Bab 3 Beberapa Skema Pembagian Rahasia

Transkripsi

1 9 Ba 3 Beeraa Skema Pemagan Rahasa Skema emagan rahasa adalah meode unuk memag rahasa K d anara anggoaanggoa suau hmunan arsan P {P,P, P n } sedemkan sehngga ka arsan ada suhmunan A P yang derolehkan mengeahu rahasa, mengumulkan ersama oongan nformas mereka, maka mereka daa merekonsruks rahasa K. Sedangkan ka arsan ada hmunan B P, yang dak derolehkan mengeahu rahasa, mengumulkan ersama oongan nformas mereka, maka mereka dak daa merekonsruks rahasa K. Kunc K dlh oleh seorang arsan khusus D yang dseu dealer dan asa dasumskan ahwa D P. Dealer memag rahasa K dengan memerkan oongan nformas yang dseu share keada sea arsan. Srukur akses Γ adalah keluarga dar semua suhmunan arsan yang daa merekonsruks rahasa, aau Γ {A A P, A adalah hmunan yang derolehkan mengeahu rahasa}. Hmunan anggoa srukur akses dseu hmunan yang der kuasa, sedangkan yang ukan anggoa srukur akses dseu hmunan yang dak der kuasa. Skema emagan rahasa dkaakan semurna ka unuk sea arsan dalam B P, d mana B adalah hmunan yang dak der kuasa, mengumulkan ersama share mereka, maka mereka dak akan daa menemukan nformas aaun mengena rahasa.

2 0 Msalkan dan w langan ula osf, w. Skema (,w)-hreshold adalah meode memag kunc d anara sau hmunan arsan P dengan kardnalas w, sedemkan sehngga sea suhmunan arsan A P, dengan A, arsan dalam hmunan A erseu daa merekonsruks kunc, sedangkan ka A < maka arsan erseu dak daa merekonsruks kunc. Dalam a n akan dahas secara rnc mengena skema emagan rahasa Shamr, skema emagan rahasa dengan erseg Lan, skema emagan rahasa dengan graf oal ss aa, dan skema emagan rahasa dengan ruang vekor Brckell. 3. Skema Pemagan Rahasa Shamr Skema n derkenalkan ada ahun 979 oleh Ad Shamr. Skema emagan rahasa Shamr n menggunakan olnom seaga model[7]. Share yang dgunakan ada skema n adalah k-k ada olnom, yang dagkan keada seluruh arsan dalam ssem. Polnom erderaa yang dgunakan dalam skema n seelumnya denukan. Kemudan, k-k ada olnom ddsruskan keada seluruh arsan. Jumlah arsan yang duuhkan unuk merekonsruks kunc adalah seanyak, sehngga ka -arsan aau leh dkumulkan, akan deroleh kunc, dan ka kurang dar arsan dkumulkan, maka kunc dak akan deroleh. Karena u, skema emagan rahasa Shamr meruakan skema (,w)-hreshold. Msalkan suau langan rma dengan w. Msalkan ula K adalah hmunan semua kunc yang mungkn dan S adalah hmunan dar semua share. Unuk memag kunc menad eeraa share, dealer secara rahasa memlh elemen laangan, yau a,, a, dan kemudan elemen-elemen erseu dgunakan unuk mengkonsruks olnom acak a() erderaa. Polnom yang denuk adalah d mana a ( ) a0 a a a a(0) a0 K yang meruakan kunc. Kemudan, share akan dagkan keada seluruh arsan sehngga sea arsan akan mendaakan k (,y ) ada

3 olnom. adalah nla yang dlh secara acak, dengan, unuk sea, dan y a( ), unuk w. Unuk merekonsruks kunc, arsan akan mengumulkan share (,y ), dengan,..., dan,..., {,...,w} sehngga deroleh ssem ersamaan lner (dalam ) dengan varael 0,,..., seaga erku : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y () Ssem ersamaan lner d aas daa dulskan dalam enuk marks seaga erku : y y y 0 Msalkan A Marks A dseu Marks Vandermode. Formula unuk mencar deermnan A adalah de A < k k mod ) ( Karena sea nla ereda, maka ) ( k dak akan ernah ernla nol. Karena ( ) k dak ernla nol dalam laangan, maka de A 0. Hal n memlk ar ahwa ssem ersamaan lner () memlk solus unggal aas laangan, sehngga sea kelomok arsan daa merekonsruks kunc (a 0). Selan meode merekonsruks kunc d aas, skema Shamr uga memlk ssem alernaf dalam enyelesaan ssem ersamaan lner aas laangan, yau dengan

4 menggunakan Formula Inerolas Lagrange unuk olnom a(). Formulanya adalah seaga erku : a ( ) y k, k k k Karena K a(0), maka K y k, k k k Defnskan c k, k k k, maka akan ddaakan ahwa formula unuk menghung kunc adalah K c y. Skema emagan rahasa Shamr daa dlusraskan dalam conoh erku :. Fase dsrus share Msalkan 3, 3, w 5, dan koordna adalah. Polnom yang dlh D adalah a() a 0 a a aas laangan a. Polnom yang deroleh adalah dengan K 7 ( a0 K 7), a 0, dan a() 7 0 Jumlah arsan dalam ssem adalah 5 orang (w 5), yau P, P, P 3, P 4, dan P 5. Msalkan, maka,, 3 3, 4 4, dan 5 5, sehngga deroleh nla y seaga erku : y 70. (mod 3) 9 mod 3 6 y (mod 3) 45 mod 3 y (mod 3) 65 mod 3 9 y (mod 3) 89 mod 3 0 y (mod 3) 7 mod 3 Share yang akan derkan keada arsan P, P, P 3, P 4, dan P 5 secara eruruan adalah (,6), (,), (3,9), (4,0) dan (5,).

5 3. Fase rekonsruks kunc Seelumnya dkeahu 3. Ssem memlk 5 arsan, yau P,P,P 3,P 4,P 5, yang memlk share (,6), (,), (3,9), (4,0), dan (5,). Karena 3 maka ka sedknya 3 arsan menyaukan share mereka, maka mereka akan daa merekonsruks kunc. Msalkan arsan P, P 4, dan P 5 menyaukan share mereka, maka dhung a(), a(4), dan a(5) erhada a() a 0 a a (mod 3), sehngga menghaslkan ssem ersamaan lner seaga erku: a 0 a a 6 a 0 4a 6a 0 a 0 5a a Dar ssem ersamaan lner d aas deroleh solus unggal a 0 7, a 0, dan a. Sehngga deroleh kunc K 7. Selan u, rekonsruks daa dlakukan dengan Formula Inerolas Lagrange seaga erku. Perama, hung nla c, c 4, dan c c mod 3 )( ) ( c 4 mod 3 )( ) ( c 5 mod 3 )( ) ( Karena K c y, maka deroleh nla K adalah K (7.6)(6.0)(.) mod Kelehan dar Skema Shamr Dar enelasan d aas, deroleh eeraa kelehan dar skema Shamr seaga erku: Skema Shamr adalah semurna. Msalkan seanyak arsan daa merekonsruks kunc K, dan B adalah hmunan yang dak der kuasa dengan anyaknya arsan (hmunan

6 4 yang dak der kuasa dengan kardnalas maksmal). Dengan mensususkan nla (, y ),,..., - ada olnom yang dlh oleh dealer akan deroleh ersamaan lner, sehngga deroleh ssem ersamaan lner erku: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y Karena ada ssem ersamaaan lner d aas erdaa ersamaan lner dengan varael yau 0,,..., -, maka ssem ersamaan d aas dak memlk solus unggal, sehngga kunc dak akan deroleh. Banyaknya arsan daa dak eraas. Sea olnom memlk ak hngga anyaknya k. Karena anyaknya k ada olnom mewakl anyaknya share yang daa ddsruskan oleh dealer, maka umlah arsan daa dak eraas. Perhungan menggunakan komuas yang sederhana. Algorma yang dgunakan unuk merekonsruks kunc adalah Elmnas Gauss yang dmodfkas agar daa derhungkan aas laangan. Banyaknya arsan daa damah aau dkurang ana memengaruh share arsan yang lan. Beeraa nla share daa damahkan aau dhlangkan ana memengaruh nla share yang lan. In daa erad ada saa ada arsan yang keluar aau ada arsan aru. Namun demkan, anyaknya arsan dalam ssem sedknya seanyak. Jka leh dar arsan memerkan share, rahasa ea daa dkeahu. Karena dalam mencar solus ssem ersamaan lner dengan varael derlukan sedknya ersamaan lner, akanya ka erdaa leh dar ersamaan lner, ssem ersamaan lner dengan varael erseu ea memlk solus unggal. Banyaknya hmunan yang der kuasa cuku esar. Msalkan A { P,..., P k }, k w adalah hmunan yang der kuasa unuk merekonsruks kunc. Karena share yang erdaa ada sea arsan mewakl k ada olnom dan sea share ernla eda unuk sea arsan, sehngga

7 5 unuk sea P,,..., k dalam hmunan A daa dgan dengan arsan lan (selan dar arsan yang erdaa ada hmunan A ) yang erdaa dalam w w ssem. Dengan demkan, anyaknya hmunan yang der kuasa adalah. k k Nla n akan semakn esar unuk w yang esar. Nla share daa dgan dengan mudah ana menggan nla kunc. Unuk menggan share ana menggan kunc, yang duuhkan hanya olnom aru dengan deraa yang sama, dan a 0 K. 3.. Kekurangan dar Skema Shamr Srukur akses dak daa denukan sendr. Srukur akses dar skema n adalah sea suhmunan arsan yang erdr dar arsan aau leh. Jka seorang arsan dalam ssem mendaakan share, maka a daa ergaung dalam sea srukur akses yang erumlah arsan aau leh, sehngga dalam skema n dak daa denukan sendr srukur akses karena sudah erenu. 3. Skema Pemagan Rahasa dengan Menggunakan Perseg Lan Skema emagan rahasa erdasarkan erseg Lan derkenalkan oleh Cooer, Seerry, dan Donovan ada ahun 994[5]. Kunc yang dgunakan ada skema emagan rahasa n adalah erseg Lan L yang dlh oleh dealer dan share-nya adalah enr-enr hmunan krs dar erseg Lan L yang elah dlh. Taha aha dalam mendsruskan share adalah seaga erku: Perseg Lan L erorde n dlh unuk menad kunc dan drahasakan. Benuk hmunan S yang meruakan gaungan dar eraga hmunan krs L. (, k, e) S dagkan keada sea arsan d A, A Γ.

8 6 Jka seluruh arsan d A menyaukan share mereka, maka akan deroleh suau hmunan krs. Dengan melengka enr-enr kosong ada hmunan krs erseu, akan deroleh erseg Lan L yang menad kunc. Skema emagan rahasa dengan menggunakan erseg Lan daa dlusraskan seaga erku:. Fase dsrus share Msalkan L adalah Perseg Lan orde 3, L dan L hmunan krs. Gamar 3. Perseg Lan L dan erseg Lan arsal L dan L Msalkan erdaa 3 arsan dalam ssem yau P {P, P, P 3 }, dan denukan Γ{{P,P },{P,P 3 }}. Dar L dan L deroleh S {(,,),(,,3),(3,3,)}. Sea enr ada hmunan krs S derkan keada sea arsan dalam ssem sesua Γ, sehngga share yang derkan unuk arsan P, P, P 3 secara eruruan adalah s {(,,)}, s {(,,3)}, dan s 3 {(3,3,)}. Jka {P,P } aau {P,P 3 } mengumulkan share mereka, maka mereka akan daa merekonsruks kunc.. Fase rekonsruks kunc Dkeahu n 3, Γ {{P,P },{P,P 3 }}, dan share s {(,,)}, s {(,,3)}, s 3 {(3,3,)}. Jka P dan P mengumulkan share mereka, maka s dan s daa dkonverskan menad erseg Lan arsal orde 3. D akhr, akan deroleh erseg Lan L yang dlh seaga kunc.

9 7 Gamar erku adalah aha-aha dalam melengka hmunan krs menad erseg Lan L. Gamar 3. Tahaan melengka hmunan krs dar erseg Lan L Jka share yang ddsruskan erasal dar erseg Lan arsal yang ukan meruakan hmunan krs dar L, maka akan deroleh nformas erseg Lan yang dak unggal, seer erlha ada conoh erku n. Msalkan Perseg Lan L erorde 3 dlh seaga kunc dan B ukan hmunan krs. Gamar 3.3 Perseg Lan L dan erseg Lan arsal B Msalkan erdaa dua arsan dalam ssem dengan A {P,P }, Γ{A}. Dar B deroleh share s {(,,)} dan s {(,,3)} yang derkan keada P dan P. Jka share erseu dkonverskan kemal ada erseg lan orde 3, maka akan deroleh kemal erseg lan arsal B. Karena B ukan hmunan krs, maka akan deroleh leh dar sau erseg Lan. Gamar erku n adalah aha-aha melengka erseg lan arsal B menad suau erseg Lan dengan enr-enr yang lengka.

10 8 Gamar 3.4 Dua erseg Lan yang denuk dar sau erseg Lan arsal yang sama Dar gamar d aas, daa erlha ahwa akan deroleh dua erseg Lan, dengan salah saunya adalah erseg Lan L yang dlh seaga kunc. 3.. Kelehan dar Skema Pemagan Rahasa dengan Perseg Lan Dar enelasan d aas, deroleh kelehan dar skema dengan menggunakan erseg Lan adalah : Jka leh dar A arsan menyaukan share mereka, maka kunc akan ea deroleh. A adalah anyaknya arsan ada hmunan kuasa ke- yang derlukan unuk merekonsruks kunc, dengan A adalah hmunan yang der kuasa ke-. Karena dengan A arsan daa deroleh hmunan krs, maka ka erdaa leh dar A arsan memerkan share, maka hmunan krs yang derlukan unuk merekonsruks kunc akan ea deroleh, sehngga kunc daa drekonsruks kemal. Srukur akses daa denukan. Pada conoh d aas, srukur akses harus denukan leh dahulu seelum memag share keada semua arsan dalam ssem, sehngga ada skema n srukur akses daa denukan sendr.

11 9 3.. Kekurangan dar Skema Pemagan Rahasa dengan Perseg Lan Dar enelasan d aas, deroleh eeraa kekurangan dar skema dengan erseg Lan adalah : Skema emagan rahasa dengan menggunakan erseg Lan dak semurna. Share yang derkan keada arsan adalah nformas yang ea mengena enr dar erseg Lan, sehngga ada eluang ag arsan yang ukan meruakan hmunan kuasa unuk mencoa mendaakan rahasa. Komuas unuk mendaakan hmunan krs dan dalam melengka erseg Lan cuku komleks. Sama saa n elum dkeahu suau algorma yang daa menenukan hmunan krs dar suau erseg Lan secara efsen. Cara yang anyak dgunakan unuk menenukan hmunan krs adalah dengan menghaus sau ersau enr erseg Lan yang lengka secara acak, d mana ka sea enr yang dhaus dlengka kemal, akan deroleh erseg Lan awal. Namun enr dak daa dhaus ka ada saa dlengka kemal, deroleh leh dar sau erseg Lan. Hal n dlakukan sama dak ada lag enr yang sa dhaus. Dengan demkan, erdaa dua algorma yang dgunakan, yau algorma unuk menghaus enr dan algorma unuk melengka kemal enr erseg Lan. Karena algorma unuk menghaus enr n memua engulangan yang harus dlakukan ada sea enr erseg Lan, akan duuhkan komuas yang komleks unuk nla n yang esar. D samng u, algorma yang selama n daka unuk melengka enr kosong ada erseg Lan uga cuku komleks. Gamar 3.5 Perseg Lan arsal P dan alernaf enr dalam melengka P

12 0 Algorma n akan memaca sea enr kosong ada erseg Lan dan memerkan nla yang mungkn ada enr kosong erseu dengan melha nla yang sudah ercanum ada ars dan kolomnya (lha Gamar 3.5). Algorma lalu memaca nla alernaf ada enr yang hanya memlk sau nla (seer ada ars-, kolom- dan ars-, kolom- ada Gamar 3.5) unuk kemudan meneakan nla erseu ada enr yang ersesuaan. Algorma kemudan akan menghaus nla erseu ka nla erseu muncul ada enr lan d kolom aau ars yang sama. Proses n dlakukan erulang-ulang sehngga enr erseg Lan menad lengka. Jka dak ada enr kosong yang hanya memlk sau nla alernaf, maka erseg Lan dak akan daa dlengka. Selan u, komuas akan menad semakn komleks unuk nla n yang esar. Banyaknya arsan eraas. Karena umlah hmunan krs yang erdaa ada suau erseg Lan eraas, maka anyaknya arsan dalam ssem uga eraas. Keamanan unuk skema n ddasarkan ada anyaknya erseg Lan yang mungkn erenuk dar komonen erseg Lan arsal yang denuk oleh sekelomok arsan yang ukan anggoa hmunan yang der kuasa. Unuk n, derkrakan erdaa komnas yang daa dhaslkan, sehngga unuk n, mash dmungknkan adanya serangan unuk daa mengeahu kunc [9]. 3.3 Skema Pemagan Rahasa dengan Menggunakan Graf Toal Ss Aa Pada skema emagan rahasa n, kunc yang dlh oleh dealer adalah graf yang memlk PTSA dan share-nya adalah sea anggoa hmunan krs dar graf erseu. Dalam sua n, akan dahas skema emagan rahasa dengan menggunakan graf S m, yau graf nang dengan m-daun. Unuk memudahkan emahasan ada aha dsrus share, graf der nomor oss. Graf n selanunya akan dseu seaga graf oss. Penomoran oss ada graf nang dseragamkan dengan cara seaga erku :

13 Perama, er nomor oss unuk sea k {ν,ν,...,ν m } dengan langan {,,3,...,m}. Poss dleakkan ada k usa, yau k yang ereangga dengan sea k lannya. Kemudan, lakukan enomoran ss, seaga erku: Ss (,) der nomor oss m Ss (,3) der nomor oss m3 Ss (,4) der nomor oss m4 Ss (, m) der nomor oss m Conoh: Gamar 3.6 Graf oss dar S 4 Walls dkk [0] menunukkan ahwa dalam sea elaelan oal ss aa ada graf nang S m, k usa akan mendaakan lael, m, aau m. Jka graf nang mendaakan lael ada k usa, maka nla k m4, sedangkan ka mendaakan lael m ada k usa, maka k 3m3, dan ka k usa mendaakan lael m, maka nla k 4m. Teorema 3. [3] Msalkan λ adalah PTSA ada graf G. Jka r adalah anyaknya daun ada graf G maka ukuran dar sea hmunan krs λ adalah leh esar sama dengan r. Leh auh, ka adalah lael dar daun dan y adalah lael dar ss yang ereangga dengan daun erseu maka sea hmunan krs dalam λ harus erdr dar aau y, ukan keduanya. Teorema 3. [3] Msalkan λ adalah elaelan oal ss aa dar graf nang S m, maka ukuran ada semua hmunan krs dar λ adalah m aau m.

14 Ukuran ada hmunan krs adalah anyaknya anggoa asangan eruru oss dan lael ada hmunan krs. Taha-aha dalam mendsruskan share adalah seaga erku: Graf nang dengan m-daun dlh oleh dealer. Graf nang erseu der nomor oss dan lael sehngga memenuh PTSA. Benuk hmunan Q λ (S m ) yang meruakan gaungan dar eraga hmunan krs. Sea anggoa dar hmunan Q λ (S m ) meruakan share dan dagkan keada sea arsan d A, A Γ. Jka seluruh arsan d A mengumulkan share mereka, maka akan deroleh hmunan krs, dan dengan melengka lael-lael kosong ada graf akan deroleh graf TSA yang dlh seaga kunc. Skema emagan rahasa dengan graf TSA daa dlusraskan dalam conoh erku :. Fase dsrus share Msalkan graf G adalah graf nang S 3 dengan V{ν,ν,ν 3,ν 4 }. Sea ss dan k ada G der nomor oss, kemudan der lael sehngga sea ss memlk edge sum yang sama. Graf TSA n dlh menad kunc. Hmunan krs dar graf n dcar dan dlh sau hmunan krs. Berku n salah sau conoh lael dan hmunan krs yang dlh. Poss Lael Hmunan krs Gamar 3.7 Graf oss dan graf Toal Ss Aa esera hmunan krsnya

15 3 Dar hmunan krs ada gamar d aas deroleh Q λ (S 3 ) {(6,3),(,7),(4,5)}. Kemudan, hmunan Q λ (S 3 ){(6,3),(,7),(4,5)} dag menad eeraa share, yau s {(6,3)}, s {(,7)}, dan s 3 {(4,5)}. Msalkan A {P,P,P 3 }, dengan A Γ. Share dagkan keada sea anggoa hmunan A sehngga arsan P mendaakan share s {(6,3)}, arsan P mendaakan share s {(,7)}, dan arsan P 3 mendaakan share s 3 {(4,5)}.. Fase rekonsruks kunc Dkeahu ahwa m 3. Dkeahu A {P,P,P 3 }, A Γ dengan share s {(6,3)}, s {(,7)}, dan s 3 {(4,5)}. Share kemudan dkonverskan ada graf oss, sehngga deroleh kemal hmunan krs dar graf lael erseu. Poss Gamar 3.8 Graf oss dan graf erlael ak lengka Pada conoh d aas, lael ada k usa elum dkeahu, sehngga erlu dcar erleh dahulu lael yang derma oleh k usa. Pada enelasan seelumnya derahukan ahwa sea graf nang yang memenuh TSA, akan mendaakan salah sau dar konds erku n, yau:. k m4 ka k usa erlael,. k 3m3. ka k usa erlael m, dan 3. k 4m ka k usa erlael m. Unuk mengeahu lael ada k usa, dcar konds yang sesua dengan salah sau konds d aas. Hal n dlakukan dengan menumlahkan lael ada daun dan ss yang erkaan dengannya, dan mendaakan nla yang mungkn erad, sehngga ka edge sum dkurang dengan lael ada k usa ada suau graf nang TSA akan

16 4 memenuh salah sau dar ga konds erku, yang meruakan enurunan dar enelasan seelumnya, yau : () ka k usa erlael, umlah lael adalah m3 () ka k usa erlael m, umlah lael adalah m (3) ka k usa erlael m, umlah lael adalah m Pada conoh d aas, dkeahu m 3, lael ada graf S 3 erseu ernla 3,5, dan 7. Karena daun erlael 7 m, maka graf S 3 dak akan memenuh konds (3), sehngga konds yang mungkn erad adalah konds () dan (). Selanunya umlahkan masng-masng lael yang ada, sehngga deroleh 3 5 8, 3 7 0, dan 5 7 Telah delaskan seelumnya ada Teorema 3. ahwa hmunan krs dar suau graf TSA harus memua nla lael ada daun aau ss yang erkaan dengannya, ea dak memua keduanya. Dar kega nla enumlahan d aas, erdaa nla 8 m, sehngga konds () dak memenuh. Maka daa dsmulkan ahwa graf S 3 ada conoh d aas memenuh konds (). Poss Gamar 3.9 Graf oss dan graf erlael ak lengka dar graf Toal Ss Aa S 4 Karena k usa menerma lael, maka k (3)4 0, sehngga lael ada graf selanunya daa dlengka, seer ada gamar erku :

17 5 Poss Gamar 3.0 Tahaan dalam melengka graf erlael ak lengka menad graf TSA Pada eeraa konds, d mana hmunan krs yang dlh dak memua lael ada k usa, erdaa keruman dalam mencar lael ada k usa yang sesua seer ada enelasan seelumnya. Namun, ka hmunan krs memua lael ada k usa, maka lael-lael kosong ada graf TSA daa langsung dlengka Kelehan dar Skema Pemagan Rahasa dengan Menggunakan Graf TSA Dar enelasan d aas, deroleh kelehan dar skema dengan menggunakan graf TSA adalah : Jka leh dar A arsan menyaukan share mereka, maka kunc akan ea deroleh. A adalah anyaknya arsan yang derlukan unuk merekonsruks kunc, dengan A adalah hmunan yang der kuasa. Karena dengan A arsan akan deroleh hmunan krs, maka ka leh dar A arsan yang memerkan share, hmunan krs yang derlukan unuk merekonsruks kunc akan ea deroleh. Srukur akses daa denukan Pada conoh d aas, srukur akses harus denukan dahulu seelum mendsruskan share keada semua arsan dalam ssem, sehngga ada skema n srukur akses daa denukan sendr.

18 Kekurangan dar Skema Pemagan Rahasa dengan Menggunakan Graf TSA Dar enelasan d aas, deroleh eeraa kekurangan dar skema dengan menggunakan graf TSA adalah : Skema dengan menggunakan graf TSA dak semurna. Share yang derkan keada arsan meruakan nformas mengena seagan dar lael graf oal ss aa, sehngga ada eluang ag arsan yang ukan hmunan yang der kuasa unuk mencoa mendaakan rahasa. Banyaknya arsan eraas. Karena umlah hmunan krs yang erdaa ada sea graf TSA yang dlh eraas mengakakan anyaknya arsan eraas. Komuas dalam mencar hmunan krs dan dalam melengka lael ada graf cuku komleks. Hngga saa n elum dkeahu suau algorma yang daa menenukan hmunan krs dar suau graf TSA secara efsen. Cara yang anyak dgunakan unuk menenukan hmunan krs n adalah dengan menghlangkan sau ersau lael ada daun, ss yang ereangga dengan daun, aau k usa dar graf TSA yang lengka secara acak, d mana ka lael dhlangkan, kemudan lael kosong dlengka kemal, maka deroleh graf TSA awal. Namun lael dak daa dhlangkan ka saa dlengka kemal, deroleh leh dar sau graf TSA yang ereda. Hal n dlakukan sama dak ada lag lael yang daa dhlangkan. Algorma yang derlukan adalah unuk menghlangkan lael dan melengka lael menad graf TSA awal. Algorma unuk menghlangkan lael n erua ernah erulang dan dlakukan ada sea lael ada graf TSA. Komuas akan semakn komleks unuk m yang semakn esar. Dsamng u, algorma melengka lael kosong menad graf TSA awal cuku komleks ka lael k usa dak dkeahu, seer ada enelasan conoh d aas.

19 7 3.4 Skema Pemagan Rahasa dengan Ruang Vekor Brckell Skema emagan rahasa n menggunakan ruang vekor seaga ala, yau dengan memangkkan eeraa vekor sehngga memenuk ruang vekor. Penelasan mengena mengkonsruks ruang vekor adalah seaga erku: Unuk rma dan d, ( ) d adalah ruang vekor aas laangan. a ( ) d, dengan a ( memenuh a a,, a d ), a. Msalkan erdaa fungs φ : P ( ) d yang (,0,...,0) φ ( P ) P A A Γ : d mana w, dengan w adalah anyaknya arsan dalam ssem (kardnalas dar hmunan arsan P). K adalah kunc yang drahasakan, sedangkan φ(p) dan s adalah share yang derkan keada arsan. Vekor (,0,...,0) daa deksreskan seaga komnas lner dar vekor-vekor ada hmunan { φ ( P ): P A } ka dan hanya ka A adalah hmunan yang der kuasa unuk merekonsruks kunc. Taha- aha dalam mendsruskan share adalah seaga erku:. D memlh vekor φ (P ) yang memenuh,0,...,0) ( P ) P A A Γ. D memerkan vekor φ (P ) ke P, P A. ( φ. 3. Msalkan K adalah kunc, D memlh d elemen dar, yau a,a. 4. D menghung s a φ(p ), w d mana a (K, ). a,a d 5. D memerkan s ke P,, dengan P A : d Msalkan A hmunan yang der kuasa. Jka semua arsan d A mengumulkan share mereka, maka mereka daa menghung kunc K, karena ( P ) P A (,0,...,0) φ :,

20 8 sehngga daa duls dengan d mana. Msalkan s dengan a ( a a, (,0,...,0) φ ( P ) : P A adalah share yang derkan ke P, maka s a φ ( ), a d, P ) adalah elemen yang dak dkeahu arsan yang dlh oleh dealer, dan K a a (,0,,0). Dengan menggunakan sfa kelneran oeras hasl kal dalam deroleh ahwa Sehngga K s : P A K a φ ( P ) : P A K a φ ( P ) : P A Skema emagan rahasa Brckell daa dlusraskan dalam conoh erku :. Fase dsrus share Msalkan d 3 dan 7. Msalkan Γ {{P,P },{P,P 3 }} dan φ ddefnskan seaga erku: φ(p ) (3,,) φ(p ) (,,) φ(p 3 ) (3,,) D mana φ memenuh,0,...,0) ( P ) P A A Γ ( φ. : Msalkan K 5. Dealer memlh a, dan a 3 4 sehngga deroleh a (K, a, a 3 ) (5,,4) Maka s a φ (P ) (5,,4) (3,,) s a φ (P ) 4 s 3 a φ (P 3 ) Share s, s, s 3, dan vekor φ(p ), φ(p ), φ(p 3 ) derkan keada arsan P, P, dan P 3.

21 9. Fase rekonsruks kunc Dkeahu d 3, 7 dan Γ {{P,P },{P,P 3 }}. Dkeahu seelumnya ahwa share yang erdaa ada arsan eruruan adalah φ(p ) (3,,), s, φ(p ) (,,), s 4, dan φ(p 3 ) (3,,), s 3. Msalkan P dan P menyaukan share mereka. Karena φ memenuh,0,...,0) ( P ) P A A Γ ( φ, maka : (,0,0) φ (P ) φ (P ), dengan, (,0,0) (3,,) (,,) Deroleh dan 6 Dar enelasan seelumnya, dkeahu ahwa K s. Sehngga K s s Maka K 5. () 6(4) 6 (mod 7) 5 : P A 3.4. Kelehan dar Skema Pemagan Rahasa dengan Ruang Vekor Brckell Dar enelasan d aas, deroleh eeraa kelehan dar skema dengan ruang vekor Brckell adalah: Skema emagan rahasa Brckell adalah semurna. Msalkan B adalah hmunan dar arsan yang dak der kuasa. Dar enelasan seelumnya dkeahu ahwa,0,...,0) ( P ) P A A Γ sehngga ( φ, (,0,...,0) φ( P ),, dengan A adalah hmunan yang der : P A kuasa. Jka arsan d B menyaukan share mereka, maka dak akan deroleh nla dengan : P B, karena,0,...,0) ( P ): P B : ( φ. Nla a a, uga dak dkeahu sehngga arsan d B dak akan mendaakan nformas mengena kunc. Perhungan dak memerlukan komuas yang esar. Dalam komuas ada fase dsrus, algorma yang duuhkan adalah unuk memangkkan eeraa vekor dan melakukan oeras erkalan. Pada fase, a d

22 30 rekonsruks kunc, algorma yang derlukan adalah unuk memandngkan, oeras erkalan, dan enumlahan. Dengan kaa lan, algorma yang duuhkan cuku sederhana. Banyaknya arsan daa dak eraas. Banyaknya vekor yang denuk oleh dealer unuk derkan keada arsan dak eraas, sehngga umlah arsan daa dak eraas. Srukur akses daa denukan. Pada enelasan seelumnya, srukur akses harus denukan dahulu seelum mendsruskan share keada semua arsan dalam ssem, sehngga ada skema n srukur akses daa denukan sendr Kekurangan dar Skema Pemagan Rahasa dengan Ruang Vekor Brckell Dar enelasan d aas, deroleh kekurangan dar skema dengan ruang vekor Brckell adalah : Banyaknya hmunan yang der kuasa eraas. Msalkan A, A Γ. Msalkan A {P,P,P 3 }, maka arsan P,P,P 3 akan mendaakan share eruruan s, s, dan s 3. Jka ngn memenuk hmunan A {P,P 3,P 5 } dalam ssem yang sama maka s s 5. Namun dak akan sa denuk hmunan A 3 {P,P,P 5 }, dengan A 3 Γ ana menggan salah sau nla share, yang nannya akan memengaruh hmunan yang der kuasa yang lan. Jad, dak seer skema Shamr, yau dak unuk sea searang A arsan daa merekonsruks kunc ( A adalah anyaknya arsan yang derlukan unuk merekonsruks kunc dengan A adalah hmunan yang der kuasa), melankan arsan erenu yang sudah deakan seelumnya. Karena u, anyaknya hmunan yang der kuasa eraas umlahnya. Jka leh aau kurang dar A arsan menyaukan share mereka, maka kunc dak akan deroleh. Jka leh aau kurang dar A arsan dalam merekonsruks kunc akan (,0,...,0) P : P A A Γ menad dak erenuh, mengakakan φ ( ) sehngga kunc dak akan deroleh.