BAB IV METODA RUNGE-KUTTA ORDE 4 PADA MODEL ALIRAN FLUIDA YANG TERGANGGU

Transkripsi

1 BAB IV METODA RUNGE-KUTTA ORDE 4 PADA MODEL ALIRAN FLUIDA YANG TERGANGGU Pada bab III, ka elah melakukan penguan erhadap meoda Runge-Kua orde 4 pada persamaan panas. Haslnya, solus analk persamaan panas dapa dhampr oleh solus numerk dengan menggunakan meoda Runge-Kua orde 4. Dengan berolak pada hasl ersebu, pada bab n, ka akan menggunakan meoda Runge-Kua orde 4 unuk mencar solus numerk dar suau ssem persamaan dferensal parsal yang merupakan model lner masalah alran fluda dmana solus analknya dak mudah unuk denukan. Pada bab n, ka akan membahas model alran fluda yang akan dnau unuk memberkan gambaran fssnya dan akan dbahas pula bagamana menerapkan meoda Runge-Kua orde 4 dalam mencar solus analknya. 4. Model Alran Fluda Model alran fluda yang akan dnau d sn berhubungan dengan model alran fluda dmens sau. Pada suau saluran erbuka dengan dasarnya erdapa suau gundukan kecl. Mula-mula, sebelum alrannya menabrak gundukan, alrannya adalah seragam yau smpangan permukaan dan kecepaannya konsan. Pada saa Alran fluda esebu mengalam gangguan yang dsebabkan oleh adanya gundukan kecl pada dasar saluran, maka alrannya menad dak seragam lag. Hal n dapa dama dar smpangan yang erbenuk pada permukaan bebas fluda seper pada Wryano [3]. Msalkan, ka plh ssem koordna karesus dengan sumbu horsonal x sepanang permukaan bebas dar fluda, maka smpangan fluda dapa dnyaakan ( ) sebaga y = η ( x, ) dan dasar saluran sebaga y = h + h( x) d mana adalah varabel waku, h adalah kedalaman dasar saluran dan h( x ) adalah benuk opograf gundukan. U adalah kecepaan raa-raa awal alran fluda, yang mewakl kecepaan fluda d k-k yang berada pada sau gars verkal yang sama, pada 3

2 k-k pengamaan sebelum gundukan. Gambar 4. berku merupakan skesa dar konds d aas. y =η ( x, ) y = U a b ( ( )) y = h + h x y = h Gambar 4. Skesa konds alran fluda Berdasarkan paper Wryano [3], model maemaka hasl perumusan konds fss ersebu adalah suau ssem persamaan dferensal parsal yang mempunya benuk dengan u( x, ) ( ) η + Fux + εf uη + u x xh = Fh (3) x u + Fu + x x F η = (3) adalah kecepaan raa-raa alran fluda yang merupakan raa-raa dar kecepaan fluda d k-k yang berada pada poss x yang sama pada saa erenu. Sehngga, pada saa erenu, kecepaan fluda yang berada pada poss x yang sama ( ) dwakl u x,. a ε = adalah suau besaran erka dengan ampludo a dan h kedalaman dasar saluran h. Sedangkan, parameer blangan Froude ddefnskan sebaga U gh, dengan g adalah percepaan gravas. Dalam skrps n, konds fss yang akan dpelaar adalah konds dmana awalnya alran fluda, sebelum menabrak gundukan, adalah seragam yau kecepaan 4

3 dan smpangan permukaan fludanya konsan. Sedangkan, konds pada baas-baas daerah pengamaan dsamakan dengan konds awalnya. 4. Prosedur Numerk Pada bab sebelumnya, ka elah membahas formula Runge-Kua orde 4 unuk persamaan dferensal basa. Karena pada bab n ka akan mencar solus numerk dar suau ssem persamaan dferensal, maka berku n akan dberkan benuk umum dar formula Runge-Kua orde 4 unuk ssem persamaan dferensal basa. Msalkan dkeahu suau ssem persamaan dferensal basa y z / / (,, ) = f y z, (,, ) = g y z. Maka, formula Runge-Kua orde 4 unuk ssem daas adalah y = n y + + n ( k k k3 k 4 ) (33) zn+ = zn + ( l+ l + l3+ l4) (34) 6 dmana ( ) k = hf, y, z n n n ( ) l = hg, y, z n n n h k l k = hf n +, yn +, zn + h k l l = hg n +, yn +, zn + h k l k3 = hf n +, yn +, zn + h k l l3 = hg n +, yn +, zn + (,, ) k4 = hf n + h yn + k3 zn + l 3 (,, ) l = hg + h y + k z + l 4 n n 3 n 3. 5

4 Solus numerk yang akan ka car d sn adalah solus numerk dar model lner alran fluda d aas. Model lner ersebu dperoleh dengan mengabakan sukusuku pada persamaan (3) dan (3) yang memua ε yang ka anggap nlanya sanga kecl. Secara fss, konds ersebu dapa dnerpreaskan bahwa besarnya smpangan maksmum dar permukaan fluda sanga kecl ka dbandngkan dengan kedalaman dar dasar saluran. Sehngga, model lner alran fluda d aas mempunya benuk η + Fux = Fh x (35) u + Fu + x x F η = (36) Konds-konds yang dberkan unuk mencar solus numerk dar model lner d aas x, u x, =. anara lan smpangan awal η ( ) =, dan kecepaan awal ( ) dengan Unuk memudahkan dalam penelasan meoda yang dgunakan, ka ulskan ( η, ) η = G u ( η, ) u = H u ( ) G η u = Fu Fh (37), x x H( η, u) = Fux ηx. (38) F Msalkan nerval [,5 ] adalah doman pengamaan dar model lner alran fluda dan waku pengamaan adalah menad m buah k dskr dengan sep sze dbag menad n buah k dskr dengan sep sze dan >. Doman pengamaan ersebu dbag Δ x dan nerval waku pengamaan Δ. Ka ulskan x = x + Δx = + Δ unuk seap =,,..., n dan =,,..., m. Selanunya, ka nyaakan smpangan permukaan dan kecepaan fluda d k (, ) sebaga η η( x, dan u u( x, ) ). x beruru-uru Turunan parsal erhadap varabel x dhampr dengan menggunakan meode beda pusa. Hampran beda pusa unuk η x adalah η η dan hampran beda pusa unuk u x adalah u u x x η + Δx u + Δx. 6

5 Berdasarkan dskrsas doman, ka nyaakan G G( u) Maka, benuk persamaan (37) dan (38) menad ( η, ) dan H H u. H u + u G = F + h x (39) Δx u u η η = F + Δx F Δx + +. (4) Selanunya, urunan parsal erhadap varabel pada persamaan (35) dan (36) dhampr dengan menggunakan meoda Runge-Kua orde 4. Maka, nla η dan, unuk =,,..., n dan =,,..., m, denukan dengan menggunakan formula dengan k =Δ G u =Δ G ( ) ( η ) η + = η + ( k+ k + k3+ k4) (4) 6 u + = u + ( l+ l + l3+ l4). (4) 6 l H u H =Δ, =Δ k l =Δ G u + k l l =Δ H η +, u + k 3 l =Δ G u + k l l3 =Δ H η +, u + ( ) k =Δ G u + l 4 3 ( η ) l =Δ H + k u + l , Berku n, dberkan conoh perhungan unuk menenukan nla dan l. l l k =Δ G u + =Δ G( u) + G, u k 7

6 dmana l G = G Δ ( H ) = Δ G ( H ). Jad, k =Δ G + ΔG( H ). k l k l l =Δ H η +, u + =Δ H ( η, u) +,. Karena H lner, maka k l l =Δ H( η, u) + H, dmana k l H, = H k, l ( ) = H ΔG Δ H = Δ H G (, ) (, H ) Jad, l =Δ H + ΔH G H (, ). Dengan cara yang sama, ka peroleh ( ) Δ k3 =Δ G + G( H ) + ΔG H( G, H ) ( ) l3 H Δ =Δ + H G, H + Δ H G H, H G H ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ( ) (, )) Δ ( ) (, Δ k =Δ G G H G H G H ) G H G H, H G H 4 +Δ + + 8

7 ( ( ) Δ l4 =Δ H +Δ H( G, H ) + H G( H ), H( G, H ) + Δ H ( G ( H ( G, H ) ), H ( G ( H ), H ( G, H ) ). Jka ka perhakan, pada perhungan, fungs, u + η, dan η +. Pada perhungan H G H akan melbakan nla- nla,,, u u u + ( ( ) ( )) η, H G H, H G, H akan melbakan u 3 η + 3. Pada perhungan l, fungs l akan melbakan nla-nla H l, fungs (, ) u, η, dan η +. Pada perhungan l 3, fungs u, u +, u + 3, η 3, η, η +, dan, ( (, ), ( ( ), (, ))) H G H G H H G H H G H akan 4 ( ) melbakan nla-nla u,,, 4 u u u +, u + 4, η 4, η, Sehngga, unuk ndeks waku =,, n-, perhungan η, η + dan η + 4. η + dan u + akan melbakan semblan buah nla pada ndeks waku sebelumnya. Unuk lebh elasnya, gambar 4. berku n merupakan sencl dar persamaan (4) dan (4). +,, -4, -3, -, -,, +, +, +3, +4 Gambar 4. Sencl dar skema Runge-Kua orde 4 unuk masalah alran fluda Jka ka lha dar sencl d aas maka unuk menghung nla η + akan melbakan empa buah nla d sebelah kr dan kanan dar η. Hal yang sama uga berlaku unuk menghung nla u +. Hal ersebu akan menmbulkan masalah ka ka akan menghung nla-nla pada baas kr dan kanan dar doman pengamaan aau nla-nla dengan ndeks = dan = m. Unuk mengaas masalah ersebu, ka gunakan ar fss dar model alran fluda yau dengan meneapkan unuk nlanla d luar doman pengamaan. Hal n berar bahwa keadaannya seragam dak ada pengaruh dar gangguan. 9

8 erhadap: Sehngga, solus numerk yang akan ka car adalah solus dar η + = η + ( k+ k + k3+ k4) unuk =,,, n- dan =,,, m. 6 u + = u + ( l+ l + l3+ l4) unuk =,,, n- dan =,,, m. 6 konds awal η =, unuk =,,, m u =, unuk =,,, m konds baas η =, unuk =,,, n- dan = -3, -, -,, m +, m +, m + 3, dan m + 4 u =, unuk =,,, n- dan = -3, -, -,, m +, m +, m + 3, dan m Hasl Numerk Pada sub bab n, skema numerk yang elah ka benuk dgunakan unuk mengama erbenuknya gelombang pada permukaan bebas fluda akba adanya gundukan pada dasar saluran. Hasl-hasl numerk yang akan damplkan d sn menggunakan gundukan berbenuk h( x) [ ] =. ( x ) 8 + yang dempakan pada,35, Δ x =. dan Δ =.. Gambar 4.3, 4.4 dan 4.5 berku n merupakan plo smpangan permukaan fluda pada seap k beruru-uru unuk F =.3, F =.6 dan F =.5. Unuk beberapa nla, plo smpangan permukaan dleakan pada koordna yang sama dengan menggeser ke aas plo smpangan permukaan unuk level waku yang lebh ngg. 3

9 Gambar 4.3 Plo permukaan fluda unuk F =.3 Gambar 4.4 Plo permukaan Fluda unuk F =.6 3

10 Gambar 4.5 Plo permukaan Fluda unuk F =.5 Dar pengamaan kega plo d aas, mula-mula dak ada gelombang pada permukaan fluda. Kemudan seelah beberapa saa, ga buah gelombang erbenuk pada permukaan fluda dengan masng-masng arah perambaannya berbeda. Gelombang sebelah kr meramba ke kr, gelombang yang d engah cenderung dam, dan gelombang sebelah kanan meramba ke kanan Unuk selanunya, ka akan menenukan secara kuanaf kecepaan dan ampludo masng-masng gelombang sera membahas bagamana hubungannya dengan blangan Froude F Analsa Kuanaf Pengaruh Perubahan Parameer Blangan Froude F Terhadap Ampludo Gelombang Pada plo solus sebelumnya, ka ka perhakan pada awalnya gelombang belum erbenuk. Serng berambahnya waku, masng-masng gelombang erbenuk dengan ampludo yang berubah-ubah. Gambar 4.6 dan 4.7 berku n beruru-uru merupakan plo waku erhadap ampludo gelombang kr dan gelombang engah unuk nla F =.3. 3

11 gelombang kr ampludo Gambar 4.6 Plo ampludo gelombang kr unuk F =.3. gelombang engah.9.85 ampludo Gambar 4.7 Plo ampludo gelombang engah unuk F =.3. Dar kedua plo d aas, ampludo gelombang yang meramba ke kr asmok ke.96, sedangkan ampludo gelombang yang d engah asmok ke.9. Dengan cara yang sama, abel 4. berku n merupakan abel unuk nla asmok dar ampludo gelombang kr dan gelombang engah unuk beberapa nla F. Gelombang kr Gelombang engah F Ampludo F Ampludo

12 Tabel 4. Nla asmok dar ampludo gelombang kr dan engah unuk beberapa nla F. Dar abel d aas, semakn besar nla F maka ampludo gelombang yang meramba ke kr dan yang berada d engah akan semakn besar pula. Hal ersebu dapa dlha uga dar rendlne yang erbenuk seper pada gambar 4.8 dan 4.9 berku n. gelombang kr.5. ampludo F Gambar 4.8 Trendlne ampludo gelombang kr. 34

13 gelombang engah.5. ampludo F Gambar 4.9 Trendlne ampludo gelombang engah. Unuk gelombang yang meramba ke kanan, unuk seap nla F, ampludo gelombang akan semak kecl serng dengan beralannya waku. Hal n dapa dlha dar plo ampludo erhadap waku. Sebaga conoh, Gambar 4. dan gambar 4. berku n beruru-uru merupakan plo ampludo gelombang yang meramba ke kanan erhadap waku unuk nla F =.4 dan F =.8. gelombang kanan ampludo Gambar 4. Plo ampludo gelombang kanan unuk F =.4. 35

14 gelombang kanan ampludo Gambar 4. Plo ampludo gelombang kanan unuk F = Analsa Kuanaf Pengaruh Perubahan Parameer Blangan Froude F Terhadap Kecepaan Gelombang Pada plo solus numerk sebelumnya, ka msalkan masng-masng gelombang dar kega gelombang yang erbenuk adalah kurva dar suau fungs. Dengan berambahnya nla, masng-masng kurva bergeser sepanang sumbu horsonal dar poss sebelumnya, maka masng-masng kurva ersebu dapa dnyaakan sebaga fungs erhadap x c = k dengan c dan k adalah konsana sebarang. Secara fss, c merepresenaskan kecepaan dar masng-masng gelombang. Sehngga, unuk mencar kecepaan dar masng-masng gelombang, ka akan menggunakan regres lner unuk menenukan kemrngan gars dar persamaan gars yang menghubungkan poss ampludo gelombang x erhadap waku. sebaga conoh, Gambar 4., 4.3 dan 4.4 berku n merupakan plo dar poss ampludo masng-masng gelombang erhadap waku besera persamaan gars hasl regres lner unuk F =.3. Regres lner ersebu dperoleh dengan menggunakan perangka lunak Excel. 36

15 gelombang kr 8 = -.8x x Gambar 4. Plo poss ampludo gelombang kr erhadap waku. gelombang engah 4 = -3.8x x Gambar 4.3 Plo poss ampludo gelombang engah erhadap waku. 37

16 gelombang kanan =.8776x x Gambar 4.4 Plo poss ampludo gelombang kanan erhadap waku. Dar grafk d aas, kecepaan c masng-masng gelombang dperoleh dar c =. Sehngga, kecepaan gelombang kr cl, gelombang engah graden c M, dan gelombang kanan c R beruru-uru adalah -.877, -.333, dan.395. Dengan cara yang sama, ka peroleh kecepaan masng-masng gelombang unuk beberapa nla F seper pada abel 4. berku. Gelombang kr Gelombang engah Gelombang kanan F Kecepaan F Kecepaan F Kecepaan Tabel 4. Kecepaan masng-masng gelombang unuk beberapa nla F. 38

17 Dar abel 4. dapa ka lha, kecepaan gelombang yang meramba ke kr akan semakn kecl dengan berambahnya nla F. Kecepaan gelombang yang meramba ke kanan akan semakn besar dengan berambahnya nla F. Sedangkan, gelombang yang berada d engah relaf dak berubah dengan berambahnya nla F. Hal ersebu dapa uga dama dar rendlne yang erbenuk berdasarkan abel 4. seper pada gambar 4.5, 4.6 dan 4.7 berku n. gelombang kr c F Gambar 4.5 Trendlne kecepaan gelombang kr erhadap parameer blangan Froude. 39

18 gelombang engah c F Gambar 4.6 Trendlne kecepaan gelombang engah erhadap parameer blangan Froude. gelombang kanan c F Gambar 4.7 Trendlne kecepaan gelombang kanan erhadap parameer blangan Froude Analsa Kuanaf Pengaruh Perubahan Kenggan Gundukan Terhadap Ampludo Gelombang Analsa kuanaf pengaruh perubahan kenggan gundukan erhadap ampludo gelombang dapa dlakukan dengan erlebh dahulu menenukan nla asmok unuk seap gelombang. Nla-nla asmok ersebu dapa ka peroleh 4

19 dar plo ampludo gelombang erhadap waku unuk seap kenggan gundukan dengan blangan Froude F erenu. Karena benuk gundukan yang ka gunakan d sn, yau h( x) =. (( x 8) + ), mempunya kenggan., maka kenggan gundukan lannya dperoleh dengan cara menghung ngg maksmum dar kelpaan konsana posf erenu benuk gundukan semula. Sebaga conoh, gambar 4.8 dan 4.9 berku n merupakan plo ampludo gelombang erhadap waku dengan F =.3 unuk kenggan gundukan.5. gelombang kr.3.5 ampludo Gambar 4.8 Plo ampludo gelombang kr erhadap waku unuk F =.3 dan kenggan gundukan.5. 4

20 gelombang engah ampludo Gambar 4.9 Plo ampludo gelombang engah erhadap waku unuk F =.3 dan kenggan gundukan.5. Dar kedua gambar d aas, ampludo gelombang kr asmok ke.9, sedangkan ampludo gelombang engah asmok ke.3. Dengan cara yang sama, abel 4.3 berku n merupakan abel unuk nla asmok dar ampludo gelombang kr dan gelombang engah, dengan F =.3, unuk beberapa kenggan gundukan. Gelombang kr Gelombang engah Kenggan gundukan AmpludoKenggan gundukan Ampludo Tabel 4.3 Nla asmok ampludo gelombang kr dan engah, dengan F =.3, unuk beberapa kenggan gundukan. 4

21 Dar abel d aas, semakn ngg gundukannya maka ampludo gelombang kr dan gelombang engah akan semakn besar pula. Hal n dapa ka ama uga dar rendlne yang erbenuk berdasarkan abel 4.3, seper pada gambar 4. dan 4. berku. gelombang kr.5.4 ampludo kenggan gundukan Gambar 4. Trendlne ampludo gelombang kr erhadap kenggan gundukan unuk F =.3. gelombang engah. ampludo kenggan gundukan Gambar 4. Trendlne ampludo gelombang kanan erhadap kenggan gundukan unuk F =.3. Unuk gelombang yang meramba ke kanan, unuk seap kenggan gundukan, ampludo gelombang akan semak kecl serng dengan beralannya waku. 43

22 Hal n dapa dlha dar plo ampludo erhadap waku. Sebaga conoh, gambar 4. dan 4.3 berku n beruru-uru merupakan plo ampludo gelombang yang meramba ke kanan erhadap waku unuk nla kenggan gundukan. dan.5. gelombang kanan ampludo Gambar 4. Plo ampludo gelombang erhadap waku unuk F =.3 dengan kenggan gundukan.. gelombang kanan ampludo Gambar 4.3 Plo ampludo gelombang erhadap waku unuk F =.3 dengan kenggan gundukan.5. 44

23 4.3.4 Analsa Kuanaf Pengaruh Perubahan Kenggan Gundukan Terhadap Kecepaan Gelombang Dengan cara yang sama seper dalam pembahasan sub bab 4.3. sebelumnya, kecepaan gelombang dapa ka peroleh dengan erlebh dahulu membua plo waku erhadap poss ampludo gelombang unuk F erenu dan kenggan gundukan erenu. Sehngga, kecepaan gelombang dapa dperoleh dengan menghung graden gars hasl regres lner dar plo ersebu. Sebaga conoh, gambar 4.4, 4.5 dan 4.6 berku n merupakan plo waku erhadap poss ampludo besera persamaan gars hasl regres lner beruru-uru unuk gelombang kr, gelombang engah dan gelombang kanan, dengan F =.3 dan kenggan gundukan.5. gelombang kr y = -.8x x Gambar 4.4 Plo waku erhadap poss ampludo gelombang kr unuk F =.3 dengan kenggan gundukan.5. 45

24 gelombang engah 4 y = -3.8x x Gambar 4.5 Plo waku erhadap poss ampludo gelombang engah unuk F =.3 dengan kenggan gundukan.5. gelombang kanan y =.869x x Gambar 4.6 Plo waku erhadap poss ampludo gelombang kanan unuk F =.3 dengan kenggan gundukan.5. Sehngga, dar gambar d aas, kecepaan gelombang kr adalah.877, kecepaan gelombang kanan adalah.333 dan kecepaan gelombang engah adalah.57. Dengan cara yang sama, ka peroleh kecepaan masng-masng gelombang unuk beberapa nla F seper pada abel 4.4 berku. 46

25 Kenggan gundukan Kecepaan gelombang kr Kecepaan gelombang engah Kecepaan gelombang kanan Tabel 4.4 Kecepaan masng-masng gelombang unuk beberapa kenggan gundukan, dengan F =.3. Berdasarkan abel 4.4, ka dapa membenuk rendlne yang memperlhakan hubungan anara pengaruh perubahan kenggan gundukan dengan kecepaan masngmasng gelombang seper pada gambar 4.7, 4.8 dan 4.9 berku. gelombang kr kecepaan kenggan gundukan Gambar 4.7 Trendlne kecepaan gelombang kr erhadap kenggan gundukan unuk F =.3. 47

26 gelombang engah kecepaan kenggan gundukan Gambar 4.8 Trendlne kecepaan gelombang engah erhadap kenggan gundukan unuk F =.3. gelombang kanan kecepaan kenggan gundukan Gambar 4.9 Trendlne kecepaan gelombang kanan erhadap kenggan gundukan unuk F =.3. Dar rendlne d aas, dapa ka ama, kecepaan masng-masng gelombang dak berubah serng dengan berubahnya kenggan gundukan. 48