Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH"

Transkripsi

1 Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde- dengan Metode Analitis.. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum: f ( ) g( ), f dan g fungsi sembarang. b. Metode dan Tahapan Penelesaian:. Gantikan atau gunakan: d d. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk: g ( ) d f ( ) d. Integrasikan persamaan di atas, sehingga diperoleh: c. Contoh soal: g ( ) d f ( ) d. Selesaikan atau cari primitif dari: 0. Selesaikan PD orde- berikut: 0 d d 4. Cari penelesaian PD orde- 0 saat memiliki. Cari penelesaian dari PD berikut: 0, dengan harga awal pada Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

2 d. Penelesaian soal:. Gantikan dengan d atau d d d d, sehingga PD tersebut dapat ditulis ulang sebagai: d, sehingga dapat diintegrasikan menjadi d d dan hasilna adalah C dengan C adalah tetapan sembarang (arbitrar), dan persamaan di atas dapat dituliskan sebagai C sebagai persamaan lingkaran ang berpusat di titik (0,0), jika dipenuhi harga C > 0. d d. PD dimaksud dapat ditulis sebagai, dan dengan penulisan ulang ang memperhatikan prinsip-prinsip pembagian (pecahan), maka variabelvariabel dalam PD tersebut dapat terpisahkan sehingga akan diperoleh persamaan d d bentuk integrasina dapat dituliskan sebagai d d menghasilkan Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

3 ln C dan bentuk akhirna: ep C e C e / sebagai persamaan ang mirip dengan persamaan Arrhenius, ang banak digunakan dalam pemodelan kinetika reaksi kimia.. PD tersebut dapat disusun ulang, sehingga penulisanna menjadi: d d, jika 0 dan bentuk integrasina adalah: dan hasilna: d d ln h ln ln dan ± h Dalam hal ini, merupakan tetapan (konstanta) sembarang (arbitrar), ang hana dapat ditentukan hargana berdasarkan nilai atau kondisi awal (initial condition) dari PD tersebut, aitu 0 pada saat 0. Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

4 4. Bentuk integrasi dari PD tersebut adalah dan hasilna: d d, jika 0 ln / ln ln h atau Dengan memperhatikan kondisi awal dari PD tersebut, aitu pada saat harga, akan diperoleh atau akhirna menjadi, sehingga hasil e. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan primitif -na (sesuai dengan ang diberikan):., dengan primitif di / t i, dengan primitif i t dt di / t i, dengan primitif i t dengan t 0 dt cos sin, dengan primitif cos dθ t tθ, dengan primitif θ t dt ( ) 0 Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 4 dari 8)

5 .. Persamaan Diferensial Homogen terhadap dan a. Bentuk Umum: f, f merupakan fungsi sembarang. b. Metode dan Tahapan Penelesaian:. Substitusi atau gunakan variabel pengganti, diperoleh PD dalam konfigurasi VARIABEL TERPISAH,. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk: t u (atau u ), sehingga. Dan, dengan membuat kesamaan antara ungkapan di atas dengan persamaan f f t, akan diperoleh persamaan dalam bentuk: ( ) ( ) t t 4. Dari persamaan terakhir dapat dilakukan pemisahan variabel-variabel sehingga akan diperoleh persamaan berikut: dt d () t t f atau d f t ( t) 5. Jika fungsi F ( ) dimisalkan sebagai PRIMITIF dari diperoleh hasil integrasi sebagai berikut: dt, jika f () t t f () t t f () t t, maka akan ln h F () t f dt t () t ang berarti F( e ) atau dalam bentuk penjabaran parametrik Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 5 dari 8)

6 e F t e () t F () t, dengan sebagai konstanta sembarang c. Contoh soal:. Carilah primitif dari:. Selesaikan PD orde- berikut:. Cari penelesaian dari PD berikut: ( 5 ) ( 5 ) d. Penelesaian soal:. Jika semua suku (di sebelah kiri dan kanan tanda ) dibagi dengan, maka akan didapatkan PD dalam bentuk: ang merepresentasikan persamaan diferensial homogen (PD Homogen), karena variabel merupakan fungsi unik dari perbandingan variabel. Dengan memisalkan t, untuk mendapatkan t t dan ungkapan dari PDna adalah, maka kesamaan kedua ungkapan t t ang didapatkan adalah sebagai berikut: t t t t atau t t ( ) sehingga bentuk PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH ang dimaksud adalah dt d ( t ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 6 dari 8)

7 ang dapat diintegralkan dalam bentuk berikut: dt ( t ) d, jika t ang hasilna t ln atau dengan t ln sebagai konstanta sembarang Jika variabel t diganti dengan nilai (perbandingan) asalna, aitu, maka persamaan di atas akhirna menjadi PRIMITIF dari PD ang dimaksudkan: ln Catatan: Jika harga t, maka akan diperoleh suatu INTEGRAL ang SINGULAR, karena.. Bagilah semua suku dengan, maka akan didapatkan PD Homogen dalam bentuk seperti di bawah ini: Dengan memisalkan t, maka kesamaan kedua ungkapan ang didapatkan adalah sebagai berikut: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 7 dari 8)

8 t t t t atau jika disederhanakan akan menjadi dt d t t t t Pisahkan variabel-variabelna, kemudian integralkan t dt t d, jika t ± sehingga ln t h ln atau t atau juga t Maka, jika variabel t digantikan dengan nilai ang sesungguhna ( ), akan diperoleh PRIMITIF dari PD bersangkutan sebagai berikut: 0 Persamaan di atas merupakan representasi dari PERSAMAAN HIPERBOLA, baik bila 0 maupun 0, ang memiliki persamaan-persamaan garis simetri ± atau ang sebanding dengan t ±. Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 8 dari 8)

9 Catatan: Solusi integral dari PD homogen homogen dapat dilakukan dengan menggunakan OORDINAT POLAR, dalam hal ini semua kurva integral tersebut harus dalam bentuk koordinat ang sesuai, aitu r f ( θ ). Namun, metode ini lebih sulit karena jalan hitunganna lebih panjang dan tidak praktis.. Coba kita gunakan OORDINAT POLAR berikut: r cosθ r sinθ dan bentuk diferensiasina secara berturut-turut adalah: d cosθ dr r sinθ dθ d sinθ dr r cosθ dθ dan dengan melakukan substitusi ke dalam PD bersangkutan, akan diperoleh persamaan berikut: ( 5 ) d ( 5 )d dan, dengan melakukan penusunan dan pengembangan persamaan goneometri lebih lanjut, akan diperoleh hasil berikut: 4 4 ( sin θ cos θ ) dr 4( sin θ cosθ sinθ cos θ ) r dθ dengan penederhanaan, selanjutna diperoleh: ( sin θ cos θ ) dr 4 r sinθ cosθ dθ Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 9 dari 8)

10 dalam hal ini, PD dalam r dan θ ang memiliki ONFIGURASI TERPISAH adalah sebagai berikut: dr r sin θ d θ cos θ sehingga solusi atau PRIMITIF dari PD bersangkutan diperoleh sebagai berikut: r cos θ e. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan primitif -na (perhatikan PRIMITIF ang diberikan, dapat diambil sebagai acuan dasar untuk mencari penelesaian!):., dengan primitif., dengan primitif tan ( ln ). ( e ), dengan primitif ( C ) ( C ) > 0 ln dan , dengan primitif ln dan bilamana solusi mencapai SINGULAR?, dengan primitif 0 dan 5. ( ) bilamana solusi tersebut mencapai SINGULAR? 4 4, dengan primitif 6. ( ) sinθ dalam cos θ t koordinat CARTESIAN atau r dan bilamana solusi-solusi t 4 tersebut mencapai SINGULAR? Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 0 dari 8)

11 .. Persamaan Diferensial LINIER order a. Bentuk Umum: ( ) b ( ) c ( ) a dengan a, b, ( ) c merupakan fungsi-fungsi dalam. ( ) a dan b disebut OEFISIEN c ( ) disebut SUU RUAS ANAN Jika PD di atas dituliskan tanpa suku ruas kanan, maka akan diperoleh: a ( ) b ( ) 0 ang (seharusna) IDENTI dengan PD ang memiliki konfigurasi VARIABEL TERPISAH. b. Metode SUBSTITUSI FUNGSI dan Tahapan Penelesaian: Teorema Dasar SOLUSI MENYELURUH dari suatu PD Linier order- merupakan hasil penjumlahan antara SOLUSI INTEGRAL UMUM tanpa SUU RUAS ANAN dan SOLUSI INTEGRAL HUSUS dari PD secara lengkap.. Jika dimisalkan SOLUSI INTEGRAL HUSUS dari PD Linier dimaksud, lengkap dengan RUAS ANANna, adalah 0. Maka dapat dilakukan SUBSTITUSI dari FUNGSi ang tak dikenal sebagai: 0 z. Sehingga penulisan SOLUSI PERSAMAAN secara MENYELURUH dapat dituliskan dalam bentuk: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

12 ( )[ z ] b( )[ z] c( ) 0 0 a 4. arena adalah solusi PD Linier itu sendiri, maka persamaan berikut juga 0 harus dipenuhi: ( ) b( ) c( ) 0 0 a 5. Setelah dilakukan penederhanaan, akan diperoleh persamaan a ( ) z b( ) z 0 Sehingga akan diperoleh RUAS ANAN. z, sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa SUU c. Contoh soal: Selesaikan PD Linier berikut: di L R i dt E L, R, dan E merupakan konstanta-konstanta dari persamaan tersebut, dengan ONDISI AWAL pada saat t 0, harga i 0. Penelesaian: Fungsi ang melibatkan konstanta-konstanta dari persamaan secara lengkap. E R merupakan SOLUSI HUSUS INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, tanpa SUU RUAS ANANna adalah: R i C ep t L Maka, INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, adalah: E R i C ep t R L Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

13 Dengan menerapkan ONDISI AWAL dari PD Linier tersebut, akan diperoleh: 0 E R C sehingga C E R dan, solusi akhirna adalah i E R ep t R L e. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi khusus dan solusi umumna sebagai acuan dasar untuk mencari penelesaian!):. cos sin, dengan solusi khusus sin dan solusi umumna sin e. cos sin cos sin, dengan solusi khusus dan solusi umumna adalah. ( ) cos e, dengan primitif e 4. sinh cosh, dengan primitif cosh e f. Metode VARIASI ONSTANTA dan Tahapan Penelesaian:. Perhatikan dengan seksama PD secara lengkap sebagai berikut, ( ) b ( ) c ( ) a dan bentuk PD di atas, jika TIDA menertakan SUU RUAS ANAN: a ( ) b( ) 0 Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

14 . Sebagai PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH, persamaan terakhir dapat disusun ulang menjadi: d b a ( ) ( ) d. Maka, sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa RUAS ANAN dapat dituliskan sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) b z ep d a 4. Definisikan suatu FUNGSI (ang menggantikan tetapan dengan suatu fungsi dalam variabel, ), sehingga diperoleh PRIMITIF ang berbentuk persamaan berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) z ( ) sehingga turunanna dapat dituliskan sebagai: ( ) ( ) z ( ) ( ) z ( ) 5. Substitusikan turunan fungsi di atas ke dalam PD Linier secara lengkap: a ( ) { ( ) z ( ) ( ) z ( ) } b( ) { ( ) z ( ) } c() atau a ( ) ( ) z ( ) ( ) { a( ) z ( ) b( ) z ( ) } c() 6. Perhatikan, bahwa z identik dengan solusi dari PD Linier tanpa suku ruas kanan, sehingga (perhatikan juga langkah di atas!): a ( ) z ( ) b( ) z ( ) 0 ang berarti bahwa ( ) a c( ) ( ) z( ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 4 dari 8)

15 7. Solusi atau primitif dari dapat diselesaikan, sedemikian rupa sehingga hasil akhir dari solusi dapat diketahui. ( ) ( ) ( ) z ( ) g. Contoh soal:. Selesaikan PD Linier berikut: Penelesaian: PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: 0 Persamaan di atas merupakan PD dengan konfigurasi variabel terpisah, sehingga d d, jika 0 jika diintegrasikan, sehingga dihasilkan, d d ln h ln ln dan, Asumsikan, bahwa adalah fungsi dari, sehingga hasil turunan dari (atau sama dengan ) adalah: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 5 dari 8)

16 Jika persamaan terakhir disubstitusikan ke PD Linier asal, maka akan diperoleh: Perhatikan, bahwa term perkalian dengan ternata saling meniadakan, sedemikian rupa sehingga diperoleh: atau Integran, atau primitif dari persamaan terakhir di atas adalah: λ, λ merupakan konstanta integrasi emudian, jika kita substitusikan ke dalam persamaan atas, akan diperoleh sebagai solusi umum: di ( λ ) λ. Selesaikan PD Linier berikut: Penelesaian: tan sin d PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: tan 0 d Sebagai PD dengan konfigurasi variabel terpisah, maka sehingga dihasilkan, d ln h sin cos ln cos d Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 6 dari 8)

17 dan, cos Asumsikan, bahwa ( ), sehingga hasil turunan dari persamaan di atas adalah: cos sin Substitusikan ke dalam PD Linier asalna, akan diperoleh: cos sin cos tan sin Perhatikan, bahwa term faktor ternata saling menihilkan, sehingga: cos sin sin cos atau sin Integran dari persamaan di atas diperoleh dengan cara: sin d cos λ emudian, dengan mensubstiusikan hasil persamaan di atas ke dalam persamaan cos, diperoleh solusi unum berikut: cos λ cos. Selesaikan persamaan diferensial berikut: Penelesaian: ( ) PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 7 dari 8)

18 ( ) 0 Pisahkan variabel-variabel dari persamaan di atas, sehingga diperoleh: d d emudian integrasikan: d d sehingga dihasilkan ln h ln atau Dalam hal ini, solusi PD tanpa suku ruas kanan sangat bergantung pada harga, ang lebih besar dari ataupun lebih kecil dari. asus #: > Solusi PD Linier ang tidak melibatkan suku ruas kananna, adalah sbb: Turunan dari fungsi apabila adalah fungsi dari, adalah sbb: ( ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 8 dari 8)

19 Substitusikan persamaan terakhir ke dalam PD Linier asal, secara lengkap, sehingga diperoleh: ( ) ( ) atau ( ) Sehingga diperoleh fungsi dalam, sebagai berikut: Dan, primitifna adalah: λ ln Solusi akhirna menjadi: ln λ, jika > asus #: < Solusi PD Linier ang tidak melibatkan suku ruas kananna, adalah sbb: Dengan metode ang sama seperti pada kasus # di atas, diperoleh: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 9 dari 8)

20 ( ) dan d arcsin λ Sehingga solusi akhirna adalah sbb: arcsin λ, jika < h. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi kuncina untuk mempermudah mencari penelesaian!):. cos sin (kunci: dan sin λ cos ) cos. ln ln (kunci: dan ln λ ) di. t i sint dt t cos t sint λ (kunci: t sin t dan i ) t 4. ( ) ln ( ) λ (kunci: ln( ) dan ln ( ) ) 5. arctan λ (kunci: arctan dan arctan ln ( ) ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 0 dari 8)

21 .4. Persamaan Diferensial jenis Persamaan BERNOULLI a. Bentuk Umum: ( ) b( ) m a dengan a merupakan fungsi (sembarang) dalam, a a( ) b merupakan fungsi (sembarang) dalam, b b( ) m merupakan tetapan bilangan nata, sembarang dan berharga selain dari 0 dan (nilai-nilai ang mengakibatkan PD ini menjadi berbentuk LINIER). Jika m > 0, akan diperoleh persamaan-persamaan ang jelas lebih mudah untuk diselesaikan. b. Metode Penelesaian:. PD bersangkutan harus dapat disusun ulang dalam bentuk LINIER, aitu dengan membagi kedua ruas dengan faktor m, sehingga m a ( ) b( ) m. Lakukan substitusi fungsi ang dicari, ang didefinisikan sebagai: z m. arena merupakan fungsi dari, maka turunan dari fungsi z adalah: z ( m) m 4. Sehingga, solusi dari PD ang dimaksudkan dapat ditulis sebagai: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

22 z m a ( ) z b( ) Persamaan di atas berbentuk PD Linier berorder. c. Contoh soal: Selesaikan PD berikut, ang termasuk dalam jenis Persamaan BERNOULLI: Penelesaian: Persamaan di atas memiliki harga m. Bagilah kedua suku dengan sehingga diperoleh: Dimisalkan, z dengan turunanna terhadap variabel z, z sehingga diperoleh persamaan baru, dalam variabel z : z z sebagai PD Linier berorder, dengan solusi sebagai berikut: ( ) z λ Integral UMUM sebagai solusi dari PD bersangkutan adalah sebagai berikut: ( λ ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

23 d. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial BERNOULLI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara. Untuk mempermudah mencari penelesaian, berikut diberikan juga persamaan atau solusi kuncina.. (kunci: λ e. ( ) (kunci: λ e. ) λ ) (kunci: ( ) (kunci: (kunci: 6 λ e 5 5 λ e 6. tan 0 cos (kunci: ) sin λ 5 ) ) 7. Carilah URVA INTEGRAL ang melalui titik, dari PD ang benrbentuk Persamaan BERNOULLI berikut: (kunci:, dan λ ) λ Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

24 .5. Persamaan Diferensial jenis Persamaan RICCATI a. Bentuk Umum: ( ) b( ) c( ) a dengan a, b, dan c merupakan fungsi-fungsi dalam. b. Metode Penelesaian:. PD ang berbentuk Persamaan RICCATI dapat diselesaikan bila diketahui INTEGRAL SPESIFI dicari berbentuk:, sedemikian rupa sehingga substitusi fungsi ang akan z. Persamaan di atas akan mentransformasikan Persamaan RICCATI menjadi: ( )( z) b( )( z) c( ) z a. arena merupakan SOLUSI SPESIFI (khusus) dari Persamaan RICCATI, maka: ( ) b( ) c( ) a 4. Melalui penederhanaan, maka kombinasi dari kedua persamaan (langkah dan ) di atas akan menghasilkan: ( ) z [ a( ) b( ) ] z z a ang identik dengan Persamaan BERNOULLI, dengan m. 5. Langkah-langkah selanjutna adalah sesuai dengan penelesaian Persamaan BERNOULLI, seperti di jelaskan pada paragraf L-A.4 di atas. Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 4 dari 8)

25 c. Contoh soal: Selesaikan PD berikut ang berbentuk Persamaan RICCATI: Yang dapat diselesaikan menggunakan INTEGRAL SPESIFI. Penelesaian: Periksa terlebih dahulu bahwa dengan memisalkan: sehingga turunana: merupakan SOLUSI SPESIFI, aitu z z kemudian disubstitusikan ke dalam Persamaan RICCATI di atas. Setelah disederhanakan, akan diperoleh: z z z 0 Untuk penelesaianna, bagilah kedua suku dengan emudian, misalkan: sehingga dan z z z u u u z z u z z sehingga diperoleh: mengarah pada solusi PD Linier, dalam u, sebagai berikut: u Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 5 dari 8)

26 atau, solusi ang dikembalikan dalam variabel : d. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan Persamaan-persamaan RICATTI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara, ang disertakan pula persamaan atau solusi kuncina. a. 5 0, dimisalkan (kunci: λ ) 4 b. sin sin cos, dengan pemisalan integral sin cos 4sin cos spesifikna adalah cos (kunci: cos λ sin c. ( ) cos ( cos sin ) cos, dengan cos cos (kunci: cos ) λ sin 4 d. 5 e ( e )( 5e ) e., dengan (kunci: e ) λ e e, dengan pemisalan 4 4 (kunci: λ e ( ) ) e Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 6 dari 8)

27 [P-.] PROYE #: Solusi ANALITIS dan NUMRIS Persamaan Diferensial Order Selesaikanlah, secara kelompok, semua PD order di bawah ini: a. b. c. d d d d e cos sin sin sin cos 4sin cos secara ANALITIS dan NUMERIS, pada interval [,] Format jawaban: ( ) 0 dengan harga awal 0. Solusi analitis: diselesaikan terlebih dahulu, menggunakan metode-metode analitis seperti telah dijelaskan pada LAMPIRAN (mulai halaman sampai dengan 6). Beri penjelasan juga tentang METODE SOLUSI ang digunakan dan JENIS atau konfigurasi dari persamaan-persamaan diferensial tersebut. Solusi numeris: menggunakan kedua varian dari Metode RUNGE-UTTA order titik tengah dan kelandaian rerata, seperti dijelaskan pada Bab (halaman 8 sampai ). Formula Runge-utta order- titik-tengah: ( ) k h f i, i k h f h i, i i k i k Formula Runge-utta order- nilai rerata: ( ) k h f i, i ( i h i ) ( k ) k h f, k i i k Tampilan solusi numeris harus diberikan dalam tabel-tabel ang berbentuk Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 7 dari 8)

28 seperti di bawah ini: i Metode Solusi: Runge-utta order- TITI-TENGAH i k k * ( ) 0, , , , , , , , , , , i dan, seperti di bawah ini: Metode Solusi: Runge-utta order- ELANDAIAN RERATA i i k k * ( ) 0, , , , , , , , , , , i Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 8 dari 8)

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari

PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Orde Satu

Persamaan Diferensial Orde Satu Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah

Lebih terperinci

Pemodelan Teknik Kimia Bebarapa Contoh Aplikasi Persamaan Diferensial (oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.)

Pemodelan Teknik Kimia Bebarapa Contoh Aplikasi Persamaan Diferensial (oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.) Pemodelan Teknik Kimia - 206 Bebarapa Contoh Aplikasi Persamaan Diferensial (oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.) Contoh #: Kepedulian terhadap Iklan Suatu produk sereal baru (diberi nama Oat Puff )

Lebih terperinci

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU

BAB II PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU BAB II PERSAAA TIGKAT SATU DERAJAT SATU Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami ara-ara menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial

Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z

7. RESIDU DAN PENGGUNAAN. Contoh 1 Carilah titik singular dan tentukan jenisnya dari fungsi berikut a. f(z) = 1/z MATEMATIKA 6 TEKNIK Residu dan Penggunaan 6 7. RESIDU DAN PENGGUNAAN 7.. RESIDU DAN KUTUB disebut titik singular dari f() bila f() gagal analitik di tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan

Lebih terperinci

BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Banak masalah dalam kehidupan sehari-hari ang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menelesaikan masalah tersebut kita perlu menelesaikan pula persamaan

Lebih terperinci

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi

BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung integral fungsi dengan metode substitusi.. UAS Kalkulus Semester Pendek no. b (kriteria:

Lebih terperinci

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan

II. TINJAUAN PUSTAKA. variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi kebergantungan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Persamaan Diferensial Differential Equation Fungsi mendeskripsikan bahwa nilai variabel y ditentukan oleh nilai variabel x, sehingga nilai y bergantung pada nilai x. Adanya relasi

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN

Lebih terperinci

Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel

Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel Adalah : hubungan antara variabel bebas, variabel Bentuk Umum : bebas dan turunanna. d d F(,,, n d,..., ) n Persamaan differensial (PD) menatakan hubungan dinamik, maksudna hubungan tersebut memuat besaran

Lebih terperinci

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi . Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks

Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Kode Mata Kuliah : TE 318 SKS : 3 Matematika Teknik I Prasarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta

Lebih terperinci

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan

Lebih terperinci

! " #" # $# % " "& " # ' ( ) #

!  # # $# %  &  # ' ( ) # ! "#"# $#%""&"#'# "*# *" " " #,#" " "# * # ""- # # "! " #" # $#%""&"# '# #" &# '&$'# # "'/0& " # #'"# ## # # #"""--* # #* #"* "'# #* 0 # # ***0" #""# ** #""# " #,#"##' ##' #*"#"#"'#"" #"#" ## # # "*###

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom [MA1124] KALKULUS II

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom [MA1124] KALKULUS II Program Peruliahan asar Umum Seolah Tinggi Tenologi Telom Integral Lipat ua [MA4] Integral Lipat ua Misalan z f(,) terdefinisi pada merupaan suatu persegi panjang tertutup, aitu : {(, ) : a b, c d} b a

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2

Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 Nurdininta Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 2 PDB ORDE II Bentuk umum : + p() + g() = r() p(), g() disebut koefisien jika r() = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebalikna disebut

Lebih terperinci

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk :

Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk : PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL Suatu persamaan iferensial biasa ore n aalah persamaan bentuk : F n, ', '', ''',......, 0 Yang menatakan hubungan antara, fungsi () an turunanna ', '',

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham

Lebih terperinci

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. 1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan

Lebih terperinci

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I. Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat) Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatifderivatif (turunan) sekurang-kurangnya derivatif

Lebih terperinci

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen orde-2 Solusi PD pada PD Linier Tak Homogen ditentukan dari solusi umum PD Linier Homogen dan PD Linier Tak Homogen.

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS

MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan

Lebih terperinci

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci

BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK

BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 4. Sebaran Asimtotik,, Teorema 4. (Sebaran Normal Asimtotik,, ) Misalkan fungsi intensitas seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K adalah

Lebih terperinci

FT UNIVERSITAS SURABAYA VARIABEL KOMPLEKS SUGATA PIKATAN. Bab V Aplikasi

FT UNIVERSITAS SURABAYA VARIABEL KOMPLEKS SUGATA PIKATAN. Bab V Aplikasi Bab V Aplikasi Selain aplikasi yang sudah diperkenalkan di bab I, teori variabel kompleks masih memiliki banyak ragam aplikasi lainnya. Beberapa di antaranya akan dibahas di dalam bab ini. Perhitungan

Lebih terperinci

SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL

SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL PENGERTIAN SOLUSI. Solusi dari suatu persamaan differensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel dari persamaan differensial dan memenuhi persamaan differensial yang

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

FUNGSI KHUSUS DALAM BENTUK INTEGRAL

FUNGSI KHUSUS DALAM BENTUK INTEGRAL FUNGSI KHUSUS DALAM BENTUK INTEGRAL FUNGSI FAKTORIAL Definisi n e d n! Buktikan bahwa :!! e d e d e ( ) Terbukti FUNGSI Gamma Definisi ( ) p p e d ; p > Hubungan fungsi Gamma dengan fungsi Faktorial (

Lebih terperinci

Diferensial dan Integral

Diferensial dan Integral Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa

Lebih terperinci

panjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d

panjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN LINIER NON HOMOGEN Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : y + f(x) y + g(x) y = r(x) ( 2-35) Solusi umum y(x) akan didapatkan

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang

Lebih terperinci

11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit

11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit Darpublic Nopember 01.darpublic.com 11. Turunan erkalian Fungsi, angkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit 11.1. Fungsi Yang Merupakan erkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi,

Lebih terperinci

DIKTAT. Persamaan Diferensial

DIKTAT. Persamaan Diferensial Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 DIKTAT Persamaan Diferensial Disusun oleh: Dwi Lestari, M.S email: dwilestari@un.a.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

Lebih terperinci

INTEGRASI Matematika Industri I

INTEGRASI Matematika Industri I INTEGRASI TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Fungsi dari suatu fungsi linear Integral berbentuk Integrasi hasilkali Integrasi per bagian Integrasi dengan pecahan parsial Integrasi fungsi-fungsi trigonometris

Lebih terperinci

Pecahan Parsial (Partial Fractions)

Pecahan Parsial (Partial Fractions) oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)

Lebih terperinci

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan

Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 26 Februari 2014

Hendra Gunawan. 26 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan

Lebih terperinci

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut.

BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN. Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. 64 BAB VII. FUNGSI TRANSEDEN 7.. Fungsi Logaritma Asli Perhatikan adanya kesenjangan tentang turunan berikut. D ( 3 /3) D ( /) D () 0 D (???) - D (- - ) - D (- - /3) -3 Definisi: Fungsi logaritma asli

Lebih terperinci

BAB I SISTEM KOORDINAT

BAB I SISTEM KOORDINAT BAB I SISTEM KOORDINAT 1.1 Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu cara ang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang ( R ) atau ruang ( R ). Beberapa macam sistem koordinat ang kita

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA

LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U

Lebih terperinci

2 Akar Persamaan NonLinear

2 Akar Persamaan NonLinear 2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika PDB dapat disusun dalam bentuk,

Lebih terperinci

MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU MATERI 2 MATEMATIKA TEKNIK 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1 Persamaan diferensial orde satu Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6 Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa

Lebih terperinci

Bab II Fungsi Kompleks

Bab II Fungsi Kompleks Bab II Fungsi Kompleks Variabel kompleks z secara fisik ditentukan oleh dua variabel lain, yakni bagian realnya x dan bagian imajinernya y, sehingga dituliskan z z(x,y). Oleh sebab itu fungsi variabel

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

Jurusan Matematika FMIPA-IPB

Jurusan Matematika FMIPA-IPB Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata

Lebih terperinci

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial Order

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

Persamaan Differensial Biasa

Persamaan Differensial Biasa Bab 7 cakul fi5080 by khbasar; sem1 2010-2011 Persamaan Differensial Biasa Dalam banyak persoalan fisika, suatu topik sering dinyatakan dalam bentuk perubahan (laju perubahan). Telah disinggung sebelumnya

Lebih terperinci

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1 BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan

Lebih terperinci

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat pada Bidang Datar Disusun dengan pasangan angka urut (ordered pair) (a,b) : a dan b berturut- turut adalah

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan

Lebih terperinci

KALKULUS INTEGRAL 2013

KALKULUS INTEGRAL 2013 KALKULUS INTEGRAL 0 PENDAHULUAN A. DESKRIPSI MATA KULIAH Isi pokok mata kuliah ini memuat pemahaman tentang: () Anti turunan: pengertian anti turunan, teorema-teorema, dan teknik anti turunan, () Integral

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: y + p x y = r(x) (1) linier

Lebih terperinci

BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil

BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh

Lebih terperinci

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program

Lebih terperinci

Bagian 2 Turunan Parsial

Bagian 2 Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan

BAB II KAJIAN TEORI. pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa hal yang digunakan sebagai landasan pada penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,

Lebih terperinci

Esther Wibowo

Esther Wibowo Esther Wibowo esther.visual@gmail.com Topik Hari Ini Dasar Transformasi Translation Pemindahan, Penggeseran Scaling Perubahan Ukuran Shear Distorsi? Rotation Pemutaran Representasi Matriks Transformasi

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Persamaan Diferensial Febrizal, MT Pendahuluan Persamaandiferensial i merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suku suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya.

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan

Lebih terperinci

Fungsi Gamma. Pengantar Matematika Teknik Kimia. Muthia Elma

Fungsi Gamma. Pengantar Matematika Teknik Kimia. Muthia Elma Fungsi Gamma Pengantar Matematika Teknik Kimia Muthia Elma Fungsi Gamma Defenisi Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut Dalam aplikasinya fungsi

Lebih terperinci

Bab III. Integral Fungsi Kompleks

Bab III. Integral Fungsi Kompleks Bab III Integral Fungsi ompleks Integrasi suatu fungsi kompleks f() = u + iv dilakukan pada bidang Argand, sehingga integrasinya menyerupai integral garis pada integral vektor. Hal ini terjadi mengingat

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU Kode Modul MTL. OTO 207-02 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU i L C d i V i = L ----- d t Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Non Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Non Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Solusi umum merupakan jumlah

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL)

TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) TURUNAN FUNGSI (DIFERENSIAL) A. Pengertian Derivatif (turunan) suatu fungsi. Perhatikan grafik fungsi f( (pengertian secara geometri) ang melalui garis singgung. f( f( f(+ Q [( +, f ( + ] f( P (, f ( )

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi

BAB I PENDAHULUAN. Kompetensi BAB I PENDAHULUAN Kompetensi Mahasiswa diharapkan 1. Memiliki kesadaran tentang manfaat yang diperoleh dalam mempelajari materi kuliah persamaan diferensial. 2. Memahami konsep-konsep penting dalam persamaan

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 - II

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 - II PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE - II.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan Suatu persamaan linier homogen y + ay + by = 0 (1) mempunyai koefisien a dan b adalah konstan. Persamaan ini mempunyai

Lebih terperinci

Pertemuan XV X. Tegangan Gabungan

Pertemuan XV X. Tegangan Gabungan Pertemuan XV X. Tegangan Gabungan 0. Beban Gabungan Pada kebanakan struktur, elemenna harus mampu menahan lebih dari satu jenis beban, misalna suatu balok dapat mengalami aksi simultan momen lentur dan

Lebih terperinci

Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =

Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A = Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem1 2010-2011 Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 23 April 2014

Hendra Gunawan. 23 April 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 23 April 2014 Kuliah ang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan

Lebih terperinci

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu

Lebih terperinci

, ω, L dan C adalah riil, tunjukkanlah

, ω, L dan C adalah riil, tunjukkanlah . Jika z j j PROBLEM SE# Sistem Bilangan Kompleks, tentukanlah bagian riil dan bagian imajiner dari bilangan kompleks z z. Carilah harga dan y yang memenuhi persamaan : y j y, j, ( ) ( ). Carilah bentuk

Lebih terperinci

PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN

PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN PENGARUH JUMLAH SUKU FOURIER PADA PENDEKATAN POLAR UNTUK SISTEM GEOMETRI KARTESIAN IRMA ISLAMIYAH 1105 100 056 FISIKA FMIPA INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2010 PENDAHULUAN LATAR BELAKANG

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci