PP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN"

Transkripsi

1 Bab III : Lingkaran 30 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak ang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran 3.. PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI O(0,0) P(,) searah pada O r P(,) Sb. X OP = OP' + + = r Contoh : PP' Persamaan Lngkaran ang berpusat di O Persamaan lingkaran ang berpusat O (0, 0) dan jari jari 5 adalah + = PERSAMAAN LINGKARAN YANG BERPUSAT DI (a,b) PA PB AB P(,) r = ( a) + ( b) b r M(a,b) Persamaan Lingkaran ang berpusat di (a,b) Sb. X a 3.3.PERSAMAAN UMUM LINGKARAN ( a) + ( b) = r a + a + b + b r = 0 + a b + (a + b r ) = 0 Persamaan umum lingkaran adalah + + A + B + C = 0 Karena : A = - a a = B = - b b = A B C = a + b r r = a + b C B : Turmudi blog:

2 3 Geometri Analitik Datar dan Ruang Maka : Pusat lingkaran P ( A, B ) Koordinat titik Pusat Lingkaran dengan persamaan + + A + B + C = 0 Jari-jari lingkaran r = r = r = a b C A B C 4 A 4 B C Jarr-jari Lingkaran dengan persamaan + + A + B + C = 0 Beberapa kemungkinan untuk jari-jari r :. Jika A B C > 0, maka lingkaran itu real 4 4. Jika A B C = 0, maka lingkaran itu berupa titik Jika A B C < 0, maka lingkaran itu imajiner. artina pusatna ada dan nata, tetapi 4 4 lingkaran itu haal karena r negatif sehingga tidak ada titik real Peninjauan persamaan lingkaran + + A + B + C = 0 :. Jika A = 0 maka persamaan lingkaran menjadi + + B + C = 0, sehingga pusat lingkaran terletak pada sumbu Y atau P (0, - ½ B). Jika B = 0 maka persamaan lingkaran menjadi + + A + C = 0, sehingga pusat lingkaran terletak pada sumbu X atau P (- ½ A, 0) 3. Jika C = 0 maka persamaan lingkaran menjadi + + A + B = 0, sehingga lingkaran melalui (0, 0) Contoh 7: Tentukan persamaan lingkaran ang berpusat di (,) dengan r = 0! Penelesaian : ( a) + ( b) = r, pusat (,), r = 0 ( ) + ( ) = = = 0 Persamaan lingkaran = 0

3 Bab III : Lingkaran PERSAMAAN PARAMETER LINGKARAN. Persamaan parameter lingkaran + = r P(-,) P - r Sb. X = sudut ang dibetuk terhadap sumbu OP = r = jari-jari lingkaran + = r cos = r cos r sin = r sin r = r cos = r sin Persamaan Parameter lingkaran + = r. Persamaan Parameter Lingkaran ( a) + ( b) = r PR = a QR = b Q(,) a = r cos P(a,b) T r cos r sin θ Sb. X b = r sin = a + r cos = b + r sin Persamaan Parameter lingkaran ( a) + ( b) = r 3.5.HUBUNGAN GARIS DAN LINGKARAN D < 0 D > 0 D = 0 0 Kedudukan sebah garis lingkaran ada 3 kemungkinan :. Memotong, D > 0. Meninggung, D = 0 3. Tidak memotong, D < 0 Persamaan umum garis lurus : = m + n...(i) Persamaan Lingkaran : + = r...(ii) B : Turmudi blog:

4 33 Geometri Analitik Datar dan Ruang Subs. (ii) (i) + (m + n) = r + m + mn + n - r = 0 ( + m ) +mn + (n - r ) = 0 Sehingga : D = (mn) - 4 ( + m) (n - r ) Sarat : D = 0, garis meninggung lingkaran D > 0, garis memotong lingkaran D < 0, garis tidak memotong lingkaran 3.6.PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN. Persamaan Garis Singgung P(, ) pada Lingkaran dengan Pusat O ( + = r) P( ) Persamaan garis singgung di titik P(, ) dengan pusat O Sb. X g Misal : garis g meninggung di titik P(, ) OP g mop = tg mop = = mg ( ) = ( ) = + + = + + = r sarat mop mop mg g mg = -. Persamaan Garis Singgung di P(, ) pada Berpusat (a, b) P(, ) Misalkan g meninggung di titik P(, ) OP g mop = b a - b mop g a (a,b) - a Sb. X mop mg b mg = a b

5 Bab III : Lingkaran 34 = a ( ) b ( ) ( - b) = ( a) ( ) dengan menguraikan sendiri akan diperoleh a + a + a + b b + b = - a + a + b + b ( - a) ( a) + ( b) ( b) = ( a) + ( b) ( a) ( a) + ( b) ( b) = r Persamaan garis singgung di P(, ) pada ( a) + ( - b) = r Analog : Persamaan garis singgung pada lingkaran + + A + B + C = A( + ) + B( + ) + C = 0 3. Persamaan Gari Singgung dengan Gradien m Sb. X Misal : persamaan garis singgung dengan gradien m = m + n..() + = r..() + = r + (m + n) = r +m +mn + n = r (+ m ) + mn + ( n r ) = 0..(3) sarat meninggung D = 0 b 4ac = 0 (mn) 4 ( + m ). (n r ) = 0 4m n 4 (n r + m n m r ) = 0 m n 4n + 4r 4m n + 4m n = 0-4n + 4r + 4m r = 0 : 4 - n + r + m n = 0 n = r + m r n = r ( + m ) n = r.( m ) m = r ( m ) Sehingga : = m r ( m ) Persamaan garis singgung pada lingkaran + = r dengan gradien m Analog : Persamaan garis singgung pada lingkaran( a) + ( b) = r dengan gradien m adalah b = m ( a) r ( m ) B : Turmudi blog:

6 35 Geometri Analitik Datar dan Ruang Contoh 8 : Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran + = 5 di titik ang a) Ber-absis 4 b) Ber-ordinat 4 Penelesaian : a) Ber-absis 4 = 4 memenuhi + = 5 ( 4) + = = 5 = 9 = 3 Persamaan garis singgung pada + = 5 adalah + = r aitu, b) Ber-ordinat dan = 4 memenuhi + = 5 + (4) = = 5 = 9 = 3 Persamaan garis singgung pada + = 5 adalah + = r aitu, dan PERSAMAAN GARIS KUTUB (GARIS POLAR) Jika titik P( o, o ) di luar lingkaran + = 0, maka dapat ditarik dua garis singgung melalui titik- titik S (, ) dan S (, ) Kedua persamaan garis singgung itu adalah S S S PS : + = r S PS : + = r O karena kedua garis singgung tersebut melalui titik P( 0, 0 ) maka berlaku bahwa S PS : = r dan = r S PS : = r Dari dua persamaan diatas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik S dan S memenuhi persamaan : Dan berarti juga bahwa persamaan garis itu melalui titik singgung S dan S, hal itu biasa disebut tali busur singgung dari titik P.

7 Bab III : Lingkaran 36 Jika diperhatikan persamaan tali busur singgung tersebut bentukna sama dengan persamaan garis singgung, jika titik P sebagai titik singgungna. Tanpa memperhatikan letak titik P, di dalam, di luar, atau pada lingkaran, maka persamaan = r dinamakan persamaan garis kutub di P( 0, 0 ) terhadap lingkaran + =r Analog (dengan cara ang mirip / sama), maka kita dapat menentukan persamaan garis kutub (garis polar) titik P( 0, 0 ) terhadap lingkaran ( a) ( b) = r Yaitu : ( 0 a) ( - a) + ( 0 b) ( b) = r Sedangkan persamaan garis kutub di titik P( 0, 0 ) terhadap lingkaran + + A + B + C = 0 aitu: A( + 0 ) + B( + 0 ) + C = 0 Dari penelesaian dengan menggunakan rumus-rumus di atas, dapat disimpulkan bahwa :. Jika titik P diluar, maka garis kutubna berupa tali busur singgung. Jika titik P pada, maka garis kutubna merupakan garis singgung lingkaran 3. Jika titik P dalam, maka garis kutubna tidak memotong Contoh 9 : ) Buatlah persamaan garis singgung dari titik (, 3) pada lingkaran 4 8 0! Penelesaian: Dari 4 8 0, diperoleh pusatna A, B 4, ( 8) (,4) dan Jari-jari :l r = 4 A 4 B C = Kita periksa dulu apakah titik (, 3) di luar, di dalam, atau pada lingkaran , berarti titik (, 3) diluar lingkaran, ini berakibat ada dua garis singgung ang dapat ditaksir dari titik (, 3) segingga meninggung lingkaran tersebut. Persamaan garis kutub dari titik (, 3) ( )( ) ( 4)( 3 4) 40 ( ) + ( 4) (-7) = = = 0 atau = = memotong pada lingkaran (7 0) = = 0 B : Turmudi blog:

8 37 Geometri Analitik Datar dan Ruang untuk = = 0 (5 + 6) ( + ) = 0 = 6 atau = 5 6 = = = = Untuk = = = 7 (-) + 0 = S, 5 5 = -4 S 4, 8 Jadi persamaan garis singgung ang melalui S, 6 adalah 5 5 ( a) ( - a) + ( b) ( b) = r = = 0 Persamaan garis singgung ang melalui S 4, ( a) ( - a) + ( b) ( b) = r ( + ) (- 4 + ) + ( 4) (- 4) = 40 ( + ) (-) + ( 4) (-6) = = = 0 (-/) = 0

9 Bab III : Lingkaran 38 ) Tentukanlah persamaan garis singgung dari lingkaran = 0 ang melalui titik (5,)! Penelesaian : Kita periksa dulu apakah titik (5,) di luar, di dalam atau pada lingkaran = (5) + 6 () = = 0, berarti titik (5,) pada Jadi, garis kutub = garis singgung lingkaran itu sendiri, aitu ; + + A( + ) + B( + ) + C = (-4)(+5) + (6) ( +) = = = 0 3) Tentukan persamaan garis kutub titik P(,3) terhadap lingkaran = 0 selidiki apakah garis kutub itu memotong, meninggung atau tidak memotong! Penelesaian: Persamaan garis kutubna : A B C ( )( ) ( 6)( 3) 0 0 ( ) 3( 3) Untuk menelidiki apakah garis kutub itu memotong, meninggung atau tidak memoong, cukup dengan P(,3), 3 6(3) Titik P(,3) di dalam lingkaran, berati garis kutub tidak memotong lingkaran itu B : Turmudi blog:

10 39 Geometri Analitik Datar dan Ruang 4) Jika diketahui garis kutubna terhadap lingkaran = 0 adalah 0. Tentukan titik kutubna! Penelesaian : Misalkan titik kutubna,, maka persamaan garis kutub terhadap lingkaran tersebut adalah : A B C , Garis ang diperoleh ini berhimpit dengan garis 0, sehingga atau () Titik kutub ang di cari adalah (, 5) * KUASA DAN PANJANG GARIS SINGGUNG C B O A M(a,b) B C D P P(, ) Harga hasil kali ang tetap disebut kuasa titik P terhadap M, Yaitu : PA = PM PA = K AM = ( a) + ( b ) r K = ( a) + ( b) - r D Jadi panjang PA = K, atau jika persamaan lingkaranna + +A + B + C = 0, maka kuasa titik P(, ) terhadap itu adalah hasil ang tetap aitu ; PA = PC. PC = PM r) PM r)

11 Bab III : Lingkaran 40 = PM - r = ( a) + ( b) - r Ingat : a = - A b = - B r = 4 A + 4 B C Jari-Jari Lingkaran dengan persamaan lingkaran + +A + B + C = 0 PA K = ( + A) + ( + B) r = + + A + B + C Jadi kuasa titik P(, ) pada + +A + B + C = 0 adalah + + A + B + C dan panjang garis singgungna PA = K Catatan :. Jika titik P di luar lingkaran, maka harga K positif (K > 0). Jika titik P pada lingkaran, maka K = 0 3. Jika P di dalam lingkaran, maka K < 0 (K negatif) Contoh 0 : ) Tentukan garis kuasa dan panjang dari titik P(,) pada lingkaran: = 0 penelesaian K = = + () + 4 ()+ = =6 Panjangna P = 6 ) Tentukan kuasa dan panjangna dari titik A(,4) pada lingkaran ang berpusat (, ) dan jari-jari 5! Penelesaian Kuasa titik P(,4) terhadap 5 adalah K = 5 = 4 5 = = 9 panjangna = 3 B : Turmudi blog:

12 4 Geometri Analitik Datar dan Ruang * GARIS KUASA Garis kuasa adalah tempat kedudukan titik ang berkuasa sama terhadap dua lingkaran. Dengan demikian ada beberapa kemungkinan :. Jika kedua lingkaran itu berpotongan, maka garis kuasana ialah garis ang melalui kedua titik potong lingkaran itu A MN = garis sentral K = garis kuasa terhadap M dan N MN selalu terhadap garis kuasa K N M Definisi : a) Sudut antara dua lingkaran ang di apit oleh garis-garis pada lingkaran-lingkaran di titik potong kedua lingkaran itu. Jika 90 atau kedua lingkaran saling, maka berlaku MNA siku-siku di A, sehingga K MN = r M + r N b) Suatu lingkaran dapat memotong lingkaran lain sedemikian hingga menjadi dua busur ang sama, M membagi dua N, maka MNA siku-siku di N, sehingga berlaku MN = r - M r N 45 o A M N K. Jika lingkaran itu bersinggungan maka garis kuasana adalah garis singgung persekutuan antara dua lingkaran itu. a) K MN = R M + R N MN = Garis sentral N r R M Garis kuasa M dan N adalah garis singgung persekutuan dua lingkaran M dan lingkaran N

13 Bab III : Lingkaran 4 b) K MN = R M - r N M N r R MN = Garis sentral Contoh Tentukan nilai K, agar k = 0 membagi dua sama besar ( ) 4! Penelesaian : k = 0, berpusat di M(,-3) dengan r M ( ) 4, berpusat di N(0,), dengan jari-jari r N = 3 k Sehingga berlaku MN r M r N ( 0) + ( 3 ) = 3 k = 3 + k 4 K = =. Tentukanlah nilai K agar k = 0 agar saling tegak lurus dengan 9 dan tentukan pula persamaan garis kedua lingkaran itu! Penelesaian : k = 0, berpusat di M(, ) 5 K 9, berpuast di N(,0), r = 3 r m Karena 0 90 atau kedua itu saling, maka 5 3 ( ) ( 0) K + 4 = 5 + K + 9 K = 5 4 = 9 Persamaan garis sentral MN 4 MN r M r N B : Turmudi blog:

14 43 Geometri Analitik Datar dan Ruang 3.8. PERSAMAAN GARIS KUASA Ambil persamaan M + + A + B + C = 0 N + + A + B + C = 0 misal P(, ) pada garis kuasa, kuasa P terhadap : Lingkaran M k + + A + B + C Lingkaran N k + + A + B + C P pada garis kuasa (berkuasa sama pada lingkaran M dan N) K = K K K = 0 + A + B + C + + A + B + C = 0 (A A ) + (B B ) + (C C ) = 0 atau (A - A ) + (B B ) + (C C ) = 0 Secara simbolik lingkaran M kita misalkan L = 0, lingkaran N misalkan L = 0, maka persamaan garis kuasa itu : L L = 0 Sifat garis kuasa : Garis kuasa tegak lurus terhadap sentral dari dua lingkaran itu. Contoh Tentukan garis kuasa kedua lingkaran + = 5 dan = 0 Penelesaian: L L = 0 L = L + 5 = = = 0 TITIK KUASA Titik kuasa adalah titik ang berkuasa sama besar terhadap 3 buah lingkaran, jadi titik kuasa dari 3 buah lingkaran adalah titik potong dari garis-garis kuasa pada pasang-pasangan lingkaran itu. Cara melukis garis kuasa antara dua lingkaran ang terletak diluar sesamana : k B D M N Ambil sembarang lingkaran P memotong lingkaran M dititik A dan B dan memotong lingkaran N dititik C dan D Tarik garis K = lingkaran M dan lingkaran P Tarik garis K 3 = lingkaran N dan lingkaran P A P C K dan K 3 berpotongsn dititik K( aitu titik kuasa ) ang berarti titik K terletak pada garis kuasa lingkaran M dan N. Garis K ang melalui K dan tegak k k 3 lurus MN adalah garis kuasa lingkaran N.

15 Bab III : Lingkaran BERKAS LINGKARAN Seperti halna garis : g + g = 0 berkas lingkaran berlaku demikian, Misal : L + + A + B + C = 0...(i) L + + A + B + C = 0....(ii) Misal kita ambil sembarang harga L + L = A + B + C + ( + + A + B + C ) = 0 L3 = ( + ) + (A + A ) + (B + B ) + C + C = 0 A A B B C C (iii) L A 3 + B 3 + C 3 = (iv) Pada persamaan (iii) setiap harga diperoleh satu harga ang dapat dimisalkan A 3, B 3, C 3 sehingga diperoleh persamaan (iv). Persamaan (iv) merupakan hasil perpotongan antara L (A) = 0, L (A) = 0 atau L (B) = 0, L (B) = 0. Dengan kata lain, semua lingkaran ang diperoleh bersama-bersama dengan L = 0 dan L = 0 membentuk berkas lingkaran dengan rumus : L + L = 0 Catatan : Kemungkinan-kemungkinan untuk titik-titik dasar :. Jika titik dasar itu nata maka semua anggota berkas berpotongan di titik itu. Anggota-berkas ang terkecil adalah lingkaran ang berdiameter garis hubung kedua titik dasar.. Jika kedua titik dasar berimpit tentulah semua anggota dari berkas juga melalui dua titik ang berimpit itu dengan kata lain semua anggota berkas ang bersinggung di titik dasar berimpit itu 3. Jika titik dasarna khaal (lingkaran L dan L tidak bersinggungan) tentu semua anggota berkas itu tidak berpotongan. Sifat berkas lingkaran : Semua anggota berkas selalu melalui titik dasar membentuk pusat dari anggotaanggota berkas terletak pada sentral. Contoh 3 : Tentukan persamaan sebuah berkas lingkaran dengan L = 0 dan L + 6 = 0, ang melalui titik (3,)! Penelesaian : A + A B B C C + 0 B : Turmudi blog:

16 45 Geometri Analitik Datar dan Ruang ( 4 6) (4 6) + 0 Karena melalui (3,), maka : 4 (4 6) (3) + () L = (4 + 6) = = = L = 0

17 Bab III : Lingkaran LATIHAN III. Tentukan persamaan lingkaran ang memenuhi sarat berikut : a) Berpusat di titik A(-,3) dan jari-jari! b) Melalui titik-titik P(,3) dan Q(3,) dan berpusat pada garis 3 =!. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran = 0! 3. Tentukan persamaan lingkaran melalui ketiga titik sudut segitiga ABC, dengan a) A(4,5), B(,-4), dan C(3,-)! b) A(,), B(,0), dan C(,-)! 4. Tentukan persamaan lingkaran ang berpusat di M(,6) mempunai persamaan garis singgung - =! 5. Tentukan harga m agar garis = m dan lingkaran = 0 a) Berpotongan di dua titik b) Bersinggungan c) Tidak berpotongan 6. Tentukan : a) Kuasa titik A(,3) terhadap lingkaran + = 0! b) Letak titik A(,3) terhadap lingkaran + =! 7. Tentukan sudut antara dua lingkaran = 0 dan = 0! 8. Tentukan persamaan sebuah garis ang melalui perpotongan lingkaran L + 4 = 0, dan L = 0 serta : a) Melalui titik (0,) b) Sejajar dengan garis = 0! c) Tegak lurus dengan garis = m! d) Berpusat pada garis + = 0! 9. Diketahui A(,3), B(0,-), dan C(3,0). Tentukanlah : a) Persamaan lingkaran luar ABC itu! b) Titik pusat lingkaran luar ABC itu! c) Jari-jari lingkaran tersebut! B : Turmudi blog:

BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN

BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN STANDAR KOMPETENSI: BAB 4 PERSAMAAN LINGKARAN Menusun persamaan lingkaran dan garis singgungna. KOMPETENSI DASAR Menusun persamaan lingkaran ang memenuhi persaratan ang ditentukan Menentukan persamaan

Lebih terperinci

1.1. GARIS BILANGAN = 2 2 = 4 = 3 P 1 B P 2-2

1.1. GARIS BILANGAN = 2 2 = 4 = 3 P 1 B P 2-2 ab I : Titik dan Garis.. GARIS ILANGAN Jika pada suatu garis g terdapat titik tetap O, lengkap dengan tanda-tanda serta satuanna maka tiap titik lain pada garis itu ditentukan oleh sebuah bilangan saja.

Lebih terperinci

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran

LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu

Lebih terperinci

SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd

SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1. Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd SUSUNAN KOORDINAT BAGIAN-1 Oleh: Fitria Khasanah, M. Pd Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas PGRI Yogyakarta 2010 Letak Suatu Titik pada Garis Lurus O g

Lebih terperinci

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak 4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,

Lebih terperinci

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung rusuk kubus = a volume = a³ panjang diagonal bidang = a 2 luas = 6a² panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume = π r² t luas = 2πrt Prisma

Lebih terperinci

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK 1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.

Lebih terperinci

Modul Matematika XI IPA Semester 1 Lingkaran

Modul Matematika XI IPA Semester 1 Lingkaran Modul Matematika XI IPA Semester 1 Lingkaran Oleh : Markus Yuniarto, S.Si Tahun Pelajaran 015 016 SMA Santa Angela Jl. Merdeka No. 4 Bandung Lingkaran XI IPA Sem 1/014-015 4 Peta Konsep Persamaan Lingkaran

Lebih terperinci

Geometri Ruang (Dimensi 3)

Geometri Ruang (Dimensi 3) Geometri Ruang (Dimensi 3) Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung volume = a³ luas = 6a² rusuk kubus = a panjang diagonal = a 2 panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume =

Lebih terperinci

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub

Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap

Lebih terperinci

Modul Matematika XI MIA Semester 1 Lingkaran

Modul Matematika XI MIA Semester 1 Lingkaran Lingkaran XI MIA 017/018 Modul Matematika XI MIA Semester 1 Lingkaran Oleh : Markus Yuniarto, S.Si 1 Tahun Pelajaran 017/018 SMA Santa Angela Jl. Merdeka No. Bandung Lingkaran XI MIA 017/018 Peta Konsep

Lebih terperinci

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada

(D) 2 x < 2 atau x > 2 (E) x > Kurva y = naik pada f =, maka fungsi f naik + 1 pada selang (A), 0 (D), 1. Jika ( ) (B) 0, (E) (C),,. Persamaan garis singgung kurva lurus + = 0 adalah (A) + = 0 (B) + = 0 (C) + + = 0 (D) + = 0 (E) + + = 0 = ang sejajar dengasn

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA 1 KEGIATAN BELAJAR 11 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 11 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar Pada

Lebih terperinci

BAB IV KONSTRUKSI GEOMETRIS

BAB IV KONSTRUKSI GEOMETRIS BAB IV KONSTRUKSI GEOMETRIS Panduan Menggambar Teknik Mesin 1 A. Membuat Segilima Beraturan Gambar 4.1 menunjukkan cara membuat suatu segi lima yang panjang salah satu sisinya sudah diketahui. Garis AB

Lebih terperinci

Geometri Analitik Bidang (Lingkaran)

Geometri Analitik Bidang (Lingkaran) 9 Geometi nalitik idang Lingkaan) li Mahmudi Juusan Pendidikan Matematika FMIP UNY) KOMPETENSI Kompetensi ang dihaapkan dikuasai mahasiswa setelah mempelajai ab ini adalah sebagai beikut. Menjelaskan pengetian

Lebih terperinci

AB = AB = ( ) 2 + ( ) 2

AB = AB = ( ) 2 + ( ) 2 Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA HUBUNGAN ANTAR GARIS Titik Tengah Sebuah Segmen Garis : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.10 Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus dan

Lebih terperinci

matematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran

matematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran KTSP & K-3 matematika K e l a s XI GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi garis singgung lingkaran..

Lebih terperinci

Garis Singgung Lingkaran

Garis Singgung Lingkaran 1 KEGIATAN BELAJAR 8 Garis Singgung Lingkaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran. Pernahkah Anda memperhatikan

Lebih terperinci

Persamaan Garis singgung Melalui titik (x 1, y 1 ) diluar lingkaran. Pusat Lingkaran (a, b) Persamaan Garis singgung. Jari Jari r.

Persamaan Garis singgung Melalui titik (x 1, y 1 ) diluar lingkaran. Pusat Lingkaran (a, b) Persamaan Garis singgung. Jari Jari r. PERSAMAAN LINGKARAN Pusat Lingkaran (0, 0) Melalui titik (x, y ) pada lingkaran Jika diketahui gradient m xx y mx r yy r m x y r Persamaan Garis singgung Melalui titik (x, y ) diluar lingkaran Jari Jari

Lebih terperinci

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Lebih terperinci

A. Pengertian Parabola. Menentukan panjang Latus Rectum DT = FS = DF = 2p Maka DE = 2.DF = 4p. B. Persamaan Parabola

A. Pengertian Parabola. Menentukan panjang Latus Rectum DT = FS = DF = 2p Maka DE = 2.DF = 4p. B. Persamaan Parabola htt://www.smkekalongan.sch.id Parabola A. Pengertian Parabola Parabola adalah temat kedudukan titik-titik ada geometri dimensi ang memiliki jarak ang sama terhada satu titik tertentu dan garis tertentu.

Lebih terperinci

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus

Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987

MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987 MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,

Lebih terperinci

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus

Lebih terperinci

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.

yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. 3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada

Lebih terperinci

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank 1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan

Lebih terperinci

PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN

PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN.` Definisi Suatu transformasi yang didasarkan pada fungsi dengan dinamakan transformasi kebalikan. Secara geometric, transformasi akan memetakan titik-titik yang mendekati

Lebih terperinci

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8

(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8 . Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4

PERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 PERSAMAAN GARIS PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep garis, dan persamaan garis lurus yang dinyatakan ke dalam bentuk implisit maupun bentuk

Lebih terperinci

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30 Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 005 Nomor Soal: -30. Garis 5y 60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran

Lebih terperinci

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}

f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R} 1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1

Lebih terperinci

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus

Bab. Persamaan Garis Lurus. Pengertian Persamaan Garis Lurus Gradien Menentukan Persamaan Garis lurus Bab Sumb er: Scien ce Enclopedia, 997 Persamaan Garis Lurus Dalam suatu perlombaan balap sepeda, seorang pembalap mengauh sepedana dengan kecepatan tetap. Setiap 5 detik, pembalap tersebut menempuh jarak

Lebih terperinci

Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat

Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat La Arapu (Lektor pada Program Pendidikan Matematika FKIP Universitas Haluoleo)

Lebih terperinci

5.1 KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR

5.1 KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR KONSTRUKSI GEOMETRI Unsur-unsur geometri sering digunakan seorang juru gambar atau ahli gambar teknik untuk menggambar konstruksi mesin. Unsurunsur goemetri yang dimaksudkan ini adalah busur-busur, lingkaran,

Lebih terperinci

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA

MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA 1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.

Lebih terperinci

KESETIMBANGAN MOMEN GAYA

KESETIMBANGAN MOMEN GAYA 43 MDUL PERTEMUAN KE 5 MATA KULIAH : ( sks) MATERI KULIAH: Momen gaa, sarat kedua kesetimbangan, resultan gaa sejajar, pusat berat, kopel. PKK BAHASAN: KESETIMBANGAN MMEN GAYA 5. PENGERTIAN MMEN GAYA Besar

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Titik, Garis, dan Bidang Pada geometri, tepatnya pada sistem aksioma, terdapat istilah tak terdefinisi. Istilah tak terdefinisi adalah istilah dasar yang digunakan dalam membangun

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS LURUS

PERSAMAAN GARIS LURUS 1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan

Lebih terperinci

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS 1 KEGIATAN BELAJAR 13 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 13 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips, Titik Singung dan Garis Pada kegiatan

Lebih terperinci

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah

Lebih terperinci

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI Segitiga 1. Beberapa sifat yang berlaku pada segitiga adalah : Jumlah sudut-sudut sembarang segitiga adalah 180 0 Pada segitiga ABC berlaku AC = BC B = A

Lebih terperinci

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979

Matematika Proyek Perintis I Tahun 1979 Matematika Proyek Perintis I Tahun 979 MA-79-0 Irisan himpunan : A = { x x < } dan himpunan B = { x < x < 8 } ialah himpunan A. { x x < 8 } { x x < } { x < x < 8 } { x < x < } { x < x } MA-79-0 Apabila

Lebih terperinci

Pertemuan 13 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

Pertemuan 13 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL Pertemuan GAIS SINGGUNG DAN GAIS NOMAL Persamaan Garis Singgung melalui titik (, ) - m ( - ) Persamaan Garis Normal melalui titik (, ) - ( - ) m Panjang Subtangens Y m Panjang subnormal m Y Pemakaian Diferensial

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor

Lebih terperinci

Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY SISTEM-SISTEM KOORDINAT Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Sistem Koordinat Kartesian Dalam sistem koordinat Kartesian, terdapat tiga sumbu koordinat yaitu sumbu x, y, dan z. Suatu titik

Lebih terperinci

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

Soal Babak Penyisihan OMITS 2008

Soal Babak Penyisihan OMITS 2008 Soal Babak Penyisihan OMITS 008. Banyak pembagi positif dari.50.000 adalah..... a. 05 b. 0 c. 75 d. 0 e.5. Jari-jari masing-masing lingkaran adalah 5 cm. Tentukan panjang busur ketiga lingkaran tersebut.....

Lebih terperinci

GARIS SINGGUNG LINGKARAN

GARIS SINGGUNG LINGKARAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN POKOK BAHASAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Oleh: ZAINUL GUFRON SYAHRONI NIM. 070210191048 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS

Lebih terperinci

FIsika KTSP & K-13 KESEIMBANGAN BENDA TEGAR. K e l a s. A. Syarat Keseimbangan Benda Tegar

FIsika KTSP & K-13 KESEIMBANGAN BENDA TEGAR. K e l a s. A. Syarat Keseimbangan Benda Tegar KTSP & K-1 FIsika K e l a s XI KESEIMNGN END TEG Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami sarat keseimbangan benda tegar.. Memahami macam-macam

Lebih terperinci

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)

PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan

Lebih terperinci

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,

Lebih terperinci

Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP

Ringkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP Lingkaran & Garis Singgung A. Unsur-Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut titik pusat lingkaran. Lambang lingkaran dengan

Lebih terperinci

4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) }

4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) } 1. Diketahui himpunan P = ( bilangan prima kurang dari 13 ) Banyak himpunan bagian dari P adalah... 5 25 10 32 P = {Bilangan prima kurang dari 13} = {2, 3, 5, 7, 11} n(p) = 5 2. Dari diagram Venn di bawah,

Lebih terperinci

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian :

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian : 1. Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm C. 26 cm B. 52 cm D. 13 cm 2. Gambar disamping adalah persegi panjang. Salah satu sifat persegi panjang adalah

Lebih terperinci

BAB XVII. PROGRAM LINEAR

BAB XVII. PROGRAM LINEAR BAB XVII. PROGRAM LINEAR Bukti : + a + b a.b b a Pengertian Program Linear : Program Linear adalah bagian ilmu matematika terapan ang digunakan untuk memecahkan masalah optimasi (pemaksimalan atau peminimalan

Lebih terperinci

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576

Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576 Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.

Lebih terperinci

Solusi Pengayaan Matematika

Solusi Pengayaan Matematika Solusi Pengaaan Matematika Edisi Januari Pekan Ke-, 006 Nomor Soal: 1-0 1. Melalui (0, 0) buatlah garis-garis ang memotong lingkaran 0 pada dua titik. Carilah tempat kedudukan pertengahan ke dua titik.

Lebih terperinci

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI

BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan

Lebih terperinci

MENGGAMBAR TEKNIK I. Jl. Letjend Suprapto No.73 Kebumen - Jawa Tengah 54311

MENGGAMBAR TEKNIK I. Jl. Letjend Suprapto No.73 Kebumen - Jawa Tengah 54311 Modul Praktek MENGGAMBAR TEKNIK I Bambang Wijayanto, A.Md., S.T. Jl. Letjend Suprapto No.73 Kebumen - Jawa Tengah 54311 (0287) 381 116, 383 800 www.politeknik-kebumen.ac.id Email : politeknik.online@yahoo.com

Lebih terperinci

Modul 10. Fungsi Trigonometri

Modul 10. Fungsi Trigonometri Modul 10 Fungsi Trigonometri 10.1. Fungsi Gonometri Sudut Lancip A c a b 0 A Sudut adalah sudut lancip dengan titik sudut 0, sedang titik A adalah salah satu titik pada kaki sudut tersebut. Jika 0A diproeksikan

Lebih terperinci

F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN

F u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN Modul 3 F u n g s i Drs. Wahu Widaat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan

Lebih terperinci

PENGAYAAN MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SD GEOMETRI. Oleh : Himmawati P.L

PENGAYAAN MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SD GEOMETRI. Oleh : Himmawati P.L PENGAYAAN MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SD GEOMETRI Oleh : Himmawati P.L Soal matematika yang diujikan di sekolah-sekolah maupun di Ujian Nasional pada umumnya dapat diselesaikan dengan cara-cara biasa.

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007

Lebih terperinci

Matematika EBTANAS Tahun 1991

Matematika EBTANAS Tahun 1991 Matematika EBTANAS Tahun 99 EBT-SMA-9-0 Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 8 x x x = 4 x = x = x = x = EBT-SMA-9-0 Salah satu akar persamaan kuadrat mx 3x + = 0 dua kali akar yang lain, maka nilai

Lebih terperinci

Pembelajaran Lingkaran SMA dengan Geometri Analitik

Pembelajaran Lingkaran SMA dengan Geometri Analitik PAKET FASILITASI PEMBERDAYAAN KKG/MGMP MATEMATIKA Pembelajaran Lingkaran SMA dengan Geometri Analitik Penulis Drs. M. Danuri, M.Pd. Penilai Drs. Sukardjono, M.Pd. Editor Titik Sutanti, S.Pd.Si. Ilustrator

Lebih terperinci

1. Diketahui suatu polynomial 15. A B 3C D. Berapakah koefisien dari. A B C D Jawab :

1. Diketahui suatu polynomial 15. A B 3C D. Berapakah koefisien dari. A B C D Jawab : 3 2 1. Diketahui suatu polynomial 15 A B 3C D. Berapakah koefisien dari 5 15 6 2 2 A B C D Jawab :? 2. Diberikan polinomial f(x) = x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + + a n-1 x + a n dengan koefisien a 1, a

Lebih terperinci

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN

Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai

Lebih terperinci

Bagian 7 Koordinat Kutub

Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub Bagian 7 Koordinat Kutub mempelajari bagaimana teknik integrasi yang telah Anda pelajari dalam bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan soal yang berhubungan dengan

Lebih terperinci

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar

Bab I. Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pengantar Bab I Fungsi Dua Peubah atau Lebih Pengantar Seperti halna dengan fungsi satu peubah kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.fungsi dengan peubah

Lebih terperinci

Bab 3 KONSTRUKSI GEOMETRIS 3.1. KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR.

Bab 3 KONSTRUKSI GEOMETRIS 3.1. KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR. Bab 3 KONSTRUKSI GEOMETRIS Materi : Konstruksi-konstruksi dasar. Garis-garis lengkung. Gambar proyeksi. Gambar pandangan tunggal. Proyeksi ortogonal (gambar pandangan majemuk). 3.1. KONSTRUKSI-KONSTRUKSI

Lebih terperinci

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak

SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI. Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo. Abstrak SKETSA GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI = asin k ± b cosp Teguh Wibowo Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiah Purworejo Abstrak Grafik fungsi trigonometri = a sin k + b cos p dapat dilukis

Lebih terperinci

C. 9 orang B. 7 orang

C. 9 orang B. 7 orang 1. Dari 42 siswa kelas IA, 24 siswa mengikuti ekstra kurikuler pramuka, 17 siswa mengikuti ekstrakurikuler PMR, dan 8 siswa tidak mengikuti kedua ekstrakurikuler tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua

Lebih terperinci

KEGIATAN BELAJAR SISWA

KEGIATAN BELAJAR SISWA KEGIATAN BELAJAR SISWA Bidang studi : Matematika Satuan Pendidikan: SLTP Kelas: 3 (tiga) Caturwulan: 1 (satu) Pokok Bahasan: Transformasi Subpokok Bahasan: Refleksi Waktu: 150 Menit Endang Mulyana 2003

Lebih terperinci

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu

Lebih terperinci

Modul 3 SIMETRI, PERSEGIPANJANG, PERSEGI, DAN KESEJAJARAN GARIS

Modul 3 SIMETRI, PERSEGIPANJANG, PERSEGI, DAN KESEJAJARAN GARIS Modul 3 SIMETRI, PERSEGIPANJANG, PERSEGI, DAN KESEJAJARAN GARIS A. Pengantar Materi yang akan di bahas pada kegiatan pembelajaran ini terdiri atas pengertian simetri lipat, simetri putar, setengah putaran,

Lebih terperinci

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA

Matematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA

Lebih terperinci

A. Menentukan Letak Titik

A. Menentukan Letak Titik Apa yang akan Anda Pelajari? Koordinat Cartesius Mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus Menentukan persamaan garis lurus Menggambar grafik garis lurus Menentukan Gradien, Persamaan garis

Lebih terperinci

PEMBELAJARAN IRISAN KERUCUT: LINGKARAN DI SMA

PEMBELAJARAN IRISAN KERUCUT: LINGKARAN DI SMA PAKET PEMBINAAN PENATARAN Drs. M. Danuri, M.Pd. PEMBELAJARAN IRISAN KERUCUT: LINGKARAN DI SMA 45 O 1 3 4 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN

Lebih terperinci

19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =

19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a = 19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =

Lebih terperinci

19. TRANSFORMASI A. Translasi (Pergeseran) B. Refleksi (Pencerminan) C. Rotasi (Perputaran)

19. TRANSFORMASI A. Translasi (Pergeseran) B. Refleksi (Pencerminan) C. Rotasi (Perputaran) 9. TRANSFORMASI A. Translasi (Pergeseran) ; T = b a b a atau b a B. Refleksi (Pencerminan). Bila M matriks refleksi berordo, maka: M atau M. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu, sumbu, garis =, dan

Lebih terperinci

E. Grafik Fungsi Kuadrat

E. Grafik Fungsi Kuadrat /9/05 Jurnal Materi Umum Persamaan Kuadrat Peta Konsep Fungsi Kuadrat Peta Konsep Daftar Hadir MateriE SoalLatihan5 PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester E. Grafik Fungsi Kuadrat Menelesaikan

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait

Lebih terperinci

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS 1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)

Lebih terperinci

Bab 1. Irisan Kerucut

Bab 1. Irisan Kerucut Tahun Ajaran 01 01-013/Genap Bab 1. Irisan Kerucut e=0 e 1 A. Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) Pada segitiga siku-siku, siku, menurut dalil phytagoras berlaku : c =

Lebih terperinci

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus

Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat dalam 2 Dimensi Ruang Mengingat kembali sebelum belajar kalkulus Sistem Koordinat pada Bidang Datar Disusun dengan pasangan angka urut (ordered pair) (a,b) : a dan b berturut- turut adalah

Lebih terperinci

Sumber:

Sumber: Transformasi angun Datar Geometri transformasi adalah teori ang menunjukkan bagaimana bangun-bangun berubah kedudukan dan ukuranna menurut aturan tertentu. Contoh transformasi matematis ang paling umum

Lebih terperinci

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM

Matematika Dasar NILAI EKSTRIM NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien

Lebih terperinci

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a

2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus

Lebih terperinci

Bab III. 3.1.1 Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku. Penghubung berputar terhadap satu titik tetap

Bab III. 3.1.1 Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku. Penghubung berputar terhadap satu titik tetap Diktat KINEMTIK leh : Ir. Erwin Sulito - Ir. Endi Sutikno ab III KECEPTN RELTIF DN PERCEPTN RELTIF 3.1 KECEPTN RELTIF 3.1.1 Kecepatan relatif dua buah titik pada satu penghubung kaku Penghubung berputar

Lebih terperinci

Bola dan bidang Rata

Bola dan bidang Rata 1 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan

Lebih terperinci

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E. 1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik

Lebih terperinci

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat] 1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3

Lebih terperinci

Modul Matrikulasi, SMA Labschool Kebayoran 2017 Page 1

Modul Matrikulasi, SMA Labschool Kebayoran 2017 Page 1 Modul : Grafik Fungsi Kuadrat Teori: Bagian bagian grafik fungsi kuadrat = a + b + c, a 0 Grafik fungsi kuadrat Titik ekstrim fungsi kuadrat = f () = a + b + c D = 0 Memiliki dua akar kembar Grafik fungsi

Lebih terperinci

Matematika ITB Tahun 1975

Matematika ITB Tahun 1975 Matematika ITB Taun 975 ITB-75-0 + 5 6 tidak tau ITB-75-0 Nilai-nilai yang memenui ketidaksamaan kuadrat 5 7 0 atau atau 0 < ITB-75-0 Persamaan garis yang melalui A(,) dan tegak lurus garis + y = 0 + y

Lebih terperinci

52 Geometri Analitik Datar dan Ruang 4.1. DEFINISI PARABOLA

52 Geometri Analitik Datar dan Ruang 4.1. DEFINISI PARABOLA 5 Geetri Analitik Datar dan Ruang 4.. DEFINISI PARABOLA Parabla adalah tepat kedudukan titik (hipunan titik) ang berjarak saa terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu. Titik tertentu itu disebut Fkus

Lebih terperinci

6.1. Busur Lapangan. Program D3/D4 Teknik Sipil FTSP ITS Mata Kuliah: Ilmu Ukur Tanah

6.1. Busur Lapangan. Program D3/D4 Teknik Sipil FTSP ITS Mata Kuliah: Ilmu Ukur Tanah 6.1. Busur Lapangan Program D3/D4 Teknik Sipil FTSP ITS Mata Kuliah: Ilmu Ukur Tanah Busur lingkaran/lapangan bertujuan menghubungkan dua arah jalan/ jalan kereta api/ saluran baru yang berpotongan, agar

Lebih terperinci

Persamaan Lingkaran. Pusat Jari-jari Pusat. Jari-jari Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran. Pusat Jari-jari Pusat. Jari-jari Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran 2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran () () Bentuk Umum 0 dibagi (2) Pusat Jari-jari Pusat (,), Jumlah kuadrat pusat dikurangi Jari-jari

Lebih terperinci

Modul Matematika 2012

Modul Matematika 2012 Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar

Lebih terperinci