SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN PROGRAM MATLAB SKRIPSI

Transkripsi

1 SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN PROGRAM MATLAB SKRIPSI oleh: RILA DWI RAHMAWATI NIM: JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MALANG MALANG 007

2 SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN PROGRAM MATLAB SKRIPSI Dajukan Kepada: Unversas Islam Neger (UIN) Malang Unuk Memenuh Salah Sau Persaraan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sans (S.S) Jurusan Maemaka oleh: RILA DWI RAHMAWATI NIM: JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 007

3 SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN PROGRAM MATLAB SKRIPSI oleh: RILA DWI RAHMAWATI Nm: Telah dperksa dan dseuju unuk duj Tanggal : 0 November 007 Pembmbng Maemaka Pembmbng Agama Wahu Henk Irawan, M.Pd NIP Ahmad Barz, M.A NIP Mengeahu, Keua Jurusan Maemaka Sr Harn, M.S NIP

4 SOLUSI SISTEM PERSAMAAN DIFFERENSIAL NON LINEAR MENGGUNAKAN METODE EULER BERBANTUAN PROGRAM MATLAB SKRIPSI oleh : RILA DWI RAHMAWATI NIM: Telah Dperahankan d Depan Dewan Penguj Skrps dan Dnaakan Derma Sebaga Salah Sau Persaraan Unuk Memperoleh Gelar Sarjana Sans (S.S) Tanggal, 7 Desember 007 SUSUNAN DEWAN PENGUJI. ( Penguj Uama ) Evawa Alsah, M.Pd NIP TANDA TANGAN.. ( Keua Penguj ) Usman Pagala, M.S NIP ( Sekrears ) Wahu Henk Irawan, M.Pd NIP ( Anggoa ) Ahmad Barz, M.A NIP Mengeahu dan Mengesahkan Keua Jurusan maemaka Sr Harn, M.S NIP

5 MOTTO Karena Sesungguhna sesudah kesulan u ada kemudahan, Sesungguhna sesudah kesulan u ada kemudahan (Qs.Alam Nasrah / 94:5-6) Sungguh membeban pkran dengan kesulan ang belum ba wakuna adalah suau kebodohan ang naa. Muhammad Al-Ghazal

6 PERSEMBAHAN Alhamdulllah puj sukur kepada Allah Sw akhrna penuls dapa menelesakan skrps n dengan bak. SKRIPSI INI KUPERSEMBAHKAN KEPADA: Bapak dan I buku ercn a ang senan asa mendoakan ananda se ap saa dan selalu memberkan dukungan morl maupun ma erl, sampa kapanpun ananda dak akan bsa membalasna kecual dengan kara kecl n. Adkq ersaang, ang selalu mensuppor penuls dalam menelesakan skrps n, Semanga lah dalam mencar lmu bar kelak menjad orang ang berguna. Seluruh keluargaq d Mage an, erma kash a as doa dan dukungan kalan semua. Mz- Sabar ang akan j ad pendampng hdupq, meskpun j auh gak pernah lelah dan bosan member mo vas dan semanga hngga skrps n bsa erselesakan, bag Qa jarak bukanlah pemsah ap merupakan anugerah ang pau ka sukur.

7 Ucapan Terma kash kepada: - Bapak Wahu Henk Irawan, Bapak Ahmad Barz, Ibu Evawa Alsah, Ibu Ar Kusumasu sera Bapak Jamhur ang elah membmbng dan mengarahkan penuls sera dak bosan member naseha dan semanga sehngga kara n bsa erselesakan dengan bak. - Seluruh Guru dan Dosenku ang dengan khlas memberkan lmu kepadaku. Terma kash banak aas lmu ang elah Engkau berkan, semoga menjad lmu ang manfa a dan barokah. - Teman-eman seperjuangan ang elah member banak masukan, naseha dan semanga kepadaku sera Teman-eman, jurusan Maemaka angkaan Seluruh warga Arkesa 5A ang selama n elah mengs har-harku, semoga ka dapakan mpan ka masng-masng. Terma kash banak aas semuana. Mohon ma af aas semua salah dan khlaf. - Mbak alf moe sera Sahaba-sahaba erbakku ang elah banak memberkan perolongan dan movas kepadaku. Semoga Allah Sw membalas kebakan kalan semua. - Semua phak ang dak dapa kusebukan sau-sau, ang elah banak membanu dalam penulsan skrps n, semoga Ilmuna bermanfaa dan Allah ang akan membalas bud kalan semua.

8 KATA PENGANTAR Puj sukur kehadra Allah SWT ang elah memberkan rahma dan kemudahan sehngga penuls dapa menelesakan skrps dengan judul Solus Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear Menggunakan Meode Euler berbanuan Program Malab dengan bak. Skrps n duls unuk melengkap ugas akhr dar perkulahan ang elah djalankan oleh penuls selama masa sudna d Fakulas Sans dan Teknolog, Jurusan Maemaka. Sholawa sera salam semoga ercurahkan kepada sang Pembaharu au pembawa pencerahan, Nab Agung Muhammad SAW, ang elah mencerahkan duna dan sna dengan sur auladanna. Dalam menelesakan skrps n, penuls merasa berhuang bud kepada berbaga phak ang elah banak membanu dan memberkan movas sera krkan ang konsrukf dalam menusun skrps n, oleh karena u penuls mengucapkan erma kash ang sebesar-besarna kepada:. Bapak Prof. Drs. H. Imam Supraogo selaku Rekor Unversas Islam Neger (UIN) Malang.. Bapak Prof.Drs.Suman B.Sumro,SU.,Dsc. Selaku Dekan Fakulas Sans dan Teknolog jurusan Maemaka UIN Malang. 3. Ibu Sr Harn, M.S. selaku keua jurusan Maemaka UIN malang.

9 4. Bapak Wahu Henk Irawan, M.Pd. Selaku Dosen Pembmbng maemaka ang dak pernah lelah dan bosan membmbng sera mengarahkan penuls sehngga skrps n dapa erselesakan dengan bak. 5. Bapak Ahmad Barz, M.A. Selaku Pembmbng Inegras Sans dan Agama, ang juga dak pernah lelah dan bosan membmbng sera mengarahkan penuls sehngga skrps n dapa erselesakan dengan bak. 6. Ibu Evawa Alsah, Ibu Ar Kusumasu sera Bapak Jamhur ang elah banak memberkan masukan, naseha dan movas kepada penuls sehngga skrps n bsa erselesakan dengan bak. 7. Bapak dan Ibuku ercna ang dengan sepenuh ha memberkan dukungan morl maupun sprul sera keulusan do ana sehngga penulsan skrps n dapa erselesakan. 8. Adkku ersaang, ang selalu memberkan dukungan kepada penuls sehngga penuls mendapakan semanga. 9. Keluargaku d Magean, erma kash aas doa dan dukunganna. 0. Seluruh Dosen Maemaka UIN malang, erma kash aas lmu ang kalan berkan semoga menjad lmu ang manfaa dan barokah.. Teman-eman Maemaka, eruama angkaan 003 erma kash aas kebersamaan kalan semua.. Warga Arkesa 5A sera eman-emanku ang dak bsa kusebukan sausau ang selalu memberkan dukungan dan semanga kepada penuls, erma kash aas canda awa kalan semua.

10 3. Semua phak ang elah mendukung penuls dalam menelesakan skrps n. Semoga aas banuan dan dorongan ang dcurahkan kepada penuls akan menjad caaan amal badah ang derma dss Allah SWT. Penuls menadar bahwa dalam penusunan skrps n jauh dar kesempurnaan, semua u karena keerbaasan kemampuan penuls dalam menganalss fenomena ang ada, namun saran dan krk selalu penuls harapkan dem perbakan pada penelan selanjuna. Semoga skrps n dapa berguna bag semua phak, dan dapa djadkan pelajaran ang bermakna bag penuls khususna dan bag para pembaca pada umumna. Amn... Malang, Desember 007 Penuls

11 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI...v DAFTAR TABEL...v DAFTAR GAMBAR...v DAFTAR LAMPIRAN...v ABSTRAK... BAB I: PENDAHULUAN A. Laar Belakang Masalah... B. Rumusan Masalah...5 C. Baasan Masalah...5 D. Tujuan Penulsan...6 E. Manfaa Penulsan...6 F. Meode penelan...7 G. Ssemaka Penulsan...8 BAB II: KAJIAN TEORI A. Persamaan Dfferensal...9. Persamaan Dfferensal Basa...0. Persamaan Dfferensal Parsal Persamaan Dfferensal Lnear Persamaan Dfferensal Non Lnear... B. Ssem Persamaan Dfferensal...3. Ssem Persamaan Dfferensal Lnear...4. Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear...5 C. Masalah Nla Awal...6

12 D. Konsep Dasar dan Defns Ssem oonomus...7. Persamaan Dfferensal Non Lnear Orde Dua...7. Bdang phase Ssem Oonomus Lnasan aau Orb dar Ssem Oonomus Solus dar Ssem Oonomus Tk Krs dar Ssem Oonomus...9 E. Meode Euler. Pengeran Meode Euler...0. Perkraan Gala aau Kesalahan Meode Euler Algorma...9 F. Malab...30 BAB III. PEMBAHASAN A. Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear Pada Oonomus dengan Meode Euler...33 B. Conoh Soal Pada Oonomus dan Penelesaanna dengan Meode Euler dan program Malab...36 C. Analss Penelesaan Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear Pada Oonomus Menggunakan Meode Euler Dengan Banuan Program malab...45 BAB IV. PENUTUP A. Kesmpulan...50 B. Saran...5 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

13 DAFTAR TABEL. Tabel Fungs Maemaka Pada Malab Hasl Ieras Meode Euler dengan h 0, 4 Berbanuan Malab Hasl Ieras Meode Euler dengan h 0, 05 Berbanuan Malab Hasl Perhungan Meode Euler Unuk Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear Pada Oonomus dengan Nla h Yang Semakn Kecl...45

14 DAFTAR GAMBAR. Rumus Euler Bagan Alur Unuk Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear Pada Oonomus Menggunakan Meode Euler Grafk Meode Euler dengan h Grafk Meode Euler dengan h 0,

15 . Program Kompuer Meode Euler DAFTAR LAMPIRAN

16 ABSTRAK Rahmawa,Rla Dw Solus Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear Menggunakan Meode Euler Berbanuan Program Malab. Jurusan Maemaka. Fakulas Sans dan Teknolog, Unversas Islam Neger Malang. Pembmbng:(I).Wahu Henk Irawan, M.Pd.,(II)Ahmad Barz,M.A Kaa Kunc: Ssem Persamaan Dfferensal, Non Lnear, Meode Euler, Program Malab. Suau persamaan dfferensal maupun ssem persamaan dfferensal ang sul dselesakan secara analk dapa dselesakan secara numerk. Penghungan numerk merupakan eknk unuk menelesakan permasalahan ang dformulaskan secara maemas dengan operas hungan, karena merupakan pendekaan erhadap nla eksak maka dupaakan kesalahanna sekecl mungkn. Allah berfrman Sesungguhna Allah elah menenukan jumlah mereka dan menghung mereka dengan hungan ang el (Qs.Maram/8:94),dan penghungan numerk merupakan penghungan ang memerlukan keelan unuk menghndar kesalahan. Salah sau kajan dalam meode numerk adalah menelesakan ssem persamaan dfferensal non lnear dengan menggunakan meode Euler ang merupakan meode sau langkah ang palng sederhana dengan banuan malab ang merupakan bahasa pemrograman maemaka unuk analss dan kompuas numerk. Berdasarkan laar belakang ersebu penelan dlakukan dengan ujuan unuk menjelaskan langkah-langkah penelesaan ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus ang memlk bdang phase, lnasan sera solus ssem oonomus dengan menggunakan rumus Euler berbanuan program Malab. Jens penulsan n merupakan penelan kepusakaan aau penelan leraur ang berujuan unuk mengumpulkan daa aau nformas khususna ssem persamaan dfferensal non lnear enang oonomus dan meode Euler sera program Malab. Kajan n, dberkan conoh ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus dan mengurakan langkah-langkah penelesaanna dengan menggunakan perhungan meode Euler dan banuan program Malab, dar hasl perhungan nla ang dgunakan unuk menganalss ssem oonomus au nla () dan () ang mempuna kesalahan erkecl (mendeka nol) agar menghaslkan suau kurva selesaanna, lnasan dar ssem ersebu merupakan kurva pada bdang ang juga dsebu sebaga bdang phase dan solus ssem oonomus erleak pada nla () dan () dengan kesalahan erkecl. Pada meode Euler dbuuhkan keelan, dengan memberkan nla h ang semakn kecl maka semakn bak mendapakan hasl ang dngnkan eap dengan waku hunganna menjad lebh lama.

17 BAB PENDAHULUAN A. Laar Belakang Maemaka merupakan lmu pengeahuan ang mengalam perkembangan secara erus-menerus dar masa kemasa, semakn berkembangna lmu pengeahuan maka akan mempermudah dalam menelesakan suau permasalahan. Dalam perkembangan dan kemajuanna, maemaka dapa memberkan sumbangan ang besar dalam memecahkan masalah-masalah pada bdang eknk, perekonoman, sans dan permasalahan-permasalahan lanna ang erjad daas permukaan bum n. Banak permasalahan-permasalahan baru ang sebelumna belum erselesakan namun kn dapa dpecahkan dengan maemaka, sehngga maemaka mendapa perhaan ang besar dar banak kalangan. Meode numerk merupakan suau bagan lmu maemaka, khususna maemaka rekaasa ang menggunakan blangan unuk menrukan proses maemak, proses maemak n selanjuna drumuskan unuk menggambarkan keadaan sebenarna. Permasalahan dbdang sans basana dapa dmodelkan dalam persamaan maemaka. Apabla persamaan ersebu mempuna benuk sederhana, maka penelesaanna dapa dlakukan secara analk. Pada umumna benuk persamaan ang sul dselesakan secara analk maka penelesaanna dapa dlakukan secara numerk. Meode numerk sebaga alernaf dar meode

18 analk dapa dkaakan sebaga suau rekaasa dalam menelesakan masalah maemak ang sul aau bahkan dak dapa dselesakan secara analk. Hubungan numerk dengan maemaka rekaasa dapa dkaakan bahwa dalam ar luas ukuran aau qadar adalah kemampuan merekaasa sesuau sesua dengan proporsna. Dalam hal n, manusa sebaga makhluk Allah Sw ang palng sempurna, dlengkap akal pkran, ang dengan akal pkran ersebu manusa dunu unuk menelesakan suau masalah aau bahkan merekaasa penelesan masalah ersebu. Dalam menelesakan suau masalah, manusa dak akan berhen pada sau cara saja, eap dak menuup kemungknan cara lan ang lebh mudah unuk penelesaanna. Sebaga conoh, Allah Sw memberkan alernaf pada hamba-na ang sedang sak dalam melaksanakan shola, dengan beberapa alernaf. Dalam hal n Allah memberkan kemudahan dan alernaf kepada semua umana unuk menelesakan seap permasalahan ang sedang dhadap. Sesua frmanna dalam sura Alam Nasrah aa 5-6 au: Arna: Karena Sesungguhna sesudah kesulan u ada kemudahan, Sesungguhna sesudah kesulan u ada kemudahan (Qs.Alam Nasrah / 94:5-6) Penghungan numerk adalah suau eknk unuk menelesakan permasalahan-permasalahan ang dformulaskan secara maemas dengan cara operas hungan, hasl dar penelesaan numerk merupakan nla perkraan aau pendekaan dar penelesaan analk aau eksak, karena merupakan nla

19 pendekaan, maka erdapa gala aau kesalahan erhadap nla eksak, nla gala aau kesalahan ersebu dupaakan sekecl mungkn erhadap ngka gala aau kesalahan ang deapkan (Tramodjo,00:). Frman Allah dalam Sura Maram 94 au: Arna: Sesungguhna Allah elah menenukan jumlah mereka dan menghung mereka dengan hungan ang el (Qs.Maram /9:94) Aa d aas menjelaskan bahwa Allah elah meneapkan balasan dan dengan berbaga dall ang pas bahwa mereka akan erombang-ambng ddalam kesesaan sera berpalng dar kebenaran (Mushafa,987:54). Sehngga penghungan numerk merupakan penghungan ang memerlukan keelan unuk menghndar gala aau kesalahan ang dmbulkan. Dalam penghungan numerk erdapa beberapa proses hungan unuk menelesakan suau pe persamaan maemas. Operas hungan dlakukan dengan eras (pengulangan). Oleh karena u dperlukan banuan kompuer unuk melaksanakan operas hungan ersebu. Tanpa banuan kompuer penghungan numerk dak banak memberkan manfaa. Banuan kompuer ang dgunakan danarana dapa berupa Forran, Basc, Malab dan lan-lan (Tramodjo,00:). Dalam numerk banak meode ang bsa dgunakan unuk menelesakan persamaan dferensal maupun ssem persamaan dfferensal. Ssem persamaan dfferensal merupakan persamaan ang erdr dar dua aau lebh fungs. Ssem

20 persamaan dfferensal non lnear dengan dua fungs ak dkeahu berbenuk ' f (, ) dan g(, ) ' (Harano,99:94), dmana f dan g mempuna urunan parsal ang konnu unuk semua,, unuk mencar solus eksak dar ssem persamaan dfferensal non lnear sanga dak mungkn sehngga dperlukan meode numerk unuk menelesakanna. Salah sau meode ang dgunakan unuk menelesakan ssem persamaan dfferensal non lnear ersebu adalah meode Euler. Meode Euler merupakan salah sau dar meode sau langkah ang palng sederhana. Meode n membanu menggambarkan konsep-konsep ang erlba dalam meode lanju dan meode n penng unuk dpelajar karena analss galana mudah unuk dmenger (Sa djah,99:75). Meode n merupakan pemecahan masalah dalam ssem karena lebh sederhana, dengan d, d dan d dar persamaan ersebu apabla dsubsuskan kepersamaan d f (,, ) d dan d g (,, ) d maka ddapakan: f,, dan g,, ) ( (Mahews&Fnk,98:488). Dalam menelesakan ssem persamaan dfferensal non lnear menggunakan meode Euler dapa menggunakan banuan Malab, ang merupakan suau bahasa pemrograman maemaka unuk analss dan kompuas numerk. Kelebhan dar Malab u sendr adalah memudahkan menelesakan masalah pemrograman dalam benuk mark (Arham&Desan,005:).

21 Penerapan ssem persamaan dfferensal non lnear juga banak dgambarkan dalam model maemas seper pada persamaan ssem Oonomus, persamaan Van der pool sera dalam keadaan ang lebh mendeka kenaaan, msalna pada bolog au pada neraks populas (Loka dan Volerra), pada fska au mekanka ak lnear gerak aunan sederhana maupun pada bdang kma, eknk, dan ekonom. Selan u ssem persamaan dfferensal non lnear juga dapa derapkan pada penelan suau kasus d kehdupan naa seper pada kasus flu burung, HIV, pembelahan sel pada manusa sera mash banak ang lanna ang mash erus dkembangkan. Oleh karena u penuls mengangka ema penelan n dengan Solus Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear Menggunakan Meode Euler Berbanuan Program Malab. B. Rumusan Masalah Berdasarkan laar belakang daas, rumusan masalah dalam penulsan n adalah bagamana penelesaan ssem persamaan dfferensal non lnear dengan meode Euler berbanuan program Malab? C. Baasan Masalah Ruang lngkup pembahasan dalam skrps n adalah pada ssem persamaan dfferensal basa non lnear orde sau pada oonomus ang berbenuk ' f (, ), dan ' g(, ) dengan dua persamaan ang salng erka hana pada bdang phase, lnasan dar ssem oonomus sera solus dar ssem

22 oonomus, dan pada selang 0 b dengan konds awal ( ) dan 0 0 ( dengan banuan Malab ) 0 D. Tujuan Penulsan Tujuan penulsan n adalah unuk mengeahu penelesaan ssem persamaan dfferensal non lnear dengan meode Euler berbanuan Malab dengan mengurakan langkah-langkah menelesakan ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus menggunakan rumus Euler berbanuan program Malab. E. Manfaa Penulsan. Bag Penuls Unuk mengembangkan dan mengaplkaskan pengeahuan dan kelmuan dbdang maemaka khususna dfferensal dan numerk.. Bag Pembaca Sebaga ambahan pengeahuan bdang maemaka khususna meode numerk dan ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus. 3. Bag Lembaga Sebaga bahan pengembangan, perbakan kelmuan dan pemaduan sans dan eknolog Sebaga bahan pusaka enang pembelajaran maa kulah numerk dan dfferensal

23 F. Meode Penelan Meode penelan ang dgunakan dalam penulsan n adalah sud leraur. Sud leraur au melakukan penelusuran dengan penelaahan erhadap beberapa leraur ang mempuna relevans dengan opk pembahasan (Nazr,988:). Adapun leraur ang saa gunakan au: Persamaan Dfferensal Basa karangan Pamunjak & Wdar Sanosa, Dfferenal Equaon hrd karangan Sheple L. Ross, Meode Numerk karangan Bambang Tramodjo dan mash banak ang lanna sera caaan-caaan selama dperkulahan. Langkah umum dalam penulsan n adalah: Merumuskan Masalah Mengumpulkan bahan aau sumber dan nformas dengan cara membaca dan memaham leraur ang berkaan dengan meode Euler dan ssem persamaan dfferensal basa non lnear orde sau pada oonomus Seelah memperoleh daa dan nformas enang meode Euler dan ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus, langkah selanjuna melakukan pembahasan dengan mengurakan langkah-langkah penelesaan ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus menggunakan meode Euler. Kemudan memberkan conoh dan penelesaanna dar ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus menggunakan rumus Euler dengan banuan program Malab.

24 Membua kesmpulan berupa solus ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus menggunakan meode Euler berbanuan program Malab. Melaporkan. G. Ssemaka Pembahasan Skrps n menggunakan ssemaka penulsan dan pembahasan sebaga berku: BAB I, bers enang pendahuluan ang erdr dar laar belakang masalah, rumusan masalah, baasan masalah, ujuan penulsan, manfaa penulsan, meode penelan, dan ssemaka pembahasan. BAB II, bers enang kajan eor ang erdr dar persamaan dfferensal, ssem persamaan dfferensal, masalah nla awal, ssem oonomus, meode euler, dan malab. BAB III, bers enang pembahasan berupa langkah-langkah meode euler unuk menelesakan ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus dan analss penelesaan persamaan oonomus menggunakan meode euler dengan banuan Malab. BAB IV, bers penuup ang erdr dar kesmpulan berupa langkahlangkah meode euler dalam menelesakan ssem persamaan oonomus dan hasl analss ang sudah dlakukan sera saran unuk orang ang bergelu dbdang ersebu.

25 BAB II KAJIAN TEORI A. Persamaan dfferensal Defns : Persamaan dfferensal adalah persamaan ang menangku sau aau lebh fungs (peubah ak bebas) besera urunanna erhadap sau aau lebh peubah bebas (Pamunjak dan Sanosa,990:-) Conoh : u u C a) u b) d d d d c) ''' '' ( ) ' cos Tngka (orde) persamaan dfferensal adalah ngka erngg urunan ang mbul. Sedangkan deraja (pangka) persamaan dfferensal ang dapa duls sebaga polnomal dalam urunan, adalah deraja urunan ngka erngg ang erjad (Ares,995:) Menuru peubah bebas, persamaan dfferensal dapa dbedakan menjad dua macam au persamaan dfferensal basa dan parsal sedangkan persamaan dfferensal dlha dar benuk fungs aau pangkana juga dbedakan menjad dua au persamaan dfferensal lnear dan persamaan dfferensal non lnear.

26 . Persamaan dfferensal basa adalah persamaan dfferensal ang menangku sau aau lebh fungs (peubah ak bebas) besera urunanna erhadap sau peubah bebas (Pamunjak dan Sanosa,990:-) Conoh : d d d e d g sn e l 0 Pada mod el maemaka masalah bandul. Persamaan dfferensal parsal adalah persamaan dfferensal ang menangku sau aau lebh fungs (peubah ak bebas) besera urunanna erhadap lebh dar sau peubah bebas (Pamunjak dan Sanosa,990:-). Conoh : v v c v 3. Persamaan Dfferensal lnear Sebuah persamaan dfferensal ermasuk persamaan dferensal lner jka memenuh dua hal berku: a. Varabel-varabel erka dan urunanna palng ngg berpangka sau. b. Tdak mengandung benuk perkalan anara sebuah varabel erka dengan varabel erka lanna, aau urunan ang sau dengan urunan lanna, aau varabel erka dengan sebuah urunan ( Kusumah,989:4)

27 Jad slah lner berkaan dengan kenaaan bahwa ap suku dalam persamaan dfferensal u, peubah-peubah, n, ', berderaja sau aau nol. Benuk umum persamaan dfferensal lner orde-n adalah: (Ladas,988: 58) n n an ( ) an ( ) a( ) ' a0 ( ) f ( ) (.) Conoh 3:. ' 3. ''' '' ' 4. Persamaan Dfferensal Non Lnear adalah persamaan dferensal ang bukan persamaan dfferensal lner (Pamunjak dan Sanosa,990:-5). m Dengan demkan persamaan dfferensal F,,, 0 adalah persamaan dfferensal ak lner, jka salah sau dar berku dpenuh oleh F : a. F dak berbenuk polnom dalam,,, m b. F dak berbenuk polnom berpangka lebh dar dalam,,, m Conoh 4:. 0 persamaan dfferensal ak lner karena F,,, polnom berpangka dua dalam,,. d d. sn cos 0 d d ak lner, karena F ak berbenuk polnom d d dalam,,. d d

28 Konsep persamaan ersebu dapa dgambarkan dengan kedudukan manusa sebaga mahluk Allah Sw d hadapan-na. Allah Sw menla kedudukan hamba- Na dak dlha dar seg kekaaan, keampanan maupun kepnaranna, akan eap dlha dar keakwaanna. Dengan kaa lan, kedudukan (orde aau ngka) manusa d hadapan Allah Sw adalah sama, dak ada perbedaan d anara manusa, melankan keakwaanna. Sebagamana frman Allah Sw:... Arna: Sesungguhna orang ang palng mula danara kamu d ss Allah alah orang ang palng aqwa danara kamu. Sesungguhna Allah Maha mengeahu lag Maha Mengenal.(Qs.Al-Hujura / 49: 3) D ss lan, hubungan kedua komponen pembenuk persamaan dfferensal au peubah bebas dan peubah ak bebas, dapa dgambarkan dengan frah manusa, dmana Allah mencpakan manusa dalam keadaan frah dan dak mengeahu sesuaupun, bak pendengaran, penglhaan dan ha agar bsa bersukur. Frman Allah ang berbun: Arna: Dan Allah mengeluarkan kamu dar peru bumu dalam keadaan dak mengeahu sesuaupun, dan da member kamu pendengaran, penglhaan dan ha, agar kamu bersukur (Qs.An-Nahl / 6:78) Aa d aas menjelaskan bahwa seap anak ang baru dlahrkan dak mengeahu sesuau apapun, bak burukna keprbadanna denukan oleh

29 lngkunganna masng-masng, eruama kedua orang uana ang akan memberkan pengeahuan awal dalam proses pembenukan keprbadanna ersebu. Jka hal n derjemahkan secara maemas ada sebuah hubungan keerganungan anara anak dengan orang ua, anak sebaga peubah ak bebas dalam proses pembenukan keprbadanna denukan oleh kedua orang ua ang menddkna, sehngga orang ua dalam hal n dsebu peubah bebas. Jad pada dasarna ada pesan ang ngn dsampakan Allah melalu frah pencpaan manusa au hubungan keerganungan anara peubah ak bebas erhadap peubah bebas ang dalam perkembangan selanjuna secara khusus dpelajar secara dfferensal sebaga salah sau cabang dalam lmu maemaka. C. Ssem Persamaan Dfferensal Defns : Ssem persamaan dfferensal adalah suau persamaan dfferensal berorde n dan elah d naakan sebaga suau ssem dar n persamaan berorde sau (Cone dan Boor,993:359). Persamaan u dapa duls dalam benuk: n ' f (, ( ), ( ),, n ( )) (.) Secara umum, suau ssem n persamaan orde perama mempuna benuk sebaga berku:

30 ),,,, ( ),,, ( ),,,, ( ', ' ' n n n n n n f d d f d d f d d...(.3) Ssem persamaan dfferensal merupakan persamaan dfferensal ang mempuna lebh dar sau persamaan ang harus konssen sera rval. Ssem persamaan dfferensal adalah gabungan dar n buah persamaan dfferensal dengan n buah fungs ak dkeahu, dalam hal n, n merupakan blangan bula posf. Ssem persamaan dfferensal juga dbedakan menjad dua au ssem persamaan dfferensal lnear dan ssem non lnear.. Ssem Persamaan Dfferensal Lnear adalah ssem persamaan ang erdr dar n buah persamaan dfferensal lnear dengan n buah fungs ak dkeahu. berbenuk: ) ( ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (... f a a a f a a a f a a a n n nn n n n n n n n (.4) Ssem persamaan dfferensal lnear dengan dua fungs ang ak dkeahu berbenuk: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' f d c f b a (.5)

31 Dengan dan fungs-fungs f, f merupakan fungs ang konnu pada suau selang I dan, adalah fungs ang dak d keahu (Ladas,988:3). Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear Ssem persamaan ang erdr dar n buah persamaan dfferensal ak lnear dengan n buah fungs ak dkeahu. Ssem n dsebu juga ssem ak lnear. Benuk umum ssem persamaan dfferensal non lnear dapa duls: d d d d f (, ) g(, ) (.6) f dan g mempuna urunan parsal ang konnu unuk semua,, dengan: d d d d f (, ) g(, ), d d f (, ) g(, ) (Harano,99:94) Sebuah persamaan dfferensal dsebu ssem jka erdr dar n buah persamaan dfferensal (n ). Begu juga manusa, dalam kehdupan n manusa dunu unuk membenuk suau ssem dengan cara berneraks dengan manusa lan, au dengan membenuk suau ssem kemasarakaan. Sebaga conoh dalam proses pembaaran zaka, ang erdr dar 3 komponen ang membenukna, au:. = Pember zaka (muzakk). = Aml zaka. 3 = Penerma zaka (musakhq zaka)

32 . Dalam konsep maemaka, varabel, dan 3 akan membenuk suau ssem persamaan dfferensal. Sehngga analogna, anara pember zaka (muzakk), aml zaka dan penerma zaka (musakhq zaka) akan membenuk suau ssem, au proses pembaaran zaka... D. Masalah Nla Awal Defns 3: Masalah nla awal persamaan bag persamaan dfferensal orde-n au: F n d d,,,, n d d 0 darkan sebaga mencar sebuah selesaan persamaan dfferensal dalam nerval I : a b sedemkan hngga d k 0 berlaku konds awal dengan 0 dalam selang ( n ) ( 0 ) 0, '( 0 ),, '( 0 ) n a b dan 0,,, n merupakan konsana (kusumah,989:35). Masalah mencar solus ssem persamaan dfferensal (.3) pada selang I adalah mencar fungs-fungs ), ( ),, ( ) ( n n ang ddefnskan pada selang I sehngga ada (erdefns) pada I dan memenuh ' ' ',,, n hubungan (.3). Jad fungs-fungs ), ( ),, ( ) ( n n solus ssem persamaan persamaan dfferensal (.3) pada selang I adalah apabla fungs-fungs ersebu besera urunanna memenuh (.3).

33 Mencar solus ssem persamaan dfferensal (.3) pada selang I ang memenuh sara awal ( ) a, ( ) a,, ( ) a I dsebu 0 0 n 0 n, 0 masalah nla awal (Nababan,987:8.5). E. Konsep Dasar dan Defns Ssem Oonomus. Persamaan dferensal non lnear orde dua Benuk umum persamaan dferensal non lnear orde dua au: d d F d, d (.7) (L.Ross.984:63) d d Conoh: ( ) 0 d d (.8) Dengan µ adalah suau konsana posf. Hubungan anara persamaan (.7) dan d d (.8) adalah F, ( ). d d d Jka = maka d d d F, aau d d d d F(, ) ssem persamaan dferensal nonlnear

34 . Bdang Phase d Bdang phase adalah suau bdang dar varabel-varabel dan karena d d d =, maka bdang phase adalah penederhanaan dar dan ang elah d d djelaskan daas (L.Ross.984:633). 3. Ssem Oonomus Ssem oonomus adalah ssem ang berbenuk: d d d d f g,, (.9) Dengan varabel bebas, ang erlha hana pada pendeferensalan d druas kr dan dak ekspls pada fungs f dan g druas kanan (L.Ross.984:633) 4. Lnasan aau Orb dar Ssem Oonomus Lnasan aau orb dar ssem oonomus adalah suau kurva pada bdang ang ddefnskan oleh solus f ( ), g( ). Jka pasangan eruru fungs ang ddefnskan oleh solus f ( ), g( ) dengan adalah sebarang blangan real, maka pasangan eruru fungs f ( ), g( ) juga merupakan solus dar ssem oonomus, walaupun kedua solus ersebu berbeda, namun keduana mendefnskan lnasan ang sama (L.Ross.984:633).

35 5. Solus dar Ssem oonomus Solus dar ssem oonomus adalah suau pasangan eruru fungs f, g sedemkan hngga f ( ), g( ) memenuh kedua persamaan ssem oonomus. Hasl elmnas varabel dar ssem oonomus adalah d d Q(, ) P(, ) dengan P(, ) 0 Menunjukkan suau kemrngan lnasan dar ssem oonomus (L.Ross.984:634). 6. Tk krs dar ssem oonomus Defns 4: Dberkan ssem oonomus d d d d f (, ) g(, ) (.0) Dk, 0 0 ang keduana f, dan g ( 0 0 ) 0 maka k, 0 0 n dsebu dengan k krs dar ssem oonomus.(l.ross.984:634) Ssem oonomus dan k krsna dalam kajan agama d kakan pada pencpaan ujuh lang ang berlaps-laps, dmana anara lapsan sau dengan ang lanna salng sembang. Frman Allah dalam sura Al-Mulk:3 au:, Arna: Yang Telah mencpakan ujuh lang berlaps-laps. kamu sekal-kal dak melha pada cpaan Tuhan ang Maha Pemurah sesuau ang

36 dak sembang. Maka Lhalah berulang-ulang, Adakah kamu lha sesuau ang dak sembang? (Qs.Al-Mulk / 67:3) Aa daas menjelaskan enang penngna kesembangan, Allah mencpakan segala sesuau dengan sembang sehngga dak akan erjad kekacauan anara ang sau dengan ang lanna, dan kesembangan sanga dperlukan dalam ssem oonomus. F. Meode Euler. Pengeran Meode Euler Meode Euler adalah salah sau dar meode sau langkah ang palng ua dan palng sederhana dalam menelesakan persamaan dfferensal. Meode n perlu dpelajar mengnga kesederhanaanna dan mudah pemahamanna sehngga memudahkan ddalam mempelajar konsep-konsep ang erlba dalam meode lanju (Tramodjo,00:69). Penelesaan persamaan dfferensal basa dengan meode Euler sanga sederhana, akan eap hasl penelesaanna serng merupakan penelesaan pendekaan dengan nla error ang cukup besar, basana unuk mengurang nla errorna dambl pars h ang cukup kecl, akan eap hal n akan menambah jumlah erasna. Meode n juga dapa dgunakan unuk menelesakan ssem persamaan dfferensal. Penelesaan dengan meode Euler dak perlu mencar urunan-urunan fungs erlebh dahulu (Prasoko,003:6). Meode n juga dgunakan unuk menelesakan masalah nla awal ang berbenuk:

37 ' ( ) f (, ( )), ( ), b dengan ) Unuk mencar (), selang 0, b dbag menjad N buah selang berauran, n ( n sehngga dperoleh pars P pada 0, b ang ddefnskan dengan: P aau, 0,,,3,, N; 0 n b n 0 nh, n,,3,, N dan h N n 0 Adapun rumus Euler dapa dperoleh sebaga berku: d d f (, ) a h Gambar.. Rumus Euler Persamaan gars snggung a dk, adalah: m (.)

38 Aau: m d d f (, ) (.) Dan dar persamaan (.) dan (.) maka: f (, ) f (, ) Karena h maka h f (, ) (.3) Persamaan (.3) dsebu Rumus Euler. Dengan: 0,,,, n = hampran sekarang = hampran sebelumna h = ukuran langkah Dalam meode Euler selesaan ang d peroleh berupa uruan nla unuk dengan 0,,,, n Jka uruan k-k, ersebu d hubungkan dengan segmen gars maka akan erbenuk bangun ang dnamakan rana polgon. Unuk masalah nla awal ang berbenuk: ' ' ( 0 f (,, ) g(,, ) ) 0, ( 0 ) 0

39 Maka Rumus Euler unuk ssem berbenuk sebaga berku: dengan f (,, ) h, g(,, ) h, h 0,,, 0,,,, n, n Conoh: Carlah hampran selesaan dar ssem persamaan dfferensal berku pada nerval 0 : d d d d, dmana 0, 0.5, 0. 5 Dengan menggunakan meode Euler, pada nerval ang sudah dkeahu maka eras ang dgunakan sebanak 5! Penelesaanna: 0 Karena jumlah eras sebanak 5 maka dperoleh nla h 0., dengan 5 menggunakan rumus Euler unuk ssem maka hampran selesaanna adalah: Ieras ke- 0 f( 0, 0, 0 ) * h g( 0, 0, 0 ) * h h 0. Ieras ke- f(,, )* h 0.87

40 g(,, ) * h 0.76 h 0.4 Ieras ke-3 3 f(,, ) * h.96 3 g(,, ) * h.38 3 h 0.6 Ieras ke f( 3, 3, 3 ) * h g( 3, 3, 3) * h h 0.8 Ieras ke f( 4, 4, 4 ) * h g( 4, 4, 4 ) * h h

41 Dalam kajan agama, banak sekal fenomena ang jka dkaj secara mendalam akan demukan konsep numerk (blangan aau angka) d dalamna. Konsep ulangan ang erdapa dalam numerk juga ercermn dalam kewajban shala ang dpernahkan Allah pada seap manusa. Frman Allah dalam sura An-Nsa aa 03 au: Arna: Sesungguhna shala u adalah fardhu ang denukan wakuna aas orang-orang ang berman. (Qs.An-Nsa / 4: 03) Aa d aas menjelaskan bahwa waku-waku shala elah denukan wakuna dan menjad keeapan, bak u shala fardhu maupun shala sunah, dalam sehar ka dwajbkan melakukan shala fardhu 5 kal dalam waku ang berbeda-beda, shala 5 waku ang dwajbkan dalam sehar (Dhuhur, ashar, magrb, sa, dan subuh) merupakan shala wajb ang harus dunakan dan dak boleh dnggalkan. Sehngga ada proses ang dlakukan secara berulang-ulang dalam seap shala ang dkerjakan pada waku ang berlanan dalam sehar. Begupula dengan jumlah rakaa dalam shala ang erdr dar blangan-blangan dan angka-angka ang berbeda-beda ap-ap shala, msalna dhuhur dengan 4 rakaa, ashar 4 rakaa, magrb 3 rakaa, sa 4 rakaa, dan subuh dengan rakaa ang merupakan blangan dalam shala dan sudah merupakan suau keeapan Allah. Hal daas dapa dgambarkan dalam dagram berku n:

42 Magrb(4 rakaa) (7.44) Ashar(4 rakaa) (4.5) Isa(4 rakaa) (8.59) Dhuhur (4rakaa) (.7) Subuh( rakaa) (03.47) Selan pernah shala ang durunkan dengan segala perhungan dan keenuan-na, Allah juga mencpakan alam n dengan perhungan. Dalam Frmanna ang berbun: Arna: Dan kam jadkan malam dan sang sebaga dua anda, lalu kam hapuskan anda malam dan kam jadkan anda sang u erang, agar kamu mencar kurna dar Tuhanmu, dan supaa kamu mengeahu blangan ahun-ahun dan perhungan. dan segala sesuau Telah kam erangkan dengan jelas (Qs. Al-Isro / 7:) Aa d aas menjelaskan akuras hukum alam ang mengedarkan sang dan malam n elah berbcara kepada ka enang buk keelan sang pengaur dan sang pencpa peredaran u sendr. Dengan hukum alam ang sanga akura dan el n, berka pula amal perbuaan dan balasanna (Quhb,003:4) begu

43 pula dalam numerk ang perhunganna selalu berulang-ulang dan memerlukan keelan.. Perkraan Gala aau kesalahan Meode Euler Penelesaan secara numerk dar suau persamaan maemak hana memberkan nla perkraan ang mendeka nla eksak dar penelesaan anals. Gala aau kesalahan d defnskan sebaga selsh anara nla sebenarna dengan nla hampran. Secara maemas gala aau kesalahan d defnskan sebaga berku: Gala = nla sebenarna nla hampran E = X-X (.4) Dengan E : Gala X : nla sebenarna X : nla hampran Karena merupakan selsh anara nla sebenarna dan nla hampran maka nla gala aau kesalahan dapa posf aau nol aau negaf, maka besar gala aau kesalahan ddefnskan sebaga harga mulak nla gala aau kesalahan. Salah sau anangan meode numerk adalah menenukan aksran gala aau kesalahan anpa mengeahu nla sebenarna, karena nla sebenarna hana dapa d car jka fungs ang d keahu dapa d car selesaanna secara analk. Unuk menenukan afsran aau nla hampran d gunakan pendekaan banakna selang, sedangkan gala aau kesalahan d aksr sebaga berku: Gala = hampran sekarang hampran sebelumna aau gala = n+ - n

44 dalam kasus naa, besarna gala aau kesalahan dak dapa d hung ang dapa d lakukan adalah menaksr aau member baas aas gala sekecl mungkn, msalna baas gala sama dengan 0-9, sehngga gala 0 9 (Sa djah,99:5-7). Dalam meode numerk gala aau kesalahan juga dpengaruh dar masukan dan algorma, kesalahan masukan dan algorma erjad d dalam semua pemakaan, pengaruh kesalahan n pada keluaran ang dhung hana dapa dperkrakan sampa ahap erenu. Tga sumber gala aau kesalahan ang uama dalam numerk au: a. Kesalahan masukan, mbul bla nla-nla 0,, n ang dberkan dak eksak, sebagamana basana nla ekspermenal aau nla ang dhung. b. Kesalahan pemoongan, adalah selsh ( ) p( ), ang derma pada saa memuuskan unuk menggunakan sebuah aproksmas polnomal. Kesalahan pemoongan juga merupakan kesalahan algorma c. Kesalahan pembulaan, erjad karena kompuer beroperas dengan sejumlah angka ang eap dan seap angka ang berlebhan ang dhaslkan ddalam perkalan aau pembagan akan hlang, kesalahan n juga merupakan kesalahan algorma ang lan. Kesalahan algorma membua konvergens menjad kabur ang secara eors harus erjad, dan d dalam prakekna ddapakan pengurangan h dbawah suau ngka erenu akan menghaslkan kesalahan ang lebh besar. Jka kesalahan pemoongan dabakan maka kesalahan pembulaan akan mengumpul,

45 ang akan membaas keelan ang dapa dperoleh oleh sebuah meode ang dberkan (Sched,99:87). Konsep kesalahan dapa danalogkan dengan dosa ang dlakukan manusa, hal n erganung dar perbuaan manusa d duna, dan mereka akan mendapakan balasanna kelak dakhra, dosa ang ka lakukan bak rngan aau bera akan dhung dengan sanga el dan dak akan ada ang erlewakan. Frman Allah: Arna: Sesungguhna Allah Telah menenukan jumlah mereka dan menghung mereka dengan hungan ang el (Qs.Maram / 9:94) Aa daas menjelaskan bahwa Allah mengeahu kadar seap perswa dan rncanna, bak apa ang erjangkau oleh makhluk maupun ang mereka dak dapa jangkau, seper hembusan nafas, rncan perolehan rezek dan kadarna unuk masa kn dan mendaang (Qurash,00:57). Selan u aa daas juga menjelaskan bahwa Allah sanga cepa dalam menghung dan sanga el, sedangkan dalam maemaka, numerk adalah hungan dengan blangan ang dlakukan secara berulang-ulang dengan memerlukan keelan. 3. Algorma Algorma adalah prosedur ang erdr aas hmpunan berhngga auran ang dak boleh menmbulkan lebh dar sau penafsran, ang mernc suau

46 rangkaan berhngga operas ang menedakan penelesaan aas suau masalah.(sa djah,99:). Conoh: Tulskan algorma unuk perhungan B b, b,, b n Sehngga algormana dalam benuk kalma dapa duls sebaga berku: Langkah: B Unuk,,, n B B * b Algorma meode Euler unuk menghung hampran penelesaan masalah nla awal ' f (, ) dengan ( ) pada b au: Masukan : nla awal n, 0, b, 0 dan fungs f Keluaran : hampran selesaan (, ), dengan,,, n Langkah-langkah: Hung h b n 0 unuk,,, n Hung h, h * f, Selesa

47 G. Malab Malab (Mark laboraor) adalah sebuah program unuk analss dan kompuas numerk, ang merupakan suau bahasa pemrograman maemaka lanjuan ang d benuk dengan dasar pemkran dengan menggunakan sfa dan benuk marks (Arham&Desan,005:). Kegunaan Malab secara umum adalah unuk:. Maemaka dan Kompuas. Pengembangan Algorma 3. Pemodelan, smulas, dan pembuaan proope 4. Analss daa, eksploras, dan vsualsas 5. Pembuaan aplkas, ermasuk pembuaan anarmuka grafs. Malab adalah ssem nerakf dengan elemen dasar bass daa arra ang dmensna dak perlu dnaakan secara khusus. Hal n d gunakan unuk memecahkan banak masalah perhungan ekns, khususna ang melbakan marks dan vekor (Hanselman&Llefeld,997:VIII) Beberapa fungs maemaka umum dan kemampuan sans ang erseda pada Malab au:

48 Tabel. Tabel fungs maemaka pada Malab Fungs Keerangan abs () absolue, harga mulak aau besarna blangan kompleks acos () arc cos, nvers cosnus acosh () arc cosh, nvers cos hperbolk angle () sudu suau blangan kompleks pada empa kuadran asn () arc sn, nvers snus asnh () arc snh, nvers snus hperbolk aan () arc an, nvers angen aan () nvers angen unuk empa kuadran aanh () arc anh, nvers angn hperbolk cel () pembulaan kea rah plus ak erhngga (keaas) conj () konjuga blangan kompleks cos () Cosnus cosh () cosnus hperbolk ep () eksponensal (e ) f () pembulaan kearah nol floor () pembulaan kearah mnus ak erhngga (ke bawah) gcd (,) fakor persekuuan erbesar dar blangan bula dan mag () bagan majner suau blangan kompleks lcm (,) kelpaan persekuuan erkecl dar blangan bula dan log () logarma naural (bass e) log0 () logarma basa (bass 0) real () bagan real suau blangan kompleks rem (,) ssa pembagan dar operas / round () pembulaan ke arah blangan bula erdeka sgn () menghaslkan anda +,-,aau 0 unuk blangan posf, negaf,dan nol sn () Snus snh () snus hperbolk sqr () akar kuadra an () Tangen Lembar kerja Malab bukanlah merupakan suau fle ang dapa dsmpan apalag dbuka unuk waku ang lan. Pernah-pernah dan daa-daa ang d kekkan pada prom command lne dak dapa d ed dan hana d smpan semenara waku u saja, au selama memor penmpanan dak d hapus aau program d makan.

49 Unuk membua suau fle ang dapa d ed dan d smpan unuk d buka kembal, Malab menedakan empa ang d namakan dengan M-fle. Carana buka menu Fle/ new/ M-fle. Pada lembar kerja n dapa mengekkan pernahpernah dan daa-daa ng dapa d ed, d smpan dan d buka kembal. Da dapa menmpan M-fle dengan membuka menu Fle/ Save d folder defaul work ang d sedakan Malab, aau d folder prbad anda. Selanjuna anda dapa menjalankan dan mengeahu haslna seelah anda menjalankan (runnng) fle prbad (bukan folder work) ersebu dengan membuka pada menu Tools / Run. Jka M-fle ersmpan d folder prbad (bukan folder work) maka sebelum menjalankan program M-fle buka dahulu menu Fle / se Pah pada jendela kerja Malab (Command Wndows), kemudan klk ombol Browse unuk mengarahkan drecor ke folder prbad empa M-fle ersmpan.

50 BAB III PEMBAHASAN Pada pembahasan n penuls mengurakan ssem oonomus dengan meode Euler sera langkah-langkah aau algorma dalam menelesakan ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus menggunakan meode Euler dan memberkan conoh sera menenukan selesaanna dengan menggunakan banuan program Malab. A. Ssem Persamaan Dfferensal Non Lnear Pada Oonomus Dengan Meode Euler Benuk umum ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus au: d d d d f g,, (3.) Ssem ersebu dkaakan oonomus karena fungs-fungs f (, ) dan g (, ) dak erganung dar. Unuk mencar solus eksak (solus sebenarna) dar ssem persamaan dfferensal (3.) adalah sanga sukar bahkan dak mungkn eruama bla f (, ) dan g (, ) non lnear. Oleh karena u ang dapa dlakukan adalah meneldk kelakuan solus ersebu. Unuk peneldkan solus dperlukan gambar aau grafk dar solus, grafk ersebu dsebu juga sebaga lnasan aau raekor dar solus ang dgambarkan dalam bdang ang dsebu sebaga bdang fase. Unuk seap, 0 0 dbdang erdapa solus

51 unggal ang melalu k, 0 0 sebaga sara awal. Pada skrps n penuls hana mengkaj grafk dar ssem persamaan dfferensal oonomus ang non lnear hana pada bdang phase, lnasan aau raekor sera solus dar ssem ersebu. Dar persamaan ersebu penuls menggunakan meode numerk khususna meode Euler unuk menelesakanna, dmana meode n merupakan pemecahan masalah dalam ssem karena lebh sederhana. Langkah-langkah meode Euler unuk menelesakan ssem persamaan dfferensal non lnear pada oonomus au:. Masukkan nla awal ), dan ) ( 0 ( 0. Tenukan baas aas dan baas bawah unuk parameer pada selang,b 0 0 b 3. Hung nla h dar eras sebanak n ang dngnkan 4. Hung nla dengan f (,, ) * h g(,, ) * h h 5. Jka nla () dan () dar fungs f, g mempuna kesalahan erkecl (mendeka nol) maka nla () dan () ssem oonomus dpaka unuk menganalss 6. Jka nla kesalahan dar () dan () besar maka ka kembal pada em 3 (arna ka mengulang sampa ka dapakan selsh nla () dan () kecl (mendeka nol) dengan memperkecl h ). Secara umum rumusna h b n 0

52 Dar langkah-langkah meode euler daas penuls membua bagan alur aau flow char sebaga berku: Mula Masukkan nla awal ), dan ) ( 0 ( 0 Tenukan baas aas dan baas bawah pada selang b 0 Hung nla h dar eras sebanak n ang dngnkan Hung dengan f (,, ) * h g(,, ) * h h Apakah () dan () memenuh? Ya Selesa Tdak h b n 0 Gambar 3.: Bagan Alur unuk Ssem persamaan Dfferensal non Lnear pada oonomus menggunakan Meode Euler

53 B. Conoh Soal Pada Oonomus dan Penelesaanna Dengan Meode Euler dan Program Malab Pada bab pembahasan n penuls member conoh ssem persamaan dfferensal pada oonomus dengan menggunakan meode Euler. Penelesaan dengan meode Euler n dak perlu mencar urunan-urunan fungs erlebh dahulu. Penuls memberkan conoh ang ada enang ssem oonomus non lnear au: d d 4, d d 3 Unuk ssem n berlaku nla awal (0) dan (0) 0 Penelesaan dar conoh ersebu menggunakan langkah-langkah ang sudah durakan daas au: Langkah : Memasukkan nla awal pada persamaan daas au ) = dan ( 0 ) =0 unuk 0 dan dselesakan dengan meode Euler. 0 ( 0 Langkah : Menenukan selang pada, b 0 0 b, dar persamaan daas penuls memberkan selang 0 unuk memperoleh grafk solusna. Langkah 3: Menghung nla h dar eras sebanak n ang dngnkan, pada 0 persamaan daas penuls melakukan 5 eras maka dperoleh nla h Langkah 4: Menggunakan rumus Euler unuk melakukan perhungan dar conoh ang sudah dberkan dengan dkeahu fungs f (,, ) 4 dan g(,, ) 3 maka dperoleh:

54 Ieras 0 f( 0, 0, 0 ) * h 3*0,4, 0 g( 0, 0, 0 ) * h 0 *0.4 0,8 0 h ,4 Jad (0,4), dan (0,4) 0, 8 Ieras f(,, ) * h, ( 0,4) *0,4,04 g(,, ) * h 0,8 3,76*0,4,304 h 0,4 0,4 0,8 Jad (0,8), 04 dan (0,8), 304 Ieras 3 3 f(,, ) * h,04 (,5884) * 0,4 3,

55 3 g(,, ) * h,304,79996* 0,4 3, h 0,8 0,4, Jad (,) 3, dan (,) 3, Ieras f( 3, 3, 3 ) * h 3, ,36687 * 0,4 7, g( 3, 3, 3) * h 3,03784 ( 4, ) * 0,4 6, h, 0,4.6 Jad (,6) 7, dan (,6) 6, Ieras f( 4, 4, 4 ) * h 7, ,989648* 0,4 0, g( 4, 4, 4 ) * h 6, ( 6, ) * 0,4 3, h,6 0,4

56 Jad () 0, dan () 3, Langkah 5: Mencar nla () dan () ang mempuna kesalahan palng kecl (mendeka nol), dan nla ang memenuh unuk () dan () au pada (0,8) dengan, 04 dan, 304 dengan kesalahan sebesar 0, 8 Dar perhungan daas, unuk mendapakan nla ) dan ) ( 5 ( 5 dperlukan nformas dar nla ), ( ) sedangkan unuk mendapakan nla ( 4 4 ), ( ) dperlukan nformas dar nla ), ( ) ( 3 3 ( dan unuk mendapakan nla ), ( ) dperlukan nformas dar nla ), ( ) au, 0. ( ( 0 0 Kesalahanna merupakan nla dar ( ) ( ). Unuk melakukan perhungan ersebu apabla parsna semakn kecl maka akan memakan waku, unuk u dperlukan banuan kompuer. Sekarang penuls membandngkan meode Euler ang sudah dkerjakan daas dengan program Malab ddapakan: ========================================================== ======Program pencar solus ssem persamaan dfferensal non lnear==== =================Dengan Meode Euler====================== =================Rla Dw Rahmawa======================= ================Nm: ============================== ========================================================== Ssem Persamaan Dferensal oonomus: f = Inlne funcon:

57 f(,,) = +*-4*.* g = Inlne funcon: g(,,) = *-3*+* nla awal,o= nla awal,o=0 Masukkan jarak nerval,h=0.4 Masukkan baas bawah nerval pencaran=0 Masukkan baas aas nerval pencaran= Hasl Kompuas: eras Kesalahan ============================================== =.04 =.304 K = 0.8 = 0.8 Waku Kompuas = 0.3

58 Gambar 3. Grafk Meode Euler dengan h 0, 4 0 Apabla nla parsna semakn kecl au dengan n 40 nla h maka hasl perhunganna dengan Malab au: ========================================================== ======Program pencar solus ssem persamaan dfferensal non lnear==== =================Dengan Meode Euler====================== =================Rla Dw Rahmawa======================= ================Nm: ============================== ========================================================== Ssem Persamaan Dferensal oonomus: f = g = Inlne funcon: f(,,) = +*-4*.* Inlne funcon: