matematika WAJIB Kelas X SUDUT Kurikulum 2013 A. Definisi Sudut

Transkripsi

1 Kurikulum 20 Kelas X matematika WAJIB SUDUT Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi sudut. 2. Memahami sudut kterminal.. Memahami definisi ukuran sudut dalam derajat. 4. Memahami definisi ukuran sudut dalam radian. 5. Dapat mengnversi satuan sudut dari derajat ke radian atau sebaliknya. 6. Dapat menerapkan knsep sudut dalam kehidupan sehari-hari. A. Definisi Sudut Sudut didefinisikan sebagai hasil rtasi dari sisi awal (initial side) ke sisi akhir (terminal side). Sudut juga dapat didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi leh dua ruas garis yang bertemu pada suatu titik. Berdasarkan arah putarannya, sudut dibedakan menjadi dua, yaitu sudut psitif dan sudut negatif. Sudut psitif terjadi jika arah putarannya berlawanan dengan putaran jarum jam. Sementara sudut negatif terjadi jika arah putarannya searah dengan putaran jarum jam. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut. Sisi akhir Sisi awal Sisi akhir Sisi awal Sudut bertanda psitif Sudut bertanda negatif

2 Dalam bidang Cartesius, sudut yang sisi awalnya berimpit dengan sumbu-x psitif dan sisi akhirnya terletak pada salah satu kuadran disebut sebagai sudut standar (baku). Dari sudut-sudut standar, ada beberapa sudut yang sisi akhirnya terletak pada salah satu sumbu krdinat. Sudut ini dinamakan sebagai pembatas kuadran. Sudut yang termasuk pembatas kuadran yaitu 0, 90, 80, 270 dan Kuadran II Kuadran I 90 < a < 80 0 < a < Kuadran III 80 < a < 270 Kuadran IV 270 < a < Besar sudut pada setiap kuadran Pada umumnya, sudut dinyatakan dalam huruf Yunani, seperti α (alfa), β (beta), γ (gamma), dan θ (teta). Selain itu, sudut juga dapat dinyatakan dalam huruf kapital, seperti, A, B, C, dan D. B. Sudut Kterminal Sudut kterminal adalah dua sudut standar yang sisi-sisi akhirnya (terminal side) saling berimpit. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut. Y b a X Sudut standar dan sudut kterminal 2

3 Sudut kterminal untuk suatu sudut a bisa bernilai psitif atau negatif. Untuk sudut kterminal psitif (b), berlaku: b = k a, k =, 2,,... Untuk sudut kterminal negatif (b), berlaku: b = k a, k =, 2,,... Cnth Sal Tentukan sudut kterminal psitif dari 20. Misalkan a = 20 Berdasarkan rumus sudut kterminal psitif, diperleh: b = k a dengan k =, 2,,... b = k k = b = 480 k = 2 b = 840 dan seterusnya Jadi, sudut kterminal psitif dari 20 adalah 480, 840 dan seterusnya. Cnth Sal 2 Tentukan sudut kterminal negatif dari 0. y Misalkan a = 0 Berdasarkan rumus sudut kterminal negatif, diperleh: b = k a dengan k =, 2,,... O b = k k = b = 0 k = 2 b = 690 dan seterusnya Jadi, sudut kterminal negatif dari 0 adalah 0, 690 dan seterusnya. 0 x

4 C. Definisi Ukuran Sudut dalam Derajat Satu derajat (ditulis: ) didefinisikan sebagai ukuran besar sudut yang disapu leh jarijari lingkaran dalam jarak putar sejauh putaran. Definisi ini secara singkat dituliskan 60 sebagai berikut. = 60 putaran putaran = 60 Perhatikan ilustrasi sudut, 90, 80, 270, dan 60 dalam bentuk putaran berikut. 60 putaran 4 putaran 2 putaran putaran Cnth Sal Nyatakan bentuk-bentuk berikut ini dalam derajat. a. putaran b. c. 2 putaran 4 putaran Oleh karena putaran = 60, maka: a. putaran = 60 = 20 Jadi, putaran = 20 4

5 b. 2 putaran = 2 60 = 240 Jadi, 2 putaran = 240 c. 4 putaran = 60 = Jadi, 4 putaran = 270 Cnth Sal 4 Nyatakan besar sudut-sudut berikut ini dalam putaran. a. 60 b. 40 c. 00 Oleh karena = 60 putaran, maka: a. 60 =60 60 putaran = 6 putaran Jadi, 60 = 6 putaran b. 40 = 40 Jadi, 40 = 7 8 putaran 60 putaran = 7 8 putaran c. 00 = putaran = 5 6 putaran Jadi, 00 = 5 6 putaran Cnth Sal 5 Pada suatu lingkaran, terdapat sebuah juring yang panjang busurnya 5 keliling lingkaran. Tentukan besar sudut yang terbentuk leh juring tersebut dalam derajat. 5

6 Satu keliling lingkaran sama dengan satu putaran, sehingga besar sudut yang terbentuk adalah 60. Dengan demikian, besar sudut yang terbentuk dari keliling lingkaran 5 adalah sebagai berikut. 5 sudut keliling lingkaran = 5 60 = 26 Jadi, besar sudut yang terbentuk leh sebuah juring yang panjang busurnya 5 keliling lingkaran adalah 26. Selain satuan (ukuran) sudut dalam derajat, ada pula ukuran-ukuran sudut lain yang lebih kecil, yaitu ukuran menit dan ukuran detik. Ukuran menit dan ukuran detik berturutturut dilambangkan dengan ' dan ". Ukuran-ukuran sudut dalam derajat, menit, dan detik mengikuti aturan berikut. derajat = 60 menit atau menit = Ditulis: = 60' atau = 60 menit = 60 detik atau detik = Ditulis: ' = 60" atau = derajat 60 menit Cnth Sal 6 Isilah titik-titik berikut. a. 0 =...' =..." b. 2 5'245" =...'..." c. 24,5'.800" =... d. 2,256 =......'..." Oleh karena = 60' dan ' = 60", maka: 6

7 a. 0 = 0 60' =.800'(menit).800' = " = "(detik) Jadi, 0 =.800' = ". b. 2 5'245" = (2 60') + 5'245" = 20' + 5'245" = 255'245" Jadi, 2 5'245" = 255'245" c. 24,5'.800" = 24,5' = 24,5' + 0' = 54,5' = 54,5 60 = 0.9 Jadi, 24,5'.800" = 0.9. d. 2,256 = 2 + 0,256 = 2 + 0,256 60' = 2 + 5,6' = 2 + 5' + 0,6' = 2 + 5' + 0,6 60" = 2 5'22" Jadi, 2,256 =2 5'22". D. Definisi Ukuran Sudut dalam Radian Satu radian (ditulis: rad) didefinisikan sebagai ukuran sudut pada bidang datar yang berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jarijari lingkaran tersebut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut. 7

8 r A r O r B Jika besar AOB = a, AB = OA = OB, nilai a = AB r = rad. Jika panjang busur tidak sama dengan r, cara menentukan besar sudut dalam satuan radian dapat dilakukan dengan menggunakan perbandingan berikut. AOB = AB rad r Sementara itu, untuk menentukan panjang busurnya, perhatikan gambar berikut. P a r a P = r Berdasarkan gambar tersebut, diperleh: α = P P α Misal α = rad, maka: α = P r P = αr Dengan demikian, rumus untuk menentukan panjang busur lingkaran adalah sebagai berikut. P = ar 8

9 Keterangan: P = panjang busur lingkaran; α = sudut pusat lingkaran; dan r = jari-jari lingkaran. Cnth Sal 7 Tentukan panjang busur lingkaran yang memiliki jari-jari 2 meter dan sudut pusat 0,25 radian. Panjang busur lingkaran dapat ditentukan dengan rumus berikut. P = αr =0,25.2 meter = 0,5 meter Jadi, panjang busur lingkaran tersebut adalah 0,5 meter. Setelah kamu belajar tentang ukuran sudut dalam derajat dan radian, bagaimana hubungan antara kedua ukuran sudut tersebut? Hubungan antara kedua ukuran sudut tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. P = ar Jika a = putaran, nilai panjang busur lingkaran akan sama dengan keliling lingkaran. Dengan demikian, diperleh: 2r = ra 2 radian = putaran 2 radian = 60 radian = 80 = 80 radian Dengan demikian, hubungan antara ukuran sudut dalam derajat dan radian dapat dinyatakan sebagai berikut. radian = 80 = 80 radian 9

10 Jika =,459, hubungan antara ukuran sudut tersebut dapat dinyatakan kembali sebagai berikut. radian = 57,296 = 0,0745 radian Cnth Sal 8 Nyatakan ukuran sudut-sudut berikut ini dalam bentuk radian. a. 0 b. 0 c. 60 d. 45 e ' Oleh karena = 80 radian, maka: a. 0 =0 =0 radian= radian 80 6 Jadi, 0 = = radian 6 b. 0 = 0 =0 radian= radian 80 8 Jadi, 0 = radian 8 c. 60 =60 =60 radian= radian 80 Jadi, 60 = radian d. 45 = 45 = 45 radian= radian 80 4 Jadi, 45 = radian 4 0

11 e ' = (45 ) + (20 ') = 45 radian = radian+ 4 = radian radian = radian+ radian = 5 radian+ radian = 6 radian 540 Jadi, 45 20' = 6 radian. 540 Cnth Sal 9 Nyatakan ukuran sudut-sudut berikut ini dalam bentuk derajat. a. 2 radian b. 6 radian c. 7 radian d. 5 radian Oleh karena radian = 80, maka: a. 2 radian= 80 =5 2 Jadi, 2 radian = 5. b. 6 radian= 80 =0 6 Jadi, 6 radian = 0.

12 c. 7 radian=7 80 = 420 Jadi, 7 radian = 420. d. 5 radian= 5 80 = 00 Jadi, 5 radian = 00. Cnth Sal 0 Isilah titik-titik berikut. a. radian =... putaran =... 5 b. putaran =... radian =... 6 c. 5 =... radian =... putaran Oleh karena putaran = 60 = 2 radian, maka: a. 5 radian= 5 2 putaran = 0 putaran = 60 =6 0 Jadi, 5 radian= 0 putaran =6. b. 6 putaran = 6 2 radian = radian= 80 =60 Jadi, 6 putaran = radian=60. c. 5 = 5 radian= 80 4 radian= 4 2 putaran = 8 putaran Jadi, 5 = 4 radian= 8 putaran. 2

13 Cnth Sal Diketahui besar sudut a = 27 24'. a. Nyatakan besar sudut a tersebut dalam ntasi desimal. b. Hitunglah (nyatakan hasilnya dalam ukuran derajat, menit, dan detik) untuk sudut berikut..) 2.) 2 a 5 a a. Untuk menyatakan sudut a dalam ntasi desimal, bagian yang berukuran menit harus diubah ke dalam ukuran derajat. Oleh karena =, maka: = = = 27 +0,4 = 27, 4 Jadi, ntasi desimal dari a = 27 24' adalah a = 27,4. b. Dengan mengperasikan sudut dan bilangan yang dikalikan, serta menyederhanakannya, diperleh:.) = α ( ) 2 2 ( ) = =6 42 Jadi, 2 a = 6 42'.

14 2.) 5 = α ( ) ( ) ( ) = = " 5 = Jadi, 5 a = 25 28'48". Cnth Sal 2 Tentukan ukuran sudut pusat (dalam radian) jika diketahui: a. panjang busur 49 cm dan jari-jari 7 cm; dan b. panjang busur 8 cm dan jari-jari 9 cm. a. Oleh karena panjang busur P = 49 cm dan jari-jari r = 7 cm, maka: P α = radian r = 49 7 radian =7 radian Jadi, ukuran sudut pusatnya adalah 7 radian. b. Oleh karena panjang busur P = 8 cm dan jari-jari r = 9 cm, maka: P α = radian r = 8 9 radian =9 radian Jadi, ukuran sudut pusatnya adalah 9 radian. 4

15 Cnth Sal Perhatikan gambar berikut. A B O C D Jika OA = 5 cm, CD = 2 cm, dan BOD = radian, tentukan: a. panjang busur BD; dan b. panjang bususr AC. a. Oleh karena OA = 5 cm dan CD = 2 cm, maka OB = OD = OA + CD = = 7 cm. Dengan demikian, diperleh: Panjang busur BD = BOD OB = 7 =9 cm Jadi, panjang busur BD adalah 9 cm. b. Oleh karena besar sudut yang seletak sama besar, maka AOC = BOD = radian. Dengan demikian, diperleh: Panjang busur AC = AOC OA = 5 =65 cm Jadi, panjang busur AC adalah 65 cm. 5

16 E. Penerapan Sudut dalam Kehidupan Sehari-hari Untuk menyelesaikan persalan mengenai sudut, kamu harus selalu ingat knversi satuan sudut dari derajat ke radian, dan sebaliknya sebagai berikut. Knversi satuan sudut dari derajat ke radian: a = a Knversi satuan sudut dari radian ke derajat: aradian= a 80 radian 80 Cnth Sal 4 Berapa radiankah sudut yang dibentuk leh jarum yang menunjukkan jam dan menit pada pukul 0.00? Sudut yang terbentuk pada pukul 0.00 adalah. Oleh karena a 60 =60 radian= 80 radian = a 80 radian, maka: Jadi, sudut yang dibentuk leh jarum yang menunjukkan jam dan menit pada pukul 0.00 adalah radian. Cnth Sal 5 Sebuah rda berputar dengan laju sudut 6 rpm (rtasi per menit). Nyatakan laju sudut rda tersebut dalam satuan radian per detik. Laju sudut 6 rpm artinya dalam menit rda berputar sebanyak 6 putaran. Dengan demikian, banyaknya putaran dalam detik adalah sebagai berikut. 6 putaran 60 = 6 0 putaran Jika dinyatakan dalam bentuk radian, diperleh: 6 2 radian =,2 radian 0 Jadi, laju sudut rda tersebut dalam satuan radian per detik adalah,2 radian/detik. 6

17 Cnth Sal 6 Derajat lintang suatu lkasi adalah ukuran sudut yang dinyatakan leh garis dari pusat Bumi ke ekuatr dan garis dari pusat Bumi ke lkasi tersebut. Suatu negara A memiliki derajat 48 9' LU, sedangkan negara B memiliki derajat 5 5' LU. Jika negara A tepat di utara negara B, jarak keduanya adalah... km (r Bumi 656 km). Permasalahan pada sal tersebut dapat digambarkan sebagai berikut. L 48 9' A 5 5' B equatr Ini berarti, α = 48 9' - 5 5' = 4' = 0,228 radian. Dengan demikian, diperleh: P = αr =0, km = 449,68 km Jadi, jarak kedua negara tersebut adalah 449,68 km. 7