BAB II TINJAUAN PUSTAKA. membahas analisis deret waktu, diagram kontrol Shewhart, Average Run Length

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pendahuluan Dalam enulsan maer okok dar skrs n derlukan beberaa eor-eor yang mendukung, yang menjad uraan okok ada bab n Uraan dmula dengan membahas analss dere waku, dagram konrol Shewhar, Average Run Lengh (ARL), dagram konrol USUM, dan dagram konrol USUM unuk roses dengan model AR() Analss Dere Waku Dere waku (me seres) adalah serangkaan daa engamaan yang dukur berdasarkan kurun waku erenu dengan nerval waku yang sama, dmana daa engamaan ersebu bersfa acak dan salng berhubungan Tujuannya adalah unuk menggambarkan erkembangan suau kegaan dar waku ke waku (ryer dan han, 8) Analss dere waku ada dasarnya dgunakan unuk melakukan analss daa yang memermbangkan engaruh waku (ryer dan han, 8) Analss dere waku dlakukan unuk memeroleh ola gerakan dere waku dengan menggunakan nla masa lalu, yang selanjunya akan djadkan sebaga dasar unuk embuaan keuusan saa n, eramalan keadaan masa yang akan daang, dan erencanaan kegaan masa dean Analss dere waku daa dlakukan unuk menganalss sau varabel (unvarae) dan banyak varabel (mulvarae) (We, 6) 5 reosoryunsbaacd

2 6 Sasoneras Sasoneras berar bahwa dak erjadnya erubahan yang sgnfkan ada daa dar waku ke waku Flukuas daa berada d sekar suau nla raa-raa yang konsan, dak erganung ada waku, dan varans dar flukuas ersebu ea konsan seanjang waku (Makrdaks dkk, 998) Daa dere waku dkaakan sasoner jka raa-raa dan varansnya konsan, dak ada unsur rend dan dak ada unsur musman dalam daa (ryer dan han, 8) Unuk menelaah kesasoneran daa, daa dlakukan dengan analss grafk, yau dengan membua lo dmana sumbu daar adalah waku dan sumbu egak adalah nla dar daa Jka lo daa unuk sea erode waku menngka aau menurun dan membenuk suau rend, maka daa ersebu non sasoner (Yan, ) Fungs Auokorelas (AF) dan Fungs Auokorelas Parsal (PAF) Auokorelas meruakan korelas yang erjad anara anggoa-anggoa dar serangkaan engamaan yang ersusun dalam rangkaan waku (Gujara, 3) Msalkan x, x,,x n meruakan samel dar daa dere waku, maka langkah unuk mendaakan auokorelas samel lag ke- menuru Yan () adalah sebaga berku: Tenukan raa-raa samel x n n x Tenukan auokovarans samel lag ke-, s n ( x x)( x x) n 3 Tenukan auokorelas samel lag-, r = s s reosoryunsbaacd

3 7 Sedangkan langkah unuk mendaakan auokorelas arsal samel lag ke- adalah: Bangun model regres lner ana konsana dengan x +k sebaga varabel ak bebas, dan x +-, x +-,, x sebaga varabel bebas x + = e x x x k dmana: meruakan arameer model, =,,,, dan e + meruakan kekelruan yang dasumskan berdsrbus normal denk ndeenden dengan raa-raa, varans konsan σ, dan dak berkorelas dengan x +- Kalkan x +- dengan ersamaan regres k unuk sea =,,, dan hung nla eksekasnya, yang haslnya akan membangun sebuah ssem ersamaaan lner k, =,,, Dengan menggunakan meode ramer, maka akan deroleh: k k reosoryunsbaacd

4 8 Sehngga, jka daksr oleh ˆ r (auokorelas samel), maka daksr oleh ˆ ˆ r (auokorelas arsal samel), =,,, 3 Proses whe nose Suau roses (ε ) dsebu whe nose jka meruakan barsan varabel acak yang dak berkorelas, dengan E( ), dan V ) E( ) (We, 6) ( Hoess engujan whe nose: H : Resdu memenuh roses whe nose H : Resdu dak memenuh roses whe nose Sask uj yang dgunakan yau uj Ljung Box-Perce Rumus uj Ljung-Box aau Box-Perce (We, 6): Q n( n ) r n j () dengan n= banyaknya observas, =banyaknya lag yang duj, dan r =nla koefsen auokorelas ada lag- Krera Uj: Tolak H jka Q ( ; K j),dmana nla j meruakan banyaknya arameer, unuk model AR (), j= 4 Uj normalas resdu Uj normalas resdu dlakukan unuk mengeahu aakah resdu berdsrbus normal aau dak Pengujan daa dlakukan dengan analss grafk normal robably lo Jka resdu berada dsekar gars dagonal, maka daa dkaakan bahwa resdunya berdsrbus normal 5 Model Auoregresson (AR) Model AR meruakan model hasl regres dengan drnya sendr ada wakuwaku sebelumnya, arnya model AR meruakan model yang menggambarkan reosoryunsbaacd

5 9 bahwa suau varabel dengaruh oleh varabel u sendr ada erode-erode sebelumnya (We, 6) Orde dar model AR denukan oleh jumlah erode varabel yang masuk dalam model Banyaknya nla masa lalu yang dgunakan oleh model, yau sebanyak j Dalam menenukan ngka model n, jka hanya dgunakan sau lag varabel, maka model n dnamakan model AR orde erama aau AR () Msalkan X meruakan engamaan ada waku ke-, =,,3,,m yang membenuk model AR () Maka model AR () ddefnskan sebaga berku: X c X () dmana, c = arameer konsana = arameer koefsen arah (sloe), ada roses sasoner : < = whe nose, dmana ~ N(, ) Eksekas dan Varans dar X beruru-uru adalah sebaga berku: c E( X ) (3) ( ) Var ( X ) (4) ( ) Pembukan Persamaan (3) dan (4) ada ada Lamran 6 Proses analss unuk daa dere waku dengan model AR() Pada bagan n akan djelaskan roses analss unuk daa dere waku yang dbaas hanya unuk model AR () a Idenfkas model Dalam meode dere waku, ala uama unuk mengdenfkas model dar daa yang akan dramalkan adalah dengan menggunakan AF dan PAF Model dere waku daa ddenfkas dar karakersk lo AF dan PAF nya lo AF dan PAF unuk model AR() dsajkan ada Gambar reosoryunsbaacd

6 a b c d Gambar (a) Plo AF AR() unuk osf, (b) Plo AF AR() unuk negaf, (c) Plo PAF AR() unuk osf, (d) Plo PAF AR() unuk negaf b Menaksr arameer model Seelah mengdenfkas model semenara, langkah selanjunya adalah mencar enaksr erbak unuk arameer-arameer ada model ersebu Model AR () ada Persamaan (), daa duls sebaga berku: X ( X ) Unuk menaksr arameer μ dan deroleh dengan meode enaksr kuadra erkecl, dengan formula sebaga berku: ˆ X (5) ˆ r m ( X m X )( X ( X X ) X ) (6) reosoryunsbaacd

7 Pembukan Persamaan (5) dan (6) ada ada Lamran c Pengujan Sgnfkans Parameer Seelah berhasl menaksr arameer model, maka langkah selanjunya adalah melakukan engujan sgnfkans dar arameer yang sudah daksr Sebuah model ramalan dsebu cocok dan bak, jka aksran arameernya sgnfkan (Yan, ) Prosedur uj sgnfkans arameer model ada arameer AR () adalah sebaga berku: Hoess: H : =, arameer dak sgnfkan H :, arameer sgnfkan Sask uj: ˆ hung SE( ˆ) 3 Krera uj: olak H jka hung > ; T j, dmana T adalah banyaknya daa dan j adalah banyaknya arameer dalam model d Uj kesesuaan model AR Langkah selanjunya yau uj kesesuaan model AR Uj kesesuaan model n dgunakan unuk membukkan bahwa model semenara yang elah deakan cuku memada, dengan menggunakan analss resdu unuk memenuh asums kenormalan model Uj kenormalan resdu dlakukan dengan uj Kolmogorov-Smrnov dengan Hoess sebaga berku: H : Samel berasal dar oulas berdsrbus normal H : Samel dak berasal dar oulas berdsrbus normal Selan melakukan uj kenormalan, dlakukan uj whe nose unuk memenuh asums dak ada auokorelas resdual, dengan menggunakan sask uj Ljung-Box, dengan rumus seer ada Persamaan () reosoryunsbaacd

8 3 Dagram Konrol Shewhar Dagram konrol Shewhar meruakan dagram yang dbua ada ssem karesus dengan sumbu daar menyaakan erode dan sumbu egak menyaakan karakersk muu Sejajar dengan sumbu daar dgambarkan ula Gars Pusa (GP), seasang baas-baas konrol, masng-masng berada d aas aau Baas Konrol Aas (BKA) dan d bawah gars usa aau Baas Konrol Bawah (BKB), seer ada Gambar berku: Gambar Dagram Konrol Shewhar Nla karakersk muu dlokan ada dagram yang menjelaskan keadaan roses (Handayan, ) Msalkan karakersk muu dnoaskan dengan X, dmana X meruakan varabel acak yang berdsrbus Normal dengan raa-raa μ dan varans Secara umum BKA, GP, dan BKB unuk melukskan dagram konrol Shewhar raa-raa drumuskan sebaga berku: BKA = E( X ) k Var( X ) GP = E(X ) BKB = E( X ) k Var( X ) reosoryunsbaacd

9 3 aau BKA GP BKB = μ+kσ = μ = μ-kσ dengan k meruakan konsana yang menenukan besarnya robablas menyaakan roses ou of conrol adahal roses n conrol Umumnya nla k=3, bersesuaan dengan =7 Baas-baas engendal n dlh sedemkan sehngga aabla roses erkendal, hamr semua k-k samel akan jauh d anara kedua gars u Meskun semua k-k erleak d dalam baas kendal, belum enu roses ersebu erkendal Unuk menenukan krera dak erkendal n, dagram konrol dbag menjad 3 zona yang dukur dalam sauan smangan baku (σ) anara gars engah dengan baas konrol sebaga berku: Gambar 3 Pembagan zona dagram konrol 3σ Menuru Kemele dkk () ada 7 gejala-gejala dagram konrol dkaakan dak erkendal, yau: Terdaa aau lebh k yang berada d luar baas kendal 7 k beruru-uru berada d ss yang sama dar gars engah reosoryunsbaacd

10 4 3 7 k beruru-uru membenuk ren menngka aau menurun 4 dar 3 k secara beruru-uru jauh d zona A aau lebh, d ss yang sama dar gars engah 5 4 dar 5 k secara beruru-uru jauh d zona B aau lebh, d ss yang sama dar gars engah 6 4 k beruru-uru nak dan urun secara berganan 7 4 k beruru-uru jauh d zona Jka dagram konrol roses dak menunjukan keujuh gejala daas, aau membenuk ola dak acak lannya, ka daa mengaakan bahwa roses erkendal Dagram konrol n bak dgunakan unuk ergeseran daas 5σ Kemamuan unuk mendeeks ergeseran yang kecl aau kurang dar 5σ, daa d lakukan dengan menggunakan dagram konrol yang menyerakan nformas dar samel sebelumnya Salah sau nya adalah dagram konrol umulave Sum (Kosh, ) 4 Average Run Lengh (ARL) Krera yang dgunakan unuk daa membandngkan knerja dagram konrol adalah dengan mengukur seberaa cea dagram konrol ersebu membangkkan snyal ou of conrol Dagram konrol yang lebh cea mendeeks snyal ou of conrol dsebu lebh sensf erhada erubahan roses Salah sau cara unuk mengukur knerja dagram konrol adalah dengan menggunakan Average Run Lengh (ARL) ARL adalah raa-raa run (observas) yang harus dlakukan sama demukannya ou of conrol yang erama (Handayan, ) Aabla roses dalam keadaan n conrol maka dgunakan noas ARL Dengan demkan ARL akan bernla besar dan ARL akan bernla kecl keka roses dalam keadaan ou of conrol Secara umum ersamaan unuk erhungan nla ARL adalah: reosoryunsbaacd

11 5 ARL, dengan = robablas suau k keluar dar baas-baas bagan konrol Unuk ARL, =α= robablas kesalahan/error e I (menyaakan keadaan dak erkonrol adahal keadaan erkonrol) aau robablas suau k raa-raa samel jauh dar luar baas konrol ada saa roses erkonrol, α dsebu juga sebaga robablas false alarm, sedangkan unuk ARL nla =-β=robablas kesalahan/error e II (menyaakan keadaan erkonrol adahal keadaan dak erkonrol) aau robablas suau k raa-raa samel jauh d dalam baas konrol ada saa roses dak erkonrol Secara umum erforma bak dar sebuah dagram konrol jka memunya ARL sebesar mungkn dan ARL sekecl mungkn 5 Dagram Konrol umulave Sum (USUM) Dagram konrol USUM erama kal del oleh Page ada ahun 954 (Mongomery, 9) Dagram konrol USUM lebh efsen dgunakan unuk mendeeks ergeseran kecl ada raa-raa aau varans dalam roses, yang dsebabkan adanya enyebab khusus Grafk n menghmun secara langsung semua nformas d dalam barsan nla-nla samel dengan menggambarkan jumlah kumulaf devas nla samel dar nla arge Ada dua cara unuk mereresenaskan USUM, yau abular USUM dan V-mask USUM Dalam enelan n hanya akan dbahas mengena reresenas USUM dalam benuk abular USUM unuk ergeseran ada raa-raa 5 Dagram konrol USUM abular unuk raa-raa Msalkan X adalah varabel acak roses yang berdsrbus Normal, dengan raa-raa keka roses n conrol μ, raa-raa keka roses ou of conrol μ A, dan varans Unuk mengonrol μ, dambl samel x, x,,x m yang dkumulkan reosoryunsbaacd

12 6 selama m erode Parameer μ akan dkonrol oleh sask USUM yang d defnskan sebaga berku: ( x ) j j, =,,,m Kemudan ddefnskan sask dan sebaga berku: (Kosh, ) max[, x ( K ) ] max[,( K ) x ] (7) (8) dmana = = Selanjunya dan dsebu nla sau ujung aas dan baas bawah USUM Dalam hal n K meruakan nla referens, dmana K=kσ Nla k, dengan δ meruakan besar ergeseran yang akan ka konrol, dan jka ergeseran dnyaakan dalam benuk sandar devas, maka: K A Jka salah sau dar aau > H, maka roses dkaakan ou of conrol Dalam hal n, Mongomery (9) merekomendaskan nla H sebesar 5σ aau 5 kal dar nla sandar devas rosesnya Maka, baas-baas konrol USUM abular unuk fase II adalah: BKA = H BKB = Unuk fase I, dmana arameer dak dkeahu, arameer daksr dengan enaksr ak basnya Penaksr ak bas bag μ adalah: bas bag adalah MR d X m m x j j,dan enaksr ak reosoryunsbaacd

13 7 dmana MR m m j MR j, MR j X j X j, j,3, dan d, 3, 4 (9) Maka baas aas dan bawah dagram konrol USUM abular unuk fase I adalah: max[, x ( x K) ] max[,( x K) x ] () () dmana = =, dan MR x K d x Maka, baas konrol USUM abular unuk fase I adalah: BKA = H BKB = Secara rngkas, langkah- langkah dar dagram konrol USUM abular adalah sebaga berku: (Suwanda, 3) Hung + dan, dmana = = Tenukan nla referens K=kσ, dan nla krs H=hσ Dmana k dan h denukan sedemkan sehngga ARL sesua dengan yang dngnkan Basanya k=½ dan h= 4 aau 5 3 Tenukan blangan yang menjelaskan nomor kumulaf z - ada saa dmulanya > dan z + ada saa > 4 Andakan bahwa ada erode ke- erjad ou of conrol, yau + aau > H dan ada saa u z = z aau z + = z 5 Hung T = z blangan n mengandung makna bahwa erkraan ergeseran erjad ada erode T dan T+ reosoryunsbaacd

14 8 5 ARL dagram konrol USUM Unuk dagram konrol USUM n, Mongomery (9) merekomendaskan erkraan nla ARL yang dberkan oleh Segmund (985) karena kemudahannya Unuk USUM sau ujung dengan arameer h dan k, dmana h dlh 4-5 dan k =5 maka Segmund memerkrakan ARL nya sebaga berku: ex( b) b ARL = Unuk USUM sau ujung aas ( ), = δ* - k dan unuk USUM sau ujung bawah ( ), = - δ* -k dengan * A dan b = h + 66 Sedangkan unuk ARL USUM dua ujung, Segmund memerkrakan ARL nya sebaga berku: ARL ARL ARL Hasl erhungan ARL USUM dua ujung dengan endekaan Segmund unuk k=/ dan h=4, 43735, dan 5 dsajkan ada Tabel Tabel ARL USUM Dua Ujung dengan k=/ dan h=4, 43735, dan 5 Shf h=4 h=43735 h= reosoryunsbaacd

15 9 53 Pengaruh adanya auokorelas erhada erforma dagram konrol USUM Unuk melha engaruh auokorelas erhada erforma dagram konrol USUM, akan dbandngkan smangan baku unuk roses yang salng bebas dan roses yang berauokorelas Varans dar X elah denukan ada Persamaan (4) Andakan, nla-nla smangan baku X unuk berbaga nla ersebu dsajkan ada Tabel Tabel Smangan Baku X unuk x = dan Berbaga Nla x Jka dak erjad auokorelas, smangan baku X = x = Jka ada auokorelas, keka ( ) membesar maka x akan membesar juga Unuk melha engaruh auokorelas erhada ARL dagram konrol USUM radsonal, dhung nla ARL dengan berbaga Tabel 3 menunjukkan hasl erhungan ARL keka erjad auokorelas yang dhung dengan menggunakan ARL dagram konrol USUM radsonal reosoryunsbaacd

16 Tabel 3 ARL Dagram Konrol USUM Keka Berauokorelas unuk x Dkeahu yang Dhung dengan Dagram Konrol USUM Tradsonal Shf Tabel daas menunjukkan adanya erubahan nla ARL dagram konrol USUM radsonal jka erjad auokorelas Keka ( ) membesar maka ARL nya akan membesar juga Dalam hal smangan baku dak dkeahu, smangan baku daksr oleh enaksr ak basnya, yau M R, dengan MR d dan d seer yang djelaskan ada MR Persamaan (9) Keka erjad auokorelas, E ( ) d Dengan demkan, MR d meruakan enaksr bas dar x Tabel 4 berku akan menunjukkan besarnya MR E, unuk d reosoryunsbaacd

17 Tabel 4 Nla E MR d unuk berbaga nla x x MR E = ( ) d Dar abel daas, daa dlha jka smangan baku dak dkeahu, maka E MR d akan semakn menngka jka mendeka - dan akan mengecl jka mendeka Tabel 5 menunjukkan hasl erhungan ARL keka erjad auokorelas yang dhung dengan menggunakan ARL dagram konrol USUM radsonal, dan nla h=43 Tabel 5 ARL Dagram Konrol USUM Keka Berauokorelas unuk x Tdak Dkeahu yang Dhung dengan Dagram Konrol USUM Tradsonal Shf Tabel daas menunjukkan adanya erubahan nla ARL dagram konrol USUM radsonal jka erjad auokorelas Jka daksakan menggunakan dagram reosoryunsbaacd

18 konrol USUM radsonal, maka akbanya ARL akan membesar keka < dan akan mengecl keka > Oleh karena u, erlu adanya modfkas erhada dagram konrol USUM radsonal jka erjad auokorelas 6 Dagram Konrol USUM unuk Proses dengan Model AR() Dagram konrol USUM unuk roses dengan model AR() akan dbua berdasarkan raso fungs kemungknan dbawah roses n conrol m ) dan dbawah roses ou of conrol ( ( j j m A ) ada change on erenu, seer yg dkemukakan oleh Tmmer dkk (998) Berdasarkan raso kemungknan ersebu, nla sau ujung aas USUM ada Persamaan (7) menjad: U max[, U ( w mw ) K' w ] () dan nla sau ujung bawah ada Persamaan (8) menjad: L mn[, L ( w mw ) K' w ] (3) dmana: w w [( ) /( )], ( ) X X X,,, K [( ) /( )] k, ' k, dan k A [( ) /( )], m w, embukan lha Lamran 3 reosoryunsbaacd

19 3 dengan U = u unuk u, h ), dan L = l unuk l h,) [ w [ w Maka, baas konrol dagram kendal USUM fase II unuk Persamaan () sebaga berku: BKA = h w BKB = (4) dan unuk Persamaan (3) sebaga berku: BKA = BKB = -h w (5) Unuk fase I, nla ujung aas USUM ada Persamaan () menjad: U ˆ MR max[, U ( ˆ ˆ w mw) K' ] (6) d dan nla ujung bawah USUM ada Persamaan () menjad: L ˆ MR mn[, L ( ˆ ˆ w mw ) K' ] (7) d dengan MR j MR j d wˆ ( ˆ) X X ˆ X,, ˆ ' K [( ˆ) /( ˆ)] k, k,, k A ˆ m w [( ˆ) /( ˆ)] ˆ, ˆ, dmana U = u unuk u, h ), dan L = l unuk l h,) [ w [ w reosoryunsbaacd

20 4 Dengan demkan, baas konrol dagram kendal USUM fase I ujung aas adalah sebaga berku: BKA = h MR d dan unuk ersamaan (7) sebaga berku: BKB = (8) BKA = BKB = h MR d (9) 6 ARL Dagram Konrol USUM AR() ARL USUM dua ujung dengan endekaan Segmund dak bsa dgunakan unuk roses yang berauokorelas Oleh sebab u, erlu adanya modfkas erhada ARL USUM basa jka erjad auokorelas Tmmer dkk (998) elah menghung ARL USUM dua ujung unuk model AR() menggunakan meode markov chan dengan menggunakan k=5, h=43, dan = Hasl erhungan ARL dua ujung unuk dagram konrol USUM dengan model AR() d sajkan ada Tabel 6 berku: reosoryunsbaacd

21 5 Tabel 6 ARL USUM Dua Ujung dengan Model AR() Shf Sumber: Tmmer dkk (998) Tamak bahwa ada shf (ergeseran) raa-raa sebesar 5 dan =6, nla ARL ou of conrol yang sebenarnya adalah ARL =6654, sedangkan menuru USUM radsonal ARL =367, jad dagram konrol USUM radsonal under esmae ARL ada > dan over esmae ARL ada < reosoryunsbaacd