b. Tentukan eigenket-eigenket dari sistem tersebut sebagai kombinasi linier dari 1 dan 2

Transkripsi

1 Solus UTS Mekanka Kuantum Program Stud S Fska Tanggal ujan: 6 Oktoer 7 Dosen: Muhammad Azz Majd, Ph.D. Assten: Ahmad Syahron, S.S. Soal Hamltonan seuah sstem -keadaan two states system dnyatakan dengan H E d mana E adalah langan konstan erdmens energ, serta dan adalah ket-ket ass yang dplh. a. Htung harga-harga egen energ sstem terseut.. Tentukan egenket-egenket dar sstem terseut seaga komnas lner dar dan c. Andakan saat n sstem dalam keadaan dengan energ terendah. Jka dlakukan pengukuran leh lanjut, htung proaltas sstem dtemukan erada pada keadaan. Solus a. Msal representas matrks dar ket dan yang merupakan ass dnyatakan seaga. dan. maka, Hamltonan d atas dapat dnyatakan dalam entuk matrks seaga erkut H. E E E 3E Untuk mencar harga-harga egen λ dan λ dar matrks H d atas, maka kta perlu menyelesakan persamaan erkut n deth λi E λ E det E 3E λ E λ3e λ E E 3E E λ 3E λ + λ E λ E λ E Unverstas Indonesa

2 Kemudan car akar-akarnya λ dan λ λ, E ± E E E ± E E ± E E ± E E ±. Egenket-egenket dar sstem terseut dapat kta car dengan cara menyelesakan persamaan matrks erkut E λ E a E 3E λ dengan a Untuk λ E + adalah egenket dar H. E E + E E 3E E + a Sehngga egenket atau egenvector dtuls seaga ae ae + + E a a ae E a + a + yang ersesuaan dengan nla egen λ E + dapat Dar sn dapat kta lhat ahwa semua vektor yang merupakan kelpatan dar merupakan egenstate dar H dengan nla egen λ E +. juga Unverstas Indonesa

3 Besar dar vektor dapat dhtung dengan cara erkut Sehngga egenket dengan nla egen λ E + yang telah ternomalsas dapat dtuls seaga + + Dengan cara yang sama sepert d atas, egenket dengan nla egen λ E yang telah ternormalsas dapat dtuls seaga c. Bla sstem saat n erada dalam keadaan dengan energ terendah, maka jka dlakukan pengukuran leh lanjut, proaltas menemukan sstem erada pada adalah Unverstas Indonesa

4 Soal Pandang masalah preses spn partkel dengan spn- d mana medan magnet konstan seesar B derkan pada arah sumu z postf. Dketahu pada saat t sstem erada pada keadaan α S x ;. a. Nyatakan Hamltonan sstem.. Tentukan entuk eksplst αt untuk t dalam S z ; +, S z ;, dan t. c. Htung proaltas untuk mendapatkan sstem erada pada keadaan S y ; ± pada t. d. Htung harga ekspektas S y seaga fungs waktu. Solus a. Hamltonan sstem partkel spn- yang derkan medan magnet konstan seesar B ke arah sumu z postf dapat dnyatakan dengan H µ B e S mc B e S mc B eb mc S z. Jka dketahu pada t sstem erada pada keadaan α, t S x ; + dengan + S z ; + dan S z ;, maka sstem terseut erevolus terhadap waktu sepert pada persamaan erkut α, t exp Ht α, t exp eb mc ts z + e ωt/ + e ωt/ Unverstas Indonesa

5 c. Pada t, proaltas untuk mendapatkan sstem erada pada keadaan S y ; ± dapat dhtung dengan cara S y ; ± α, t + e ωt/ + e ωt/ e ωt/ ± eωt/ e ωt/ ± e ωt/ e ωt/ e e ωt/ ωt/ ± e ωt/ e ωt/ e ωt/ ± e ωt e ωt + e ωt/ e ωt/ ± e ωt e ωt ± sn ωt sn ωt d. Harga ekspektas S y seaga fungs waktu dapat dhtung dengan cara α, t S y α, t α, t α, t α, t e ωt/ + e ωt/ e ωt/ + e ωt/ eωt/ + + e ωt/ e ωt/ e ωt/ sn ωt sn ωt Unverstas Indonesa

6 Soal 3 Pandang seuah sstem dengan langan kuantum momentum angular j. a. Tulslah representas matrks operator J y dalam ass-ass J z.. Tunjukkan ahwa untuk j operator untary pemutaran ket terhadap sumu y dengan sudut putar β dapat dnyatakan seaga serta temukan A, B, dan C. A + BJ y + CJ y, c. Jka sstem semula dalam keadaan α J z ; +, nyatakan α, yatu ket setelah sstem mengalam pemutaran pada soal, dalam J z ; +, J z ;, dan J z ; Solus a. Operator J y dalam ass-ass J z dapat dnyatakan dengan J y J + J Untuk menyatakan J y seaga matrks, maka kta perlu menghtung elemen-elemen matrknya dengan cara j, m J y j, m j, m j, m Sehngga, untuk j operator J y dapat dnyatakan seaga matrks 3 3 erkut. J y,,,,,,,,,,,,,,,,,, Untuk menghtung nla elemen-elemen matrknya, maka kta perlu mengetahu agamana J + dan J ekerja pada j, m J ± j, m j mj ± m + j, m ± 6 Unverstas Indonesa

7 Contoh:. elemen matrks ars pertama kolom pertama sedangkan,,, J +, J, J +, + +, J, + +,, sehngga,,, J +, J,,,,,. elemen matrks ars pertama kolom kedua sedangkan,,, J +, J, J +, + +,, J, + +,, sehngga,,, J +, J,,,,,,,, Jka dlakukan prosedur yang sama untuk elemen-elemen matrks lannya, maka akan ddapatkan J y. 7 Unverstas Indonesa

8 . Dengan mengalkan matrks J y d atas dengan matrks J y tu sendr eerapa kal, maka dapat 3 kta tunjukkan ahwa. Sehngga operator rotas terhadap sumu-y seesar β dapat dnyatakan dan d-ekspans-kan seaga erkut dengan exp J y β J y J y β β β3 3! + β J y sn β J y sn β A + BJ y + CJ y β 3! + β 3 3! + β! +...! +... β! β! β! β! +... cos β A ; B sn β ; dan C cos β c. Setelah mengalam rotas pada soal 3, keadaan α J z ; + menjad α exp J y β Jz ; + A + BJ y + C ; + Dar soal 3a d atas, kta tahu agamana J y ekerja pada ; +, yatu J y ; +,,, Dengan demkan J y ; + J y ; + J y, J y, J +, J,, +,, +, 8 Unverstas Indonesa

9 Sehngga α A + BJ y + C ; + A ; + + B, + C, +, A + C ; + + B, C, + cos β sn β cos β ; + +, +, 9 Unverstas Indonesa