BAB III MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT. Sebagaimana telah disinggung pada bab sebelumnya, salah satu metode

Transkripsi

1 BAB III MINIMUM COVARIANCE DETERMINANT Sebagamana elah dsnggung pada bab sebelumnya, salah sau meode robus unuk mendeeks penclan (ouler) dalam analss komponen uama robus yau meode Mnmum Covarance Deermnan (MCD). Sebelum djelaskan lebh lanju mengena meode n, akan dpaparkan erlebh dahulu mengena penclan, robus dan analss komponen uama. 3. Penclan (Ouler) 3.. Defns Penclan Ferguson (96) mendefnskan penclan sebaga suau pengamaan yang menympang dar sekumpulan pengamaan yang lan; Barne (98) mendefnskan penclan adalah pengamaan yang dak mengku sebagan besar pola dan erleak jauh dar pusa pengamaan; selanjunya Johnson (99) mendefnskan penclan sebaga suau pengamaan yang ak konssen dengan kumpulan pengamaan lannya. Dar beberapa defns yang sudah dpaparkan, dapa dsmpulkan bahwa penclan adalah suau pengamaan yang menympang dar kumpulan pengamaan lannya, sehngga dak mengku sebagan besar pola. Akbanya leaknya jauh dar pusa pengamaan.

2 Dampak Penclan Keka sekumpulan daa mengandung sejumlah penclan, maka dalam hal n akan mempengaruh kenormalan dsrbusnya. Keberadaan penclan pada suau daa dapa mengganggu proses analss daa, penclan dapa menyebabkan hal-hal berku: a) Varans pada daa menjad besar. b) Taksran nerval memlk renang yang lebar Pendeeksan Penclan a) Pendeeksan penclan dalam kasus unvara Unuk mendeeks penclan pada kasus unvara salah sau meode yang dapa dlakukan dengan scaer plo. Penclan-penclan dapa dlha dar plo (x, f ) d mana x adalah pengamaan ke- dan f adalah nla dar pengamaan ke-. Berku adalah lusras scaer plo dar suau kumpulan pengamaan dengan sebuah penclan dber anda. Gambar 3. Conoh Scaer Plo dar Suau Kumpulan Pengamaan Unvara

3 3 Pada meode scaer plo, kepuusan bahwa suau pengamaan merupakan penclan aau bukan sangalah erganung pada kepuusan (judgemen) penel, sehngga pengujan dengan scaer plo memlk kelemahan. Pengujan yang palng banyak dgunakan ddasarkan pada penympangan maksmum dar raa-raa (maxmum devaon from he mean aau exreme sudenzed devae (ESD) es), τ = max x µ σ (3-) d mana τ merupakan suau pengamaan dengan penympangan maksmum dar raa-raa. Jka erdapa dua aau lebh pengamaan yang erdenfkas sebaga penclan, maka akan mengurang keeksrman anar pengamaan. Hal n mengakbakan kesulan unuk mendeeks sau penclan yang lebh eksrm dar yang lannya karena penngkaan pada raa-raa maupun varansnya sama. Pengaruh n dsebu maskng (Rencher, 00). b) Pendeeksan penclan dalam kasus mulvara Pemerksaan kenormalan mulvara lebh dfokuskan pada uj goodness-f. Msalkan n pengamaan x, x,, x n berada pada suau dsrbus berdmens p, suau pengamaan yang erleak jauh dar ruang dsrbusnya ddenfkas sebaga daa penclan. Prosedur yang dgunakan unuk memerksa kenormalan mulvaa adalah berdasarkan pada jarak ersandarsas dar pengamaan x ke µ, yang ddefnskan sebaga berku D = ( x µ ) ( x µ ), =,,..., p (3-)

4 3 d mana D = kuadra jarak pengamaan ke- dan x = nla pengamaan ke dengan, X x x =, M xn x x x =, M x p µ µ µ =, dan M µ p σ σ L σp σ σ σ L p = M M O M σ n σ n L σ np jarak ersandarsas n serng dsebu dengan jarak kuadra Mahalanobs. Unuk mengdenfkas penclan pada kasus mulvara dlakukan dengan menghung jarak dar seap k pengamaan ke suau pusa pengamaan berdasarkan persamaan (3-). Dengan demkan, daa penclan merupakan suau pengamaan yang memlk jarak erbesar jka dbandngkan dengan pengamaanpengamaan yang lan yang berada pada dsrbus erenu. Akbanya sebuah pengamaan x ddenfkas sebaga penclan pada kasus mulvara, jka jarak Mahalanobs ( µ ) ( µ ) > χ p ( α ) x x (3-3) dengan probablas - α. Pengdenfkasan penclan pada kasus mulvara daklah mudah dlakukan karena sekumpulan penclan mempunya efek maskng dan swampng. Efek maskng dan swampng pada jarak Mahalanobs sebaga suau krera pendeeksan penclan. Efek maskng menurunkan jarak Mahalanobsnya pada suau penclan yang mengakbakan jarak anar k erpencl salng berdekaan. D lan phak, efek swampng menngkakan jarak Mahanalobsnya pada pengamaan yang ak erpencl (Penny dan Jollffe, 00).

5 33 Terdapa beberapa penyebab munculnya penclan, salah saunya penclan yang dsebabkan oleh varabel bebas, dnamakan penclan leverage. penclan leverage ddeeks dengan menggunakan jarak Mahalanobs (MD ) unuk seap pengamaan ke- pada persamaan (3-) sehngga dapa dulskan, 0, jka MD C( p) leverage =, unuk lannya (3-3) d mana C(p) = χ ( α), C(p) dnyaakan sebaga nla cu-off, yau p pembaasan suau ruang dsrbus mayoras daa dar suau pengamaan erpencl dengan p banyaknya varabel (deraja kebebasan) dan probablas -α. Pendeeksan penclan leverage dengan menggunakan jarak Mahalanobs memlk kesulan karena efek maskng maupun efek swampng Jens-jens Penclan uraannya: Terdapa beberapa jens penclan dalam suau daa, berku adalah. Good leverage merupakan pengamaan yang berada d ruang dsrbus eap sudah dak berada d daerah mayoras daa.. Bad leverage merupakan pengamaan yang dak berada bak dalam ruang dsrbus pengamaan maupun daerah mayoras daa. 3. Penclan orogonal merupakan pengamaan yang mempunya jarak yang sanga besar dar daerah mayoras daa sehngga pengamaan ersebu sudah dak dapa dlha dalam ruang dsrbusnya.

6 Tndakan pada Penclan Menuru Wessberg (985), jka erdapa masalah yang berkaan dengan penclan maka dperlukan ala dagnoss yang dapa mengdenfkas masalah penclan, salah saunya dengan menyshkan penclan dar kelompok daa kemudan menganalss daa anpa penclan. Terdapa dua pendekaan yang dapa dlakukan unuk mengaas penclan yau, a. Pengdenfkasan: yau menghlangkan daa penclan kecual penclan memberkan nformas penng enang model daanya. Penclan dlha dar poss dan sebarannya erhadap pengamaan, selanjunya devaluas apakah penclan ersebu perlu dhlangkan aau dak. Penghlangan penclan yau dengan cara dak mengkuserakan pengamaan yang erdenfkas sebaga penclan dalam proses pengolahan daa selanjunya. Cara lan unuk mengaas penclan yau dengan cara ransformas daa. Hamlon (dalam Osborne dan Overbay, 004) mengemukakan bahwa dengan ransformas daa nla eksrm (penclan) eap dapa dsmpan pada daa dan uruan relaf dar nla akan eap, juga kemrngan dan besarnya varans dapa dkurang. b. Akomodas: yau suau meode yang menghaslkan suau benuk daa yang dak dpengaruh banyak oleh penclan.

7 35 3. Robus Keka sekumpulan daa dak menghaslkan nformas daa yang dngnkan oleh penel, n serng kal dsebabkan oleh keberadaan penclan. Unuk mengaas keberadaan penclan pada suau daa dperlukan suau meode penaksr yang ak sensf erhadap penclan, meode ersebu dsebu dengan meode robus. Karena pada dasarnya, robus selalu dkakan dengan penclan. 3.. Ke-robus-an (Robusness) Kaa robus basanya dkonoaskan sebaga keakkonssenan dar suau penaksr, arnya bahwa robusness adalah keaksensfan penympangan erhadap asumsnya. Meode robus lebh ddekakan pada parameer raa-raa dan varanskovarans dar suau penaksr erenu (Huber, 98), yau dengan mensandarsaskan penaksr unuk parameer raa-raa dan varans-kovarans sedemkan sehngga menghaslkan penaksr yang konssen erhadap parameerparameer ersebu. Dalam hal n, dlakukan dengan benuk pembaasan nla pada penaksran unuk parameer-parameernya. Dengan ke-robus-an, penaksrannya dak akan menympang erlalu jauh. 3.. Breakdown Pon Keka daa berasal dar daa mulvara, sangalah sul menghlangkan penclan secara keseluruhan dkarenakan efek swampng. Dalam hal n, agar daa dak dpengaruh banyak oleh penclan, maka penclan dalam daa harus dbaas. Hampel (97, 974) elah memperkenalkan konsep breakdown pon, breakdown

8 36 pon adalah jumlah pengamaan mnmal yang dapa menggankan sejumlah pengamaan awal yang berakba pada nla aksran yang dhaslkan sanga berbeda dar aksran sebenarnya. Dengan kaa lan, breakdown pon sebaga suau ukuran kerobusan (robusness) dar suau penaksr. Semakn besar nla persen dar breakdown pon pada suau penaksr, maka penaksr ersebu semakn robus Jarak Robus (Robus Dsance) Pada dasarnya, ujuan dar penaksran robus adalah unuk mengkonsruk secara penuh efsens penyesuaan aksran. Suau pendekaan unuk mengdenfkas penclan mulvara yau dengan menggunakan meode robus pada penaksran dar µ dan. Sehngga meode n memnmumkan pengaruh penclan dalam penaksran aau model fng (Rencher, 00). Perkembangan dar jarak Mahalanobs adalah jarak robus, hal n memlk banyak keunungan, karena jarak robus mendagnoss penclan leverage yang lebh relabel (dapa dpercaya) darpada jarak Mahalanobs. Sehngga perluasan pendeeksan penclan leverage pada persamaan (3-3) dengan menggunakan jarak robus (RD ) unuk seap pengamaan ke- menjad, 0, jka RD C( p) leverage =, unuk lannya (3-4) Dengan nla cu-off, C(p) = χ p ( α), d mana p banyaknya varabel (deraja kebebasan), probablas -α dan RD x µ x µ dengan µ R dan = ( ) R R ( R )

9 37 - R masng-masng merupakan vekor raa-raa dan marks nvers varanskovarans dar penaksr robus. 3.3 Analss Komponen Uama Analss komponen uama (AKU) merupakan suau eknk analss yang menransformas varabel-varabel asl yang mash berkoleras menjad sau kumpulan varabel baru yang dak berkoleras. Varabel-varabel baru ersebu dsebu komponen uama (Johnson dan Wchern, 98). Secara aljabar, komponen uama merupakan kombnas lner (Y) dar p varabel acak X, X, X 3,..., X p. Secara geomers kombnas lner n merupakan ssem koordna baru yang ddapa dar roas ssem semula dengan X, X, X 3,..., X p sebaga sumbu koordna yang dak berkorelas pada suau ellpsod. Sumbu baru ersebu merupakan arah dengan varablas maksmum dan memberkan varanskovarans yang lebh sederhana. Defns AKU (3.3): Analss komponen uama berujuan unuk menyederhanakan varabel-varabel yang dama dengan cara mereduks dmensnya. Hal n dlakukan dengan menghlangkan korelas danara varabel melalu ransformas varabel asal (X) ke varabel baru (komponen uama Y) yang ak berkorelas. Komponen uama erganung kepada marks varans-kovarans Σ aau marks korelas ρ dar X, X, X 3,..., X p, melalu marks varans-kovarans maupun marks korelas dapa durunkan nla egen-nla egen (egen values)

10 38 yau λ λ... λ p 0 dan vekor egen-vekor egen yau g, g,..., g p. Sasarannya adalah menemukan komponen uama k varabel d mana k < p, k dharapkan dapa memua semua nformas yang erdapa pada p varabel asl sehngga daa menjad lebh sederhana. Menuru Dllon dan Goldsen (984), ujuan analss komponen uama unuk menenukan jumlah fakor (komponen uama) yang memaparkan banyaknya oal varans dalam daa yang mungkn. Jka Σ suau marks varans-kovarans yang merupakan suau marks semdefn posf, maka semua nla egen dar Σ akan lebh besar aau sama dengan nol. Jad jka λ = (λ, λ,, λ k,, λ p ) adalah vekor nla egen dar Σ, d mana λ adalah nla egen erbesarnya, λ adalah nla egen erbesar kedua, dan seerusnya, maka λ λ λ k... λ p 0. Keka Σ mempunya rank lengkap, maka λ > λ >... > λ k >. > λ p > 0. Selanjunya, asumskan bahwa d mana g. j adalah kolom-kolom vekor egen ke-j pada Σ dan g g =. In erdefns dengan bak yang menghaslkan G suau marks orogonal sedemkan hngga G G = I pxp dan λ 0 L 0 0 λ 0 L G G = D λ = M M O M 0 0 L λ p (3-5) Analss komponen uama berbenuk lner sebaga berku: Y = G ( X µ ) (3-6)

11 39 d mana X = (X, X,., X p ), Y = (Y, Y,., Y p ) dan G = (g j ) pxp. Dengan demkan dapa dulskan menjad, Secara rnc dapa dunjukkan sebaga berku, Persamaan d aas memperlhakan bahwa Y sebaga suau kombnas lner dar X, X, X 3,..., X p dengan penggunaan vekor egen dar marks varans-kovarans X, unuk =,,, p. Aau dapa dbenuk menjad, ( X ) GY G Y (3-7) µ = = p. j j j= Secara rnc dapa dunjukkan sebaga berku, Teorema AKU (3.3.): Unuk analss komponen uama yang ddefnskan oleh persamaan (3-6) aau persamaan (3-7), maka

12 40. Var (Y ) = λ, d mana Y adalah komponen uama ke-, dan λ adalah nla egen erbesar unuk marks varans-kovarans Σ, unuk semua =,,, p.. Cov (Y, Y j ) = 0, unuk j, unuk semua, j є (,,, p). (Yang dan Trewn, 004). Buk Karena E( Y ) = E( G ( x µ )) = G E( x µ ) = G ( µ µ ) = 0 dar persamaan (3-6), n jelas bahwa marks varans-kovarans dar Y adalah sebaga berku Dar persamaan (3-7), erbuk bahwa Var( Y ) = λ, =,,..., p dan Cov( Y, Y ) = 0, j j Teorema AKU (3.3.): (Yang dan Trewn, 004).

13 4 Buk Buk n menjad jelas karena λ j dmua oleh de (λi- ) = 0, dan Dar Teorema AKU (3.3.) dan Teorema AKU (3.3.), dperoleh sfa-sfa unuk analss komponen uama yau: a. Komponen uama Y = (Y, Y,, Y p ) dar X yang varabel acak salng bebas, dan varans-varansnya yau λ, λ,..., λ p beruru-uru. b. Jumlah dar oal varans-varans pada X sama dengan oal varans dar komponen uama, yau c. Dalam beberapa kasus, nla egen pada Σ, yau λ, λ,..., λ p dak sama dalam besarnya (jarak). Beberapa nla egen lebh besar dar beberapa nla egen yang lannya seper λ, λ. Yau, d mana k < p. Oleh karena u, Jad, beberapa nla egen yang besar secara umum akan mendeka oal varans pada varabel acak mulvara X yang asl.

14 4 d. Selanjunya, dgunakan persamaan (3-7), X µ µ ( µ ) X X = g.y + g.y g. ky M X p µ p k sebaga suau perkraan pada varabel acak mulvara X yang aslnya. Pada kenyaaannya, vekor raa-raa µ dan marks varans-kovarans dak dkeahu. Unuk u, dperlukan penaksr yang bak unuk menaksr vekor raa-raa µ dan marks varans-kovarans. Kedua parameer u adalah µ = n n k = x k dan s (, ) ( )( j = Cov X X j = x µ µ ) n k xkj j,, j =,,, p n Dengan demkan, analss komponen uama berbenuk lner pada persamaan (3-6) menjad, Y = G ( X µ ) (3-8) k= Dan menghaslkan komponen uama pada persamaan (3-7) menjad, ( X µ ) = GY (3-9) 3.3. Prosedur Penenuan komponen uama dmula dar penyusunan kumpulan daa dengan sebuah abel yang erdr dar p varabel dengan n pengamaan sampel unuk masng-masng varabel seper pada abel sebaga berku:

15 43 Tabel 3. Benuk Tabel unuk n Pengamaan Sampel erhadap p Varabel pengamaan varabel X X X p x x x p x x x p n x n x n x np Raa-raa Berku adalah langkah-langkah penenuan komponen uama: ) Nyaakan nla-nla yang erleak dalam abel d aas menjad sebuah marks sebaga berku: X x x L x p x x L x p = M M O M xn x n L x np (3-0) Hung marks varans dan kovarans dar X dengan: µ = n x n k= k (3-) s = Var( X ) = ( x ) n k n k = µ s (, ) ( )( j = Cov X X j = x µ µ ) n k x,, j =,,, p (3-) kj j n k= Sehngga dapa dbenuk marks varans-kovaransnya sebaga berku:

16 44 s s L s p s s L s p = S = M M O M sp sp L spp (3-3) Jka r j menyaakan korelas anara X dan X j maka r j = s j s s jj (3-4) Marks korelas unuk varabel X ersebu dapa dulskan dengan, r r L r p r r L r p R = M M O M rp rp L rpp (3-5) ) Tenukan nla egen dan vekor egen Agar varans dar komponen uama ke- maksmum sera anar komponen uama dak adanya hubungan lner anar varabel bebas harus dplh = g g dan 0 = g g sehngga dperoleh, A λi = 0 dan A λ I g = 0 Unuk mencar nla egen λ dapa dlakukan dar marks varanskovarans S aau marks korelas R sehngga dperoleh, S λi = 0 dan S λ I g = 0 (3-6) 3) Tenukan komponen uama Y Dalam menenukan jumlah komponen uama yang deal dapa dlakukan beberapa krera yau, a. Krera propors oal varans sampel kumulaf yang dapa djelaskan, yau sebanyak 80% (Rencher, 00). Propors oal varans populas unuk k komponen uama adalah

17 45 b. Nla egen lebh besar dar raa-raa nla egen. Unuk marks korelas, raa-raa n adalah aau ukuran relaf nla egen lebh besar dar (Rencher, 00). c. Dengan mengama scree plo dar nla egen dan jumlah komponen. Unuk menenukan jumlah komponen uama dengan memperhakan paahan sku dar scree plo, dengan melha dar kecuraman anar komponen sebelum ke komponen yang membenuk gars lurus anar komponen (menghaslkan beberapa nla egen kecl). Dar langkah d aas akan menghaslkan suau k komponen uama dar suau sub ruang komponen uama berdmens k yang sesua dengan daa Pendekaan Geomer Secara geomer, komponen uama perama merepresenaskan kecenderungan lner uama perama yang memua varans maksmal, komponen uama kedua merepresenaskan kecenderungan lner uama kedua yang memua varans maksmal kedua dalam arah orogonal, dan seerusnya (Huber, 98; Rencher, 00). Menuru Gnanadeskan (997), komponen uama perama sensf pada penclan-penclan karena komponen uama perama dplh dar besarnya nla egen yang mewakl varans maksmum daa. Oleh karena u, pereduksan dmens daa yang memua sejumlah penclan akan menghaslkan analss komponen uama yang menyesakan.

18 46 Gambar 3. memperlhakan kecenderungan lner dar komponen uama perama maupun kedua dar suau ellpsod yang salng orogonal dengan µ = ( µ, µ ) dan panjang sumbu semmayor dan semmnor masng-masng adalah c $ λ dan c $ λ dalam suau ellpsod. Pengamaan yang berada d luar daerah ellpsod merupakan pengamaan erpencl aau penclan. Gars yang dbenuk dengan sumbu uama dapa danggap sebaga gars regres. Akan epa unuk kknya sehngga jarak perpendcular dar k-knya pada gars yang dmnmalkan. Gambar 3. Daerah Ellpsod dar Komponen Uama Perama dan Komponen Uama Kedua pada -Dmens Penclan Komponen Uama Msalkan kombnas lner Y = g. ( X µ ) dengan vekor egen g. = ( g, g,..., g p ), berdasarkan persamaan (3-8) dnyaakan dengan Y = g ( X µ ) = g ( X µ ) + g ( X µ ) g ( X µ ) (3-7). p p p

19 47 Jka nla pengamaan dsubsuskan pada persamaan d aas, maka menghaslkan nla pengamaan dar komponen uama. Akbanya persamaan (3-7) dapa dkaakan sebaga score komponen uama (nla komponen uama). Perhakan bahwa, jka seap ss ruas kr dan ruas kanan dbag dengan λ, maka dperoleh (3-8) Karena Var(Y ) = λ maka Var( Y λ ) =, jad persamaan (3-8) merupakan score komponen uama ersandarsas. Dalam hal n, score komponen uama ersandarsas akan mengku dsrbus normal sandar. Benuk komponen uama yang mempunya score komponen uama yang ngg, merupakan benuk yang berpengaruh (penclan). Penambahan aau penghlangan benuk-benuk n basanya akan secara drass mempengaruh hasl analss komponen uama (Yang dan Trewn, 004) Memnmumkan Jarak Tk Perpendcular pada Komponen Uama Seper yang sudah dbahas, prosedur unuk memerksa kenormalan mulvara dlakukan dengan jarak ersandarsas. Msalkan unuk kasus dua komponen uama yang erplh, sebuah sasaran kombnas lner pada persamaan (3-7) yau komponen uama perama dan komponen uama kedua, jka gars yang dbenuk oleh komponen uama perama memnmumkan jarak perpendcular dar k-k ke gars pada persamaan (3-7) yau Y ( ) = g. x µ, maka jumlah oal dar kuadra jarak perpendcular adalah n n y = g.( x µ ) = = d

20 48 mana g. vekor egen kedua dar. Perhakan bahwa karena ( ) ( g x µ = x µ ) g, sehngga.. merupakan suau jarak k yang dmnmumkan dar Var( Y ) = $ λ. Dengan n demkan, perluasannya menjad y = ( n ) $ λ merupakan suau jarak k yang j= j dmnmumkan dar ( ) $ Var Y = λ. Jad, Y = ( n ) $ λ ( ) ( ) ( ) = n Var Y = n, akbanya Y mengku dsrbus Wshar aau Y (, ) Wp n. Dsrbus Wshar merupakan benuk analog dar dsrbus χ. Berku adalah lusrasnya, Gambar 3.3 Jarak Perpendcular dar Tk ke Gars Komponen Uama Perama Plo Komponen Uama Terdapa beberapa penelan menghaslkan daa yang dak sama, dalam ar jumlah varabel dan jumlah pengamaannya, sehngga marksnya menjad dak smers. Oleh karena u, dgunakan Sngular Value Decomposon unuk

21 49 memenuh koordna-koordna pemploan (Rencher, 00). Menuru Yang dan Trewn (004), pada persamaan (3-6) merupakan kombnas lner pada dmensdmens varans d lokas varabel yang berbeda, akan sanga sul unuk memaparkan secara epa maksud dar kombnas lner ersebu. Sehngga akan dgunakan persamaan (3-7), yang dapa dulskan sebaga X µ = U D V (3-9) nxp n nxk $ λkxk kxp Persamaan (3-9) merupakan SVD dar marks daa erpusa sekar raaraa aau marks lokas daa, n adalah vekor kolom yang semua elemennya sama dengan, D$ λkxk marks dagonal (kxk), dan U U = I kxk = V V d mana I kxk adalah marks denas berordo kxk. Perkalan U D λ pada persamaan (3-9) merupakan marks score nxk $ kxk komponen uama, karena Vkxp adalah vekor egen yang orhogonal dar marks smers ( X ) ( nxp n µ X nxp n µ ). U nxk D$ λ kxk yang mewakl koordna-koordna dalam pemploan komponen uama pada sub ruang komponen uama (Rencher, 004: ). Score komponen uama yang dbenuk merupakan penransformasan daa asl ke dalam ruang komponen uama. Menuru Ke dan Kanade (004), perhungan SVD dgunakan unuk: ) Mendeeks ssa penclan-penclan yang melanggar srukur korelas dengan sub ruang rank rendah. ) Menghung sub ruang yang dapa dpercaya. 3) Sub ruang yang palng mendeka mayoras daa.

22 Pendeeksan Penclan dalam Komponen Uama Dalam perkembangan selanjunya dhaslkan suau ala dagnoss, ala dagnoss ersebu adalah plo dagnoss score. Plo dagnoss score mempunya kelebhan dalam pendeeksan penclan, selan dapa mendeeks penclan, juga dapa mengklasfkas jens-jens penclan. Plo dagnoss score dnyaakan dengan suau ssem koordna (Score Dsance (SD ) versus Orhogonal Dsance (OD )) unuk seap pengamaan ke-, d mana sumbu-x menyaakan SD dan sumbu-y menyaakan OD, yang dbaas dengan nla cu-off yang menghaslkan suau daerah mayoras daa yang dak dpengaruh oleh penclan Pengukuran Jarak Tk Pengamaan pada Komponen Uama Dalam pendeeksan penclan pada komponen uama dlakukan dengan mengukur jarak unuk seap pengamaan. Pengukuran n dlakukan dengan Score Dsance dan Orhogonal Dsance, unuk menghaslkan plo dagnoss score. Berku adalah prosedurnya, Score Dsance (SD) Pada persamaan (3-7) merupakan benuk yang berpengaruh (memua k erpencl aau penclan) jka mempunya score komponen uama yang ngg. Sehngga dalam pengukuran jarak k pada komponen uama dbenuk dar score komponen uama ersandarsas seper pada persamaan (3-8) yau,

23 5 Selanjunya, memnmumkan jumlah kuadra oal jarak perpendcular dar k-k ke gars yang dbenuk oleh komponen uama, sehngga dar persamaan (3-8) erbenuklah Score Dsance (SD) yau SD n k Y y j = = $ $ = λ j = λ aau k yj SD = $ j = λ (3-0) dengan nla cu-off, C(k) = χ dengan k banyaknya varabel yang erplh k;( α ) (deraja kebebasan) dan probablas -α. Jad, pengamaan ke- dar komponen uama yang erdenfkas sebaga penclan jka SD > C(k). Persamaan d aas merupakan benuk Score Dsance pada ap pengamaan, d mana y j merupakan pengamaan ke- pada kolom ke-j dar persamaan (3-0). Gambar 3.4 Perbedaan Jens-Jens Penclan Keka Kumpulan Daa pada 3-Dmens d Proyeks pada Sub Ruang Analss Komponen Uama - Dmens Orhogonal Dsance (OD) Dar seap pengamaan dapa dukur Orhogonal Dsance (OD) pada sub ruang komponen uama. Menuru Härdle dan Hlávka (007), kumpulan daa

24 5 X pada n k pengamaan dalam p dmens, amplan erbak kumpulan daa pada k dmens d mana k < p, dapa demukan dengan mencar arah-arah vekor egen g. j d p-dmens, j =,,, q yau dengan memperkecl jaraknya. Akan dproyekskan pengamaan y ke dalam arah g. j ke-j. Menuru Teorema proyeks yau msalkan ruang-p drenang lner oleh vekor-vekor egen g. j, g. j erdapa d ruang-p kaakanlah W dan y orogonal pada W. Sehngga proyeks orogonal y pada W adalah (3-) Dengan demkan dperoleh, benuk jarak mnmum Orhogonal Dsance (OD) pada seap pengamaan unuk sub ruang komponen uama yau Aau, ( ) OD = x µ g y (3-) j Penenuan nla cu-off unuk orhogonal dsance dak dkeahu secara epa. Menuru Box (954), ukuran dsrbus χ yau dengan g χ g sebaga perkraan yang bak unuk dsrbus ak dkeahu. Unuk mengaas n, Wlson- Hlfery memperkrakan dsrbus χ unuk orhogonal dsance yau dengan dpangkakan /3, yang merupakan perkraan dsrbus normal (Gaussan) /3 dengan raa-raa /3 µ = ( g, g) ( ) dan varans-kovarans g σ =, sehngga /3 9g 9g

25 53 nla cu-offnya adalah /3 /3 3 C( k) = N (( µ ),( σ OD ) ), dengan raa-raa OD /3 OD ( µ ), varans /3 ( σ OD) dan probablas -α, y adalah bars ke- pada Y nxk. Komponen uama ke- erdenfkas sebaga penclan jka OD > C(k). Kombnas kedua jarak SD dan OD Dengan melakukan pengukuran jarak berdasarkan SD dan OD dengan masng-masng nla cu-off yang elah denukan, menghaslkan abel kombnas kedua jarak SD dan OD sebaga berku, Tabel 3. Kombnas Kedua Jarak SD dan OD Jarak SD kecl SD besar OD besar OD kecl Penclan orogonal Pengamaan basa bad leverage-analss komponen uama buruk good leverage-analss komponen uama bak 3.4 Meode Penaksr Robus Banyak alernaf meode penaksr robus unuk menaksr vekor raa-raa dan marks varans-kovarans yang dak dpengaruh banyak oleh penclan. Dengan menggunakan meode penaksr robus unuk menaksr vekor raa-raa dan marks varans-kovarans, bak efek maskng maupun swampng dapa daas. Salah sau penaksr robus yang mempunya kemampuan mengukur jarak

26 54 sekalgus mendeeks jens penclan leverage adalah penaksr Mnmum Covarance Deermnan Mnmum Covarance Deermnan Mnmum Covarance Deermnan (MCD) adalah suau meode pencaran hmpunan bagan dar X sejumlah h elemen d mana ( n + p + ) / h n dengan menaksr raa-raa dan varans-kovarans yang menghaslkan deermnan marks varans-kovarans erkecl. Msalkan hmpunan bagan ersebu adalah X h, erdapa n h aau kombnas hmpunan bagan yang harus dcar unuk mendapakan penaksr MCD. Pada Tabel 3.3 menyajkan jumlah hmpunan bagan yang harus demukan (kolom kega) berdasarkan jumlah pengamaan n (kolom perama) dan jumlah varabel p erenu (kolom kedua) yau, Tabel 3.3 Jumlah Hmpunan Mnmal unuk Menghung Penaksr MCD Jumlah Pengamaan (n) Jumlah Varabel (p) Jumlah Kombnas n C h x x x x0 8 Sumber: Hasl perhungan

27 55 Berku adalah defns dar penaksr MCD yau, Defns MCD (3.4): Msalkan X = ( x, x,..., x ) n merupakan kumpulan daa sejumlah n pengamaan erdr dar p-varabel d mana n p +. Penaksr MCD merupakan pasangan p T dan C adalah marks defn posf smers berdmens pxp dar suau sub sampel berukuran h pengamaan d mana ( n + p + ) h n dengan h T = x dan h C = ( )( ) h = x T x T h = yang memnmumkan de C (Buler dkk, 993). Perhakan Tabel 3.3, jka n kecl maka penaksr MCD cepa demukan. Teap jka n besar, n membuuhkan waku yang cukup lama dalam menemukan kombnas sub sampel dar penaksr MCD. Keerbaasan n kemudan dkembangkan oleh Rousseeuw dan Van Dressen (999) dengan algorma FAST-MCD yau Teorema C-Seps. Teorema C-Seps (3.4.): Msalkan X = ( x, x,..., x ) n merupakan hmpunan sejumlah n pengamaan erdr dar p-varabel. Msal H { n},,..., dengan sejumlah elemen H, jumlah (H ) = h, eapkan T = dan h C = ( x T )( x T ). Jka de( C) 0 defnskan h = h x h = jarak relaf,

28 56 Selanjunya ambl H sedemkan sehngga { d ( ); H } : {( d ) ; n,( d) ; n,...,( d ) h; n} =, d mana ( d ) ; ( d) ;... ( d ) ; n n n n menyaakan uruan jarak, dan hung T dan C berdasarkan kumpulan H. Maka de( C ) de( C ) dan akan sama jka dan hanya jka T = T dan C = C (Rousseeuw dan Van Dressen, 999). (Buk d lampran B) Penaksr Robus dalam Analss Komponen Uama dengan Mnmum Covarance Deermnan Dar beberapa uraan d aas, maka analss komponen uama yang robus dperoleh dengan menggan penaksr vekor raa-raa dan marks varanskovarans dengan penaksr robus MCD. Kemudan akan menghaslkan nla egen maupun vekor egen robus. Jad, kombnas lner Y pada persamaan (3-6) menjad, Y = G ( X µ ) (3-3) MCD MCD Berku adalah ahap-ahap mendeeks penclan (ouler) dalam analss komponen uama robus dengan meode mnmum covarance deermnan: Meode Analss Komponen Uama Tahap I Sebelum melakukan pencaran komponen uama robus, akan dcar jumlah k komponen yang erplh dengan penaksr basa. Dasumskan daa sampel dnyaakan dalam sebuah vekor acak X yau,

29 57 d mana elemen bars menyaakan n pengamaan dan banyaknya kolom menyaakan p varabel X, X,, X p. Daa dproses sedemkan sehngga daa erleak dalam sub ruang yang dmensnya kurang dar p, dengan membangun marks varans-kovarans S 0 unuk menyeleks jumlah komponen k dengan menggunakan salah sau dar beberapa krera yang sudah dbahas sebelumnya. Langkah n menghaslkan sub ruang berdmens k yang cocok dengan daa, ahap n dlakukan pada bagan 3.3. Langkah selanjunya, k-k daa dproyekskan pada sub ruang n. Tk-k daa yang dproyeks pada sub ruang yang sudah dperoleh, agar sub ruangnya menjad sub ruang affne yang drenang oleh n pengamaan, cara mudah melakukan hal n dengan SVD dar marks daa erpusa d raa-raa (he mean cenered-daa marx) menghaslkan X µ = U D V (3-4) nxp n 0 nxr $ 0 λ r0 xp r0 xr0 d mana µ 0 vekor raa-raa awal, n adalah vekor kolom yang semua elemennya sama dengan, r 0 = rank( X nxp n µ 0), D$ λ marks dagonal berordo r r 0 xr 0 x r 0, 0 dan U U = I r0 = V V. Unuk menghaslkan komponen uama robus dlakukan dengan menaksr vekor raa-raa dan marks varans-kovarans secara robus oleh MCD. Akbanya menghaslkan nla egen robus k posf $ λ $ $, λ,..., λ k dan vekor egen robus yang bersesuaan dengan nla egen.

30 58 Pada ahap n dcar k pengamaan erkecl h, d mana h < n. Besarnya h = (n + p +)/, kemudan denukan probablas - α = h/n d mana α anara 0.5 sampa.. Unuk memberkan kemudahan dalam pencaran hmpunan bagan h dar X unuk seap x dengan mencar k erpencl erkecl h. Penenuan kk penclan erkecl h, dlakukan melalu rumusan Sahel-Donoho yang dadapas dar persamaan (3-), unuk seap arah g A, d mana A memua semua vekor ak nol kemudan dproyekskan n k pengamaan x pada g. In peunjuk unuk keerpenclan dar suau pengamaan, dengan demkan pengamaan x erdenfkas sebaga keerpenclan jka, ou ( x ) = max 0 x$ ( $ g medan x g) g A medan x$ g medan( x$ g ) (3-5) d mana j =,,, n a. Asumskan H 0 merupakan hmpunan bagan yang ddapakan dar pon, kemudan ddapakan raa-raa µ dan marks varanskovarans S 0. Dengan cara yang serupa, dcar vekor egen dan nla egen yang bersesuaan dar marks varans-kovarans S 0. Marks varans-kovarans sanga sensf pada penclan sehngga harus ddekomposs dar nla egen sebaga pendekaan unuk penaksran sub ruangnya. Sehngga S 0 ddekomposs spekral menjad S = G 0D G0 (3-6) 0 $ λ0

31 59 0 Dengan D $ $ $ $ = dag( λ, λ,..., λ r ) dan r r λ. Marks varanskovarans S 0 dgunakan unuk menenukan berapa banyak komponen uama yang dperlukan k 0 r. Penenuan komponen dapa dlakukan dengan beberapa krera, salah saunya dengan nla egen lebh besar dar. b. Sebaga langkah akhr, dlakukan proyeks k daa pada sub ruang yang dbangkkan oleh k 0 komponen vekor egen dar S 0. Dar persamaan (3-6) haslnya dapa dbenuk menjad * Y = ( X µ ) G r xk (3-6) nxk nxr n 0 0 d mana G r xk erdr dar k 0 0 kolom perama dar G 0 pada persamaan (3-6). Tahapan analss komponen uama robus dengan penaksr mnmum covarance deermnan selengkapnya sebaga berku (Rousseuw dkk, 003): Meode Analss Komponen Uama Robus dengan Penaksr Mnmum Covarance Deermnan Tahap II Pada ahapan n dlakukan perhungan secara robus menaksr (esmas) marks scaer dar k-k pengamaan dalam Y * nxk 0 menggunakan penaksr MCD. Unuk menemukan k-k daa yang mempunya deemnan marks varans-kovarans yang kecl. Akan dgunakan Teorema C-Seps (Teorema 3.4.)

32 60 karena mempunya keunungan dalam waku yang dgunakan unuk menghung persamaan (3-6).. Dmula dengan menerapkan Teorema C-seps dar y * є Y * nxk 0 dengan H 0 (ndeks kumpulan H 0 yang dmua pada Tahap I) yang ddefnskan sebaga berku, msalkan m 0 dan C 0 merupakan raa-raa dan marks varans-kovarans pada h k d H 0. Jka de (C 0 ) > 0, kemudan dhung C 0 - dan de(c 0 ) besera jarak Mahalanobs pada semua k pengamaan dengan m 0 dan C 0 yang dnoaskan sebaga,,,, n (3-7). Kemudan defnskan H sebaga hmpunan bagan yang ddapakan dar H 0 dengan memlh h pengamaan yang mempunya jarak Mahalanobs d, ( ) erkecl. Pada hmpunan bagan n dhung m dan C m0 C0 merupakan raa-raa dan marks varans-kovarans pada h k d H. Jka de (C ) > 0, kemudan dhung C - dan de(c ) besera jarak Mahalanobs d, ( ). Rousseeuw dan Van Dressen (999) menjamn m C bahwa de( C) de( C0). Pembaharuan erus berlanju sampa deermnan pada marks varans-kovarans konvergen. Saa konvergen, dpenuh suau marks daa akan dnoaskan Y, * nxk dengan varabel-varabel k k0, dar hmpunan bagan H dengan deermnan marks varans-kovarans erkecl pada pemlhan akhr h

33 6 pengamaan. Dengan demkan, ddapakan raa-raa dan varanskovarans pengamaan ersebu yang merupakan penaksr robus MCD. Tahap III Pada ahapan n akan dhung jarak robus unuk Y * nxk. Dalam seap pengamaan dhung vekor raa-raa dan marks varans-kovarans pada persamaan (3-4). Kumpulan daa akhr dnoaskan dengan X nxk dengan k k. Msal µ dan S menoaskan raa-raa dan marks varans-kovarans pada h- pengamaan yang demukan pada ahap II, dan µ dan S raa-raa dan marks varans-kovarans dcar dengan algorma FAST-MCD, jka de (S ) < de (S ) dlanjukan perhungannya yang ddasar pada µ dan S. Unuk u, kumpulan µ = µ dan S 3 = S. Sebalknya µ = µ dan S 3 = S. S Unuk µ 3 dan S 4. S 4 ddekomposs spekralkan yang duls dengan = G D G, asumskan kolom-kolom pada G = G kxk memua vekor egen $ λ pada S 4 dan D$ = D$ adalah dagonal marks dengan nla egen yang λ λ kxk berkorespondens. Score akhr dberkan dengan * Y = ( X ) nxk µ G (3-8) nxk n 5 Kemudan membenuk kembal kolom-kolom pada G pada akhr komponen uama robus G pxk menransformaskan µ 5 kembal pada p, hasl. Vekor pusa robus akhr µ dmua dengan p, dan marks varans-kovarans robus

34 6 S akhr dengan rank k dberkan dengan S = G pxk D G pxk dan perhungan pxk $ λ kxk score pada persamaan (3-8) dalam p, dapa dulskan secara ekuvalen dengan, Y = ( X µ ) G nxk nxk n pxk Mendeeks penclan dalam Analss Komponen Uama Robus dengan Meode Mnmum Covarance Deermnan Tahap IV Sebaga langkah erakhr dlakukan pengukuran Score Dsance (SD ) dan Orhogonal Dsance (OD ) unuk menenukan jens penclan leverage unuk seap pengamaan ke- pada score komponen uama, berdasarkan pada persamaan (3-0) dan (3-).