BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB II DISTRIBUSI PEUBAH ACAK"

Transkripsi

1 H. Maman Suherman,Drs.,M.Si BAB II DISTIBUSI PEUBAH ACAK. Peubah Acak Variable andom Pada bab anda telah mengenal ruang peluang S, Ω, P dimana S adalah ruang sampel dari eksperimen acak, Ω adalah lapangan sigma atau lapangan medan peristiwa pada S dan Padalah ungsi peluang, aitu P: Ω ang memenuhi aksioma. Pada kenataanna ruang sampel S umumna bukan himpunan bilangan. Dengan maksud untuk memudahkan pengembangan teori peluang secara matematis ang akhirna digunakan sebagai dasar untuk mengembangkan konsep-konsep statistika, maka kita perlu mengadakan suatu pengubahan atau transormasi dari unsur-unsur S kebilangan real. Dengan kata lain kita harus membuat sebuah aturan pemasangan atau pemetaan ungsi dari himpunan S kehimpunan bilangan real. Deinisi : Fungsi dari ruang sampel ke himpunan bilangan real dinamakan peubah acak variable random. Misalkan S ruang sampel dari suatu eksperimen acak, dan X : S sebuah ungsi, maka X dinamakan peubah acak pada S. Untuk suatu s S maka X s = dinamakan nilai ungsi atau nilai peubah acak X pada s. Himpunan semua nilai ungsi dari X, aitu = S = { = s, s S }, dinamakan range X. Perhatikan gambar. Jelas S. Dengan menganggaps sebagai ruang sampel baru dinamakan juga ruang sampel imbasan karena X. Pengantar Statistika Matematis

2 S X S X S X gambar. Kita bisa membentuk Ω aitu medan peristiwa pada S, dan dengan domain Ω kita bisa membentuk ungsi peluang P : Ω sehingga kita memiliki serangkai S, Ω, P sebagai ruang peluang ang baru. Aturan ungsi P dibangun sedemikian sehingga berhubungan dengan ungsi Ppada ruang peluang S, Ω, P. Agar P dapat terdeinisi dengan baik, maka setiapa Ω, haruslah X A Ω, sehingga peubah acak X harus dideinisikan lebih lanjut deinisi. Deinisi Misal S, Ω, P ruang peluang ungsi X : S dinamakan peubah acak variable random pada S. jika X A = C Ω. Catatan : - Deinisi lebih bermakna dibanding dengan deinisi - Dengan deinisi berarti ungsi P : Ω memiliki aturan A Ω, A P A = PX A = PC, dengan C Ω - Jika S terbilang, maka X dinamakan peubah acak diskrit dan jika S tak terbilang, maka X dinamakan peubah acak kontinu. Contoh. Misalkan S ruang sampel pengetosan tiga kali sebuah mata uang seimbang bersisi muka M dan belakang B ungsi X : S dideinisikan dengan banak muka atau X banak muka Pengantar Statistika Matematis

3 a dengan mengambil ruang peluang S, s, P. Periksa apakah X sebuah peubah acak pada S. apakah X diskrit atau kontinu? b Jika S range X dan Ω = s medan peristiwa pada S, maka dapat dirumuskan bahwa S, Ω, dan P sebuah ruang peluang. Hitung P {} c Hitung P X =, untuk S. Kemudian hitung PX = Penelesaian a S {BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM, MMB, MMM} S diskrit. Uniorm, dengan N S = dan Ps =, s S ungsi X : S dapat diperlihatkan dalam diagram, seperti pada gambar. S X BBB BBM BMB MBB BMM S MBM MMB MMM Gambar. Dalam hal ini X BBB = X BBB = X BBM = X BMB = X MBB = X BMM = X MBM = X MMB = dan X MMM = Dapat ditunjukkan bahwa pengaitan X : S benar-benar mendeinisikan sebuah ungsi. Jadi dengan mengacu pada deinisi, X adalah sebuah peubah acak pada S, dengan = S = range X = {,,,, }. Karena S, terhitung maka X adalah peubah acak diskrit Pengantar Statistika Matematis

4 b Karena N S =, maka N Ω = N s = = 6, dan Ω = {, S, {}, {...{}, {, },..., {,,, }}. Sehingga dengan deinisi, ungsi X benar-benar sebuah peubah acak. Misal A = {, } Ω, maka P A = PX A = P {BBM, BMB, MBB, BMM, MBM, MMB} = c P X = diartikan sebagai peluang peubah acak X bernilai Untuk = P = PBBB = = P = PBBB, BMB, MBB = = P = PBMM, MBM, MMB = = P = P MMM = P X = = =. Ini menunjukkan kepada kita bahwa ungsi P bersiat tidak negati dan jumlah semua nilai ungsina sama dengan. Atau P X =, S dan pasangan X dengan nilai ungsina atau {, P X = S P X = =. Maka himpunan semua S }dinamakan distribusi peluang dari p. a X. Jika ungsi P bersiat seperti pada contoh.. Selanjutna domain dari ungsi peluang P dapat diperluas menjadi = S dengan P X = =, r S. Nantina ungsi ini dinamakan ungsi kepadatan peluang dan selanjutna indek pada P dapat dihilangkan sehingga cukup dengan P saja! r S. Fungsi Kepadatan Peluang A. Peubah Acak Diskrit Misalkan X : S p,a diskrit dengan range S, dan S, Ω, P ruang Pengantar Statistika Matematis

5 peluang Deinisi : Fungsi : = S S dengan = PX = dinamakan ungsi kepadatan peluang atau ungsi densitas peluang dari peubah acak X. Jika : i = PX =, ii P X = = c S Catatan : Umumna rumus aturan kp untuk p, a diskrit X berbentuk seperti berikut : =... Contoh. Perhatikan contoh. dan gambar. Apabila kita deinisikan ungsi : = S S dengan aturan seperti diberikan dalam diagram panah pada gambar. = S A C S X S A S C X Gambar. Jelas = PX = =,,,,, lainna Pengantar Statistika Matematis

6 atau F9 = P X= = ; ; S c S Karena ungsi memenuhi i = PX =, dan ii = S P X = = maka adalah, k, Pdari peubah acak X. B. Peubah Acak Kontinu Deinisi : Misal X : S peubah acak kontinu dengan range S Fungsi : = S S dinamakan ungsi kepadatan peluang dari p, a X. jika : i, = ii d = Catatan : Umumna rumus kp untuk peubah acak kontinu X berbentuk seperti berikut : =... Jika A. A Ω, maka PA = A d, dan khususna untuk A = a, b = { : a < < b}, maka PA = b a d Dapat ditunjukkan bahwa P[a b] = Pa b = P[a b] = P[a b] dan PX = a = a konstanta eal Contoh. Misal peubah acak X : S memiliki range S = { } ungsi : Pengantar Statistika Matematis

7 di deinisikan dengan : =... a. Perlihatkan, bahwa sebuah kp dari X b. Hitung P[ - < ] c. Hitung P[X = I ] Penelesaian a. Karena S = [,] kontinu, maka X adalah peubah acak kontinu., untuk, dan =, untuk < atau >. Berarti,, dan karena d = d + - d + d = - maka adalah sebuah kp dari X b. P [- < ] = P[- < ] = d = d + - d = - = c. P X = = Contoh. Tentukan nilai agar ungsi : dengan k ; < < / ; laina membentuk sebuah ungsi kepadatan peluang X kemudian hitung p n 5 Penelesaian Karena nilai untuk = k banakna tak terhingga dan tak terhitung < <. Maka dapat disimpulkan adalah kontinu, dalam hal ini dapat dianggaprange X, S = { [ < < ]}. Jadi agar sebuah kp dari X adalah i = k k, dan ii p u d d k d d k k k Pengantar Statistika Matematis

8 jadi = ; ; lainna Sehingga P [ 5 ] = 5 d d d 7. Fungsi Kepadatan Peluang Bersama Perhatikan ruang sampel pengetosan sebuah mata uang seimbang tiga kali. Kita dapat membuat tak terhingga peubah acak pada ruang sampel tersebut. Misalkan kita buat dua peubah acak namakan peubah acak X dan peubah acak Y dengan peubah aacak X = banak muka dan Y = selisih banak muka dan banak belakang. Maka S = {,,,,} dan S {-, -,, }. ange bersama gabungan dari peubah acak X dan peubah acak Y, ditulis. S XY = {} S, S, X Y { S S } Catatan ange bersama dari X dan Y bisa kita ambil ang terbesar, aitu S X S Y untuk S X dan S Y diatas maka S XY {, -,, -,, -,, -} atau S X S Y {, } =,,, : = -, -, -, -. selanjutna kita ingin menghitung PX = dan Y = = PX =, Y = = PX Y. Perhatikan gambar. Y S N BBB - BBM - BMB MBB BMM MBM MMB MMM Gambar. Pengantar Statistika Matematis

9 Untuk, - S XY P[{, -}] = PX =, Y = - PX Y - = [BBB] = Untuk, - S XY P[{, -}] = PX =, Y = - = P[X Y ] = P[BBM, BMB, MBB] = Untuk, S XY P[{, }] = PX, Y = [ Y = PX Y ] = PBMM, MBM, MMB = Untuk, S XY P[{, }] = PX =, Y P[X ] = PMMM = Dapat anda periksa, bahwa jumlah semua peluang dan semua pasangan, S adalah I, akni : P [, -] + P [, -] + P [, -] + P, -] = Catatan : Himpunan semua tripel terurut, dan P[, ], dengan, S dinamakan diostribusi peluang bersma gabungan dari peubah acak X dan Y. Perhatikan ungsi : S, ang dideinisikan dengan, S, = PX =, Y = = P[X Y - ], dan perhatikan diagram panah untuk ungsi, dengan domain S = {,,, -,,,, } S,-,-,, Gambar.5 =,- =, =,- =, Pengantar Statistika Matematis

10 Fungsi : S ang diperlihatkan pada gambar.5 memiliki siat, dan,, S Fungsi seperti ini dinamakan ungsi peluang bersama gabungan dari X dan Y. Selanjutna domain dari ungsi ini diperluas menjadi P = S S c, seperti akan dideinisikan berikut ini : Catatan : Fungsi : = S S c, dinamakan ungsi kepadatan peluang bersama atau ungsi peluang gabungan dan peubah acak diskrit X dan Y, jika : i,,, = PX=, Y = ii, p N, Y P X X, Y S w S S N N Deinisi : Fungsi : = S S c z, dinamakan ungsi kepadatan peluang bersama dari peubah acak diskrit X, Y dan Z, jika : i,, z = PX =, Y =, Z = z,,, z ii,, z P X, Y, Z z SX SY SZ Deinisi : Fungsi : dinamakan ungsi kepadatan peluang bersama dari peubah acak diskrit X, X..., X n, jika : i,..., n P[X =, X =, X = X n ],,..., n ii....., n n Deinisi : Fungsi : dinamakan ungsi kepadatan peluang bersama dari peubah acak kontinu X, X..., X n, jika : i,..., n,,..., n n Pengantar Statistika Matematis

11 ii...,..., n d, d,... d n = I Contoh.5 Periksa apakah ungsi ang dideinisikan berikut merupakan, k, p bersama dari p, a diskrit ang diberikan :.,,,., :, dengan, =.,,,.,, lainna. g : 9, dengan g, = ;,,,,..., lainna. h :, dengan h, = 6 ; < <, < <, lainna. t :, dengan t, = c- --z ;,,z = >, lainna Penelesaian :. Peubah acak ang dimaksud adalah X dan Y, dan karena S m ={,-.,,,-,,} terhitung pada X dan Y diskrit. Jelas,=P X-,Y-,, S c S =, dan karena, S P X, Y F.,,. = maka adalah kp bersma dari p, a diskrit X dan Y Pengantar Statistika Matematis

12 . Dalam soal ini peubah acakna adalah X dan Y, dan karena S = S S = N N terhitung, maka X dan Y p, a diskrit. Jelas g,>,, S c S =, dan karena : g, 9 9 i i = 9 i... = 9 i = 9 = 9 =. maka g adalah sebuah, k, P bersama dari X dan Y Dalam soal ini peubah acakna adalah X dan Y, dan karena S = S S =,, = { < < } { < <} tak terhitung maka X dan Y dua p, a kontinu. Jelas h,,, S S = dan karena : h, dd 6 dd Pengantar Statistika Matematis d d maka h adalah sebuah, k, p bersama dari p, a kontinu X dan Y.. Dalam soal ini peubah acakna adalah X dan Y, dan Z karena S z = S S S z = [ > } { > } {===> } tak terhitung, maka tiga peubah acak X, Y daan Z adalah kontinu. Jelas,, z,,, z S z S z = dan karena t,, z dd e dd, maka t adalah, k, p bersama dari p, a kontinu X, Y dan Z

13 Contoh.6 Ditentukan :, dengan, = : X, 5,, lainna adalah, k, p gabungan bersama dari peubah acak X dan Y. Jika A = {,{-} <, < < } Hitung peluang PA = P{, A} Penelesaian uang sampel bersama S dan peristiwa A ditunjukkan dalam gambar.6, A, - - Gambar.6 PA= P [, A} =, dd, dd A = d 5 d d = d d Distribusi Marjinal apabila kita mempunai, k, Pbersama dari peubah acak X dan Y maka kita dapat menentukan distribusi peluang atau, k, Pdari masing-masing peubah acak X dan. Fkp ang diperoleh dinamakan kp marjinal. Bagaimana menentukanna? kita lihat deinisi ini. Pengantar Statistika Matematis

14 Deinisi Misalkan, adalah kp bersama dari peubah acak, diskrit X dan Y, maka : ungsi :, dengan =, dinamakan kp marjinal dari X dan s ungsi :, dengan = s, dinamakan kp marjinal dari Y. Sedangkan, jika, adalah kp bersama dari peubah aacak kontinu X dan Y, maka : =, d dan =, d Contoh.7 Misalkan X dan Y mempunai kp bersama F, = =,,, = :, lainna a Tentukan kp marjinal dari X dan kp marjinal dari Y b Hitung P =, = P[ = ], dan P [=] Penelesaian : Jelas X dan Y dua peubah acak diskrit dengan S, {,, } dan S {,}. a. =, s Jadi =.. lainna = s, 7 Jadi =., 7 lainna Pengantar Statistika Matematis

15 b. P =, =, = P = = = 7 P = = Y = 7 7 Contoh. Misalkan kp bersama dari X dan Y, adalah : F, = 5 ; lainna ; < < ; < < a. Tentukan kp marjinal dari X dan kp marjinal dari Y b. Hitung P[-, < < ] P [< < ], dan P [- - ] Penelesaian Jelas X dan Y dari p, a kontinu dengan S = { < < } dan S = { < < } a. = `, d d d d 5 = jadi =, 5 ; lainna =, d d d d 5 jadi = = 5 9 9; 9 ; lainna Pengantar Statistika Matematis

16 b. P[ < <, < < ] = dd 5 5 d = 5 d 5 5 P [ < < ] = d 5 d 5 5 P [ < < ]= d d Distribusi Bersarat Di bab, kita telah mengenal peristiwa bersarat dan peluangna. Penulisan A/B diartikan sebagai peristiwa A relati terhadap B, dan penulisan. PA/B adalah peluang peristiwa A relati terhadap B, dengan PA/B = P A B, P B =. Dalam hal ini peristiwa A dan B belum tentu himpunan P B bagian dari umum. Bagaimana, bila kita memiliki dua peubah acak atau dua peristiwa ang mana peristiwa tersebut merupakan himpunan bagian dari, sedangkan peristiwa ang satu atau peubah ang satu diketahui telah terjadi? Untuk menjawab ini, perhatikan ilustrasi berikut : Misalkan X dan Y dua peubah acak diskrit dengan,, dan, masing-masing adalah kp bersama dari X dan Y, kp marjinal dari X dan kp marjinal dari Y. Misalkan pula A = {, = a, - < < } B = {, = - < <, = b} P B A maka PB/A = P A Sedangkan PB/A = P =b / =a P a, P a b a, b a Pengantar Statistika Matematis

17 Pengantar Statistika Matematis Jadi P =b / =a =, a b a Untuk sembarang X = dan Y = maka PY=/ =, Bila / menatakan peluang bersarat dari Y jika diketahui X =, maka : / =,, dapat ditunjukkan, bahwa / suatu kp bersarat. Selanjutna hubungan ini bisa diperluas untuk peubah acak kontinu, seperti akan dideinisikan berikut ini : Deinisi : Jika X dan Y dua peubah acak dengan,, dan masing-masing adalah kp bersama dari X dan Y, kp marjinal dari X dan kp marjinal dari Y maka ungsi. F/ =,, > dinamakan kp bersarat dari X, jika diketahui Y =. F / =,, > dinamakan kp bersarat dari Y, jika diketahui X Catatan Dapat dtunjukkan bahwa 9 / dan / benar-benar sebuah kp, aitu dengan menganggap, diskrit. Jelas / =,,, dan karena,, / maka / adalah sebuah kp. Dengan cara ang sama untuk / dan dengan menganggapbahwa X. Y diskrit, walaupun X. Y kontinu! Contoh.9 Misalkan, = 5, ; <<,<< kp bersama dari X dan Y O:, lainna

18 a. Tentukan kp bersarat dari X jika diketahui Y dan kp bersarat dari Y jika dikethui X = b. Hitung peluang bersarat dari < X <, jika diketahui Y = c. Hitung peluang bersarat dari < Y <, jika diketahui X = Penelesaian Jelas X dan Y adalah peubah acak kontinu. / = a. Misalkan / kp bersarat dari X jika diketahui Y = maka,, dengan =, < < kp marjinal dari Y 9, lainna Lihat contoh. untuk < <, dan < < / = untuk, lainna / = maka / =, 5 < <, < < ;, lainna. Misalkan / kp bersarat dari Y jika diketahui X = maka / =, N n dengan = untuk < <, < < / = jadi / = : I 9 < <, < < ;, lainna X; I < < kp marjinal dari 5 ; Lainna lihat contoh. Pengantar Statistika Matematis

19 b. P[< < / = ] = peluang bersarat dari < < jika diketahui = = / d d c. P[- < < / = ] = peluang bersarat dari - < < jika diketahui = = / d d 9 d 9 9 Contoh. Misalkan X dan Y mempunai kp bersama, = ; =,, =, ;, lainna a. Tentukan, dan / b. Hitung P[ =,, / = ] c. Hitung P[ =,, / = ] Penelesaian Jelas X dan Y dua peubah acak diskrit a. / =,, dengan = ; ; lainna lihat contoh.7 untuk =,,,, =,, / = Maka / = ;,,, ; lainna Pengantar Statistika Matematis

20 / =, dengan = ; lainna =,, lihat contoh.7 Untuk =,,, =, / = Maka / = ;,,, 9 ;, lainna, b. Hitung P[=,, / = ] = P = / = + P[ = / = ] P[ = / = ] = / + / + /. Dengan / = ; 9 ; lainna,, Maka P[ =,, / = ] diskrit Kumulati Fungsi Distribusi Ada kalana ingin mengetahui peluang suatu peristiwa adalah himpunan bagian dari bernilai kurang dari atau lebih dari suatu bilangan tertentu. Seringkali kita ingin mengetahui peluang peubah acak kurang dari atau sama dengan nilai tertentu, aitu P[X = ] atau juga ingin mengetahui P [A>] Untuk ini kita akan mendeinisikan sebuah ungsi lagi aitu ungsi F :. Deinisi Fungsi F : dengan F = P [X ] dinamakan ungsi distribusi dari X dan himpunan semua pasangan, F dinamakan distribusi kumulati dari X Untuk menentukan ungsi distribusi dari X adalah sebagai berikut : - Jika X p, a diskrit dengan kp, maka Pengantar Statistika Matematis

21 F = PX = t t - Jika X p, a kontinu dengan kp, maka F = PX Catatan N t dt - Demi kamudahan sebaikna huru ang digunakan untuk menatakan kp dan t, d dari X harus sama. Untuk kp dengan huru kecil dan, d derngan huru besar - Komplemen dari ungsi distribusi, aitu P[X > ], dilambangkan dengan F = P[X > ] = P[X ] = F Contoh. Misalkan S adalah ruang sampel dari tiga kali pengetosan sebuah mata uang seimbang, dan peubah acak X = banak muka dengan S = {,,, } a. Tentukan aitu kp dari X b. Tentukan F :, aitu ungsi distribusi dari X Penelesaian a. Berdasarkan contoh., maka kp dari X adalah : =PX, = n,.,, lainna b. Karena X : S adalah peubah acak diskrit, maka F = PX = t t Misal untuk = F = PX t t = t t = untuk =, 6 F, 6 = PX, 6 = t t = t t Pengantar Statistika Matematis

22 untuk = F = PX = t t = + t t + t t = untuk = F = PX = t t = t t t t 7 untuk = F = P X = t + = Jadi F = ; ;, 7,, Graik dari F seperti tangga, tidak turun F ungsi tangga seperti disajikan dalam gambar.7 F F 6 O N Gambar.7 Pengantar Statistika Matematis

23 Contoh. Misal peubah acak X dengan kp g =,;,,, lainna Penelesaian a. Tentukan G : aitu ungsi distribusi dari X b. Tentukan G : aitu komplemen dari X a. Jelas X adalah peubah acak kontinu, maka G = P[X ] = z g t dt. Karena daerah deinisi dari g terbagi dalam himpunan bagian dari aitu saling lepas partisi dari akni, < < dan, maka kita akan cari rumus G untuk nilai pada masing-masing partisi. Untuk G = Untuk < < G = z dt= dt t dt t Untuk G = dt dt ' dt Jadi G =,, t Graik G tidak turun dan kontinu dimana-mana, seperti ang disajikan dalam gambar. G G Gambar. Pengantar Statistika Matematis

24 b. Ğ = G =.,, z Siat-siat ungsi distribusi Jika F : ungsi distribusi dari X, maka. ange F = [, ]. F tak turun. F kontinu kanan. F = Iim F =, dan F - = Iim F = Khusus untuk X peubah acak kontinu, maka siat F kontinu. Silahkan anda buktikan siat untuk ungsi distribusi tersebut. Siat Jika F : ungsi distribusi dari X, maka :. PX = a + = F a - =. F Iim F - Iim a a. P[a < b] = F b F a F Siat. Jika dan F berturut-turut adalah kp dengan d dari peubah acak kontinu X, maka df = jika turunanna ada d. Jika dan F berturut-turut adalah kp dan d dari peubah acak diskrit X dengan = {,, n Maka = PX = = t F F t, lainna S X Pengantar Statistika Matematis

25 Contoh. Diketahui peubah acak diskrit X dengan d F = ; ; 5 ; 5 6 ; 5 ; 5 ; 5 5 a. Hitung P[X = ], P[X = ] dan P[ X ] b. Tentukan aitu kp dari X c. Tentukan F aitu komplemen dari F Penelesaian a. P[X = ] = F + = Iim F Iim F = P[X = ] = F F = = 5 5 Iim F - Iim P[ X < ] = P[X = ] + P[ < X ] P[X = ] F = F F + F F + + F - = Pengantar Statistika Matematis b. Berdasarkan rumus dari F dapat diketahui, bahwa S {,,,, 5} Untuk = P[X = ] = F + F - = 5 5

26 Untuk = P[X = ] = F + F - = Untuk = P[X = ] = F + F - = Untuk = P[X = ] = F + F - = Untuk = 5 P[X = 5] = F 5 + F5 - = - 5 Untuk > 5 P[X = ] = F + F + = - = Untuk < P[X = ] = F + F +- = = Jadi = P[X = ] = ;,,,,5 5 ; lainna c. F = P[X = ] = F = ; ; 5 ; 5 9 ; 5 5 ; 5 ; 5 5 Contoh. Misalkan peubah acak kontinu X mempunai ungsi distribusi G = ; o e ; a. Hitung P[- < < ], dan P[X = 5] b. Tentukan g aitu kp dari X c. Tentukan G aitu komplemen dari ungsi distribusi G dan dengan menggunakan ini, hitung P[X > 5] Pengantar Statistika Matematis

27 Penelesaian a. P[ - < <]= P [- < ] G = G - = - - P[X = 5] = G 5 - = e - e- = o dg b. g = G d d Untuk g = d e <, S65 Untuk g = d e d e Jadi g = e.. c. Untuk G = - G = Untuk Ğ = - G = -- = e Jadi Ğ =., e, o Dan O [X > 5] = Ğ 5 = e - = =,5.7. Kebebasan Stokastik Pada Bab kita telah mempelajari dua peristiwa ang bergantungan dependent, dan dua peristiwa ang saling bebas independent. Untuk mengingatkan ana bahwa A dan B adalah peristiwa saling bebas, jika PA B = PA. PB dan PA/B = PA, dan PB. maksud bebas disini adalah bebas dalam peluang atau bebas stokastik dengan kata lain peluang terjadina peristiwa ang satu untuk mempengaruhi peluang terjadina peristiwa ang lain. Untuk dua peubah acak kita perlu mengetahui konsep atau aturan dua peubah acak ang saling bebas. Hal ini sangat perlu kita ketahui sebab sangat berguna terutama untuk statistik inerensial dan statistik lanjutan. Pengantar Statistika Matematis

28 Deinisi Misalkan peubah acak X dan Y mempunai, kp bersama, dengan kp marjinalna,, S dan, S peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas bebas stokastik jika,,, S S. Catatan Sarat perlu untuk dua peubah acak salinr bebas, adalah kp bersamana terdeinisi pada produk cartesius dari kedua rangena ruangna. Dapat ditunjukkan bahwa dua peubah acak saling bebas apabila kp bersarat sama dengan kp marjinalna akni / = = dan / =. Juga dapat dibuktikan bahwa jika kp bersamana merupakan perkalian dua aktor tak negati, dengan masing-masing aktor mempunai bentuk dalam saja atau saja, maka X dan Y saling bebas. Contoh.5 Periksa apakah pasangan oeubah acak berikut saling bebas?. X, Y dengan kp bersama, =. X, Z dengan kp bersama g, z =. Y, Z dengan kp bersama g, z =,,,; v,,, lainna, z;, 5,, z, lainna ; z ;, z. lainna, z Penelesaian :,,,. Berdasarkan contoh.7 diperoleh =, lainna ;, dan = 7, lainna Dalam hal ini S {,, } dan S {, } dan, terdeinisi pada S S Karena ada, S S, sedemikian sehingga, Pengantar Statistika Matematis

29 5 =. =,, maka peubah acak X dan Y tidak 7 bebas stokastik., dan. Berdasarkan contoh. diperoleh g = 5 o, lainna z, z g z z = 9, zlainna Dalam hal ini S =, dan Sz =, dan g, z terdeinisi pada S S z Karena g, z = z. z = g, g z z,, z S S z, maka peubah acak X dan Z saling bebas stokstik. Karena h, z tak terdeinisi pada S S z, maka peubah acak Y dan Z tidak bebas stokastik. Soal-soal Latihan. Tiga mata uang homogen bersisi B dan M ditos sekaligus. Jika S ruang sampel dari eksperimen ini X : S sebuah relasi dengan X banakna muka a. Periksa apakah X sebuah peubah acak pada S? b. Tentukan S aitu ruang range c. Apakah X peubah acak diskrit atau peubah acak kontinu? d. Tentukan distribusi dari X. Ambil ruang sampel S pada soal nomor, jika p, a X banakna muka dan p, a Y selisih banakna muka dan belakang a. Tentukan S, aitu range atau ruang gabungan bersama dari X dan Y b. Tentukan distribusi bersama dari X dan Y. Misal S adalah ruang sampel pengetosan, dua dadu jujur sekaligus. Jika p, a X : S dan p, a Y : S dengan X jumlah pasangan angka dadu dan Y selisih beda positi dari pasangan angka dadu Pengantar Statistika Matematis

30 a. Tentukan S, S, dan S b. Jika ungsi : = S S c dengan = P X = P[X - ] dan =,. S c Tentukan : rumus, apak sebuah kp dari X. c. Dengan prosedur seperti b tentukan kp dari Y d. Hitung P[, =, ], P[, =, 5], dan P[, =, ]. Periksa, apakah ungsi-ungsi pada berikut merupakan kp dan p, a ang bersangkutan atau bukan! ; z,,,,5 ; a. = 5 c. g z z =, lainna, lainna b. h = ; 5 d. I z=, lainna ; z 5, zlainna 5. Ditentukan ungsi : dengan = k ;,,,.., lainna a. Tentukan k agar sebagai kp dari p, a X. b. Hitung P[ < ] 6. Fungsi g : dideinisikan dengan g = ; ; ; lainna p a. Tentukan P agar g sebagai kp dari b. Tentukan G, aitu ungsi distribusi dari X c. Hitung P[ Bandingkan hasilna ] dengan menggunakan g, dan G. Pengantar Statistika Matematis

31 7. Fungsi F n : dideinisikan dengan n = n ; n ; lainna n a. Buktikan, n N, n adalah kp dari b. Buktikan bahwa ungsi distribusi dari X adalah ; F n = n n n ;. Diketahui ungsi : dengan, = n ; k ;, ;, lainna,,,,... a. Tentukan k agar merupakan kp bersama dari X dan Y b. Hitung P[X =, Y = ], dan P[X, Y ] 9. Ditentukan ungsi : k;, dengan, = ;, lainna a. Tentukan k agar merupakan kp bersama dari X dan Y b. Hitung P[ < <, < < ], P[ = ], P[ ]. Diketahui ungsi : dengan,, z = kz; ;,, zlainna,, z a. Tentukan k agar merupakan kp bersama dari X, Y dan Z b. Hitung P[ < <, <, z ], dan P[ <, < z < ]. Misalkan kp dari p, a X adalah =, 6, lainna a. Gambar graik dari P b. Hitung P[ < < ], dan P[- < < ] c. Tentukan konstanta k agar P[X k] = P[X k] Pengantar Statistika Matematis

32 Catatan : k dinamakn median dari X.. Misalkan kp dari p, a W adalah gw = 9w, w ; wlainna a. Tentukan ungsi distribusi dari W =G, dan komplemenna G. b. Sketsa graik G dan Ĝ dalam satu sumbu koordinat. c. Hitung P[ W, 5] d. Tentukan m agar P[W m] =, 5 m median dari W. Misalkan ungsi distribusi dari p, a X adalah F = : < = ; < = ; < 6 7 = ; 7 < = ; < 5 a. Sketsa graik F b. Hitung P[ = 6] P[ = 6 ], dan P[ < < 7] c. Tentukan kp dari X. Peubah acak X memiliki kp =,, lainna Jika A = { < < } dan B = { < < 6}, hitung PA, PB, PA dan PA B 5. Misalkan kp gabungan dari X dan Y adalah : B,, = ;,,,,,,,, lainna a. Tentukan kp marjinal dari X Pengantar Statistika Matematis

33 b. Tentukan kp marjinal dari Y c. Tentukan kp bersarat dari X jika diketahui Y = d. Hitung P[X/ = ], P[X = / = ], P[X = ] dan P[Y = ] 6. Misalkan, = ; ;, lainna adalah kp bersama dari X dan a. Tentukan kp marginal dari X dan,k,p marginal dari Y b. Tentukan,k,p bersarat dari X jika diketahui Y =, dan,k,p bersarat dari Y jika diketahui X = c. Hitung P [ < <, / =, ] ; P[ Y > ½ / =, ], P[ Y > ½ ], dan P[ < <, ] 7. Peubah acak Y dan Z memiliki, k, P bersama g, z = z ; z ;, zlainna,, z a. Tentukan, k, P marginal dari Z b. Tentukan kp bersarat dari Y jika diketahui Z = z c. Hitung P[ o < <, 5 / z =, 5 ] d. Hitung P[ < z <, 5, < <,5 ], P[ < z <, 5 ], dan P[ < <, 5]. Jika X dan Y memiliki, k, Pbersama g, = ;, ;, lainna Periksa apakah X dan Y bebas stokastik?. Jika, k, Pbersama dari U dan V adalah g u, v = uv v; ; u, vlainna u, v a. Temukan, k, P marginal dari U dan, k, P marginal dari V b. Periksa apakah U dan V bebas stokastik? c. Periksa apakah P[ < u -, 5, v, 5 ] = < u <, 5 ]? d. Periksa apakah P[ < u <, 5, < v <, 5 ] = P[ < u <, 5] Pengantar Statistika Matematis

34 P[ < v <, 5 ]?. Misalkan dan F masing-masing adalah, k, Pdan, d bersama dari p, a X, X..., X n, dengan F,,... n = P[X, X...X n n ] Jika n, p, a tersebut kontinu maka n F,,...,,... n =,,... n n Dengan menggunakan konsep ini Tentukan ungsi distribusi bersama dari,, z, jika, k, P bersamana,, z = e ; z,, z ;,, zlainna Periksa, apakah F,, z =,, z z Pengantar Statistika Matematis

Disusun oleh: 1. Diah Sani Susilawati ( / 7B) 2. Farid Hidayat ( / 7B) 3. Rico Nurcahyo ( / 7B)

Disusun oleh: 1. Diah Sani Susilawati ( / 7B) 2. Farid Hidayat ( / 7B) 3. Rico Nurcahyo ( / 7B) DISTRIBUSI MARGINAL DAN DISTRIBUSI GABUNGAN Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Statistika Matematika Dosen Pengampu: Supandi, M.Si Disusun oleh:. Diah Sani Susilawati (8355/ 7B). Farid Hidaat (836/

Lebih terperinci

Probabilitas dan Statistika Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit. Adam Hendra Brata dan Statistika dan Fungsi Peluang Adam Hendra Brata acak adalah sebuah fungsi yang memetakan hasil kejadian yang ada di alam (seperti : buka dan tutup; terang, redup dan gelap; merah, kuning dan hijau;

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI ANALITIK

BAB II FUNGSI ANALITIK BAB II FUNGSI ANALITIK Sekarang kita akan mempelajari ungsi dari variabel kompleks dan pengembanganna dalam teori dierensial. Sebagai awal dari bab ini kita mulai dari ungsi analitik, ang mana sangat berperan

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT

Lebih terperinci

DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK

DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK 0 DISTRIBUSI SATU PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak

Lebih terperinci

MODUL BAB 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS. Standar Kompetensi: 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

MODUL BAB 2 KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS. Standar Kompetensi: 2. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi MODUL BAB KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Standar Kompetensi:. Menentukan komposisi dua ungsi dan invers suatu ungsi Kompetensi Dasar. Menentukan komposisi ungsi dari dua ungsi. Menentukan invers suatu

Lebih terperinci

A. Distribusi Gabungan

A. Distribusi Gabungan HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah : Statistika Matematika Pertemuan Ke : 5 Pokok Bahasan : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua

Lebih terperinci

Probabilitas dan Statistika Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Lanjut. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu Lanjut. Adam Hendra Brata Probabilitas dan Statistika Fungsi Lanjut Adam Hendra Brata Gabungan Gabungan Fungsi Acak Fungsi Rapat Kumulatif Gabungan Untuk variabel random kontinu, analog dengan kasus diskrit, fungsi rapat probabilitas

Lebih terperinci

A. Distribusi Gabungan

A. Distribusi Gabungan HANDOUT PERKULIAHAN Mata Kuliah Pokok Bahasan : Statistika Matematika : Distibusi Dua peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Distribusi Gabungan Definisi 1: Peubah Acak Berdimensi Dua Jika S merupakan

Lebih terperinci

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Bab 6 Sumber: Let s Learn about Korea, 00 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, siat, dan aturan ungsi komposisi dalam pemecahan masalah;

Lebih terperinci

RELASI DAN FUNGSI. A. Pengertian Relasi dan Fungsi

RELASI DAN FUNGSI. A. Pengertian Relasi dan Fungsi RELASI DAN FUNGSI A. Pengertian Relasi dan Fungsi Banyak enomena atau kejadian alam yang dapat dihubungkan dengan suatu relasi Sebagai contoh, misalkan diberikan dua himpunan : A = {sepeda, sepeda motor,

Lebih terperinci

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB)

P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = 1 P (A) P (B) + P (AB) Diskusi 1 Tanggal 29 Januari 2014, Waktu: suka-suka menit 1. Buktikan bahwa: P (A c B c ) 1 P (A) P (B) + P (AB) P (A c B c ) P [(A B) c ] 1 P (A B) 1 P (A) P (B) + P (AB) 2. Diketahui P (A B) P (A B c

Lebih terperinci

Probabilitas dan Statistika Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika Fungsi Distribusi Peluang Kontinyu. Adam Hendra Brata Probabilitas dan Statistika Adam Hendra Brata Himpunan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan himpunan tak terhitung yaitu tidak dapat dinyatakan sebagai {,, 3,., n } atau {,, 3,.} tetapi

Lebih terperinci

Transformasi Dua atau Lebih Peubah Acak. Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2016

Transformasi Dua atau Lebih Peubah Acak. Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2016 Transormasi Dua atau Lebih Peubah Acak Dr. Kusman Sadik M.Si Departemen Statistika IPB 06 Transormasi Dua atau Lebih Peubah Acak Misalkan diketahui kp bersama bagi p.a. X dan X adalah X X x ). Jika kemudian

Lebih terperinci

BAB 1. FUNGSI DUA PEUBAH

BAB 1. FUNGSI DUA PEUBAH BAB. FUNGSI DUA PEUBAH. PENDAHUUAN Pada baian ini akan dibahas perluasan konsep pada unsi satu peubah ke unsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini anda seharusna dapat: - Menentukan domain

Lebih terperinci

BAB 2 MOMEN DAN ENTROPI

BAB 2 MOMEN DAN ENTROPI BAB MOMEN DAN ENTROPI. Satu Peubah Acak (Univariat) Misalkan diketahui suatu peubah acak X. Didefinisikan ekspektasi dari peubah acak X adalah sebagai berikut E [ X ] - P X =, X diskrit = f d, X kontinu

Lebih terperinci

Menghitung peluang suatu kejadian

Menghitung peluang suatu kejadian Menghitung peluang suatu kejadian A. Ruang Sampel, Titik Sampel, dan Kejadian Dari pandangan intuitif, peluang terjadinya suatu peristiwa atau kejadian adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan

Lebih terperinci

DISTRIBUSI DUA PEUBAH ACAK

DISTRIBUSI DUA PEUBAH ACAK 0 DISTRIBUSI DUA PEUBAH ACAK Dala hal ini akan dibahas aca-aca fungsi peluang atau fungsi densitas ang berkaitan dengan dua peubah acak, aitu distribusi gabungan, distribusi arginal, distribusi bersarat,

Lebih terperinci

Berapa Peluang anda. meninggal? selesai S-1? menjadi menteri? menjadi presiden?

Berapa Peluang anda. meninggal? selesai S-1? menjadi menteri? menjadi presiden? PELUANG Berapa Peluang anda meninggal? selesai S-1? menjadi menteri? menjadi presiden? Peluang Ukuran / derajat ketidakpastian suatu peristiwa Peluang Kemungkinan (Probability) (Possibility) Peristiwa

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Apa yang dimaksud dengan bilangan real, rasional dan bilangan irasional?

Sistem Bilangan Real. Apa yang dimaksud dengan bilangan real, rasional dan bilangan irasional? Oleh: Endang Ded Sistem Bilangan Real Apa ang dimaksud dengan bilangan real, rasional dan bilangan irasional? Bilangan Real adalah bilangan-bilangan ang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER

MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER MATEMATIKA BISNIS BAB FUNGSI LINIER Hikmah Agustin, S.P.,MM DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainna. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel Variabel

Lebih terperinci

1 PROBABILITAS. Pengertian

1 PROBABILITAS. Pengertian PROBABILITAS Pengertian Pada awal perkuliahan, sebelum menjelaskan probabilitas, dibahas sepintas sebagai pengantar tentang eksperimen, titik sampel, ruang sampel, dan peristiwa, serta variabel random

Lebih terperinci

MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA

MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA VARIABEL RANDOM Misalkan (Ω, A, P) ruang probabilitas dan R = {x < x < } dan B : Borel field pada R. Andaikan X : Ω R dan untuk setiap A R, kita definisikan

Lebih terperinci

HARAPAN MATEMATIK. Nur Hayati, S.ST, MT Yogyakarta, Maret 2016

HARAPAN MATEMATIK. Nur Hayati, S.ST, MT Yogyakarta, Maret 2016 HARAPAN MATEMATIK Nur Hayati, S.ST, MT Yogyakarta, Maret 2016 Pendahuluan Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis x atau. Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik

Lebih terperinci

Statistika (MMS-1001)

Statistika (MMS-1001) Statistika (MMS-1001) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM Materi dan Jadual Tatap Muka Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1. Statistika Deskriptif

Lebih terperinci

Statistika (MMS-1001)

Statistika (MMS-1001) Statistika (MMS-1001) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM Materi dan Jadual Tatap Muka Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1. Statistika Deskriptif

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

Statistika (MMS-1403)

Statistika (MMS-1403) Statistika (MMS-1403) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM Materi dan Jadual Minggu ke- Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan 1. Pendahuluan 1 Perkuliahan

Lebih terperinci

BAB III VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS

BAB III VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS BAB III VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI ROBABILITAS.. Konsep variabel acak (random variable) Sebuah variabel y adalah variabel acak jika nilai-nilai yang dimiliki oleh y adalah suatu kemungkinan atau peristiwa

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/ Alokasi Waktu: jam Pelajaran (3 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit ungsi dan turunan

Lebih terperinci

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah

Lebih terperinci

KATA PENGANTAR. Salatiga, Juni Penulis. iii

KATA PENGANTAR. Salatiga, Juni Penulis. iii KATA PENGANTAR Teori Probabilitas sangatlah penting dalam memberikan dasar pada Statistika dan Statistika Matematika. Di samping itu, teori probabilitas juga memberikan dasar-dasar dalam pembelajaran tentang

Lebih terperinci

PE P L E U L A U N A G N

PE P L E U L A U N A G N PELUANG Berapa peluang Anda selesai S-1? Peluang Ukuran/derajat ketidakpastian suatu peristiwa Peluang Kemungkinan Peristiwa (probability) (possibility) sesuatu yang mungkin dapat terjadi Misal : Mengundi

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN

BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN STANDAR KOMPETENSI: BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN Menusun persamaan lingkaran dan garis singgungna. KOMPETENSI DASAR Menusun persamaan lingkaran ang memenuhi persaratan ang ditentukan Menentukan persamaan

Lebih terperinci

KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT. Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih

KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT. Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih 126 1 5 Dosen Pembimbing: Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM

LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM LIMIT & KEKONTINUAN IRA PRASETYANINGRUM Bilangan Tidak Tertentu Nol = Bilangan yang menyatakan banyaknya elemen himpunan kosong Misal : A={Orang yang Istrinya } Terdapat bilangan mendekati dari kiri/bawah/negati

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu

Lebih terperinci

Situasi 1: a. Buatlah pernyataan-pernyataan yang sesuai dengan situasi di atas!

Situasi 1: a. Buatlah pernyataan-pernyataan yang sesuai dengan situasi di atas! BAHAN AJAR 3 DISTRIBUSI PEUBAH ACAK GABUNGAN DAN FUNGSI PELUANG MARGINAL Situasi 1: Sebuah kotak berisi tiga ballpoint berwarna merah, dua berwarna biru dan tiga berwarna hitam. Kemudian dua buah ballpoint

Lebih terperinci

Bagian 2 Turunan Parsial

Bagian 2 Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi

Lebih terperinci

PENGURAIAN PENDAPATAN GABUNGAN DUA PRODUK DARI SUATU PERUSAHAAN

PENGURAIAN PENDAPATAN GABUNGAN DUA PRODUK DARI SUATU PERUSAHAAN PENGURAIAN PENDAPATAN GABUNGAN DUA PRODUK DARI SUATU PERUSAHAAN Thomas J. Kakia Fakultas Ilmu Komputer Universitas Gunadarma Jl. Margonda 100 Pondok Cina Depok ABSTRAK Penguraian pendapatan atau pendapatan

Lebih terperinci

A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a ) (3a ) 3a 0 adalah, maka akar lainna adalah. Nilai m ang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m ) (m ) ( m ) 0 mempunai dua

Lebih terperinci

STATISTIK PERTEMUAN VI

STATISTIK PERTEMUAN VI STATISTIK PERTEMUAN VI 1. TEORI PENDUKUNG 1.1 Pendahuluan 1. Variabel acak 1.3 Distribusi variabel acak diskrit 1.4 Distribusi variabel acak kontinu 1.5 Distribusi multivariat 1.1 Pendahuluan Definisi

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU

BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU BAB PERSAAA DIFERESIAL ORDER SATU PEDAHULUA Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika ang banak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik Persamaan

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasannya.

Soal dan Pembahasannya. Soal dan Pembahasanna Perhatikan tabel di bawah ini! p q p q ~ q B B B S S B S S Nilai kebenaran dari pernataan majemuk p q ~ q pada tabel di atas adalah p q p q ~ q p q ~ q B B B S B B S S B B S B B S

Lebih terperinci

Peubah Acak. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB

Peubah Acak. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB Peubah Acak Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Definisi Peubah Acak Peubah = variabel Dalam suatu eksperimen, seringkali kita

Lebih terperinci

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 1-7) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE

Lebih terperinci

x Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan z = 1.

x Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal, direprentasikan dengan z = 1. Bab. Fungsi Kmpleks BAB. FUNGSI KOMPLEKS Sebelum membahas ungsi kmpleks,berikut ini diberikan beberapa knsep dan istilah ang akan banak digunakan dalam pembahasan selanjutna.. Daerah di bidang kmpleks

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengantar Pada bab ini akan diuraikan beberapa landasan teori untuk menunjang penulisan skripsi ini. Uraian ini terdiri dari beberapa bagian yang akan dipaparkan secara terperinci

Lebih terperinci

EKSPEKTASI DUA PEUBAH ACAK

EKSPEKTASI DUA PEUBAH ACAK 0 EKSPEKTASI DUA PEUBAH ACAK Dalam hal ini akan dibahas beberapa macam ukuran ang dihitung berdasarkan ekspektasi dari dua peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, aitu nilai ekspektasi gabungan, ekspektasi

Lebih terperinci

Pada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi terhadap y.

Pada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi terhadap y. PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah Akan dibahas bentukbentuk integral lipat dalam koordinat kartesius koordinat kutub

Lebih terperinci

Konsep Dasar Peluang. Modul 1

Konsep Dasar Peluang. Modul 1 Modul Konsep Dasar Peluang Dra. Kusrini, M. Pd. M odul ini berisi 3 Kegiatan Belajar. Dalam Kegiatan Belajar Anda akan mempelajari Konsep Himpunan dan Pencacahan, dalam Kegiatan Belajar 2 Anda akan mempelajari

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

PS-02 HUKUM-HUKUM PROBABILITAS. Nur Hayati, S.ST, MT Yogyakarta, Februari 2016

PS-02 HUKUM-HUKUM PROBABILITAS. Nur Hayati, S.ST, MT Yogyakarta, Februari 2016 PS-02 HUKUM-HUKUM PROBABILITAS Nur Hayati, S.ST, MT Yogyakarta, Februari 2016 Ruang Sampel Kejadian Hukum Probabilitas Pokok Bahasan Ruang Sampel Pengertian Ruang Sampel dan Titik Sampel Ruang Sampel adalah

Lebih terperinci

Distribusi Peluang. Maka peubah acak X dinyatakan dengan banyaknya kemunculan angka. angka sama sekali. angka.

Distribusi Peluang. Maka peubah acak X dinyatakan dengan banyaknya kemunculan angka. angka sama sekali. angka. Distribusi Peluang Definisi peubah acak: Misalkan E adalah sebuah percobaan dengan ruang sampel T. Sebuah fungsi X yang memetakan setiap anggota t T dengan sebuah bilangan real X(t) dinamakan peubah acak.

Lebih terperinci

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA

MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Statistika dan Peluang untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( )

Fungsi. Pengertian Fungsi. Pengertian Fungsi ( ) ( ) Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam

Lebih terperinci

Statistika & Probabilitas

Statistika & Probabilitas Statistika & Probabilitas Peubah Acak Peubah = variabel Dalam suatu eksperimen, seringkali kita lebih tertarik bukan pada titik sampelnya, tetapi gambaran numerik dari hasil. Misalkan pada pelemparan sebuah

Lebih terperinci

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS Lecture 3. Function (A) A. Definition of Function Definisi. f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B yang ditulis dengan f: A B, yaitu merupakan suatu aturan yang memetakan (mengawankan) setiap xεa

Lebih terperinci

Hidup penuh dengan ketidakpastian

Hidup penuh dengan ketidakpastian BAB 2 Probabilitas Hidup penuh dengan ketidakpastian Tidak mungkin bagi kita untuk dapat mengatakan dengan pasti apa yang akan terjadi dalam 1 menit ke depan tapi Probabilitas akan memprediksikan masa

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II 016/017 4 Maret 017 Kulia ang Lalu 1.1 Fungsi dua atau lebi peuba 1. Turunan Parsial 1.3 Limit dan Kekontinuan 1.4 Turunan ungsi dua peuba 1.5 Turunan berara

Lebih terperinci

K L P Q 1 2 10 2 2 4 13 4 3 8 18 8. Gambar 4.10 Gambar 4.11

K L P Q 1 2 10 2 2 4 13 4 3 8 18 8. Gambar 4.10 Gambar 4.11 B. Relasi Sebelum mendefinisikan produk Cartesius, terlebih dahulu Anda perlu mengenal pengertian pasangan terurut. Dalam sistem koordinat Cartesius dengan sumbu x dan sumbu y, kita mengetahui bahwa titik

Lebih terperinci

Oleh: BAMBANG AVIP PRIATNA M

Oleh: BAMBANG AVIP PRIATNA M Oleh: BAMBANG AVIP PRIATNA M Pecobaan / eksperimen acak Ruang Sampel Peristiwa / kejadian / event Peluang peristiwa Sifat-sifat peluang Cara menghitung peluang 1. hasilnya tidak dapat diduga dengan tingkat

Lebih terperinci

BAB 3 Teori Probabilitas

BAB 3 Teori Probabilitas BAB 3 Teori Probabilitas A. HIMPUNAN a. Penulisan Hipunan Cara Pendaftaran Cara Pencirian 1) A = {a,i,u,e,o} 1) A = {X: x huruf vokal } 2) B = {1,2,3,4,5} menghasilkan data diskrit 2) B = {X: 1 x 2} menghasilkan

Lebih terperinci

HANDOUT PERKULIAHAN. Pertemuan Ke : 3 : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak

HANDOUT PERKULIAHAN. Pertemuan Ke : 3 : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak HANDOUT PERKULIAHAN Pertemuan Ke : 3 Pokok Bahasan : Distribusi Satu Peubah Acak dan Ekspektasi Satu Peubah Acak URAIAN POKOK PERKULIAHAN A. Peubah Acak Definisi 1 : Peubah Acak Misalkan E adalah suatu

Lebih terperinci

Distribusi Peluang. Pendahuluan MODUL

Distribusi Peluang. Pendahuluan MODUL MODUL 1 3 4 5 6 Pendahuluan Distribusi Peluang Pokok bahasan yang akan Anda pelajari dalam modul ini adalah distribusi peluang dan sifat-sifatnya. Pokok bahasan ini terdiri dari tiga subpokok bahasan,

Lebih terperinci

1 Sistem Bilangan Real

1 Sistem Bilangan Real Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan solusi pertidaksamaan aljabar ) Menyelesaikan pertidaksamaan dengan nilai mutlak

Lebih terperinci

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta

Lebih terperinci

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I

LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I 177 LAMPIRAN VIII BAHAN AJAR I A. Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus B. Kompetensi Dasar Memahami relasi dan fungsi C. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat

Lebih terperinci

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2

Pengertian Fungsi. MA 1114 Kalkulus I 2 Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat

Lebih terperinci

PEUBAH ACAK DAN SEBARANNYA

PEUBAH ACAK DAN SEBARANNYA LOGO STATISTIKA MATEMATIKA I PEUBAH ACAK DAN SEBARANNYA Hazmira Yozza Izzati Rami HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Percobaan : Pelemparan dua mata uang AA AG GA GG S X Definisi 2.1. Peubah

Lebih terperinci

Distribusi Peubah Acak

Distribusi Peubah Acak Chandra Novtiar 085794801125 chandramathitb07@gmail.com PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG 4 April 2017 Garis Besar Pembahasan FUNGSI

Lebih terperinci

PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA

PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA 4/6/009 Pemetaan (Fungsi) PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA Suatu pemetaan / fungsi Kategori fungsi:. Fungsi titik A B MA 08 Statistika Dasar Dosen : Udjianna S. Pasaribu Utriweni Mukhaiyar Senin, 6 Februari

Lebih terperinci

A. PERSAMAAN GARIS LURUS

A. PERSAMAAN GARIS LURUS A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam

Lebih terperinci

2 Akar Persamaan NonLinear

2 Akar Persamaan NonLinear 2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan

Lebih terperinci

PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG. Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung

PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG. Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG A. KAIDAH PENCACAHAN Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung berapa banyaknya cara yang mungkjin terjadi dalam suatu percobaan. Kaidah pencacahan

Lebih terperinci

Matematika Teknik 1, Bab 3 BAB III LIMIT. (Pertemuan ke 4)

Matematika Teknik 1, Bab 3 BAB III LIMIT. (Pertemuan ke 4) BAB III LIMIT (Pertemuan ke 4) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang limit, antara lain mengenai pengertian limit secara intuisi/tak formal, pengertian persis tentang limit, pengkajian

Lebih terperinci

BAB III EKSTRIM FUNGSI DUA PEUBAH MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Pengantar

BAB III EKSTRIM FUNGSI DUA PEUBAH MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Pengantar BAB III EKSTRIM FUNGSI DUA PEUBAH 3.1. MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Pengantar Konsep Ekstrim dan relative (Maksimum-Minimum) ungsi dua peubah real dirancang dengan cara ang sama sepertiekstrim satu peubah

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah

Lebih terperinci

Suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota

Suatu pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota Suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B disebut ungsi jika setiap anggota dari himpunan A dipetakan atau dikaitkan dengan tepat satu anggota dari himpunan B Suatu Fungsi biasanya dinyatakan dengan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Definisi 1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S.

BAB 2 LANDASAN TEORI. Definisi 1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S. BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Sampel dan Kejadian Definisi 1 Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan S. Tiap hasil dalam ruang sampel disebut

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101. Limit Fungsi. Pertemuan - 2 Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV 101 SKS : 3 SKS Limit Fungsi Pertemuan - Respet, Proessionalism, & Entrepreneurship Kemampuan Akhir yang Diharapkan Mahasiswa

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini. kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis.

BAB I PENDAHULUAN. dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini. kembangkan cara berfikir logis, sistematis, dan kritis. BAB I PENDAHULUAN. LATAR BELAKANG Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, memegang peranan penting dalam mempercepat penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini disebabkan karena, matematika merupakan

Lebih terperinci

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1

Rchmd: rls&fngs-smk2004 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Apabila kita cermati, hampir semua fenomena ang terjadi di jagad raa ini mengikuti hukum sebab akibat. Adana pergantian siang dan malam adalah sebagai akibat dari perputaran

Lebih terperinci

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. ilmiah. Pencacahan atau pengukuran karakteristik suatu objek kajian yang

BAB II LANDASAN TEORI. ilmiah. Pencacahan atau pengukuran karakteristik suatu objek kajian yang BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Peluang Pada dasarnya statistika berkaitan dengan penyajian dan penafsiran hasil yang berkemungkinan (hasil yang belum dapat ditentukan sebelumnya) yang muncul dalam

Lebih terperinci

DISTRIBUSI PELUANG.

DISTRIBUSI PELUANG. DISTRIBUSI PELUANG readonee@yahoo.com Distribusi? Peluang? Distribusi Peluang? Distribusi = sebaran, pencaran, susunan data Peluang : Ukuran/derajat ketidakpastian suatu peristiwa Distribusi Peluang adalah

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi,

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu

Lebih terperinci

YAYASAN PRAWITAMA SMK WIKRAMA BOGOR

YAYASAN PRAWITAMA SMK WIKRAMA BOGOR Telp. 051-84411, email: prohumasi@smkwikrama.net, FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS Pembahasan : 1. Pengertian ungsi, daerah asal daerah hasil Fungsi merupakan Daerah Asal : Suatu ungsi : A B, dengan daerah

Lebih terperinci

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi

5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi 5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal

Lebih terperinci

Ringkasan materi Statistika Deskriptif dan analisis data riil.

Ringkasan materi Statistika Deskriptif dan analisis data riil. Tugas 1 MA2081 Statistika Dasar Tanggal 19/21 Januari 2015, Waktu: suka-suka menit Ringkasan materi Statistika Deskriptif dan analisis data riil. 1 Kuis 1 MA2081 Statistika Dasar Tanggal 26 Januari 2015,

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola

Lebih terperinci

Materi dan Jadual Tatap Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Statistika (MMS 2401) Muka Materi dan Jadual Materi dan Jadual

Materi dan Jadual Tatap Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Statistika (MMS 2401) Muka Materi dan Jadual Materi dan Jadual Materi dan Jadual Statistika(MMS 2401) Dr. Danardono, MPH danardono@ugm.ac.id Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UGM Tatap Muka Pokok Bahasan 1. Statistika Deskriptif 2. Statistika Deskriptif

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci