BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Matematka sebaga bahasa smbol yang bersfat unversal memegang peranan pentng dalam perkembangan suatu teknolog. Matematka sangat erat hubungannya dengan kehdupan nyata. Banyak penyelesaan masalah-masalah kehdupan nyata membutuhkan metode-metode matematka. Persoalan yang muncul dalam bdang fska matematka serng dapat dturunkan ke dalam suatu persamaan dferensal. Persamaan dferensal merupakan salah satu cabang matematka yang termasuk dalam kelompok analss. Persamaan dferensal adalah suatu persamaan yang melbatkan satu atau lebh turunan fungs yang belum dketahu, dan atau persamaan tu mungkn juga melbatkan fungs tu sendr dan konstanta. Persamaan n dperkenalkan pertama kal oleh Lebnz pada tahun 676. Persamaan dferensal serngkal muncul dalam model matematka yang mencoba menggambarkan keadaan kehdupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hpotesa-hpotesa dapat dterjemahkan kedalam persamaan yang mengandung turunan melalu bahasa matematka. Sebaga contoh, turunanturunan dalam fska muncul sebaga kecepatan dan percepatan sedangkan dalam geometr sebaga kemrngan. Persamaan dferensal dbedakan menjad dua yatu persamaan dferensal basa(ordnary dfferental equaton) dan persamaan dferensal parsal(partal dfferental equaton). Persamaan dferensal basa ddefnskan sebaga suatu persamaan yang mengandung satu atau lebh turunan basa suatu fungs yang tdak

2 dketahu dengan dua atau lebh peubah bebas. Sedangkan persamaan dferensal parsal ddefnskan sebaga suatu persamaan yang mengandung satu atau lebh turunan parsal suatu fungs yang tdak dketahu dengan dua atau lebh peubah bebas. Persamaan dferensal Sturm-Louvlle adalah persamaan dferensal basa berorde dua yang dperkenalkan oleh ahl matematka Jacques C.F Sturm( ) dan Joseph Louvlle (809-88). Persamaan dferensal n dapat dselesakan dengan menggunakan metode numerk. Sasaran akhr dar analss numerk yang dlakukan dalam metode numerk adalah dperolehnya metode yang terbak untuk memperoleh jawaban yang berguna dar persoalan matematka. Metode numerk yang dgunakan untuk persamaan dferensal basa dan merupakan metode yang akurat untuk sebagan besar kasus adalah metode Runge- Kutta. Namun metode n memlk orde suku lebh tngg yang mengakbatkan perhtungan-perhtungan yang lebh rumt dan lebh mendalam walaupun haslnya akan memlk galat yang kecl. Karena perhtungannya yang rumt maka dgunakan metode yang lan yatu metode euler. Metode euler merupakan metode yang palng sederhana dan palng efsen (palng sedkt memerlukan step untuk mendapatkan hasl) tetap memlk galat yang besar. Pada peneltan n akan dtentukan krtera-krtera yang harus dpenuh dalam menyelesakan persamaan dferensal Sturm-Louvlle dengan menggunakan metode euler.. Masalah Peneltan Persamaan dferensal dfokuskan pada penentuan penyelesaan dar persamaan dferensal. Ada banyak persamaan dferensal yang sult dperoleh bentuk penyelesaannya. Dalam hal n, penyelesaan persamaan dferensal dengan menerapkan metode numerk tertentu.

3 3 Terdapat banyak metode untuk menyelesakan persamaan dferensal. Hal yang terpentng adalah memperhtungkan keteltan dar hasl yang dperoleh. Dengan demkan permasalahan dar peneltan n adalah krtera-krtera apa saja yang harus dpenuh dalam menyelesakan persamaan dferensal Sturm-Louvlle dengan menggunakan metode euler..3 Tujuan Peneltan Secara umum tujuan dar peneltan n adalah untuk menentukan krtera-krtera yang harus dpenuh dalam menyelesaan persamaan dferensal Sturm-Louvlle dengan menggunakan metode Euler..4 Manfaat peneltan Peneltan n bermanfaat untuk membantu penyelesaan fungs fungs rumt dalam hal persamaan dfferensal Sturm Louvlle yang dapat dmanfaatkan oleh para matematkawan dan fskawan serta menambah lteratur dalam bdang persamaan dfferensal orde dua yang dapat dmanfaatkan untuk menyelesakan permasalahan d bdang matematka khususnya dan dalam bdang lmu lmu lan secara umum..5 Tnjauan Pustaka Peneltan untuk menyelesakan persamaan dferensal Sturm-Louvlle telah banyak dlakukan. Wlfred Kaplan (98)menyelesakan persamaan Sturm-Louvlle untuk mencar fungs dan nla egen. Fungs dan nla egen dcar agar persamaan dferensal mempunya solus tdak nol sehngga memenuh konds batas. Cpran G. Gal(005) menyelesakan operator Sturm-Louvlle dengan konds batas secara umum. Konds batas lnear umum melput u", u', dan u dar batas {a,b}sehngga operator Sturm-Louvlle dar {a,b}mempunya perluasan self-adjont khusus d sebuah ruang Hlbert.

4 4 Suatu persamaan dfferensal dapat dnyatakan sebaga berkut: dy f (, t y) dt = a t b, ya ( ) = α (.5.) Metode Euler dturunkan dar deret Taylor. Deret Taylor dapat dgunakan untuk menghaslkan deret sebaga penyelesaan dar suatu persamaan dferensal. Dalam beberapa hal ada kemungknan menghaslkan deret yang lengkap dan dalam hal-hal lan tdak mungkn untuk memperoleh deret yang lengkap. Deret Taylor dapat dgunakan dalam cara lan untuk memperoleh suatu hampran dalam nla penyelesaan dar suatu masalah nla awal pada nla-nla dar x tertentu. Metode Euler dapat dpandang sebaga hampran dar deret Taylor dengan menyertakan hanya dua suku pertama dar deret. Dalam hal umum, jka deret Taylor dhampr oleh y ( x ) (.5.) l! () l 0 l yx ( 0) y'( x0) h... h dkatakan bahwa hampran tu adalah suatu hampran Taylor orde l. Menurut ketentuan n, metode Euler adalah hampran Taylor orde. (Fnzo & Ladas,98) Msalnya, fungs ) adalah fungs yang kontnu dan memlk turunan dalam nterval [a,b]. Maka dalam deret Taylor ( t+ t) '' + ) = ) + ( t+ t) y'( t) + y( ξ) (.5.3) karena h = ( t + t) maka h '' + ) = ) + hy'( t) + y( ξ) (.5.4) dan karena ) memenuh persamaan dferensal (.5.), dperoleh dy h '' + ) = ) + h ( t) + y( ξ) (.5.5) dt h '' + ) = ) + hf( t, )) + y( ξ) (.5.6)

5 Metode Euler dbangun dengan pendekatan w y( t ) untuk =,,3,..., n dengan mengabakan suku terakhr yang terdapat pada persamaan (). Jad metode Euler dnyatakan sebaga w w 0 + = α (.5.7) = w + hf ( t, w ) Dmana = 0,,,..., n. (Supryanto,006) 5.6 Metodolog Peneltan Metode peneltan yang dgunakan dalam peneltan n adalah sebaga berkut:.melakukan stud dar buku, jurnal dan artkel d nternet yang berhubungan dengan persamaan dferensal Sturm-Louvlle dan Metode Euler..Menyelesakan persamaan dferensal orde dua dengan metode Euler 3.Menentukan langkah-langkah dalam menyelesakan persamaan dferensal Sturm-Louvlle 4.Menentukan krtera-krtera yang harus dpenuh dalam menyelesakan persamaan dferensal Sturm-Louvlle dengan metode Euler. 5. Kesmpulan dar hasl peneltan.