PENGGABUNGAN PADA SUPER EDGE-MAGIC PETERSEN GRAPH DENGAN VERTEX PADA SETIAP VERTEX YANG ADA. Ida Christiana 1,Chairul Imron 2 ABSTRAK

Transkripsi

1 PENGGABUNGAN PADA SUPER EDGE-MAGIC PETERSEN GRAPH DENGAN VERTEX PADA SETIAP VERTEX YANG ADA Ida Chrstana 1,Charul Imron ABSTRAK Pelabelan suatu grah adalah suatu emetaan dar hmunan elemen grah (vertex, edge, atau vertex dan edge) terhada blangan bulat ostf.. Salah satu ens elabelan grah adalah edge-magc total labelng adalah elabelan grah yang memunya sfat enumlahan dar semua label yang berhubungan dengan edge tersebut menghaslkan suatu konstanta, dan berlaku untuk edge yang lan ada grah tersebut. Sedangkan suer edge-magc total labelng hamr sama dengan edge magc total labelng teta label dar vertex adalah blangan nteger ostf terkecl yatu {1,,..., }. Pada eneltan n akan dka modfkas suer edge magc grah dar suer edge magc grah yang sudah ada dengan cara menggabungkan sebuah Petersen Grah dengan vertex ada semua vertex yang terdaat ada Petersen Grah(n,) dmana n 5 dengan oeras enggabungan, yatu oeras enumlahan. Selan tu uga dtentukan cara elabelan serta mencar magc constant (blangan aab) dar suer edge magc grah yang baru. Kata kunc: edge magc grah, magc-sum,suer edge magc grah 1.Pendahuluan Teor Grah saat n sedang berkembang sangat esat. Banyak sekal macam-macam bentuk Grah yang berkembang saat n. Semakn banyak ara lmuwan membangun Grah-grah yang unk dan bermanfaat dalam eneraan kehduan sehar-har. Grah adalah suatu hmunan yang terdr dar smul (vertex) dan ss (edge). Dantara hmunan-hmunan tersebut terdaat hmunan bagan yang uga meruakan Grah yang dsebut subgrah. Berbaga masalah dalam grah, salah satunya adalah labelng Grah.Semua grah memenuh terbatas, undrected, dan smle. Selalu dnotaskan umlah vertex dan umlah edge dnotaskan dengan V ( dan E (. Symbol A selalu dnotasakan sebuah blangan cardnal dar set A. Edge-magc total labelng ada G adalah becton f dar V ( E( onto 1,,..., V ( E( dengan syarat tersebut, daat memberkan uv f ( u) f ( v) f ( uv) k untuk k konstan, tu daat dnyatakan f ( u) f ( v) f ( uv) k edge sum ada uv dan k magc sum ada f. Semnar Nasonal-Penddkan Sans FMIPA Unesa 008/55

2 Petersen Grah P(n,) adalah edge-magc total.fukuch menunukkan bahwa Petersen Grah P(n,) adalah suer edge-magc total. Pada edge-magc total labelng f dkatakan sebaga suer edge-magc total ka f ( V ( g)) 1,,..., V ( dan f ( E( ) V ( 1, V (,..., V ( E(. Dalam makalah n enuls akan membahas Petersen Grah yang dtambahkan vertex ada seta bagan vertexnya teta memenuh syarat suer edge-magc total..pembahasan n 1 Sebuah Petersen Grah P(n,m), n 3 dan 1 m konss ada semua n- cycle v 1, v,..., vn adalah sebuah set ada n bentuk v z, n 1,dan edge yang ddalam z, n 1,dengan ndkas dar modulo n. z m Untuk n 5,m = dan 1, kta notaskan dengan P( n,) A untuk sebuah Grah dmana dlh salah satu untuk menambahakn vertex dan edge ada satu dar vertex P(n,), kta sebut v 1. Dmana V P n, A V ( P( n,)) { u :1 dan } E( P( n,) A ) E ( P( n,)) { v1u : 1 } Teorema.1 Untuk n ganl, n 5 dan 1, untuk grah P( n,) A adalah suer edge-magc total labelng Bukt : f : V P( n,) A 1,,..., n dmana Dberkan sebuah emetaan, n f ( v ) 3 n ka untuk semua, n 1 ka ganl,1 n n n f ( z ) 3 n n ka 1 mod ka mod ka 3(mod ) ka 0(mod ) f ( u ) n untuk 1 Dar labelng datas telah dbuktkan bahwa P( n,) A adalah suer edge-magc total labelng dengan 11n 3 k= Semnar Nasonal-Penddkan Sans FMIPA Unesa 008/56

3 Dalam makalah n enuls mengembangkan dar teorema datas dengan menambahkan vertex ada vertex dbagan luar, vertex dbagan dalam dan vertex dbagan luar-dalam. Teorema. Grah Petersen grah P(n,) A (enambahan vertex ada vertex bagan luar) dengan n = 5 dan 1 adalah suer edge magc grah. Bukt :.Ddefnskan labelng f : V ( P( n,) A ) {1,,3,...,} f ( v ) f ( z ) n n n n untuk semua nla, n 1 untuk nla ganl,1 n ka 1 mod ka mod ka 3(mod ) ka 0(mod ) n, untuk 1 f ( u ) 3 n, untuk nla dantara Dar labelng datas telah dbuktkan bahwa Grah Petersen grah P(n,) A (enambahan vertex ada vertex bagan luar) dengan n = 5 adalah suer edgemagc total labelng dengan 19n 17 Teorema.3 Grah Petersen grah P(n,) A (enambahan vertex ada vertex bagan dalam) dengan n ganl n = 5 dan 1 adalah suer edge magc grah. Bukt : Ddefnskan labelng f : V ( P( n,) A ) {1,,3,...,} n 1 f ( v ) n 6 n f ( z ) untuk nla ganl untuk nla gena untuk semua nla, n 1 untuk nla ganl,1 n Semnar Nasonal-Penddkan Sans FMIPA Unesa 008/57

4 n ka 1 mod n ka mod f ( u ) 3 n ka 3(mod ) n ka 0(mod ) Dar labelng datas telah dbuktkan bahwa Grah Petersen grah P(n,) A (enambahan vertex ada vertex bagan luar) dengan n = 5 adalah adalah suer edge-magc total labelng dengan 17n 3 Teorema. Grah Petersen grah P(n,) A (enambahan vertex ada vertex bagan dalam dan luar) dengan n = 5 dan 1 adalah suer edge magc grah. Ddefnskan labelng f : V ( P( n,) A ) {1,,3,...,} n 1 untuk ganl f ( v ) n 6 untuk gena n untuk semua nla, n 1 f ( z ) untuk nla ganl,1 n n ka 1 mod n ka mod f ( u ) ka 3(mod ) n ka 0(mod ) Dar labelng datas telah dbuktkan bahwa Grah Petersen grah P(n,) A (enambahan vertex ada vertex bagan luar dan dalam) dengan n = 5 adalah suer edge-magc total labelng dengan 1n 3 Semnar Nasonal-Penddkan Sans FMIPA Unesa 008/58

5 3.Kesmulan Suer edge magc grah baru yang terbentuk dengan oeras dsakan dalam tabel d bawah n dengan blangan aabnya. Suer Edge Magc Grah Baru Blangan Aab Grah Petersen grah P(n,) A (enambahan vertex ada vertex bagan luar) Grah Petersen grah P(n,) A (enambahan vertex ada vertex bagan dalam) Grah Petersen grah P(n,) A (enambahan vertex ada vertex bagan luar dan dalam) 19n 17 17n 3 1n 3.Daftar Pustaka Baskoro, E. T., dkk. (00), Exandng Suer Edge-Magc Grah, J. Indones. Math. Soc. (MIHMI), Vol 36 No., hal Enomoto, H.,Llado, A.S.,Nakamgawa, T. & Rngel, G., Suer edge-magc grah,sut J.Math. Vol 3 (1998) Fukuch, Y., Edge-magc labelngs of generalzed Petersen grah P(n,),Ars Combn. 59 (001), Walls W.D., dkk, (000) Edge-magc total labelngs, Australasan J. Combn., Semnar Nasonal-Penddkan Sans FMIPA Unesa 008/59