BAB 8 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB 8 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA"

Veronika Susanti Hermawan
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Maa kulah KOMPUTASI ELEKTRO BAB 8 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan dferensal dapa dbedakan menjad dua macam erganung pada jumlah varabel bebas. Apabla persamaan ersebu mengandung hana sau varabel bebas, persamaan dsebu dengan persamaan dferensal parsal. Deraja (order) dar persamaan denukan oleh deraja erngg dar urunanna. Sebaga conoh persamaan dferensal basa d bawah n adalah berorder sau, karena urunan ernggna adalah urunan perama. d Sedang persamaan dferensal basa berorder dua mengandung urunan kedua sebaga urunan ernggna, seper benuk d bawah n: d 0 d Conoh persamaan dferensal parsal dengan varabel bebas dan adalah: Penelesaan persamaan dferensal adalah suau fungs ang memenuh persamaan dferensal dan juga memenuh konds awal ang dberkan pada persamaan ersebu. D dalam penelesaan persamaan dferensal secara anals, basana dcar penelesaan umum ang mengandung konsana sembarang dan kemudan mengevaluas konsana ersebu sedemkan sehngga haslna sesua dengan konds awal. Meode penelesaan persamaan dferensal secara anals erbaas pada persamaan-persamaan dengan benuk erenu, dan basana hana unuk menelesakan persamaan lner dengan koefsen konsan. Msalkan suau persamaan dferensal basa berorder sau, sebaga berku: d (8.) Penelesaan dar persamaan ersebu adalah: C e (8.) ang memberkan banak fungs unuk berbaga nla koefsen C. Gambar 8., menunjukkan beberapa kemungknan dar penelesaan persamaan (8.), ang erganung pada nla C. Unuk mendapakan penelesaan unggal dperlukan nformas ambahan, msalna nla () dan aau urunanna pada nla erenu. Unuk persamaan order n basana dperlukan n konds unuk mendapakan penelesaan unggal (). Apabla semua n konds dberkan pada nla ang sama (msalna 0), maka permasalahan dsebu dengan problem nla awal. Apabla dlbakan lebh dar sau nla, permasalahan dsebu dengan problem nla baas. Msalna persamaan (8.), dsera konds awal au = 0, nla = aau: Jurusan Teknk Elekro ISTA Yogakara 95

2 Maa kulah KOMPUTASI ELEKTRO ( 0) (8.) Subsuskan persamaan (8.) ke dalam persamaan (8.) memberkan: aau C e C = 0 Dengan demkan penelesaan unggal ang memenuh persamaan: adalah: d ( 0) e Gambar 8.. Penelesaan persamaan d Meode penelesaan numerk dak ada baasan mengena benuk persamaan dferensal. Penelesaan berupa abel nla-nla numerk dar fungs unuk berbaga varabel bebas. Penelesaan suau persamaan dferensal dlakukan pada k-k ang denukan secara beruruan. Unuk mendapakan hasl ang lebh el maka jarak (nerval) anara k-k ang beruruan ersebu dbua semakn kecl. Penelesaan persamaan (8.) dan persamaan (8.) adalah mencar nla sebaga fungs dar. Persamaan dferensal memberkan kemrngan kurve pada seap k sebaga fungs dan. Hungan dmula dar nla awal ang dkeahu, msalna d k (0, 0). Kemudan dhung kemrngan kurve (gars snggung) d k ersebu. Berdasar nla 0 d k 0 dan kemrngan fungs d k-k ersebu dapa dhung nla d k ang berjarak dar 0. Selanjuna k (, ) ang elah dperoleh ersebu dgunakan unuk menghung nla d k ang berjarak dar. Prosedur hungan ersebu dulang lag unuk mendapakan nla selanjuna, seper pada Gambar 8.. Jurusan Teknk Elekro ISTA Yogakara 96

3 Maa kulah KOMPUTASI ELEKTRO Gambar 8.. Penelesaan numerk persamaan dferensal 8. Meode Sau Langkah Akan dselesakan persamaan dferensal basa dengan benuk sebaga berku: d f (, ) Persamaan ersebu dapa ddeka dengan benuk berku: d Δ f (, ) aau f (, )( ) aau Φ (8.) dengan adalah perkraan kemrngan ang dgunakan unuk eksrapolas dar nla ke + ang berjarak au selsh anara = +. Persamaan daas dapa dgunakan unuk menghung langkah nla secara berahap. Semua meode sau langkah dapa duls dalam benuk umum ersebu. Perbedaan dar beberapa meode ang ada adalah ddalam cara mengesmas kemrngan. 8. Meode Euler Meode Euler adalah salah sau dar meode sau langkah ang palng sederhana. D bandng dengan beberapa meode lanna, meode n palng kurang el. Namun demkan meode n perlu dpelajar mengnga kesederhanaanna dan mudah pemahamanna sehngga memudahkan dalam mempelajar meode lan ang lebh el. Meode Euler dapa durunkan dar Dere Talor: '! ''!... Jurusan Teknk Elekro ISTA Yogakara 97

4 Maa kulah KOMPUTASI ELEKTRO Apabla nla kecl, maka suku ang mengandung pangka lebh ngg dar adalah sanga kecl dan dapa dabakan, sehngga persamaan daas dapa duls menjad: ' (8.5) Dengan membandngkan persamaan (8.) dan persamaan (8.5) dapa dsmpulkan ' bahwa pada meode Euler, kemrngan = = f (, ), sehngga persamaan (8.5) dapa duls menjad: f (, ) (8.6) dengan =,,, Persamaan (8.6) adalah meode Euler, nla + dpredks dengan menggunakan kemrngan fungs (sama dengan urunan perama) d k unuk deksrapolaskan secara lner pada jarak sepanjang pas. Gambar 8., adalah penjelasan secara grafs dar meode Euler. Conoh soal: Selesakan persamaan d bawah n: d f (, ) (0). Gambar 8.. Meode Euler 0 8,5. dar = 0 sampa = dengan panjang langkah = 0,5 dan = 0,5. Penelesaan: Penelesaan eksak dar persamaan daas adalah: 0,5 0 8,5. Penelesaan numerk dlakukan secara berahap pada beberapa k ang beruruan. Dengan menggunakan persamaan (8.6), dhung nla + ang berjarak = 0,5 dar k awal au = 0. Unuk = 0 maka persamaan (8.6), menjad: f, ) 0 ( 0 0 Dar konds awal, pada = 0 nla fungs (0) =, sehngga: ( 0,5) (0) f (0 ;) 0,5. Jurusan Teknk Elekro ISTA Yogakara 98

5 Maa kulah KOMPUTASI ELEKTRO Kemrngan gars d k (0 ; 0) adalah: sehngga: d f (0 ; ) (0 ) (0 ) 0(0) 8,5 ( 0,5) 8,5(0,5) 5,5. 8,5. Nla eksak pada k = 0,5 adalah: (0,5) 0,5(0,5 ) (0,5 ) 0(0,5 ) 8,5(0,5),875. Jad kesalahan dengan meode Euler adalah:,875 5,5 00%,875 6,%. Pada langkah berkuna, au unuk =, persamaan (8.6) menjad: f (, ) (,0) (0,5) f (0,5 ; 5,5) 0,5 5,5 (0,5 ) (0,5 ) 0(0,5) 8,5 0,5 5,875. Hungan dlanjukan dengan prosedur daas dan haslna dberkan dalam Tabel 8., Unuk = 0,5, hungan dlakukan dengan prosedur daas dan haslna juga dberkan dalam Tabel 8.. Dalam conoh ersebu dengan nla berbeda, dapa dsmpulkan bahwa penggunaan ang lebh kecl akan memberkan hasl ang lebh el. Teap konsekuensna waku hungan menjad lebh lama. 8. Kesalahan Meode Euler Penelesaan numerk dar persamaan dferensal basa menebabkan erjadna dua pe kesalahan, au: ) Kesalahan pemoongan, ang dsebabkan oleh cara penelesaan ang dgunakan unuk perkraan nla, ) Kesalahan pembulaan, ang dsebabkan oleh keerbaasan jumlah angka (dg) ang dgunakan dalam hungan. Kesalahan pemoongan erdr dar dua bagan. Perama adalah kesalahan pemoongan lokal ang erjad dar pemakaan suau meode pada sau langkah. Kedua adalah kesalahan pemoongan menebar ang dmbulkan dar perkraan ang dhaslkan pada langkah-langkah berkuna. Gabungan dar kedua kesalahan ersebu dkenal dengan kesalahan pemoongan global. Besar dan sfa kesalahan pemoongan pada meode Euler dapa djelaskan dar dere Talor. Unuk u dpandang persamaan dferensal berbenuk: ' f (, ) (8.7) d dengan ', sedang dan adalah varabel bebas dan ak bebas. Penelesaan dar persamaan ersebu dapa dperkraan dengan dere Talor: Jurusan Teknk Elekro ISTA Yogakara 99

6 Maa kulah KOMPUTASI ELEKTRO n ' '' n... Rn (8.8)!! n! Apabla persamaan (8.7) dsubsuskan ke persamaan (8.8), akan menghaslkan:...!!! f (, ) f '(, ) f ''(, ) Rn (8.9) Tabel 8.. Hasl hungan dengan meode Euler 0,00 0,5 0,50 0,75,00,5,50,75,00,5,50,75,00,5,50,75,00 eksak,00000,56055,875,790,00000,5980,875,99805,00000,805,7875,80,00000,590,7875,055,00000 = 0,5 = 0,5 perk (%) perk (%), , ,500,0 5,5000 6,,7969 9,85,99 6,99 5, ,8,75,79, , 5,500 0,99, ,,9 6,7, ,00,500 56,5,5000,57, ,7,679,05,7969 5,07 5, ,88,875,09 5,6875 0,7 7,500 50,99 5,8679, 5,8069,66 7,00000, 5, ,67 Perbandngan anara persamaan (8.6) dan persamaan (8.9) menunjukkan bahwa meode Euler hana memperhungkan dua suku perama dar ruas kanan persamaan (8.9). Kesalahan ang erjad dar meode Euler adalah karena dak memperhungkan sukusuku erakhr dar persamaan (8.9) au sebesar: f '(, ) f '' (, )... Rn (8.0)!! dengan adalah kesalahan pemoongan lokal eksak. Unuk ang sanga kecl, kesalahan seper ang dberkan oleh persamaan (8.0), adalah berkurang dengan berambahna order (order ang lebh ngg). Dengan demkan suku ang mengandung pangka lebh besar dar dua dapa dabakan, sehngga persamaan (8.0) menjad: a f '(, ) (8.)! dengan a adalah perkraan kesalahan pemoongan lokal. Jurusan Teknk Elekro ISTA Yogakara 00

7 Maa kulah KOMPUTASI ELEKTRO Conoh soal: Hung kesalahan ang erjad dar penggunaan meode Euler dalam conoh sebelumna pada langkah perama. Penelesaan: Kesalahan eksak dhung dengan persamaan (8.0). Oleh karena persamaan ang dselesakan adalah polnomal order maka kesalahan ang dperhungkan hana sampa suku ke ga, karena urunan keempa dar persamaan pangka ga adalah nol, sehngga persamaan (8.0) menjad: f '(, )! f '' (, )! f ''' (, )! Pada langkah perama berar = 0, sehngga nla urunan perama, kedua dan kega adalah: f '(, ) f '' (, ) f '''(, ) 6. ( 0) 6(0 ) (0) 0 (0). 0. Dengan demkan kesalahan ang erjad unuk = 0,5 adalah: (0,5 0 ) (0,5 ) (0,5 ) 6 Sedang = 0,5 kesalahanna adalah:,05. (0,5 0 ) (0,5 ) (0,5 ) 6 0,5655. Dengan menggunakan = 0,5 kesalahan ang erjad lebh kecl dbandng dengan penggunaan = 0,5. Kesalahan ersebu erjad pada langkah perama, dan akan meramba pada langkah-langkah berkuna, karena nla perkraan pada langkah perama (ang mempuna kesalahan) dgunakan sebaga dasar hungan pada langkah selanjuna. Jurusan Teknk Elekro ISTA Yogakara 0

dokumen-dokumen yang mirip

BAB IV METODA RUNGE-KUTTA ORDE 4 PADA MODEL ALIRAN FLUIDA YANG TERGANGGU

BAB IV METODA RUNGE-KUTTA ORDE 4 PADA MODEL ALIRAN FLUIDA YANG TERGANGGU Pada bab III, ka elah melakukan penguan erhadap meoda Runge-Kua orde 4 pada persamaan panas. Haslnya, solus analk persamaan panas