin cos cos sin, 6 cos cos cos sin sin, Dan dari persamaan diatas ditujukkan bahwa 7 sin cos, 8 sin sin cos, cos cos sin, 9 sin cos, sin cos. Ketika adalah suatu bilangan rill, pertama dapat digiakan defenisi dan fungsi hiperbola e e e sinh dan cosh Pada kalkulus dituliskan sin i isinh dan cos i cosh Merupakan rill dan bagian imajiner dari sin dan cos kemudian diperlihatkan dengan mudah degan menulis dan i pada identitas 5 dan 6: sin sin cosh icos sinh, cos cos cosh isin sinh, Dimana i. e 6

17 Suatu bilangan dibutuhkan benar dari sin dan cos dengan mendekati dari ekspresi dan.sifat berkala dari fungsi itu, sebagai contoh, adalah jelas : 3 sin sin, sin sin, 4 cos cos, cos cos. Juga lihat latihan 9 5 sin sin sinh, 6 Karena tak terbatas, ini benar dari dua persamaan dan adalah tidak berbatas pada bidang kompleks, di mana nilai mutlak dari dan adalah kecil atau sama dengan semua nilai pada.lihat definisi dari batas pada akhir bagian 7. Nilai nol pada sebuah fungsi merupakan nilai dari sedemikian sehingga.karen a merupakan fungsi sinus biasa dalam kalkulus di mana adalah real, diketahui bahwa nilai real semuaqna bernilai nol pada. Untuk menunjukkan bahwa tidak ada nilai nol ang lain, diasumsikan bahwa dan carana mengikuti dari persamaan 5 bahwa Jadi, Dengan jelas, dimana dan, sehingga 7 jika dan hana jika Karena Berdasarkan identitas 9 ang ke 8 jika dan hana jika Jadi, ini merupakan keadaan ang sebenarna dengan, nilai nol pada semuana real. Empat fungsi trigonometri lainna menegaskan hubungan dari fungsi sinus dan cosinus dengan hubungan-hubungan: 9 7

18 Selidiki bahwa persamaan dan adalah analitik di mana-mana kecuali pada keistimewaan bagian 3 Di mana nilai nol pada. Demikian juga, dan mempunai keistimewaan pada nol dari, akni rumus turunan Dengan menurunkan persamaan sebelah kanan 9 dan, didapatkan Kadangkala tiap fungsi trigonometri ditegaskan dengan persamaan 9 dan ikut dijelaskan dari persamaan 3 dan 4. Untuk contoh: 3 Pemetaan properties dari transformasi adalah sangat penting untuk aplikasi selanjutna. Saat belajar memilih properties cukup dengan membaca bagian 89 chap 8, di mana pemetaan tersebut didiskusikan. 3. Fungsi Hiperboliks Fungsi hiperbolik sinus dan hiperbolik kosinus didifinisikan sebagai dengan suatu variabel riil ; aitu dari suatu variabel kompleks Karena dan adalah fungsi lengkap, berdasarkan dari definisi dan adalah fungsi lengkap. Sedemikian sehingga, Karena cara ang digunakan oleh fungsi eksponensial ada pada definisi dan dari definisi Bagian 33, maka 8

19 Dari dan, fungsi hiperbolik sinus dan fungsi kosinus saling berhubungan dengan fungsi trigonometri, sehingga 3 4 Beberapa dari persamaan ang sering digunakan ang selalu menertakan fungsi hiperbolik sinus dan fungsi kosinus aitu Dan 9 dimana. Ketika persamaan ini mengikuti secara langsung dari definisi, dengan mudah diperoleh dari hubungan persamaan trigonometri, dengan bantuan dari persamaan 3 dan 4. contoh Untuk menggambarkan cara dari pembuktian ang tepat, misalkan dengan menggunakan persamaan. Berdasarkan persamaan 4,. Yaitu 3 Dimana. Dari persamaan 5, pada bagian 33, kita ketahui bahwa dan ini memungkinkan kita untuk menuliskan persamaan 3 ke dalam bentuk persamaan. 9

20 Maksud dari dan mengikuti hubungan persamaan 4 bahwa dan adalah periodik dengan periode. Persamaan 4 juga menatakan bahwa 4 jika dan hana jika dan 5 jika dan hana jika 6 Fungsi hiperbolik tangen dari didefinisikan oleh persamaan dan analitik di setiap daerah di mana. Fungsi dan adalah kebalikan dari dan. Secara langsung mengikuti rumus turunan, ang mana sama dengan ang ditetapkan pada Kalkulus dari fungsi ang bersesuaian dengan variabel riil : 7 8

21 BAB III TRANSFORMASI ELEMENTER Pada bab ini akan membicarakan arti geometri fungsi kompleks. Suatu fungsi dapat dipikirkan sebagai suatu proses bahwa sebagian dari bidang Z dipetakan ke bagian bidang W. Hal ini menjelaskan istilah pemetaan dan transformasi sebagai nama lain untuk suatu fungsi f memetakan ke w dengan w adalah peta dibawah f dan adalah prapeta dari w. Keadaan seperti ini ang mendasari pembahasan mengenai transformasi elementer. A. Transformasi Kebalikan Transformasi kebalikan asalah transformasi ang berbentuk. Untuk mencari peta oleh transformasi dilakukan dengan cara sebagai berikut. Jika diperoleh: Dengan demikian transformasi kebalikan memetakan suatu titik pada bidang-z dengan modulus sama dengan dan argumenna menjadi suatu titik pada bidang W dengan modulus sama dengan dn argumenna Selanjutna akan ditentukan peta dari garis lurus dan lingkaran di oleh transformasi kebalikan Adapun prosesna sebagai berikut.

22 . Misalkan persamaan garis lurus di adalah dan tak bersama- sama nol ditransformasikan oleh Namakan dan maka : Sehingga diperoleh : dan Jika dan dinatakan dalam dan maka : Sehingga diperoleh : dan Jadi peta garis lurus di oleh transformasi adalah : Jika maka petana berupa garis lurus. Tetapi jika petana berupa suatu lingkaran. Seperti pada gambar di bawah ini:

23 . Misalkan persamaan lingkaran di adalah ditransformasikan oleh diperoleh: Jika maka petana berupa garis lurus. Tetapi jika petana berupa suatu lingkaran. Contoh: Tentukan peta dari garis oleh transformasi Penelesaiaan: 3

24 Jadi garis pada bidang-z dipetakan oleh ke bidang-w menjadi lingkaran dengan pusat dan jari-jari. Contoh: Tentukan peta dari lingkaran oleh transformasi Penelesaiaan: Jadi lingkaran di bidang-z dipetakan oleh ke bidang-w menjadi garis. B. Transformasi Bilinear Definisi : Jika a, b, c, dan d konstanta kompleks maka : w = f =, untuk ad bc, dinamakan Transformasi bilinear Kita asumsikan c guna menghindari persamaan bilinear berubah menjadi persamaan linnear. Analog dengan transformasi kebalikan, maka transformasi bilinear juga memetakan garis dan lingkarang menjadi garis atau lingkaran. Pemetaan bilinear w = f = = merupakan komposisi dari fungsi-fungsi berikut : k = c + d, h =, g = 4

25 Jadi, transformasi bilinear merupakan gabungan dari transformasi linear diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linear sekali lagi. Teorema 3.3.: Jika sebarang titik pada bidang-z dan sebarang titik pada bidang-w, maka terdapat fungsi transformasi bilinear ang memetakan dengan j =,, 3 adalah : Bukti : dengan ad bc 5

26 6 Analisa Kompleks Binti Anisaul Khasanah, M.Pd.

27 TERBUKTI Contoh Soal Carilah transformasi bilinear dari titik ke titik Penelesaian : Dengan menggunakan teorema 3.3. : 7

28 Jadi, transformasi bilinear ang memetakan adalah : Tentukan peta I > oleh transformasi bilinear Penelesaian: I > Digeser I > 8

29 Jadi, diperoleh lingkaran dengan pusat dan r = v u Diperbesar v u v v Diputar Digeser u u 9

30 Berikut ini diberikan cara lain untuk menentukan hasil transformasi oleh w = Natakan dalam w, sehingga w = Jadi peta dari I > oleh transformasi w = adalah : I > 3

31 BAB IV FUNGSI ANALITIK A. Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks Definisi : Diberikan dengan a. disebut lingkungan dari b. disebut lingkungan dari tanpa Definisi: Diberikan himpunan. a. Titik disebut titik dalam himpunan A, jika terdapat bilangan sehingga berlaku. b. Himpunan titik dalam A didefinisikan dengan. c. Titik disebut titik luar himpunan A, jika terdapat bilangan, sehingga berlaku d. A disebut himpunan terbuka jika berlaku, aitu setiap merupakan titik dalam himpunan A. Definisi : Diberikan himpunan a. Titik disebut titik limit himpunan A, jika untuk setiap bilangan berlaku. b.himpunan titik limit A didefinisikan dengan A = p titik limit himpunan A } c. A disebut himpunan tertutup, jika berlaku d. Titik disebut titik terasing terpencil himpunan A, jika dan p bukan titik limit A aitu terdapat bilangan sehingga berlaku 3

32 Definisi: Diberikan himpunan. a. Titik disebut titik batas himpunan A, jika untuk setiap bilangan berlaku b. Himpunan titik batas A didefinisikan dengan c. Interior himpunan A didefinisikan dengan IntA = {: titik dalam A} d. Eksterior himpunan A didefinisikan dengan EksA ={: titik luar A} e. Penutup himpunan A didefinisikan dengan Definisi : Diberikan himpunan a. Himpunan A dikatakan terhubung connected, jika setiap dapat dihubungkan oleh suatu lengkungan kontinu C ang seluruhna terkandung di A b. Himpunan A dikatakan daerah domain di C, jika A adalah suatu himpunan terbuka dan terhubung di C. Region adalah suatu daerah dengan atau tanpa titik batasna. Catatan: Daerah seringkali disebut region terbuka sedangkan suatu daerah beserta titik batasna disebut region tertutup. Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan aitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatna.. Lingkungan/persekitaran a. Persekitaran adalah himpunan semua titik ang terletak di dalam lingkaran ang berpusat di,berjari-jari r,. Ditulis o 3

33 b. Persekitaran tanpa o adalah himpunan semua titik o ang terletak di dalam lingkaran ang berpusat di o, berjari-jari. Ditulis. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis S c,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z ang tidak termasuk di S. 3. Titik limit Titik o disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap o maka o Jika o o bukan titik limit, maka o disebut titik terasing. 4. Titik batas Titik o disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap o memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik ang tidak di S. 5. Batas dari himpunan S adalah himpunan semua titik batas dari S. 6. Interior dan Eksterior Titik o disebut interior dari himpunan S jika ada No, sehingga No, S. Titik ang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior. 7. Himpunan Terbuka Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S. 8. Himpunan Tertutup Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitna. 9. Himpunan Terhubung Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis ang seluruhna terletak di S.. Daerah domain Himpunan terbuka S ang terhubung disebut daerah domain.. Daerah Tertutup Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasna.. Penutup dari himpunan S adalah himpunan S digabung dengan titik limitna. 33

34 B. Limit Fungsi Kompleks Suatu fungsi dikatakan mempunai limit untuk mendekati titik, dapat dituliskan sebagai : Jika nilai dekat ke untuk semua dekat ke untuk setiap bilangan nata positif, dapat ditemukan bilangan nata positif sedemikian rupa sehingga untuk semua di dalam cakram disk aitu ; didapatkan : Untuk setiap didalam cakram, nilai terletak dalam cakram. Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan riil dalam kalkulus. Kalau pada bilangan riil bila mendekati hana mendekati sepanjang garis riil sedangkan pada bilangan kompleks bila mendekati akan mendekati dari semua arah dalam bidang kompleks. Definisi Limit lim f w dibaca limit f untuk menuju sama dengan w, dan didefinisikan sebagai berikut: lim f w f w. berlaku Definisi : Diberikan suatu fungsi f ang terdefinisi pada daerah. a. jika dan hana jika untuk setiap bilangan terdapat bilangan sehingga jika berlaku b. jika dan hana jika untuk setiap lingkungan terdapat lingkungan terhapuskan sehingga jika berlaku. Buktikan bahwa : a. 34

35 b. Teorema : Deberikan fugsi kompleks f terdefinisi pada daerah dengan dan. a. Jika b. jika dan hana jika terdapat bilangan k Teorema : Diberikan fungsi kompleks f dan g ang terdefinisi pada daerah dengan Jika dan maka a. b. c. d. Teorema :. Diberikan fungsi kompleks f ang terdefinisi pada daerah dengan a. jika dan hana jika b. Jika maka. Diberikan fungsi didefinisikan pada daerah jika setiap, dan, maka untuk 35

36 Teorema:. Diberikan terdefinisi pada daerah dan jika dan hana jika dan. Diberikan terdefinisi pada daerah dan Jika selalu ada dengan nilai L untuk sepanjang kurva dan suatu titik limit S. Dalam bentuk ang lebih formal, dikatakan bahwa :, untuk, adalah jika dan hana jika, diberikan sembarang, dapat ditemukan suatu sedemikian sehingga bia titik adalah anggota ang terletak didalam, maka di dalam. Contoh Perhatikan fungsi identitas Untuk sembarang titik jelaslah bahwa, untuk,, karena jadi bila,. Contoh Penelesian :. Karena dan bila, substitusi langsung menghasilkan untuk limit ang diberikan Conth 3 Contoh 4 Tunjukkan bahwa jika maka untuk tidak ada. 36

37 Penelesaian : Kita buat sepanjang sumbu nata Dengan membuat sepanjang garis kita peroleh : Contoh 5 i Misalkan f,. Buktikan lim Bukti: i f. Ambil ε > sebarang. Pilih berlaku i f i i i i i Jadi untuk setiap dan positif berlaku f bila, lihat gambar. Sehingga menurut definisi limit terbukti lim Contoh 6 i f. Misalkan f. Buktikan lim f tidak ada. Bukti: Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan ang berbeda. Pendekatan sepanjang sb- positif, dalam hal ini =. i i. lim f lim lim lim.,, i, i. Pendekatan sepanjang sb- positif, dalam hal ini =. i i. lim f lim lim lim.,, i, i. Pendekatan sepanjang garis =. 37

38 38 i i i i i i i i f lim.. lim lim lim,,. Karena pendekatan sepanjang arah ang berbeda menghasilkan nilai ang tidak sama maka lim f tidak ada. Teorema Andaikan f = u, + iv,, = + i, ω = u + iv maka,,, lim, lim lim,, v v dan u u f Bukti: Misalkan,,, lim, lim,, v v dan u u, artina,,, v v u u Pilih, min. Karena v v u u v v i u u iv u iv u dan i i i maka u iv iv u bila i i. Jadi lim f. Misalkan lim f, artina u iv iv u bila i i. Perhatikan bahwa iv u iv u v v i u u v v iv u iv u v v i u u u u

39 39 dan i i i Sehingga v v dan u u bila. Jadi,,, lim, lim,, v v dan u u. Teorema Andaikan B g A f lim, lim maka B A g f lim. AB g f lim. B A g f lim. Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.bidang kompleks ang memuat titik tersebut disebut bidang kompleks ang diperluas. Teorema 3 Jika dan w titik-titik pada bidang dan w, maka lim lim f jhj f lim lim w f jhj w f 3 / lim lim f jhj f Bukti: Misalkan lim f, artina f bila < < δ.....#. Akan dibuktikan lim f.

40 Titik w = f berada di suatu lingkungan-ε,aitu w > /ε dari bila ada di lingkungan < < δ dari. Sehingga persamaan # dapat ditulis menjadi f bila < < δ. Jadi lim. f Misalkan lim f w, artina f w bila >/δ...*. Akan dibuktikan lim f w. Pada persamaan * rubah dengan /, maka akan diperoleh f w bila < < δ. Jadi lim f w. 3 Misalkan lim f, artina f bila > /δ...**. Akan dibuktikan lim. f / Pada persamaan ** rubah dengan /, maka akan diperoleh f / bila < < δ. Jadi lim. f / 4

41 C. KEKONTINUAN Definisi Kontinu Misalkan terdefinisi dan bernilai tunggal dalam suatu lingkungan dari dan juga pada aitu lingkungan dari. Fungsi dikatakan kontinu di jika lim f f Perhatikan bahwa ini mengakibatkan tiga sarat ang harus dipenuhi. Fungsi f dikatakan kontinu di jika lim f ada f ada lim f f Pernataan pada persamaan 3 jelas memuat pernataan pada persamaan dan, karena secara implisit keberadaan nilai dari setiap sisi adalah sama. Pernataan padapersamaan 3 mengatakan bahwa, untuk setiap bilangan suatu bilangan positif sedemikian sehingga Dengan kata lain f kontinu di = jika lim f f berlaku f positif, terdapat f Fungi kompleks f dikatakan kontinu pada region D jika f kontinu pada tiap titik dalam D. Misalkan f = u, + iv, kontinu di = + i, u, dan v, kontinu di, lim u, u, dan lim v, v,,,,, Sifat-sifat fungsi kontinu Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks Jika f dan g kontinu pada daerah D maka a f+g kontinu 4

42 b f-g kontinu c f.g kontinu d f/g kontinu kecuali di D sehingga g = Contoh. Bila didefinisikan sebagai: Periksalah apakah Jawab: kontinu di Telah diketahui bahwa sedangkan sehingga untuk kontinu di. Bila, untuk apakah kontinu di dan di Jawab: Brapapun nilai didefinisikan, tidak mungkin kontinu di sebab tidak ada. Sekarang akan kita periksa terlebih dahulu apakah ada. Jadi akan kontinu di asalkan 4

43 D. TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS Definisi Turunan Semua fungsi ang analitik pasti dapat diturunkan diferensiabel, tetapi tidak berlaku sebalikna, bahwa fungsi ang diferensiabel menunjukkan analitisitas. Definisi turunan fungsi kompleks sama seperti turunan pada fungsi real : Turunan fungsi f di, ditulis dengan f didefinisikan sebagai berikut: Defnisi Keterdiferensialan: Misalkan adalah fungsi kompleks dengan daerah asal domain, dan. Fungsi dikatakan terdiferensialkan / dapat diturunkan / memiliki turunan di jika f f f lim jika limitna ada. d Notasi untuk turunan f di adalah f f. Dengan. d Jika nilai limit tersebut ada, maka nilai limit tersebut dinotasikan sebagai dan disebut sebagai turunan di. Jika terdiferensialkan di setiap titik pada suatu himpunan maka diperoleh sehingga dapat dide_nisikan fungsi baru ang disebut fungsi turunan dari aitu Dengan Contoh:. Jika maka secara umum, diperoleh Sehingga diperoleh fungsi turunan dari. Jika dan maka adalah 43

44 Sehingga diperoleh fungsi turunan dari adalah Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks. Aturan Turunan d. c d d. d d d 3. c f cf d n n 4. n,, n d d d 5. f g f g d d 6. f g f g f g 7. d d f g f g g f g Contoh Tentukan turunan dari fungsi berikut:. f = + i 5 i. f pada i i Penelesaian : Dengan menggunakan aturan turunan 4 dan aturan rantai. diperoleh f i.4 i. 44

45 . Dengan menggunakan aturan turunan 7 diperoleh f f g f g i i i g i i Sehingga untuk = i diperoleh i i f i i. i i 4i Aturan Rantai Misalkan f mempunai turunan di, dan g mempunai turunan di f. Maka fungsi F = g[f] mempunai turunan di, dan F g[ f ]. f. Dengan kata lain, jika w = f dan W = gw = F, maka menurut aturan rantai dw d Contoh dw dw dw d Tentukan turunan dari fungsi f = + i 5 dengan menggunakan aturan rantai! Penelesaian: Misalkan w = + I dan W = w 5. Maka menurut aturan rantai dw dw dw = 5w 4 4 = + i 4. d dw d E. PERSAMAAN CAUCHY RIEMAN Persamaan Cauch Reimann merupakan persamaan ang sangat penting pada analisis kompleks karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w = f = u, + iv,. Pada pasal ini akan mengembangkan sarat perlu dan cukup agar suatu fungsi ang diberikan mempunai turunan. Hal ini dicapai melalui dua teorema.teorema pertama memberikan rumus untuk turunan asal turunan itu ada. Sedangkan teorema kedua memuat sarat cukup akni jika dipenuhi oleh fungsi ang diberikan akan menjamin adana turunan fungsi dan teorema ini menatakan lokasi dimana turunan itu berada. 45

46 . Definisi Persamaan Cauch Riemann Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hana jika turunan parsial pertama dari u dan v memenuhi persamaan Cauch Riemann, aitu Misalkan diberikan, f ' f lim w w f w dengan. f dengan mengunakan definisi turunan diperoleh: Misalkan i, diperoleh w lim w w i i f Jadi, u, dan v, Turunan parsial pertama dari u dan v.... adalahu,, u,, v,, dan v, Fungsi u, v, u, u, v dan v semuana kontinu pada R, karena masing-masing merupakan fungsi polinom. Dari turunan parsial pertama dapat dibentuk hubungan berikut u v dan u v... ' Dari persamaan dan dapat disimpulkan bahwa jika, f ' i i u iv v iu f diperoleh Dengan melihat gejala tersebut di atas diturunkan suatu teorema ang disajikan di bawah ini ang disebut dengan persamaan Cauch Reimann. Teorema Teorema : Diketahui f = u, + iv,,andaikan bahwa :. u, + iv, dan turunan parsialna u, v, u, v kontinu di semua titik dalam suatu lingkungan N tertentu bagititik. Pada titik maka Bukti : Dari kalkulus dua peubah kita mengetahui bahwa hipotesis menjamin ang berikut :untuk sembarang titik u v u v dan 46

47 Dengan menuju nol bila menuju ke nol. Begitu pula Dan sekali lagi menuju ke nol bila menuju ke nol. Sekarang,menurut hipotesis kedua relasi tersebut menjadi Maka Mengingat i dan ii,persamaan diatas menghasilkan : Selanjutna kita mengambil limit relasi di atas untuk Jelaslah hasil bagi pada ruas kiri mrnghasilkan turunan f pada Dipihak lain untuk maka juga Dan semua menuju ke nol,akibatna. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa bila dua suku terakhir iii menuju ke nol dan turunan f pada ada aitu: Teorema : Andaikan bahwa fungsi suatu titik Maka pada titik itu mempunai turunan pada Dan karenana 47

48 Bukti : Karena ada, limit untuk mendapatkan f harus tak bergantung dari sepanjang jalur. khususna nilai f pada akan menjadi sama jika kita memilih jalur mendatar. Maka tentu saja Menurut definisi dua limit terakhir adalah berturut-turut maka Dengan memilih jalur vertical/tegak dan dengan cara serupa akan menghasilkan Contoh : Buktikan bahwa turunan ada untuk semua dan bahwa Jawab : Dengan menuliskan f dalam bentuk u+iv, aitu jadi Fungsi tersebut kontinu dititik pada bidang datar dan jelas Untuk semua, hal ini memenuhi teorema sehinggaf ada untuk semua. dan berakibat bahwa teorema dipenuhi untuk setiap jadi diperoleh 48

49 . Sarat Cauch Riemann Sarat ang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di adalah sarat Chauch-Riemann, ang menghubungkan derivatif-derivatif parsial tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f. Jika terdifferensial di maka mempunai derivatif parsial pertama di dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauch Riemann Derivative f di dapat dinatakan dengan Jika persamaan C-R tidak terpenuhi di maka pasti tidak terdifferensial di. Contoh : Buktikan tidak terdifferensial di Bukti : sehingga Persamaan Cauch Riemann Dan tidak terpenuhi jika jadi pasti f tidak terdifferensial di 49

50 Catatan : Sarat Cauch Riemann hana sarat perlu untuk keterdifferensialan. Contoh : Buktikan fungsi tidak terdifferensial di. Bukti : Jadi persamaan Cauch Riemann terpenuhi tetapi Untuk tidak ada sehingga f tidak terdifferensial di meskipun persamaan Cauch Riemann dipenuhi di,. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa : i. Sarat perlu 5

51 ii. Sarat cukup CONTOH SOAL. Gunakan persamaan Cauch-Riemann untuk memeriksa keterdeferensialan fungsi berikut f Jawab : u, v, karena u v tidak memiliki diferensial. i u v dan v v u u maka tidak berlaku persamaan Cauch Reimann sehingga. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut : a. Jawab : dengan Sehingga 5

52 b. Jawab : Sehingga 3. Buktikan tidak terdifferensial di Bukti : sehingga Persamaan Cauch Riemann Dan tidakterpenuhijika jadi pasti f tidak terdifferensial di 5

53 F. Fungsi Analtik Fungsi f disebut analitik atau holomorfik atau reguler atau monogenik di titik apabila f ada di semua titik pada suatu lingkungan. Teorema 5 Misal f = u, + iv,. Andaikan i. u, v, u, v kontinu di semua titik dalam lingkungan tertentu N dari titik ii. persamaan Cauch- Riemann u v u v berlaku di setiap titik di N maka f analitik di Contoh Buktikan f = tidak analitik Bukti: Karena f hana mempunai turunan di = atau f tidak ada pada persekitaran =. Beberapa hal ang perlu diperhatikan i. Jika f analitik pada setiap titik dihimpunan S maka fanalitik pada S. ii. Jika f analitik di seluruh bidang kompleks maka f fungsi meneluruh /fungsi utuh entire function. iii. Daerah keanalitikan region of analcit bagi f adalah keseluruhan titik pada bidang datar ang membuat f analitik. Contoh Misalkan f 3. Apakah f analitik? Penelesaian: f ada di semua kecuali di + = atau = ± i. Jadi f analitik kecuali di = ± i. 53

54 BAB V PENGINTEGRALAN KOMPLEKS A. Integral Fungsi Kompleks Misalkan C adalah lintasan di bidang kompleks dan Fungsi terdefinisi di lintasan C. Akan ditentukan dan sifat-sifatna. Definisi Integral Fungsi Komplek: Pendefinisian integral fungsi kompleks serupa dengan pendefinisian integraal fungsi real, aitu dengan mengganti selang pengintegralan oleh suatu lintasan. Misalkan adalah lintasan ang menghubungkan dan dan tedefinisi di. Integral fungsi sepanjang lintasan didefinisikan sebagai Dengan = panjang maksimum dari busur dari partisi ang didefinisikan pada C, aitu = sebarang bilangan kompleks ang terletak pada busur Jika limit tersebut ada, maka dikatakan terintegralkan sepanjang lintasan pengintegralan C. Teorema berikut menatakan sarat ang harus dipenuhi oleh agar terintegralkan dan bagaimana cara menghitung nilai integralna. Teorema Eksistensi Integral Fungsi Kompleks Jika kontinu di setiap titik pada kurva mulus : maka ada dan 54

55 Sifat-sifat Integral Kompleks Misalkan adalah sebarang konstanta kompleks, adalah lintasan ang terdiri dari kurva mulus dan dan terintegralkan sepanjang kurva. Maka. = dimana k konstanta Jika terbatas di, aitu terdapat sehingga dan jika panjang lintasan dan maka Soal dan Pembahasan. Hitunglah sepanjang parabola, garis lurus dari ke dan kemudian dari ke garis lurus dari ke. Penelesaian a Titik dan pada parabola berkaitan dengan dan. Maka integral ang diberikan sama dengan b Sepanjang garis lurus dari ke,, dan integral garisna sama dengan 55

56 Sepanajang garis lurus dari ke,, dan integral garisna sama dengan c Suatu persamaan garis ang menghubungkan dan adalah garisna sama dengan. Selesaikan untuk, maka. Jadi integral Hasil tersebut dapat juga diperoleh dengan menggunakan. Hitunglah C d jika. a. C adalah busur parabola dari ke Jawab : C d = id id C = d d i d C C C C d. d = d d i d 3. d = d d i d = i 3 3 = 56

57 b. adalah ruas garis lurus dari ke Jawab : Dengan titik persamaan A dan B maka persamaanna : C d = d d i d C C C C d = d d i d d = i = i 4 4 c. C adalah ruas garis lurus dari ke dilanjutkan dari ke Jawab : C d = C d + C d Dengan diketahui didapat didapat Jadi, d = C C d = id id C d = d d i 4d = i = 4i 57

58 Maka C d = C d + C d = + 4i = 4 i 3. Hitunglah, jika a. C adalah parabola dari titik, ke,4 jawab : DIK : b. C adalah garis lurus dari ke dilanjutkan dari ke jawab : 58

59 ,, B. Integral Cauch Pada materi ini lanjutan dari materi pokok 4 ang membahas tentang integral kompleks.pada Bab 4 kita bergumul dengan integral fungsi kompleks sembarang. Tiga pasal pada bab ini dikhususkan untuk mempelajari integrasi fungsi-fungsi analitik. Fungsi-fungsi ang telah dikenal demikian, tentu saja merupakan fungsi-fungsi ang tergolong lebih dibatasi, tetapi justru sifatna ang lebih sempit itulah ang memungkinkan pengembangan teori ang kuat disertai keindahan matematik ang luar biasa, dan pada saat ang sama, tak ternilai hargana di dalam tangan seorang ilmuwan terapan. Dalam teori integrasi fungsi-fungsi analitiklah, sifat-sifat ang kuat dan struktur dalam ang dimiliki oleh sejumlah fungsi-fungsi tersebut dapat dimunculkan dalam bentuk hasil-hasil berikut ini dan juga kemudian, dalam penerapan hasil-hasil tersebut. Landasan untuk pengembangan isi buku ini selanjutna terdiri dari apa ang dinamakan teori fungsi analitik Cauch, ang inti teorina adalah teorema integral 59

60 Cauch ang termashur. Mengenai teorema ini, menarik untuk dicatat bahwa, sesungguhna, Cauch pertama kali membuktikan suatu bentuk ang lebih lemah dari teorema itu ang sekarang diberi nama sesuai dengan namana, dan Goursat-lah ang kemudian membuktikan bahwa salah satu dari hipotesis dalam bentuk asli teorema itu tidak hana takperlu tetapi juga berlebihan lihat Catatan Teorema 5.. berikut. Teorema 5.. Theorema Integral Cauch. Andaikan bahwa. F analitik pada daerah terhubung sederhana R.. C adalah suatu lintasan tertutup ang terletak seluruhna dalam R. Maka Bukti : Dengan mengingat kembali Teorema Green dari calculus ang mengatakan. Jika daerah ang dibatasi oleh lengkungan tertutup c, fungsi kontinu maka : Dari teorema 5. didapat Dengan menggunakan teorema green maka Hal ini berlaku karena analitik,sehingga ada, berarti fungsi u dan v kontinu. Kemudian Cauch menambahkan bahwa kontinu sehingga kontinu. Selain analitik,. jika dua persamaan ini diisikan ruas kanan, dua bentuk integral ganda bernilai nol, dipeloreh 6

61 CATATAN: Teorema Cauch ang asli mencakup hipotesis tambahan bahwa turunan f' kontinu pada C dan pada Dl C. Tetapi, akan ditunjukkan sebagai akibat Teorema 5.., bahwa jika f analitik pada suatu daerah R, maka f'jugaanalitik pada R dan kontinu di situ. Oleh karena itu, seperti kita katakan sebelumna, kontinuitas f' merupakan suatu hipotesis ang berlebihan. karena itu sudah diimplikasikan oleh analitisitas f. CATATAN. Konvers teorema Cauch tak berlaku; artina pernataan berikut, pada umumna salah. Jika untuk setiap lintasan tertutup C di dalam daerah terhubung sederhana R, maka/analitik dalam R. Suatu contoh ang menggambarkan kenataan ini diperlihatkan oleh fungsi f = /. ang integralna dapat ditunjukkan menjadi nol sepanjang sembarang lintasan tertutup ang integralna didefinisikan. Tetapi f jelas gagal menjadi analitik pada =. Konvers sebagian teorema Cauch, dikenal sebagai teorema Morera, akan dibuktikan pada Pasal. Bukti teorema integral Cauch agak sulit dan memerlukan keakraban dengan sejumlah konsep analitik ang dikembangkan pada Lampiran 5B sebelum bukti ang sesungguhna. Uraian singkat bukti teorema ini diberikan di sini untuk kepentingan mereka ang mungkin tertarik pada garis besar bukti ang panjang itu. Bagan Singkat Untuk Bukti Theorema Cauch Bukti dibagi atas tiga bagian besar:. Teorema itu pertama-tama dibuktikan untuk kasus di mana C, lintasan integrasina merupakan segitiga. Bagian bukti ini merupakan bukti analitik ang mudah ang 6

62 menggunakan pertimbangan atau alasan geometrik ang sangat elementer sifatna. Bukti selebihna sangat tergantung pada bagian ini lihat Gambar 5... GAMBAR 5.. BUKTI TEOREMA CAUCHY, KEJADIAN I.. Bagan bukti ang kedua dikhususkan untuk menetapkan suatu hasil ang bersifat teknik: Setiap segibanak polgon tertutup dengan jumlah sisi ang terbatas dapat. dibagi-bagi menjadi sejumlah terhingga segitiga-segitiga. Kemudian, karena menurut bagian. bukti ini integral tersebut sama dengan nol sepanjang setiap segitiga, maka denga mudah kita mendalihkan bahwa integral tersebut sama dengan nol bila C merupakan segi banak. Sangat mendasar pada bagian bukti ini, ialah kenataan bahwa setiap sisi segitiga hasil pembagian di atas, ang tidak terletak pada sisi segibanak tersebut dijelajahi dua kali dan dalam arah ang berlawanan lihat Gambar 5.. Oleh karena itu, nilai integral sepanjang bagian lintasan ang demikian sama dengan nol. GAMBAR 5.. BUKTI TEOREMA CAUCHY, KEJADIAN. 3. Pada bagan terakhir dibuktikan bahwa sembarang lintasan tertutup C dapat di-dekati dengan segibanak tertutup dengan banakna sisi sekehendak kita. lihat Gambar Sebagai akibatna, kita dapat membuktikan bahwa integral sepanjang C dibanding dengan integral sepanjang segibanak pendekatan dapat berbeda sekecil ang kita inginkan, jadi nilaina sama dengan nol, sesuai bukti bagian. 6

63 GAMBAR 5.3. BUKTI THEOREMA CAUCHY, KEJADIAN 3. Teorema integral Cauch, meskipun sangat penting dalam dirina sendiri, ketenaranna hampir tertutup oleh akibat-akibat ang ditimbulkanna, baik kedalamanna maupun keluasanna. Kita mulai studi kita dengan bentuk ekivalen bagi teorema Cauch. Lihat Soal.7.. Teorema 5. Bebas lintasan. Andaikan bahwa. R adalah daerah terhubung sederhana.. Z dan Z adalah titik-titik dalam R. 3. f selalu analitik dalam R. Maka nilai integral sepanjang lintasan sembarang C ang menghubungkan Z dan Z, dalam urutan seperti itu, adalah sama, asal C adalah lintasan ang terletak seluruhna di dalam R. Teorema ini merupakan suatu alat ang sangat memudahkan untuk menghitung beberapa integral tertentu, karena ia memungkinkan kita untuk memilih lintasan integrasi ang paling memudahkan, sepanjang sarat-saratna dipenuhi. Lebih tepatna, teorema itu menatakan bahwa nilai integral itu hana bergantung pada titik awal dan titik akhir lintasan C, secara sederhana kita mengatakan bahwa integral itu bebas lintasan. Contoh berikut menggambarkan konsep ini. CONTOH. Hitung integral dimanac=c + C seperti pada Gambar 5.4. Tanpa Teorema 5.. tersedia di hadapan kita, kita harus mendapatkan persamaan untuk seperempat lingkaran C dan penggal garis C dan kemudian diteruskan dengan 63

64 menggunakan cara-cara ang dikembangkan pada Pasal 8 dan 9. Tetapi, karena integran f{ = 3 analitik di dalam suatu daerah terhubung sederhana ang memuat titik-titik Z = - dan Z =. Teorema 5.. memungkinkan kita untuk memilih sembarang lintasan dari Z ke Z. Jelaslah, lintasan ang paling memudahkan dalam kasus ini ialah garis lurus dari Z ke Z K: =, -. Kemudian, substitusi dalam integral ang diberikan menghasilkan integral nata ang nilaina mudah ditemukan ialah. GAMBAR 5.4 CONTOH Rumus Integral Cauch Teorema integral Cauch diakini secara umum sebagai hasil ang paling penting di dalam teori fungsi analitik. Rumus integral Cauch, ang akan kita perkenalkan pada teorema berikut, mungkin merupakan hasil terpenting berikutna. Teorema tersebut memperlihatkan hubungan ang erat antar nilai-nilai ang dicapai oleh suatu fungsi anatitik di dalam daerah analitisitasna, dan khususna, dalam bagian dalam lintasan tertutup sederhana ang dibe'rikan, di mana fungsi itu analitik. Tetapi pentingna teorema ini mencapai lebih jauh dari pada itu; sebagai salah satu akibatna kita boleh menebutkan kenataan bahwa hal itu membentuk dasar untuk pengembangan teori deret pangkat kompleks ang pada giliranna, membawa ke teori residu dengan berbagai macam penggunaanna dalam sejumlah besar lapangan terapan. Pada tingkatan ang lebih elementer, rumus integral Cauch dan perluasanna melengkapi alat-alat ang memudahkan untuk perhitungan berbagai macam integral kompleks. 64

65 Teorema 5.7 Rumus Integral Cauch. Andaikan bahwa. Suatu fungsi f analitik pada lintasan tertutup sederhana C ang berorientasi posit if dan pada DI C.. adalah sembarang titik pada DI Q. Maka CATATAN Dalam menggunakan rumus Teorema 5.7., pembaca hendaklah berhati-hati untuk membedakan fungsi f, ang menurut hipotesis analitik dalam Dl C, dan fungsi f/ Z - Z, ang mempunai singularitas dalam Dl Q, katakan, pada =. Juga, perhatikan bahwa rumus tersebut berlaku sesuai dengan ang dinatakan dalam hipotesis, aitu rahwa C berorientasi positif. Tentu saja, jika C berorientasi negatif, maka ruas kiri rumus menjadi fz. Beberapa implikasi ang lebih mendalam akan muncul sendiri dalam pengembangan keemudian. Dalam contoh-contoh berikut, kita menggambarkan beberapa penggunaanna ang lebih praktis. CONTOH Hitung integral di mana C: =, berorientasi positif. Dalam notasi Teorema 5.7., / = ang merupakan fungsi meneluruh, dan Z = i, ang berada di Dl C. Maka menurut rumus integral Cauch CONTOH Hitung Integral dimana C : = -3i + e it, t 65

66 Integralna analitik kecuali pada =, ang berada di Lr C dan pada - ang berada di Dl C. Jadi, dengan menulis integral ang diberikan dalam bentuk Kita dapat menggunakan rumus integral Cauch dengan f= / dan = - =. Kita lanjutkan dengan suatu perluasan Teorema 5.7, ang akan menghasilkan bentuk umum rumus integral Cauch. Dari sudut pandangan praktis, hasil tersebut merupakan suatu alat ang jauh lebih kuat dari pada rumus Teorema 5.7, bila dihubungkan dengar. perhitungan beberapa integral kompleks tertentu. Lebih penting lagi, rumus umum menun-jukkan kebenaran suatu sifat fungsi kompleks ang sangat kuat dan berpengaruh luas. aitu, bahwa fungsi analitik memiliki turunan semua tingkat pada setiap titik pada mana ia analitik. Pada giliranna, hal ini menunjukkan bahwa jika, suatu fungsi analitik, maka tidak hana ia mempunai turunan pada setiap tingkat, tetapi turunan-turunanna sen-diri merupakan fungsi analitik; lihat Akibat- Teorema 5.8, di bawah. Teorema 5.8 Rumus Umum Integral Cauch. A ndaikan bahwa. Suatu fungsi f analitik pada suatu lintasan tertutup sederhana C ang berorientasi positif, dan pada DI C.. Z adalah sembarang titik pada DI C. Maka untuk setiap bilangan bulat n =,, -,... turunan f {n ada dan tertentu dengan rumus CATATAN: Teorema 5.7. adalah kasus khusus Teorema 5.8, untuk n =, karena f berarti f. 66

67 Jika suatu fungsi f analitik pada Z, maka, menurut definisi, ia juga analitik di suatu N,e. Sekarang, jika suatu lintasan tertutup sederhana C dilukis di dalam N dengan pada Dl, maka hipotesis Teorema 5.8 dipenuhi. Dengan mengulangi argumentasi ang sama untuk setiap titik pada daerah R pada mana /analitik, maka kita dapat menetapkan ang berikut ini. Akibat- Teorema 5.8. Andaikan bahwa f analitik pada suatu daerah R. Maka f mempunai turunan semua tingkat ang amlitik pada R dan tertentu dengan rumus pada Teorema 5.8. Akibat Teorema 5.8 ang lain ialah pertidaksamaan Cauch, ang menempatkan suatu batas atas nilai-nilai ang dicapai oleh turunan-turunan fungsi analitik pada titiktitik di dalam daerah analitisna. Kita formalkan konsep ini dalam Akibat- Teorema 5.8., sebagai berikut, ang garis besar buktina nampak dalam Soal.5. Akibat- Teorema 5.8 Pertidaksamaan Cauch. Andaikan bahwa. f analitik pada C: - = p dan pada Dl C.. f berbatas pada C, artina, terdapat bilangan nata positif'm sedemikian hingga f < M, untuk semua pada C. Maka, untuk semua n =,,,... Berhubungan erat dengan hasil di atas adalah konsep "modulus maksimum" ang kita bicarakan pada Bagian III. 67

68 CONTOH 3. Hitung integral d, di mana C : =7 e it, t. Dalam konteks Teorema 5.8, kita mempunai/ = + e, = - dan n =. Sekarang, karena f merupakan fungsi meneluruh dan di dalam Dl C, maka hipotesis teorema tersebut dipenuhi. Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus dalam kesimpulan teorema itu untuk n =, kita mendapatkan bahwa CONTOH 4. Hitung integral untuk C : - 3 =, dengan orientasi positif. Pertama, kita mencatat bahwa singularitas integran ang terletak di dalam DlC hana =. Jadi dalam konteks Teorema 5.8, kita dapat mengambil f = / 3, =, dan n =. Maka rumus teorema itu menghasilkan sebagai berikut: CONTOH 5. Hitung integral untuk C: = 3, dengan orientasi positif. Dalam menangani soal ini pertama-tama kita akan menggunakan teorema anulus berganda Teorema 5.6. untuk mengasingkan singularitas = dan =, ang keduana berada di dalam Dl C. Kemudian, kita akan menggunakan Teorema 5.8 dalam bentuk seperti ang dikerjakan pada Contoh 4 untuk menelesaikan soal itu. 68

69 Misalkan C ialah lingkaran ang berpusat di dan C ialah lingkaran ang berp usat di, keduana berorientasi positif dan dengan jari-jari cukup kecil sedemikiar. hingga mereka tidak berpotongan satu dengan ang lain dan keduana terletak di dalam Dl C. Gambarlah bangunan itu Maka: = = =. 69

70 DAFTAR PUSTAKA Hidaat Sardi Fungsi Kompleks. Jakarta: Karunika. Spiegel, Murra R.,Koko Martono Teori dan Soal-soal Peubah Kompleks Jakarta: Erlangga. Paliouras, John D., Wibisono Gunawan Peubah Kompleks untuk Ilmuan dan Insinur. Jakarta: Erlangga. 7