PROSES STOKASTIK KELAHIRAN-KEMATIAN DENGAN DUA JENIS KELAMIN SECARA KELOMPOK PADA PROSES YULE- FURRY. Samsuryadi

Transkripsi

1 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMUTER Vol. 4. No. - Agusus ISSN : ROSES STOKASTIK KELAHIRAN-KEMATIAN DENAN DUA JENIS KELAMIN SECARA KELOMOK ADA ROSES YULE- FURRY Samsuryad Jurusan Maemaka FMIA Unversas Srwaya Inderalaya alembang Absrac The research s carred ou o buld sochasc model from cluser brhdeah process wh wo sexes on Yule-Furry process snce he formula or sochasc model from ha sochasc process s no presened ye where as a lo of phenomena are represened abou ha sochasc process. Model developmen s bascally o fnd posulae form and dfferenal equaon. The fnal resuls of hs research are posulae and dfferenal equaon from sochasc process paral dfferenal equaon for ranson probably generang funcon and on momen generang funcon. Keywords : sochasc process cluser brh-deah process Yule-Furry process.. ENDAHULUAN Salah sau proses yang spesfk dar proses sokask adalah proses sokask dengan waku konnyu dan ruang sae dskr. roses n dsebu dengan proses cacah sedangkan proses cacah yang berupa suau model dar fenomena alam dnamakan proses osson. Salah sau pengembangan dar proses osson adalah mengnkan suau perswa yang erad pada selang waku erenu berganung pada banyaknya perswa yang elah erad conoh dar fenomena n adalah proses kelahran proses kemaan dan proses kelahran-kemaan. roses kelahran-kemaan yang elah banyak dbahas dalam leraur adalah proses kelahran-kemaan murn danaranya pada Taylor 984 apolus 984 Cox dan Mller 987 Srnvasan dan Mehaa 988 Bhaacharya dan Waymre 99. Semenara u banyak fenomena yang demukan d lapangan dapa

2 roses Sokask Kelahran Samsuryad menggambarkan suau keadaan dmana suau perswa dapa erad secara serenak aau bersamaan dalam selang waku erenu msalnya suau proses memecah dr dan ma secara serenak yang erad dalam selang waku erenu aau eradnya konsenras ndvdu pada suau ruang erenu dan pada waku erenu uga yang dakbakan kedaangan dan kepergan ndvdu secara bersamaan. Keadaan n dak lan merupakan gambaran dar proses kelahran-kemaan kelompok. Kemudan d lapangan uga demukan kenyaaan bahwa suau ndvdu makhluk hdup dapa dbedakan aas dua ens kelamn yau perempuan dan lak-lak. Oleh karena u perlu kranya unuk dka suau model sokask dar proses kelahran-kemaan kelompok dengan dua ens kelamn melalu penurunan secara maemas sehngga model yang dperoleh dapa mencermnkan fenomena d lapangan.. TINJAUAN USTAKA. roses osson roses osson dapa ddefnskan dengan beberapa posula seper ersebu d bawah n Taylor 984. Defns : Sebuah proses osson dengan nensas λ> adalah suau proses sokask dengan nla blangan bula {N; } dmana Unuk seap k waku = < < < < n maka proses nkremenal N - N N 3 -N N n -N n- adalah peubah acak salng bebas; Unuk dan peubah acak N+ -N menyebar menuru dsrbus osson yau {N+ -N =k} = e λ λ k ; unuk k = dan k! N =... roses osson Kelompok Dalam proses osson erdapa asums bahwa seumlah perswa dapa erad secara bersamaan pada suau saa yau ka erdapa suau kelompok pada suau k rapono 986 yang memenuh asums-asums d bawah n

3 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMUTER Vol. 4. No. - Agusus ISSN : N menyaakan banyaknya kelompok pada waku merupakan proses osson dengan raa-raa λ dengan adalah k waku dmana kelompok erad. Seap kelompok mempunya blangan acak yang menunukkan banyaknya perswa yang erad semenara menyaakan banyaknya perswa yang erad pada kelompok ke- merupakan peuabah acak. Banyaknya perswa yang erad pada kelompok yang berbeda adalah salng bebas dan berdsrbus peluang sama..3 Rana Markov Markov Chans ada proses sokask banyak sekal proses yang mempunya sfa khas salah saunya adalah proses yang mempunya sfa Markov. Defns : Jka {N n ;n } merupakan suau proses sokask dengan sfa {N n+ =k N N N n } = {N n+ =k N n }. unuk semua k S ruang sae dan n maka proses sokask n mempunya sfa markov aau rana Markov Cnlar;975. Unuk semua blangan bula aknegaf n dan N N N n N n+ S maka peluang bersyaranya adalah {N n+ =k N n =} = k dmana k S.3 dsebu peluang ranss unuk rana ersebu..4 roses Kelahran-kemaan Murn ure Brh-Deah rocess Msalkan λ dan adalah suau barsan blangan posf maka suau proses kelahran-kemaan murn erdefns sebaga suau proses Markov yang memenuh posula d bawah n. {N+ = N=n} = λ n + o {N+ =- N=n} = n + o {N+ = N=n} = λ n + n + o 3

4 roses Sokask Kelahran Samsuryad v {N+ =±m N=n} = o dengan m = 34 dan n =.4 Unuk > akan dperoleh persamaan dferensal n n n n n n + n + n+ = λ + + λ.5.5 roses Kelahran-Kemaan Yule-Furry roses osson dmana λ n dan n merupakan fungs dar n dsebu proses kelahran-kemaan murn sedangkan unuk λ n = nλ dan n = n yang bersfa lner dsebu proses Yule-Furry Cox dan Mller;987. Jka N menyaakan banyaknya populas pada waku dan ka n = {N=n} dengan mengambl λ n = nλ dan n = n maka n dapa dperoleh dar persamaan = n λ + + n λ + n.6 n + n n n+ 3. LANKAH EMODELAN ROSES STOKASTIK embangunan model proses sokask n melalu ahapan sebaga berku yau: merumuskan posula yang memenuh proses osson dan Markov memodelkan posula ke benuk persamaan dferensal D dan menggunakan eorema persamaan dferensal parsal unuk fungs pembangk peluang ranss sera membenuk fungs momen gabungan. 4. HASIL DAN EMBAHASAN 4. osula roses Kelahran-Kemaan Secara Kelompok dengan Dua Jens Kelamn Dalam sebuah selang waku yang kecl kaakanlah + msalkan + menyaakan banyaknya perswa yang erad dalam selang waku + dan + merupakan sebuah peubah acak dengan asums-asums sebaga berku Samsuryad 999 : 4

5 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMUTER Vol. 4. No. - Agusus ISSN : N+ menyaakan banyaknya kelompok pada waku + dan N+ merupakan proses osson dengan raa-raa λ +λ + + dengan λ λ dan beruru-uru menyaakan raa-raa kelahran wana raa-raa kelahran lak-lak raa-raa kemaan wana dan raa-raa kemaan lak-lak. Tap kelompok mempunya blangan acak yang menunukkan banyaknya perswa yang erad. menyaakan banyaknya perswa yang erad pada kelompok ke- dan merupakan sebuah peubah acak. Banyaknya perswa yang erad pada kelompok yang berbeda adalah salng bebas dan berdsrbus peluang sama. Anggaplah sekarang sebuah peubah acak adalah banyaknya ndvdu pada waku dan {=n} dnyaakan dengan n. Dalam selang waku + kemungknan perswa yang erad pada proses sokask kelahran-kemaan kelompok dengan dua ens kelamn adalah erad sau aau lebh kelahran wana aau erad sau aau lebh kelahran lak-lak aau erad sau aau lebh kemaan wana aau erad sau aau lebh kemaan lak-lak aau dak erad sau aau lebh kelahran aau kemaan bak wana maupun lak-lak. Selanunya msalkan unuk proses lner proses Yule-Furry {λ n = nλ} dan { n = n} adalah suau barsan blangan posf. Jka dalam selang waku + seap anggoa populas mempunya peluang [ ] E[ ] λ + o unuk lahrnya sau aau lebh ndvdu wana yang baru [ ] E[ ] λ + o unuk lahrnya sau aau lebh ndvdu lak-lak yang baru [ ] E[ ] aau lebh ndvdu wana dan [ ] E[ ] + o unuk manya sau + o unuk manya sau aau lebh ndvdu lak-lak maka suau proses sokask kelahran-kemaan kelompok dengan dua ens kelamn pada proses Yule-Furry ddefnskan sebaga suau proses Markov yang uga memenuh posula d bawah n {+ = =} = [ ] E[ ] λ + o {+ = = } = [ ] E[ ] λ + o {+ =- = } = [ ] E[ ] + o v {+ =- = } = [ ] E[ ] + o 5

6 roses Sokask Kelahran Samsuryad v {+ = = } = [ ] E[ ] λ +λ o v {+ =±m = } = o dengan m = Caaan: Banyaknya perswa yang erad dalam selang waku + salng bebas dengan banyaknya perswa yang erad dalam selang waku. 4. Model D roses Kelahran-Kemaan secara Kelompok dengan Dua Jens Kelamn enelasan posula 4. d aas dapa dnyaakan dalam benuk pernyaaan peluang sebaga berku : = {=} aau + = {+ =} 4.3 ersamaan 4.3 dapa durakan menad + = {= dan + = aau =- dan + = aau =- dan + = aau =+ dan + =- aau =+ dan + =- aau = m dan + =±m aau = m dan + = ±m } aau + = {=}. {+ = =} + {=- }. {+ = = - } + {=- }. {+ = = - } + {=+ }. {+ =- = + } + {=+ }. {+ =- = + } + {= m }. {+ =±m = m } + {= m }. {+ =±m = m } 4.4 ersamaan 4.4 dapa dnyaakan dalam benuk berku n : + - = -[ ] E[ ] λ +λ [ ] E[ ] λ

7 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMUTER Vol. 4. No. - Agusus ISSN : [ ] E[ ] λ [ ] E[ ] [ ] E[ ]. + + [ m + m ]. o Selanunya kedua ruas dbag dengan dan unuk maka akan dperoleh lm + = lm -[ ] E[ ] λ +λ [ ] E[ ] λ. + [ ] E[ ] λ. + + [ ] E[ ] [ ] E[ ]. + + [ o m + m ]. 4.5 Jad persamaan dferensal unuk proses sokask kelahran-kemaan dengan dua ens kelamn secara kelompok pada proses Yule-Furry adalah : = -[ ] E[ ]λ +λ [ ] E[ ] [ ] E[ ] λ [ ] E[ ] + [ ] E[ ] λ enenuan fungs pembangk peluang ranss ersamaan 4.6 dnyaakan dalam benuk eorema berku. Teorema 4. Samsuryad 999 : ersamaan dferensal parsal unuk fungs pembangk peluang ranss dar sebuah proses sokask kelahran-kemaan dengan dua ens kelamn secara kelompok pada proses Yule-Furry dengan syara 7

8 roses Sokask Kelahran Samsuryad 8 ; = = 4.7 adalah = [ ] [ ] E ] [ λ λ λ λ [ ] [ ] E 4.8 Buk : Dkeahu bahwa ; = = Jka persamaan d aas durunkan maka akan dperoleh = = = = + = [ ] + = dan karena menuru Bhaacharya dan Waymre 99 ] [. Z E + = + maka = [ ] ] [. Z E + = = [ ] ] [ + = Z E Selanunya karena ] [ + Z E = [{+ - = } ] +. {+ - = } +. {+ - = } +.{+ - = - } +.{+ - = - } + m ±.{+ -

9 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMUTER Vol. 4. No. - Agusus ISSN : ± m = ±m } +.{+ - = ±m } dan sfa salng bebas nkremenal dar proses sokask yau E[ Z + ] = E[ Z + = ] maka = = [[ ] E[ ] {[-[ ] E[ ] λ +λ o ] + λ + o ] + [ [ ] E[ ] + o ] + [[ ] E[ ] λ + o ] + [ [ ] E[ ] + o ] + ± m ± m o + o } Unuk akan dperoleh = = [ ] E[ ] [-λ -λ - + λ + λ + ] + = [ ] E[ ] [- + ] Selanunya ka ersamaan 4.7 durunkan erhadap dan maka akan dperoleh = = = dan = sehngga = [ ] E[ ] [-λ -λ - + λ + λ + ] + [ ] E[ ] [- + ] Jad = [ ] E[ ] λ + λ + + λ + λ ] [ + [ ] E[ ] erbuk. 9

10 roses Sokask Kelahran Samsuryad Selanunya unuk memperoleh raa-raa dan varans dar ersamaan 4.8 enang banyaknya ndvdu wana dan lak-lak pada waku erlebh dahulu dransformaskan θ = e ; θ θ = e ; Kθ θ ; = log e e ; 4.9 θ sedemkan sehngga Kθ θ ; merupakan fungs pembangk momen gabungan. Jka unuk = ersamaan 4.9 durunkan erhadap θ ddapa θ = e θ aau = e θ θ 4. dan haslnya dsubsuskan ke ersamaan 4.8 sehngga dperoleh K = [ ] E[ ] θ θ [ θ + λ + λ e λ e λ e ] K θ [ ] E[ ] θ e K θ 4. Selanunya perluas pangka dar θ dan θ kemudan samakan koefsen yang berhubungan dengan pangkanya. Msalkan K menyaakan kumulan gabungan dar order. Sebaga conoh K adalah raa-raa banyaknya ndvdu wana K adalah kovarans dar banyaknya ndvdu wana dan lak-lak dan seerusnya dengan cara menenukan solus benuk-benuk berku : K = [ ] E[ ]λ - K K = [ ] E[ ][λ K - K ] K = [ ] E[ ][λ - K + λ - K ] K = [ ] E[ ][λ K + λ - - K ] K = [ ] E[ ][λ K - K + λ K - K ] 4. ersamaan 4. dapa dselesakan secara rekursp persamaan-persamaan ersebu menyaakan dsrbus margnal dar banyaknya ndvdu wana yang menyaakan sebuah proses sokask kelahran-kemaan.

11 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMUTER Vol. 4. No. - Agusus ISSN : Jka n menyaakan banyaknya ndvdu wana pada saa awal dan n menyaakan banyaknya ndvdu lak-lak pada saa awal maka penyelesaan unuk raaraa adalah [ E K = ] [ ] λ λ n e dan λ E E K = n [ n ] [ ] λ λ λ [ ] [ ] e + n e λ λ Jad ka λ > maka lm raso banyaknya ndvdu wana dan lak-lak yang dharapkan adalah λ + λ. 5. KESIMULAN Berdasarkan penelan n dperoleh model persamaan dferensal parsal proses sokask kelahran-kemaan dengan dua ens kelamn secara kelompok pada proses Yule-Furry dunukkan pada ersamaan 4.6 dengan eorema fungs pembangk peluang ranss ersamaan 4.8 dan fungs pembangk momen gabungannya pada ersamaan 4. yang berguna dalam menenukan lahr aau manya ndvdu wana maupun lak-lak. Hasl penelan n dapa dka ulang dengan pendekaan lan aau anpa proses Yule-Furry dan dkembangkan lebh lanu dengan memperhakan fakor mgras. DAFTAR USTAKA. Bhaacharya R. N and Waymre E. C Sochasc rocesses wh Applcaon John Wley & Sons New York 99.. Cnlar Erhan Inroducon o Sochasc rocesses. rence-hall Inc New Jersey Cox D. R and Mller H.D The Theory of Sochasc rocesses Chapman and Hall London oodman L. A opulaon rowh of he Sexes Bomercs : - 5.

12 roses Sokask Kelahran Samsuryad 5. Kendall D. Sochasc rocesses and opulaon rowh Journal of he Royal Sascal Socey Seres B 949 : apolus Ahanasos robably Random Varables and Sochasc rocesses Second Edon Mc.raw-Hll Book Campany New York rapono enganar roses Sokask I enerb Karunka Jakara Samsuryad Model ersamaan Dferensal roses Kelahran-Kemaan dengan Dua Jens Kelamn secara Kelompok Laporan enelan Dana DIK-S Unsr Tahun 999 Tdak dpublkaskan Srnvasan S. K and Mehaa K. M Sochasc rocesses Taa Mc. raw- Hll ublshng Company Lmed New Delh Taylor H. M An Inroducon o Sochasc Modellng Academc ress Inc Florda 984.