Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH

Transkripsi

1 Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde- dengan Metode Analitis.. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum: f ( ) g( ), f dan g fungsi sembarang. b. Metode dan Tahapan Penelesaian:. Gantikan atau gunakan: d d. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk: g ( ) d f ( ) d. Integrasikan persamaan di atas, sehingga diperoleh: c. Contoh soal: g ( ) d f ( ) d. Selesaikan atau cari primitif dari: 0. Selesaikan PD orde- berikut: 0 d d 4. Cari penelesaian PD orde- 0 saat memiliki. Cari penelesaian dari PD berikut: 0, dengan harga awal pada Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

2 d. Penelesaian soal:. Gantikan dengan d atau d d d d, sehingga PD tersebut dapat ditulis ulang sebagai: d, sehingga dapat diintegrasikan menjadi d d dan hasilna adalah C dengan C adalah tetapan sembarang (arbitrar), dan persamaan di atas dapat dituliskan sebagai C sebagai persamaan lingkaran ang berpusat di titik (0,0), jika dipenuhi harga C > 0. d d. PD dimaksud dapat ditulis sebagai, dan dengan penulisan ulang ang memperhatikan prinsip-prinsip pembagian (pecahan), maka variabelvariabel dalam PD tersebut dapat terpisahkan sehingga akan diperoleh persamaan d d bentuk integrasina dapat dituliskan sebagai d d menghasilkan Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

3 ln C dan bentuk akhirna: ep C e C e / sebagai persamaan ang mirip dengan persamaan Arrhenius, ang banak digunakan dalam pemodelan kinetika reaksi kimia.. PD tersebut dapat disusun ulang, sehingga penulisanna menjadi: d d, jika 0 dan bentuk integrasina adalah: dan hasilna: d d ln h ln ln dan ± h Dalam hal ini, merupakan tetapan (konstanta) sembarang (arbitrar), ang hana dapat ditentukan hargana berdasarkan nilai atau kondisi awal (initial condition) dari PD tersebut, aitu 0 pada saat 0. Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

4 4. Bentuk integrasi dari PD tersebut adalah dan hasilna: d d, jika 0 ln / ln ln h atau Dengan memperhatikan kondisi awal dari PD tersebut, aitu pada saat harga, akan diperoleh atau akhirna menjadi, sehingga hasil e. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan primitif -na (sesuai dengan ang diberikan):., dengan primitif di / t i, dengan primitif i t dt di / t i, dengan primitif i t dengan t 0 dt cos sin, dengan primitif cos dθ t tθ, dengan primitif θ t dt ( ) 0 Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 4 dari 8)

5 .. Persamaan Diferensial Homogen terhadap dan a. Bentuk Umum: f, f merupakan fungsi sembarang. b. Metode dan Tahapan Penelesaian:. Substitusi atau gunakan variabel pengganti, diperoleh PD dalam konfigurasi VARIABEL TERPISAH,. Susun ulang PD bersangkutan sehingga didapatkan bentuk: t u (atau u ), sehingga. Dan, dengan membuat kesamaan antara ungkapan di atas dengan persamaan f f t, akan diperoleh persamaan dalam bentuk: ( ) ( ) t t 4. Dari persamaan terakhir dapat dilakukan pemisahan variabel-variabel sehingga akan diperoleh persamaan berikut: dt d () t t f atau d f t ( t) 5. Jika fungsi F ( ) dimisalkan sebagai PRIMITIF dari diperoleh hasil integrasi sebagai berikut: dt, jika f () t t f () t t f () t t, maka akan ln h F () t f dt t () t ang berarti F( e ) atau dalam bentuk penjabaran parametrik Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 5 dari 8)

6 e F t e () t F () t, dengan sebagai konstanta sembarang c. Contoh soal:. Carilah primitif dari:. Selesaikan PD orde- berikut:. Cari penelesaian dari PD berikut: ( 5 ) ( 5 ) d. Penelesaian soal:. Jika semua suku (di sebelah kiri dan kanan tanda ) dibagi dengan, maka akan didapatkan PD dalam bentuk: ang merepresentasikan persamaan diferensial homogen (PD Homogen), karena variabel merupakan fungsi unik dari perbandingan variabel. Dengan memisalkan t, untuk mendapatkan t t dan ungkapan dari PDna adalah, maka kesamaan kedua ungkapan t t ang didapatkan adalah sebagai berikut: t t t t atau t t ( ) sehingga bentuk PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH ang dimaksud adalah dt d ( t ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 6 dari 8)

7 ang dapat diintegralkan dalam bentuk berikut: dt ( t ) d, jika t ang hasilna t ln atau dengan t ln sebagai konstanta sembarang Jika variabel t diganti dengan nilai (perbandingan) asalna, aitu, maka persamaan di atas akhirna menjadi PRIMITIF dari PD ang dimaksudkan: ln Catatan: Jika harga t, maka akan diperoleh suatu INTEGRAL ang SINGULAR, karena.. Bagilah semua suku dengan, maka akan didapatkan PD Homogen dalam bentuk seperti di bawah ini: Dengan memisalkan t, maka kesamaan kedua ungkapan ang didapatkan adalah sebagai berikut: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 7 dari 8)

8 t t t t atau jika disederhanakan akan menjadi dt d t t t t Pisahkan variabel-variabelna, kemudian integralkan t dt t d, jika t ± sehingga ln t h ln atau t atau juga t Maka, jika variabel t digantikan dengan nilai ang sesungguhna ( ), akan diperoleh PRIMITIF dari PD bersangkutan sebagai berikut: 0 Persamaan di atas merupakan representasi dari PERSAMAAN HIPERBOLA, baik bila 0 maupun 0, ang memiliki persamaan-persamaan garis simetri ± atau ang sebanding dengan t ±. Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 8 dari 8)

9 Catatan: Solusi integral dari PD homogen homogen dapat dilakukan dengan menggunakan OORDINAT POLAR, dalam hal ini semua kurva integral tersebut harus dalam bentuk koordinat ang sesuai, aitu r f ( θ ). Namun, metode ini lebih sulit karena jalan hitunganna lebih panjang dan tidak praktis.. Coba kita gunakan OORDINAT POLAR berikut: r cosθ r sinθ dan bentuk diferensiasina secara berturut-turut adalah: d cosθ dr r sinθ dθ d sinθ dr r cosθ dθ dan dengan melakukan substitusi ke dalam PD bersangkutan, akan diperoleh persamaan berikut: ( 5 ) d ( 5 )d dan, dengan melakukan penusunan dan pengembangan persamaan goneometri lebih lanjut, akan diperoleh hasil berikut: 4 4 ( sin θ cos θ ) dr 4( sin θ cosθ sinθ cos θ ) r dθ dengan penederhanaan, selanjutna diperoleh: ( sin θ cos θ ) dr 4 r sinθ cosθ dθ Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 9 dari 8)

10 dalam hal ini, PD dalam r dan θ ang memiliki ONFIGURASI TERPISAH adalah sebagai berikut: dr r sin θ d θ cos θ sehingga solusi atau PRIMITIF dari PD bersangkutan diperoleh sebagai berikut: r cos θ e. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial berikut, sampai didapatkan primitif -na (perhatikan PRIMITIF ang diberikan, dapat diambil sebagai acuan dasar untuk mencari penelesaian!):., dengan primitif., dengan primitif tan ( ln ). ( e ), dengan primitif ( C ) ( C ) > 0 ln dan , dengan primitif ln dan bilamana solusi mencapai SINGULAR?, dengan primitif 0 dan 5. ( ) bilamana solusi tersebut mencapai SINGULAR? 4 4, dengan primitif 6. ( ) sinθ dalam cos θ t koordinat CARTESIAN atau r dan bilamana solusi-solusi t 4 tersebut mencapai SINGULAR? Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 0 dari 8)

11 .. Persamaan Diferensial LINIER order a. Bentuk Umum: ( ) b ( ) c ( ) a dengan a, b, ( ) c merupakan fungsi-fungsi dalam. ( ) a dan b disebut OEFISIEN c ( ) disebut SUU RUAS ANAN Jika PD di atas dituliskan tanpa suku ruas kanan, maka akan diperoleh: a ( ) b ( ) 0 ang (seharusna) IDENTI dengan PD ang memiliki konfigurasi VARIABEL TERPISAH. b. Metode SUBSTITUSI FUNGSI dan Tahapan Penelesaian: Teorema Dasar SOLUSI MENYELURUH dari suatu PD Linier order- merupakan hasil penjumlahan antara SOLUSI INTEGRAL UMUM tanpa SUU RUAS ANAN dan SOLUSI INTEGRAL HUSUS dari PD secara lengkap.. Jika dimisalkan SOLUSI INTEGRAL HUSUS dari PD Linier dimaksud, lengkap dengan RUAS ANANna, adalah 0. Maka dapat dilakukan SUBSTITUSI dari FUNGSi ang tak dikenal sebagai: 0 z. Sehingga penulisan SOLUSI PERSAMAAN secara MENYELURUH dapat dituliskan dalam bentuk: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

12 ( )[ z ] b( )[ z] c( ) 0 0 a 4. arena adalah solusi PD Linier itu sendiri, maka persamaan berikut juga 0 harus dipenuhi: ( ) b( ) c( ) 0 0 a 5. Setelah dilakukan penederhanaan, akan diperoleh persamaan a ( ) z b( ) z 0 Sehingga akan diperoleh RUAS ANAN. z, sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa SUU c. Contoh soal: Selesaikan PD Linier berikut: di L R i dt E L, R, dan E merupakan konstanta-konstanta dari persamaan tersebut, dengan ONDISI AWAL pada saat t 0, harga i 0. Penelesaian: Fungsi ang melibatkan konstanta-konstanta dari persamaan secara lengkap. E R merupakan SOLUSI HUSUS INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, tanpa SUU RUAS ANANna adalah: R i C ep t L Maka, INTEGRAL MENYELURUH dari PD Linier tersebut, adalah: E R i C ep t R L Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

13 Dengan menerapkan ONDISI AWAL dari PD Linier tersebut, akan diperoleh: 0 E R C sehingga C E R dan, solusi akhirna adalah i E R ep t R L e. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi khusus dan solusi umumna sebagai acuan dasar untuk mencari penelesaian!):. cos sin, dengan solusi khusus sin dan solusi umumna sin e. cos sin cos sin, dengan solusi khusus dan solusi umumna adalah. ( ) cos e, dengan primitif e 4. sinh cosh, dengan primitif cosh e f. Metode VARIASI ONSTANTA dan Tahapan Penelesaian:. Perhatikan dengan seksama PD secara lengkap sebagai berikut, ( ) b ( ) c ( ) a dan bentuk PD di atas, jika TIDA menertakan SUU RUAS ANAN: a ( ) b( ) 0 Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

14 . Sebagai PD dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH, persamaan terakhir dapat disusun ulang menjadi: d b a ( ) ( ) d. Maka, sebagai SOLUSI UMUM dari PD Linier tanpa RUAS ANAN dapat dituliskan sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) b z ep d a 4. Definisikan suatu FUNGSI (ang menggantikan tetapan dengan suatu fungsi dalam variabel, ), sehingga diperoleh PRIMITIF ang berbentuk persamaan berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) z ( ) sehingga turunanna dapat dituliskan sebagai: ( ) ( ) z ( ) ( ) z ( ) 5. Substitusikan turunan fungsi di atas ke dalam PD Linier secara lengkap: a ( ) { ( ) z ( ) ( ) z ( ) } b( ) { ( ) z ( ) } c() atau a ( ) ( ) z ( ) ( ) { a( ) z ( ) b( ) z ( ) } c() 6. Perhatikan, bahwa z identik dengan solusi dari PD Linier tanpa suku ruas kanan, sehingga (perhatikan juga langkah di atas!): a ( ) z ( ) b( ) z ( ) 0 ang berarti bahwa ( ) a c( ) ( ) z( ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 4 dari 8)

15 7. Solusi atau primitif dari dapat diselesaikan, sedemikian rupa sehingga hasil akhir dari solusi dapat diketahui. ( ) ( ) ( ) z ( ) g. Contoh soal:. Selesaikan PD Linier berikut: Penelesaian: PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: 0 Persamaan di atas merupakan PD dengan konfigurasi variabel terpisah, sehingga d d, jika 0 jika diintegrasikan, sehingga dihasilkan, d d ln h ln ln dan, Asumsikan, bahwa adalah fungsi dari, sehingga hasil turunan dari (atau sama dengan ) adalah: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 5 dari 8)

16 Jika persamaan terakhir disubstitusikan ke PD Linier asal, maka akan diperoleh: Perhatikan, bahwa term perkalian dengan ternata saling meniadakan, sedemikian rupa sehingga diperoleh: atau Integran, atau primitif dari persamaan terakhir di atas adalah: λ, λ merupakan konstanta integrasi emudian, jika kita substitusikan ke dalam persamaan atas, akan diperoleh sebagai solusi umum: di ( λ ) λ. Selesaikan PD Linier berikut: Penelesaian: tan sin d PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: tan 0 d Sebagai PD dengan konfigurasi variabel terpisah, maka sehingga dihasilkan, d ln h sin cos ln cos d Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 6 dari 8)

17 dan, cos Asumsikan, bahwa ( ), sehingga hasil turunan dari persamaan di atas adalah: cos sin Substitusikan ke dalam PD Linier asalna, akan diperoleh: cos sin cos tan sin Perhatikan, bahwa term faktor ternata saling menihilkan, sehingga: cos sin sin cos atau sin Integran dari persamaan di atas diperoleh dengan cara: sin d cos λ emudian, dengan mensubstiusikan hasil persamaan di atas ke dalam persamaan cos, diperoleh solusi unum berikut: cos λ cos. Selesaikan persamaan diferensial berikut: Penelesaian: ( ) PD Linier tanpa suku ruas kanan adalah: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 7 dari 8)

18 ( ) 0 Pisahkan variabel-variabel dari persamaan di atas, sehingga diperoleh: d d emudian integrasikan: d d sehingga dihasilkan ln h ln atau Dalam hal ini, solusi PD tanpa suku ruas kanan sangat bergantung pada harga, ang lebih besar dari ataupun lebih kecil dari. asus #: > Solusi PD Linier ang tidak melibatkan suku ruas kananna, adalah sbb: Turunan dari fungsi apabila adalah fungsi dari, adalah sbb: ( ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 8 dari 8)

19 Substitusikan persamaan terakhir ke dalam PD Linier asal, secara lengkap, sehingga diperoleh: ( ) ( ) atau ( ) Sehingga diperoleh fungsi dalam, sebagai berikut: Dan, primitifna adalah: λ ln Solusi akhirna menjadi: ln λ, jika > asus #: < Solusi PD Linier ang tidak melibatkan suku ruas kananna, adalah sbb: Dengan metode ang sama seperti pada kasus # di atas, diperoleh: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 9 dari 8)

20 ( ) dan d arcsin λ Sehingga solusi akhirna adalah sbb: arcsin λ, jika < h. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial linier berikut (diberikan persamaan solusi kuncina untuk mempermudah mencari penelesaian!):. cos sin (kunci: dan sin λ cos ) cos. ln ln (kunci: dan ln λ ) di. t i sint dt t cos t sint λ (kunci: t sin t dan i ) t 4. ( ) ln ( ) λ (kunci: ln( ) dan ln ( ) ) 5. arctan λ (kunci: arctan dan arctan ln ( ) ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 0 dari 8)

21 .4. Persamaan Diferensial jenis Persamaan BERNOULLI a. Bentuk Umum: ( ) b( ) m a dengan a merupakan fungsi (sembarang) dalam, a a( ) b merupakan fungsi (sembarang) dalam, b b( ) m merupakan tetapan bilangan nata, sembarang dan berharga selain dari 0 dan (nilai-nilai ang mengakibatkan PD ini menjadi berbentuk LINIER). Jika m > 0, akan diperoleh persamaan-persamaan ang jelas lebih mudah untuk diselesaikan. b. Metode Penelesaian:. PD bersangkutan harus dapat disusun ulang dalam bentuk LINIER, aitu dengan membagi kedua ruas dengan faktor m, sehingga m a ( ) b( ) m. Lakukan substitusi fungsi ang dicari, ang didefinisikan sebagai: z m. arena merupakan fungsi dari, maka turunan dari fungsi z adalah: z ( m) m 4. Sehingga, solusi dari PD ang dimaksudkan dapat ditulis sebagai: Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

22 z m a ( ) z b( ) Persamaan di atas berbentuk PD Linier berorder. c. Contoh soal: Selesaikan PD berikut, ang termasuk dalam jenis Persamaan BERNOULLI: Penelesaian: Persamaan di atas memiliki harga m. Bagilah kedua suku dengan sehingga diperoleh: Dimisalkan, z dengan turunanna terhadap variabel z, z sehingga diperoleh persamaan baru, dalam variabel z : z z sebagai PD Linier berorder, dengan solusi sebagai berikut: ( ) z λ Integral UMUM sebagai solusi dari PD bersangkutan adalah sebagai berikut: ( λ ) Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

23 d. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan persamaan-persamaan diferensial BERNOULLI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara. Untuk mempermudah mencari penelesaian, berikut diberikan juga persamaan atau solusi kuncina.. (kunci: λ e. ( ) (kunci: λ e. ) λ ) (kunci: ( ) (kunci: (kunci: 6 λ e 5 5 λ e 6. tan 0 cos (kunci: ) sin λ 5 ) ) 7. Carilah URVA INTEGRAL ang melalui titik, dari PD ang benrbentuk Persamaan BERNOULLI berikut: (kunci:, dan λ ) λ Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman dari 8)

24 .5. Persamaan Diferensial jenis Persamaan RICCATI a. Bentuk Umum: ( ) b( ) c( ) a dengan a, b, dan c merupakan fungsi-fungsi dalam. b. Metode Penelesaian:. PD ang berbentuk Persamaan RICCATI dapat diselesaikan bila diketahui INTEGRAL SPESIFI dicari berbentuk:, sedemikian rupa sehingga substitusi fungsi ang akan z. Persamaan di atas akan mentransformasikan Persamaan RICCATI menjadi: ( )( z) b( )( z) c( ) z a. arena merupakan SOLUSI SPESIFI (khusus) dari Persamaan RICCATI, maka: ( ) b( ) c( ) a 4. Melalui penederhanaan, maka kombinasi dari kedua persamaan (langkah dan ) di atas akan menghasilkan: ( ) z [ a( ) b( ) ] z z a ang identik dengan Persamaan BERNOULLI, dengan m. 5. Langkah-langkah selanjutna adalah sesuai dengan penelesaian Persamaan BERNOULLI, seperti di jelaskan pada paragraf L-A.4 di atas. Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 4 dari 8)

25 c. Contoh soal: Selesaikan PD berikut ang berbentuk Persamaan RICCATI: Yang dapat diselesaikan menggunakan INTEGRAL SPESIFI. Penelesaian: Periksa terlebih dahulu bahwa dengan memisalkan: sehingga turunana: merupakan SOLUSI SPESIFI, aitu z z kemudian disubstitusikan ke dalam Persamaan RICCATI di atas. Setelah disederhanakan, akan diperoleh: z z z 0 Untuk penelesaianna, bagilah kedua suku dengan emudian, misalkan: sehingga dan z z z u u u z z u z z sehingga diperoleh: mengarah pada solusi PD Linier, dalam u, sebagai berikut: u Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 5 dari 8)

26 atau, solusi ang dikembalikan dalam variabel : d. Tugas dan soal-soal latihan: Selesaikan Persamaan-persamaan RICATTI berikut sebagai latihan pemahiran untuk saudara, ang disertakan pula persamaan atau solusi kuncina. a. 5 0, dimisalkan (kunci: λ ) 4 b. sin sin cos, dengan pemisalan integral sin cos 4sin cos spesifikna adalah cos (kunci: cos λ sin c. ( ) cos ( cos sin ) cos, dengan cos cos (kunci: cos ) λ sin 4 d. 5 e ( e )( 5e ) e., dengan (kunci: e ) λ e e, dengan pemisalan 4 4 (kunci: λ e ( ) ) e Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 6 dari 8)

27 [P-.] PROYE #: Solusi ANALITIS dan NUMRIS Persamaan Diferensial Order Selesaikanlah, secara kelompok, semua PD order di bawah ini: a. b. c. d d d d e cos sin sin sin cos 4sin cos secara ANALITIS dan NUMERIS, pada interval [,] Format jawaban: ( ) 0 dengan harga awal 0. Solusi analitis: diselesaikan terlebih dahulu, menggunakan metode-metode analitis seperti telah dijelaskan pada LAMPIRAN (mulai halaman sampai dengan 6). Beri penjelasan juga tentang METODE SOLUSI ang digunakan dan JENIS atau konfigurasi dari persamaan-persamaan diferensial tersebut. Solusi numeris: menggunakan kedua varian dari Metode RUNGE-UTTA order titik tengah dan kelandaian rerata, seperti dijelaskan pada Bab (halaman 8 sampai ). Formula Runge-utta order- titik-tengah: ( ) k h f i, i k h f h i, i i k i k Formula Runge-utta order- nilai rerata: ( ) k h f i, i ( i h i ) ( k ) k h f, k i i k Tampilan solusi numeris harus diberikan dalam tabel-tabel ang berbentuk Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 7 dari 8)

28 seperti di bawah ini: i Metode Solusi: Runge-utta order- TITI-TENGAH i k k * ( ) 0, , , , , , , , , , , i dan, seperti di bawah ini: Metode Solusi: Runge-utta order- ELANDAIAN RERATA i i k k * ( ) 0, , , , , , , , , , , i Lampiran Bab -A: Solusi Analitis Persamaan Diferensial Order- dengan Metode Analitis (halaman 8 dari 8)