TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n"

Transkripsi

1 TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar (melalui rumus eksplisit) secara visual (melalui grafik atau kurva ketinggian) Suatu fungsi dua variabel adalah suatu aturan ang memberikan sebuah bilangan riil unik pada masing-masing pasangan bilangan terurut bilangan riil (,) di dalam sebuah himpunan D; dan bilangan riil unik tersebut dinatakan oleh f (,). Himpunan D merupakan daerah asal (domain) dari f. Himpunan nilai ang digunakan f merupakan daerah hasil (range) dari f. Dengan kata lain, f (, ) (, ) D Jika z f (, ), maka dan merupakan variabel bebas (independent variables) sementara z merupakan variabel tak bebas (dependent variable). Fungsi dua variabel tidak lain adalah fungsi ang daerah asalna berupa himpunan bagian dari R dan daerah nilaina merupakan himpunan bagian dari R. Perhatikan contoh berikut. >> Contoh 1 Misalkan f (, ) 9. a. Hitunglah f (1, ). b. Carilah daerah asal fungsi f. c. Carilah daerah hasil fungsi f. a. f (1, ) 9 1 b. Fungsi f tidak akan terdefinisi jika kurang dari 0. Jadi, f (, ) 0 Dengan demikian, D (, )

2 c. Misalkan z f (, ) 9. Karena z merupakan akar kuadrat positif, maka z 0. Dan, z. Jadi, daerah hasilna adalah: z 0 z f (, ) 0 f (, ). Cara lain untuk meninjau perilaku suatu fungsi dua variabel adalah dengan meninjau grafik. Jika f adalah suatu fungsi dua variabel dengan daerah asal D, maka grafik f adalah himpunan semua titik (,,z) di R sedemikian sehingga z = f (,) dan (,) berada di D. >> Contoh Sketsakan grafik fungsi z f (, ) 6. Grafik f mempunai persamaan z 6 atau z 6 ang menatakan bidang. Bagian dari grafik ini terletak pada oktan pertama, ang disketsakan pada gambar berikut. z (0,0,6) (,0,0) (0,,0) >> Contoh 1 Sketsakan grafik fungsi z 6 9. Perhatikan bahwa z 0. Jika kedua ruasna dikuadratkan dan kemudian disederhanakan, z maka diperoleh 9 9z 6 atau 1 ang berbentuk elipsoida. Grafik 9 fungsina adalah setengah bagian atas dari elipsoida, ang disketsakan pada gambar berikut. 1 z 6 9

3 Suatu sketsa ang berpadanan dengan grafik dari fungsi dua variabel z f (, ) seringkali sukar dibuat dalam ruang dimensi-, sehingga sketsa dalam ruang dimensi- dibuat. Setiap bidang horizontal z = c memotong permukaan pada suatu kurva. Proeksi dari perpotongan ini pada bidang disebut sebagai suatu kurva ketinggian, dan koleksi dari kurva-kurva ketinggian tersebut disebut sebagai suatu peta kontur. Permukaan z = f (,) Bidang z = c Peta kontur dengan beberapa kurva ketinggian >> Contoh 1 Gambarkan peta kontur untuk permukaan ang mempunai fungsi z 6 9 dengan z 0, z 1, z 1,5, z 1,75, dan z. Saat z 0, diperoleh 9 6 atau 1 ang berbentuk elips. 9 Saat z 1, diperoleh 9 7 atau 1 ang berbentuk elips. 7 Saat z 1,5, diperoleh Saat z 1,75, diperoleh Saat z, diperoleh Kurva Ketinggian f (,) = c 9 atau atau ang berbentuk titik. 1 ang berbentuk elips. 1 ang berbentuk elips.

4 Berikut ini adalah beberapa contoh permukaan disertai dengan peta konturna.

5 Suatu fungsi tiga variabel adalah aturan ang memberikan sebuah bilangan riil unik kepada masing-masing rangkap-tiga terurut (,,z) di dalam daerah asal D R ; dan bilangan riil unik tersebut dinatakan oleh f (,,z). Dengan kata lain, f (,, z) (,, z) D Suatu fungsi n variabel adalah aturan ang memberikan sebuah bilangan riil unik kepada masing-masing rangkap-n terurut ( 1,,..., n) di dalam daerah asal D R n ; dan bilangan riil unik tersebut dinatakan oleh f ( 1,,..., n). Dengan kata lain, f (,,..., ) (,,..., ) D 1 n 1 n B. Turunan Parsial Jika f adalah fungsi dua variabel, katakanlah f (,), maka: turunan parsial dari f terhadap pada titik (a,b) (, ) lim f ( a h, b) f ( a, b) f a b h0 h turunan parsial dari f terhadap pada titik (a,b) (, ) lim f ( a, b h) f ( a, b) f a b h0 h Notasi untuk turunan parsial pertama dari fungsi dua variabel adalah sebagai berikut. Jika z f (, ), maka: f z f(, ) f f (, ) f z f (, ) f f (, ) Simbol merupakan simbol untuk turunan parsial dalam matematika. Aturan untuk pencarian turunan parsial dari z f (, ) adalah sebagai berikut. Untuk mencari f, pandang sebagai konstanta dan diferensialkan f (, ) terhadap. Untuk mencari f, pandang sebagai konstanta dan diferensialkan f (, ) terhadap. >> Contoh 5 Tentukan f (1, ) dan f (1, ) jika f (, ). f (, ) ; sehingga f(1,) (1)(). (, ) 9 f ; sehingga f (1,) (1) 9() 7. Pada turunan parsial tingkat tinggi, secara umum prosesna sama dengan turunan parsial pertama (tingkat satu). Dalam turunan parsial kedua (tingkat dua), diperoleh: 5

6 f f f f - f - f f f f f - f - f Jadi, dalam turunan parsial kedua, diperoleh turunan parsial. Dalam turunan parsial ketiga, diperoleh 8 turunan parsial. Demikian seterusna, sampai turunan parsial ke-n, diperoleh n turunan parsial. >> Contoh 6 Tentukan turunan parsial kedua dari f (, ) e sin. Tentukan terlebih dahulu f dan f. 1 f e cos 1 f sin 6 1 f e sin cos 6 ; ; cos f e f e sin cos 1 f e sin cos 6 Perhatikan pada Contoh 6 bahwa f f. Hal ini merupakan kasus khusus ang memiliki kriteria sebagai berikut. Teorema 1 Teorema Clairaut Misalkan f dan f merupakan fungsi ang kontinu pada suatu himpunan buka S. Maka, f f di setiap titik pada himpunan buka S. Andaikan f adalah suatu fungsi tiga variabel, f (,,z). Maka, turunan parsial f terhadap di (a,b,c): (,, ) lim f ( a h, b, c) f ( a, b, c) f a b c h0 h Jadi, f( a, b, c ) dapat diperoleh dengan memperlakukan dan z sebagai konstanta dan mendiferensialkan f (,, z ) terhadap. Turunan parsial terhadap dan z juga didefinisikan dengan cara ang serupa. >> Contoh 7 Tentukan f z jika f (,, z) sin( z). f cos( z) f 9sin( z) f 9z cos( z) f 9cos( z) 9z sin( z) z 6

7 C. Limit dan Kontinuitas Berikut ini adalah definisi formal dari limit fungsi dua variabel. lim f (, ) L berarti jika untuk setiap bilangan 0, terdapat 0 sedemikian a b (, ) (, ) sehingga f (, ) L bilamana (, ) adalah anggota dari domain D dan 0 (, ) ( a, b) atau 0 ( a) ( b). >> Contoh 8 Hitunglah lim [ ]. (, ) (1,) lim [ ] (, ) (1,) 8 11 Ada beberapa fungsi ang memerlukan penangan khusus. Perhatikan Contoh 9 berikut. >> Contoh 9 Perlihatkan bahwa Misalkan f (, ) lim (, ) (0,0) tidak ada.. Pertama, hampiri (0,0) sepanjang sumbu-, ang berarti bahwa 0 0. Maka, f(,0) 1 untuk semua 0 sehingga: 0 0 lim 1 (,0) (0,0) 0 Selanjutna, hampiri (0,0) sepanjang sumbu-, ang berarti bahwa 0. Maka, 0 f(0, ) 1 untuk semua 0 sehingga: 0 Karena f (, ) Fungsi polinomial dua variabel: 0 lim 1 0 (0, ) (0,0) memiliki dua limit ang berbeda, maka f (, ) m n i1 j1 i j cij Fungsi rasional dua variabel: p(, ) f (, ) ; q(, ) 0 q(, ) lim (, ) (0,0) tidak ada. 7

8 Teorema >> Jika f (, ) merupakan fungsi polinomial, maka: lim f (, ) f (, ) (, ) ( a, b) p(, ) >> Jika f (, ) dengan p(, ), q(, ) adalah fungsi polinomial, maka: q(, ) p(, ) p( a, b) lim ; (, ) ( a, b) q(, ) q( a, b) q( a, b) 0 >> Jika lim (, ) L 0 dan lim (, ) 0, maka: (, ) ( a, b ) (, ) ( a, b ) p(, ) lim (, ) ( a, b) q(, ) tidak ada. >> Contoh 10 Perlihatkan bahwa lim (, ) (0,0) 1 tidak ada. lim p(, ) lim [ 1] 1 (, ) (0,0) (, ) (0,0) lim q(, ) lim [ ] 0 (, ) (0,0) (, ) (0,0) Berdasarkan Teorema, maka dapat dikatakan bahwa Selanjutna akan dibahas mengenai fungsi kontinu. lim (, ) (0,0) 1 tidak ada. Fungsi dua variabel f (, ) disebut kontinu di (a,b) jika lim f (, ) f (, ) (, ) ( a, b) oleh: Hal di atas mengartikan bahwa kekontinuan f (, ) pada suatu titik (a,b) ditentukan (1) f (, ) mempunai nilai di (a,b), () f (, ) mempunai limit di (a,b), dan () nilai f (, ) di (a,b) sama dengan limitna di (a,b). Teorema (Fungsi Komposisi) Jika g suatu fungsi dua variabel ang kontinu di (a,b) dan f suatu fungsi satu variabel ang kontinu di g(a,b), maka fungsi komposisi f g ang didefinisikan oleh (f g)(,) = (f (g(,)) kontinu di (a,b). >> Contoh 11 Perlihatkan bahwa f (, ) cos adalah kontinu di setiap titik dari bidang. 8

9 Fungsi g(, ), ang merupakan suatu fungsi polinom, adalah kontinu di mana-mana. Demikian pula dengan f ( t) cos t kontinu di setiap bilangan t pada R. Berdasarkan Teorema, dapat disimpulkan bahwa f (,) = (f (g(,)) kontinu di semua titik (,) pada bidang. D. Keterdiferensialan Suatu fungsi f dikatakan dapat terdiferensialkan di p jika terdapat suatu vektor m sedemikian sehingga dengan ε h 0 saat h 0. f (p + h) = f (p) + m h + h ε(h) Jika vektor m ada, maka sifatna unik (tunggal). Vektor m ini disebut sebagai vektor gradien f di p dan dilambangkan f (p) [baca: grad f ]. Jadi, jika fungsi f terdiferensialkan di p maka fungsi f memiliki gradien f (p) dan f (p + h) = f (p) + f (p) h + h ε(h) dengan ε h 0 saat h 0. Dari definisi di atas, dapat ditarik beberapa aspek, aitu: 1) Turunan f ( ) merupakan suatu bilangan, sedangkan gradien f (p) merupakan suatu vektor. ) f (p) h merupakan hasil kali titik dari dua vektor. ) Definisi tersebut memiliki arti pada sembarang dimensi. Teorema Jika f fungsi dua variabel terdiferensialkan di p =,, maka turunan parsial pertama dari f ada di p dan f f (p) = (p) i + f (p) j Serupa dengan fungsi dua variabel, Jika g adalah fungsi tiga variabel ang terdiferensialkan di p =,, z, maka turunan parsial pertama dari g ada di p dan Teorema 5 g (p) = g (p) i + g (p) j + g (p) k z adalah suatu operator linier. Maka, (i) [f (p) + g (p)] = f (p) + g (p) (ii) [α f (p)] = α f (p) (iii) [f (p) g (p)] = f (p) g (p) + g (p) f (p) Teorema 6 Jika f terdiferensialkan di p, maka f kontinu di p. 9

10 >> Contoh 1 Carilah f jika f (,, z) sin z. p = (,, z ), maka: f f (p) = (p) i + f (p) j + f (p) k z f (p) = sin z i + z cos z j + cos z k E. Turunan Berarah dan Gradien Untuk setiap vektor satuan u, misalkan D u f p = lim 0 f p + u f(p) Limit ini, jika ada, disebut sebagai turunan berarah dari f di p dalam pada arah u. Teorema 7 Misalkan f terdiferensialkan di p. Maka, f memiliki suatu turunan berarah di p pada arah dari suatu vektor satuan u dan D u f (p) = u f (p) Jika f adalah fungsi dua variabel, maka Teorema 7 di atas menjadi D u f (,) = u 1 f (,) + u f (,) Jika f adalah fungsi tiga variabel, maka Teorema 7 di atas menjadi D u f (,,z) = u 1 f (,,z) + u f (,,z) + u f z (,,z) >> Contoh 1 Carilah turunan berarah fungsi f (, ) di titik (, 1) dalam arah vektor v = i + 5 j. Diketahui p = (, 1). Langkah pertama, cari terlebih dahulu vektor gradien di (, 1), aitu f (, 1). f f (p) = (p) i + f (p) j f f (, ) = (, ) i + f (, ) j f (, ) = i + ( ) j f (, 1) = i + 8 j Perhatikan bahwa v bukanlah vektor satuan. Jadi, langkah selanjutna adalah mencari vektor satuan dari v. 10

11 Berdasarkan Teorema 7, maka v = 5 9 u = v v = 9 i j D u f (p) = u f (p) D u f, 1 = 9 i j i + 8 j = 9 F. Aturan Rantai Teorema 8A (Aturan Rantai Kasus Pertama) Misalkan z f (, ) adalah fungsi dari dan ang terdiferensiasi, dengan g() t dan h() t adalah fungsi ang terdiferensiasi dari t. Maka, dz f d f d dt dt dt Bentuk di atas juga dapat dituliskan sebagai berikut: dz z d z d dt dt dt >> Contoh 1 Diketahui z dengan t dan t. Tentukanlah dz/dt. dz z d z d t 6 t 6( t) ( t ) ( t) ( t) 0t dt dt dt Teorema 8B (Aturan Rantai Kasus Kedua) Misalkan z f (, ) adalah fungsi dari dan ang terdiferensiasi, dengan g( s, t) dan h( s, t) adalah fungsi ang terdiferensiasi dari s dan t. Maka, z z z s s s z z z t t t >> Contoh 15 Diketahui z dengan s 7t dan 5st. Tentukanlah z/ t. z z z t t t 6 7 ( ) 5s 10s (s 7 t) 10(5 st) s s t s t 11

12 Teorema 8 (Aturan Rantai Versi Umum) Misalkan u adalah fungsi dari n variabel antara 1,,..., n ang terdiferensiasi, dengan masing-masing j adalah fungsi dari m variabel t 1, t,... t m. Maka, u u 1 u u n... ti 1 ti ti n ti untuk masing-masing i 1,,..., m. >> Contoh 16 Jika w z dengan st, s t, dan z s t. Tentukan w/ t w w w w z t t t z t ( )( s) ( )( 1) ( z)() ( s s) ( ) z ( st) s ( s t) s ( s t) ( st) ( s t) s t s ts s t st s 8t s t s st s 10t Teorema 9 (Teorema Fungsi Implisit) Misalkan F(, ) 0 mendefinisikan secara implisit sebagai suatu fungsi dalam, maka d F / d F / Misalkan F(,, z) 0 mendefinisikan secara implisit z sebagai suatu fungsi dalam dan, maka z F / z F / ; F / z F / z >> Contoh 17 Tentukan d / d jika Misalkan F(, ) Maka, d F / d F / 0 G. Bidang Singgung, Aproksimasi Bidang singgung terhadap suatu permukaan S dengan kurva ketinggian F(,, z) di titik P( 0, 0, z 0) dapat didefinisikan sebagai bidang ang melalui titik P dan memiliki vektor normal F( 0, 0, z0). Persamaan bidang singgung ini dapat dituliskan sebagai berikut: F (,, z )( ) F (,, z )( ) F (,, z )( z z ) z k 1

13 F( 0, 0, z0) F(,, z) = k Bidang singgung 0, 0, z 0 Garis normal terhadap suatu permukaan S dengan kurva ketinggian F(,, z) k di titik P adalah garis ang melalui titik P dan tegak lurus terhadap bidang singgung. Karena itu, arah garis normal diberikan oleh vektor gradien F( 0, 0, z0), sehingga persamaan parametrikna adalah: 0 0 z z0 F (,, z ) F (,, z ) F (,, z ) z >> Contoh 18 Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan z di titik (1,,). Misalkan F(,, z) z, dengan 0 1, 0, z0. F (,, ) z F (,, z) Fz (,, z) z F (1,,) F (1,,) Fz (1,,) 1 Persamaan bidang singgungna adalah: F (,, z )( ) F (,, z )( ) F (,, z )( z z ) z F (1,,)( 1) F (1,,)( ) F (1,,)( z ) 0 z ( 1) ( ) 1( z ) 0 Dan, garis normalna adalah: 0 0 z z0 F (,, z ) F (,, z ) F (,, z ) z z F (1,,) F (1,,) F (1,,) z 1 z 1 Misalkan z = f (,) dengan f suatu fungsi ang terdiferensialkan, dan misalkan d dan d berupa variabel-variabel. Diferensial dari variabel tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df (, ), didefinisikan oleh: dz df (, ) f (, ) d f (, ) d 1

14 Pentingna dz adalah dari kenataan bahwa jika d = dan d =, masing-masing mewakili perubahan kecil dalam dan, maka dz akan berupa suatu aproksimasi ang baik terhadap z, perubahan padananna dalam z. Untuk lebih jelasna, perhatikan gambar berikut ini. Bidang singgung Walaupun dz bukanlah merupakan suatu aproksimasi ang baik terhadap z, dapat dilihat bahwa penghampiran ini akan semakin baik jika Δ dan Δ semakin kecil. >> Contoh 19 Diketahui z f (, ). Hitunglah Δz dan dz jika (,) berubah dari (,1) ke (,0, 0,98). z f (, 0, 0,98) f (,1) (, 0) (, 0)(0,98) (0,98) () (1) 1 0, 77906,0 0,0 0,98 1 0,0 dz f (, ) d f (, ) d 6 0,77 6() 1 (0, 0) (1) ( 0, 0) H. Maksimum dan Minimum Misalkan p = (, ) sebagai suatu titik variabel dan p 0 = ( 0, 0) sebagai suatu titik tetap pada ruang dimensi-. (Hal berikut juga berlaku pada ruang dimensi-n.) 1

15 Misalkan p 0 suatu titik di S, aitu wilaah dari f. (i) Jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S, maka f(p 0 ) adalah nilai maksimum global dari f pada S. (ii) Jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S, maka f(p 0 ) adalah nilai minimum global dari f pada S. (iii) Jika f(p 0 ) adalah suatu nilai maksimum global atau minimum global, maka f(p 0 ) adalah nilai ekstrem global dari f pada S. Misalkan p 0 suatu titik di S, aitu wilaah dari f. Untuk (i) dan (ii) jika N S, dengan N merupakan suatu lingkungan dari p 0. (i) Jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S, maka f(p 0 ) adalah nilai maksimum lokal dari f pada S. (ii) Jika f(p 0 ) f(p) untuk semua p di S, maka f(p 0 ) adalah nilai minimum lokal dari f pada S. (iii) Jika f(p 0 ) adalah suatu nilai maksimum lokal atau minimum lokal, maka f(p 0 ) adalah nilai ekstrem lokal dari f pada S. Gambar berikut memberikan tafsiran geometri dari kedua konsep di atas. maksimum lokal maksimum global minimum global minimum lokal S Teorema 10 (Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum) Jika f kontinu pada suatu himpunan tertutup ang terbatas S, maka f mencapai suatu nilai maksimum (global) dan suatu minimum (global) dua-duana di sana. Titik-titik kritis dari f pada S ada tiga jenis, aitu: 1) titik-titik batas ) titik-titik stasioner; p 0 disebut sebagai suatu titik stasioner jika p 0 adalah suatu titik dalam dari S dengan f terdiferensialkan dan f (p 0 ) = 0. Pada titik ini, bidang singgung akan mendatar. ) titik-titik singular; p 0 disebut sebagai suatu titik singular jika p 0 adalah suatu titik dalam dari S dengan f tidak terdiferensialkan. 15

16 Teorema 11 (Teorema Titik Kritis) Misalkan f didefinisikan pada suatu himpunan S ang mengandung p 0. Jika f (p 0 ) adalah suatu nilai ekstrem, maka p 0 haruslah berupa suatu titik kritis; aitu, p 0 merupakan salah satu dari: a. suatu titik batas dari S, atau b. suatu titik stasioner dari f, atau c. suatu titik singular dari f. Teorema 1 Jika f mempunai maksimum atau minimum lokal di p 0 dan turunan parsial pertama dari f ada, maka f (p 0 ) = 0 dan f (p 0 ) = 0. Perhatikan Teorema 1 di atas. Jika diketahui p 0 merupakan suatu titik maksimum atau minimum lokal dari f, maka nilai f (p 0 ) dan f (p 0 ) pastilah sama dengan 0. Namun, jika diketahui f (p 0 ) = 0 dan f (p 0 ) = 0, hal ini tidak menjamin terdapat ekstrem lokal di titik p 0. Untuk lebih jelasna, simak Contoh 0 dan Contoh 1 berikut ini. >> Contoh 0 Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari f (, ). f (, ) f(, ) f (, ) Selanjutna, buatlah turunan parsial pertamana sama dengan nol, f (, ) 0 1 f (, ) 0 0 sehingga diperoleh satu-satuna titik kritis, aitu (1,0). 0 Perhatikan bahwa f (1, 0) 1 (1) 1. Dengan melengkapkan kuadrat sempurna, diperoleh: f (, ) ( 1) 1 16

17 0, maka didapat (, ) 1 Karena ( 1) 0 dan f untuk semua nilai dan. Jadi, f (1,0) 1 adalah nilai minimum lokal sekaligus juga minimum global dari f. >> Contoh 1 Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari f (, ) f (, ) f (, ) f (, ). Selanjutna, buatlah turunan parsial pertamana sama dengan nol, f (, ) 0 0 f (, ) 0 0 sehingga diperoleh satu-satuna titik kritis, aitu (0,0). Perhatikan bahwa titik (0,0) ini tidaklah memberikan keterangan mengenai suatu maksimum ataupun minimum dari f. Maka, f (0,0) 0 tidak dapat menjadi nilai ekstrem untuk f sehingga f (, ) tidak memiliki nilai ekstrem. Dari Contoh 1 ini, titik (0,0) disebut sebagai titik pelana (saddle point) dari f. Untuk itu, terdapat kriteria untuk menentukan apa ang terjadi di suatu titik stasioner. Teorema 1 (Uji Turunan Parsial Kedua) Diketahui bahwa f (p) mempunai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari p 0, dan f (p 0 ) = 0. Misalkan, D = D (p 0 ) = f (p 0 ) f (p 0 ) [ f (p 0 )] Maka, (a) Jika D 0 dan f (p 0 ) > 0, maka f (p 0 ) adalah nilai minimum lokal. (b) Jika D 0 dan f (p 0 ) < 0, maka f (p 0 ) adalah nilai maksimum lokal. (c) Jika D 0, maka f (p 0 ) bukanlah nilai ekstrem. Atau, p 0 merupakan titik pelana. (d) Jika D 0, maka tidak dapat disimpulkan. Untuk mengingat rumus D, akan lebih mudah bila dituliskan sebagai determinan: f f D f f f f f f ( f ) f f >> Contoh Carilah jarak terpendek dari titik (1,0, ) ke bidang z. Jarak sebarang titik (,, z ) ke titik (1,0, ) adalah: d ( 1) ( z ) Karena z, maka z, sehingga d ( 1) (6 ). Selanjutna, nilai d dapat diminimumkan dengan persamaan ang lebih sederhana: d f (, ) ( 1) (6 ) Lalu, 17

18 f ( 1) (6 ) 1 0 f (6 ) 10 0 Dengan proses eliminasi dari sistem persamaan: diperoleh satu-satuna titik kritis 6,. Kemudian, karena f f f 10 maka, D f f ( f ) sehingga berdasarkan Teorema 1, f mempunai nilai minimum lokal di titik 6,. Secara intuitif, dapat dilihat bahwa minimum lokal ini sebenarna juga merupakan minimum global, karena pasti terdapat tepat satu titik pada bidang ang diberikan ang terdekat dengan titik (1,0, ). Jadi, jarak terdekatna adalah: d ( 1) (6 ) ( ) ( ) ( ) Cara lain untuk pengerjaan Contoh akan dibahas pada subbab selanjutna. I. Metode Lagrange Teorema 1 (Metode Pengali Lagrange) Untuk mencari nilai maksimum atau minimum f(p) terhadap kendala g p = 0, selesaikanlah sistem persamaan berikut: f p = λ g(p) dan g p = 0 untuk p dan λ. Setiap titik p ang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala, dan λ ang berpadanan disebut sebagai pengali Lagrange. Hitunglah f di semua titik p ang dihasilkan; ang terbesar antara nilai-nilai ang didapat adalah nilai maksimum f, sementara ang terkecil adalah nilai minimum f, Jika p = (, ) dan persamaan vektor f p = λ g(p) dituliskan dalam bentuk komponenna, maka sistem persamaan pada Teorema 1 menjadi: f g ; f g ; g(, ) 0 Jika p = (,, ) z dan persamaan vektor f p = λ g(p) dituliskan dalam bentuk komponenna, maka sistem persamaan pada Teorema 1 menjadi: 18

19 f g ; f g ; fz gz ; g(,, z) 0 Jika terdapat lebih dari kendala ang ditekankan pada variabel-variabel suatu fungsi ang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, digunakanlah pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala). Misalna, jika kita mencari nilai ekstrem dari suatu fungsi f dengan tiga variabel terhadap dua kendala g(,,z) = 0 dan h(,,z) = 0, maka sistem persamaan ang harus diselesaikan adalah: f (,, z) 1g (,, z) h(,, z) g(,, z) 0 h(,, z) 0 >> Contoh Carilah jarak terpendek dari titik (1,0, ) ke bidang z. Jarak sebarang titik (,, z ) ke titik (1,0, ) adalah: d ( 1) ( z ) Selanjutna, nilai d dapat diminimumkan dengan persamaan ang lebih sederhana: d f (,, z) ( 1) ( z ) Lalu, karena z, maka z 0, sehingga diperoleh kendalana: g(,, z) z 0 Dengan menggunakan Teorema 1, f (p) = λ g (p) f (,, z) g(,, z) diperoleh: ( 1) 1 ( 1) 1 ( z ) 1 ( z ) z Karena g(,, z) z 0, maka: z Jadi, 1 ; ; z z Titik kritis ang diperoleh adalah,,. Dengan demikian, jarak terdekatna adalah: d 6 6 f(,, ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( )

20 L A T I H A N 1. Sketsakan grafik fungsi f ( ) 16.. Tentukan turunan parsial kedua dari f (, ) e cos.. Tentukan apakah limit di bawah ini memiliki hasil atau tidak. Jika memiliki hasil, tentukanlah limitna. sin( ) a. lim b. lim (, ) (0,0) (, ) (0,0) 5 5. Carilah turunan berarah dari fungsi vektor v = 5,,. f (,, z) z di titik (1,1,1) dalam arah 5. Tentukan z/ jika z z Jika w f ( r s, s t, t r), tentukanlah w w w r s t. 7. Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan z 8 di titik (, 0, ). 8. Diketahui fungsi F(, ) 9. Tentukanlah titik ekstrem fungsi tersebut, kemudian tentukan jenis dari titik ekstrem tersebut. 9. Carilah volume maksimum dari suatu silinder ang memiliki luas permukaan π. 10. Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari f (,, z) z pada elips dan bidang z 1. 0

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007

Lebih terperinci

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z

Lebih terperinci

Bagian 2 Turunan Parsial

Bagian 2 Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi

Lebih terperinci

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7

Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai

Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 21 Maret 2014

Hendra Gunawan. 21 Maret 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II 2013/2014 21 Maret 2014 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah

Lebih terperinci

Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.

Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit. Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua

Lebih terperinci

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial

Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal

Lebih terperinci

Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n

Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar

Lebih terperinci

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi

TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI

MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II 016/017 4 Maret 017 Kulia ang Lalu 1.1 Fungsi dua atau lebi peuba 1. Turunan Parsial 1.3 Limit dan Kekontinuan 1.4 Turunan ungsi dua peuba 1.5 Turunan berara

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi . Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non linier Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model

Lebih terperinci

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag

KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 10 Maret 01 Kuliah ang Lalu 10.1- Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

Darpublic Nopember 2013

Darpublic Nopember 2013 Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 April 2014

Hendra Gunawan. 4 April 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 4 April 2014 Kuliah yang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

Rencana Pembelajaran

Rencana Pembelajaran Learning Outcome Rencana Pembelajaran Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat ) Menentukan nilai turunan suatu fungsi di suatu titik ) Menentukan nilai koefisien fungsi sehingga

Lebih terperinci

Matematika Teknik 1, Bab 3 BAB III LIMIT. (Pertemuan ke 4)

Matematika Teknik 1, Bab 3 BAB III LIMIT. (Pertemuan ke 4) BAB III LIMIT (Pertemuan ke 4) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang limit, antara lain mengenai pengertian limit secara intuisi/tak formal, pengertian persis tentang limit, pengkajian

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, 2011 1 / 34 Fungsi

Lebih terperinci

Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti

Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum

Lebih terperinci

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien

Lebih terperinci

MATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari-

MATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari- MATEMATIKA 3 Turunan Parsial -Irma Wulandari- Pengertian Turunan Parsial T = (,) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, ) Rata-rata

Lebih terperinci

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi . Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Teknik Tenaga Elektrik/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-... Matematika Dasar: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika

Lebih terperinci

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah

Lebih terperinci

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Purcell, hal atau lebih:

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Purcell, hal atau lebih: SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315 Mg Ke- Pokok & Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum (TIU) Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Materi & Pendekatan Media Tes

Lebih terperinci

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA . Fungsi BAB. FUNGSI & GRAFIKNYA Seara intuitif, kita pandang sebagai fungsi dari jika terdapat aturan dimana nilai (tunggal) mengkait nilai. Contoh:. a. 5 b. Definisi: Suatu fungsi adalah suatu himpunan

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co.

Penerapan Turunan MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. materi78.co. Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN Turunan dapat digunakan untuk: 1) Perhitungan nilai limit dengan dalil l Hôpital 2) Menentukan persamaan fungsi kecepatan dan percepatan dari persamaan fungsi posisi )

Lebih terperinci

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T.

Kelompok Mata Kuliah : MKU Program Studi/Program : Pendidikan Teknik Elektro/S1 Status Mata Kuliah : Wajib Prasyarat : - : Aip Saripudin, M.T. DESKRIPSI MATA KULIAH TK-301 Matematika: S1, 3 SKS, Semester I Mata kuliah ini merupakan kuliah dasar. Selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-konsep matematika dan

Lebih terperinci

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah

LEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi

Lebih terperinci

Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).

Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f). Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2

Lebih terperinci

PERANAN GEOMETRI DALAM MENGOPTIMALKAN FUNGSI 2 PEUBAH ATAU LEBIH. Drs. R.Johannes P. Mataniari; Drs. Gim Tarigan

PERANAN GEOMETRI DALAM MENGOPTIMALKAN FUNGSI 2 PEUBAH ATAU LEBIH. Drs. R.Johannes P. Mataniari; Drs. Gim Tarigan PERANAN GEOMETRI DALAM MENGOPTIMALKAN FUNGSI PEUBAH ATAU LEBIH Drs. R.Johannes P. Mataniari; Drs. Gim Tarigan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

Turunan Fungsi dan Aplikasinya

Turunan Fungsi dan Aplikasinya Bab 8 Sumber: www.duniacyber.com Turunan Fungsi dan Aplikasinya Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; menggunakan turunan

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN

BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,

Lebih terperinci

DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR

DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR DEFFERNSIAL atau TURUNAN FUNGSI ALJABAR A. Pengertian Turunan dari fungsi y f () Laju rata-rata perubahan fungsi dalam interval antara a dan a h adalah : y f( a h) f( a) f ( a h) f( a) = = (dengan syarat

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :

TURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah : TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.

Lebih terperinci

BAB III FUNGSI KUASIKONVEKS

BAB III FUNGSI KUASIKONVEKS 26 BAB III FUNGSI KUASIKONVEKS Bab ini akan membahas tentang fungsi kuasikonveks, di mana fungsi ini adalah salah satu generalisasi dari fungsi konveks. Fungsi kuasikonveks yang dibahas pada bab ini didefinisikan

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan

Lebih terperinci

Bagian 4 Terapan Differensial

Bagian 4 Terapan Differensial Bagian 4 Terapan Differensial Dalam bagian 4 Terapan Differensial, kita akan mempelajari materi bagaimana konsep differensial dapat dipergunakan untuk mengatasi persoalan yang terjadi di sekitar kita.

Lebih terperinci

Tinjauan Tentang Fungsi Harmonik. Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK

Tinjauan Tentang Fungsi Harmonik. Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK Tinjauan Tentang Fungsi Harmonik Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK Tujuan penulisan ini untuk mengkaji tentang pengertian fungsi harmonik, fungsi harmonik konjugat pada

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1

5. Aplikasi Turunan MA1114 KALKULUS I 1 5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I 5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan

Lebih terperinci

UN SMA IPA 2008 Matematika

UN SMA IPA 2008 Matematika UN SMA IPA 008 Matematika Kode Soal D0 Doc. Version : 0-06 halaman 0. Ingkaran dari pernataan "Ada bilangan prima adalah bilangan genap." Semua bilangan prima adalah bilangan genap. Semua bilangan prima

Lebih terperinci

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan

Lebih terperinci

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd

BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak

BAB II DASAR TEORI. 2.1 Persamaan Kontinuitas dan Persamaan Gerak BAB II DASAR TEORI Ada beberapa teori yang berkaitan dengan konsep-konsep umum mengenai aliran fluida. Beberapa akan dibahas pada bab ini. Diantaranya adalah hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum.

Lebih terperinci

Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004

Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 2004 Matematika Ujian Akhir Nasional Tahun 00 UAN-SMA-0-0 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah x + x + 0 = 0 x + x 0 = 0 x x + 0 = 0 x x 0 = 0 x + x + 0 = 0 UAN-SMA-0-0 Suatu peluru ditembakkan ke

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 19 Maret 2014

Hendra Gunawan. 19 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 19 Maret 014 Kuliah ang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1

Lebih terperinci

2 Akar Persamaan NonLinear

2 Akar Persamaan NonLinear 2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan

Lebih terperinci

Modul Matematika 2012

Modul Matematika 2012 Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar

Lebih terperinci

Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pertemuan 9. Contoh. Gambar. 14-Feb-17. Pada gambar di atas P(x 1. ,y 1. ) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan

Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pertemuan 9. Contoh. Gambar. 14-Feb-17. Pada gambar di atas P(x 1. ,y 1. ) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan 1-eb-17 ungsi Dua Peubah atau Lebih Pertemuan 9 Turunan Parsial ungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinatakan dalam bentuk eksplisit maka

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. TINJAUAN PUSTAKA II. TINJAUAN PUSTAKA. Pendahuluan Uji perbandingan dua distribusi merupakan suatu tekhnik analisis ang dilakukan untuk mencari nilai parameter ang baik diantara dua distribusi. Tekhnik uji perbandingan

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI

BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI 5.1 Persamaan garis singgung Bentuk umum persamaan garis adalah = m + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan

Lebih terperinci

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks

FUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.

Lebih terperinci