Konferensi Nasional Sistem dan Informatika 2008; Bali, November 15, 2008

Transkripsi

1 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI08-0 APLIKASI MATEMATIKA UMERIK METODE EWTO RAPHSO DALAM BIDAG MAAJEME KEUAGA: SUATU TIJAUA KHUSUS MEETUKA ILAI ITERAL RATE OF RETUR DA YIELD TO MATURITY OBLIGASI Yudha Herlambang Unversas Trunajaya Madura(UTM,Bangkalan ABSTRACT Ths research dscusses an alernave mehod o solve he value problem of Inernal Rae Reurn or he mehod o calculae he value of Inernal Rae Reurn (IRR and he desred reurned rae by Bonds nvesor. There were several mehods o solve he calculaon of IRR, such as Inerpolaon Mehod, Usng he Fnancal Table, Tral and Error Mehod, and Usng IRR Funcon n Excel Sofware. In hs paper, he auhor wll presen he Applcaon of umercal Mahemac. There are a number of mehods n umercal Mahemac, bu he mos popular one s ewon Raphson Mehod. In hs mehod, he case needs o be ransferred no he PV Equaon or Bonds Equaon eher n he Case of Premum or Dscono Bonds. Then a Polnomal equaon n erm of f(x s creaed. Ieraon s conduced unl he error s mnmum. In erms of he resuls, hs mehod gves he same oucome as he mehods menoned above. There s only an appromaon of dgs n decmals n he resul. Usng hs mehod, here s sll dfference n he oucome, bu s no sgnfcan. Keywords: Inernal Rae Reurn, Inerpolaon Mehod umercal Mahemac, ewon Raphson Mehod, PV Equaon, Polnomal Equaon, Ineraon, Bonds, Appromaon. Pendahuluan Sebagamana elah ka keahu bersama bahwa duna nvesas dan porofolo ak lepas dar adanya resko yang harus dhadap nvesor. Dan phak yang akan bernvesas pas akan berupaya unuk lebh memnmalsr resko ersebu dengan berbaga analsa. Termasuk dalam analsa n msalkan ruang lngkup kelayakan proyek. Dalam analsa kelayakan proyek n perlu dpermbangkan unsur-unsur Tme Value of Money sehngga berhubungan dengan Dscoun Facor. Dalam lngkup analsa aau evaluas proyek, nvesor berupaya agar erhndar dar resko yang dakbakan oleh kesalahan dalam pengamblan kepuusan bernvesas. Salah sau meode yang dgunakan alah analsa e Presen Value (PV. Dalam hal PV bernla posf aau ngka e Cash Flow dar ahun ke ahun selama umur proyek dengan mempermbangkan fakor konsep nla waku uang aau Tme Value of Money besarnya melebh Invesas Awal Proyek, maka proyek ersebu layak dpermbangkan unuk derma. amun serngkal djumpa bahwa perhungan mencar nla IRR ak selalu mudah, dalam beberapa kasus harus menggunakan cara coba-coba aau ral and error. Aau dapa pula dgunakan meode Inerpolas Lner. Dan ka mengenal pula pemakaan dengan menggunakan abel Keuangan. Pada ulsan n penuls memperkenalkan pemakaan Maemaka umerk eruama Meode ewon Raphson unuk mencar nla eksak IRR dengan ngka kepresssan erenu sesua kehendak pengguna. Hal n juga berlaku pada kasus mencar nla Yeld To Maury pada Persamaan Oblgas, bak pada benuk dskono maupun premum. Penelan n berujuan unuk mengenalkan meode perhungan eras ewon Raphson dalam ranah lmu Maemaka umerk dalam aplkasnya unuk melakukan perhungan dalam mencar nla Inernal Rae Reurn (IRR sebaga cara alernaf d sampng Mehode Inerpolas aau menggunakan fungs IRR dalam pake program Excell. Sedangkan manfaa meode n anara lan sebaga cara alernaf anpa menggunakan abel keuangan dan apabla dak erdapa sofware. Sedangkan pencaran nla IRR sendr adalah unuk membanu kalangan pengguna aau nvesor pada saa ngka neres berapa pada konds d mana jumlah yang dnvesaskan akan sama dengan e Cash Flow yang dperkrakan akan derma selama usa proyek ersebu berjalan. Adapun baasan masalah dar penelan n adalah:. Pada penelan n banyaknya perhungan eraf aau perhungan berulang unuk mencar pendekaan nla Inernal Rae Reurn (IRR akan dbaas penuls hngga eraf ke aau bla error (penympangan nla f(x yang dperoleh erhadap f(x0 adalah berksar maksmum 0,.. Sebaga pembandng erhadap ngka kepressan aau keakuraan hasl yang dperoleh penuls, maka dpergunakan sofware Excell dengan fungs IRR, sofware Malab (Marx Laboraory 7.00 dengan fungs roos. Juga dpergunakan Meode Inerpolas pada usa proyek ahun.. Unuk usa proyek ahun dak perlu dpergunakan pendekaan umerk ewon Raphson, namun cukup formulas abc dalam maemaka aljabar basa dan dak perlu dbahas dalam paper.. Pada ulsan n, pemakaan aau perhungan mencar nla IRR dengan menggunakan meode Maemaka umerk- ewon Raphson dbaas penuls hanya unuk umur projec hngga ahun. Unuk umur projec d aas 6 ahun 76

2 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI08-0 dpergunakan sofware yang elah drancang penuls dalam bahasa pemrograman Forran (Ssem Operas DOS dan Delph (Ssem Operas Wndows. Terdapa banyak meode pencaran akar dalam Maemaka umerk, msalkan Meode Inerval, Bsecon Mehod, Meode Inerpelas, dan lannya, namun dalam ulsan n yang akan dbahas erbaas pada Meode ewon Raphson. Dalam ulsan n akan dbahas meode numerk dengan pendekaan ewon Raphson unuk menyelesakan masalah yau bagamana mencar nla Yeld o Maury pada persamaan Dskono dan Premum Oblgas dan mencar nla Inernal Rae Reurn pada kasus Sud Kelayakan Proyek dalam benuk persamaan e Presen Value, yau dalam benuk persamaan maemas polnomal aau dengan kaa lan mencar akar dalam benuk persamaan polnomal yang derapkan dalam manajemen keuangan. Dalam penelan n, juga dpergunakan hpoesa sederhana anpa menggunakan ala uj sask, karena pengujannya dengan menggunakan perhungan maemas, yau: Dduga Aplkas Maemaka umerk Meode ewon Raphson dapa dpergunakan unuk menyelesakan perhungan mencar nla Inernal Rae Reurn (IRR dan menghung besarnya ngka pengembalan yang dharapkan nvesor Oblgas (k sesua hngga araf keelan yang dperlukan pada eras erenu.. Landasan Teor Dscounng Model secara ekspls memperhungkan Tme Value of Money pada suau korporas dan memasukkan unsur-unsur konsep dscounng kas masuk dan kas keluar. Terdapa dua model pendekaan model dscounng yang serng djumpa yau: e Presen Value (PV dan IRR ( Inernal Rae Reurn. Teknk nla sekarang bersh aau yang erkenal dengan sebuan eknk PV mengandalkan pada eknk arus kas yang ddskonokan/dcar presen value-nya. Proses mengmplemenaskan eknk PV sebaga berku:. Menenukan nla sekarang dar seap arus kas, ermasuk arus kas masuk dan arus kas keluar, kemudan dhung e Cash Flownya (Selsh Cash In dan Cash Ou yang ddskonokan pada baya modal proyek.. Menjumlahkan semua arus kas yang ddskonokan n. Hasl penjumlahan n ddefnskan sebaga PV (e Presen Value. Bla PV Posf, proyek dapa derma unuk dlaksanakan. Bla PV negaf, proyek dpermbangkan unuk dolak. e Presen Value merupakan pendekaan yang dlakukan dalam penganggaran modal (capal budgeng d mana nla kas masuk saa n (Presen Value of Cash Inflows dkurang dengan nla kas keluar saa n (presen value of cash ouflows. Dalam menla kelayakan suau proyek, bla perhungan PV yang ddapa posf, berar proyek ersebu layak dpermbangkan dan apabla PR bernla negave, proyek dmaksud semesnya dolak. Sehngga secara defnf IRR merupakan ngka bunga yang membua nla bersh seluruh arus kas saa n (e Presen Value aau PV sebesar nol. IRR ddefnskan sebaga nla (ngka neres yang membua nla Presen Value Projec Cash Inflows bernla sama dengan Presen Value dar Baya Proyek (Projec Coss. la unuk mengese nla IRR agar PV bernla nol n adalah dengan cara coba-coba / ral-error. IRR ak lan merupakan ngka neres pada saa PV Projecs bernla nol. Jad IRR merupakan ala unuk mengukur ngka pengembalan hasl nern. Adapun formulas maemas perhungan PV sebaga berku: e. Cash. Flow PV ( I 0 Seper elah ka keahu sebelumnya bahwa Tngka Pengembalan Inernal aau IRR merupakan suau eknk dalam membua perngka usulan nvesas dengan menggunakan ngka pengembalan aas nvensas yang dhung dengan mencar ngka dskono yang menyamakan nla sekarang arus kas masuk dengan nvesas awal dan formula IRR yau n e. Cash. Flow Invesas. Awal ( 77 IRR%. Penlaan Oblgas Oblgas secara sederhana merupakan sura janj kesanggupan unuk membayar (Promssory noes jangka panjang, yang dkeluarkan oleh s pemnjam dengan janj kepada s pemegangnya dengan pembayaran suau nla bunga seap ahun yang elah denukan sebelumnya. Sehubungan dengan u, maka nla ase dpengaruh oleh ga elemen sebaga berku:. Besar sera waku penermaan aas arus kas asse yang dharapkan. Resko dar arus kas ersebu.. Tngka pengembalan mnmum nvesor (k unuk memlh suau oblgas. Adapun ngka pengembalan yang dharapkan nvesor yau k, adalah denukan oleh besar keclnya ngka suku bunga bebas resko dan premum resko yang drasakan nvesor perlu unuk mengkompensaskan resko dalam kepemlkan ase. Dengan demkan, maka penlaan dasar sebuah sekuras dapa ddefnskan secara maemas pada persamaan d bawah: 0 C C C Cn Vb... dmana :

3 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI08-0 C arus kas yang akan derma pada waku V nla nrnsk aau nla kn dar sebuah asse yang menghaslkann arus kas d masa mendaang, C pada ahun ke- hngga ahun ke-n. k ngka pengembalan yang dngnkan nvesor. n jumlah ahun dengan arus kas akan derma.. Meode ewon Raphson Dalam duna maemaka numerk, meode n palng banyak dgunakan dalam mencar akar dar suau persamaan khususnya benuk persamaan polnomal. Bla perkraan awal dar akar adalah x, suau gars snggung dapa dbua dar k ( x, f ( x.tk d mana gars snggung ersebu memoong sumbu x basanya memberkan perkraan yang lebh deka dar nla akar. Seper yang dunjukkan pada Gambar pada lampran, urunan perama pada k x adalah ekuvalen dengan ngka kemrngan. Meode yang lebh bak dalam memlh g'(x adalah dengan membua gars snggung dar f(x unuk nla x yang dplh, dan dengan menggunakan besaran x dar perpoongan gars snggung erhadap abss sehngga dperoleh nla x baru. Gambar pada lampran merupakan penjelasan grafs prosedur meode ewon Raphson. Meode ewon Raphson n merupakan salah sau cara yang palng dkenal dalam meode penyelesaan fungs f(x 0. Pengembalan cara n adalah sfa konvergens kuadrak dalam proses eras, karena erjadnya koreks dg ganda d seap proses. Secara maemas penurunan formulas pada meode ewon Raphson dapa drunu sebaga berku: f ( x 0 f ' ( x x x aau f '( Berku adalah prosedur algorma pada Meode ewon Raphson:. Tenukan Xo, olerans,dan jumlah eras maksmum.. Hung Xbaru x-f(xo/f(xo.. Jka nla mulak (Xbaru-Xo < olerans, dperoleh ulsan xbaru sebaga hasl perhungan;. Jka dak, lanjukan ke langkah berkunya.. Jka jumlah eras > eras maksmum, akhr program. 6. X Xbaru, dan kembal ke langkah (b. Keebaasan meode ewon Raphson n anara lan: - Harus mencar f(x, dan nlanya mungkn 0. - Tdaklah sederhana melacak proses unuk konvergen. - Dalam perhungan ada kemungknan besar proses memberkan hasl dvergen, kecual nla perkraan awal x cukup epa.. Meodolog Pada penelan n penuls mengambl conoh kasus suau conoh persoalan dalam mencar nla IRR (Inernal Rae Reurn unuk berbaga umur projec yang akan dnjau. Mula dar umur proyek ahun hngga umur proyek ahun. Unuk umur proyek ahun, penuls dak merasa perlu mencar nla IRR dengan pendekaan umerk Meode ewon Raphson dan dak perlu dbahas dalam paper n, karena cukup dengan formulas abc saja sudah dapa dselesakan, karena sanga sederhana. Kemudan unuk conoh persoalan mencar nla IRR yang melbakan usa projec anara hngga ahun dlakukan pencaran dugaan nla IRR dengan pendekaan meode ewon Raphson yang dbandngkan haslnya dengan sofware Excell memaka fungs IRR sera sofware Malab memaka fungs Roos. Dalam pendekaan meode ewon Raphson dpaka slah dugaan nla IRR, karena nla IRR yang dcar pada awal perhungan belum memenuh hasl press yang dharapkan, sehngga erus dlakukan pencaran nla eksak unuk akar yang sesungguhnya aau hampr mendeka sesungguhnya. Langkah-langkah penelan d aas juga berlaku bag kasus Oblgas Premum dan Dskono, yau mencar nla Yeld o Maury, seelah dbenuk persamaan Oblgas dalam benuk Persamaan Maemak Polnomal dmaksud.. Pembahasan Kasus Dalam Perhungan Maemas. Kasus Umur Projec Tahun (e Cash Flow dengan Jumlah yang Sama Msalkan ka dawarkan sebuah proposal proyek nvesas d mana ka harus mengnvesaskan dana sebesar Rp 0 jua. Sebaga mbalan dar proyek yang berjangka waku ahun n, d mana ka akan menerma pembayaran Rp jua pada seap akhr ahun selama ahun dan Rp jua pada akhr ahun kega. Apabla ka menggunakan formulas IRR dalam benuk rumus dere geomers sebaga berku: PV 0, 0 ( r %, f(x 0x 8x x 6 0 aau x x x 0. Dengan memandang f(x 0x 8x x 6, maka f (x dervaf perama 0x 6x, unuk nla awal des x0 dan x, dperoleh : f(0-6 dan 78

4 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI08-0 f( Berhubung nla f(0 dan f(6 berbeda anda, maka dambl dugaan bahwa akar persamaan, yau x* d anara x dan x0. Sehubungan dengan n ka lakukan langkah eras ( perhungan yang perama sebaga berku: f ( % f ' ( f ' (0. Ka lakukan es unuk f(/ n yau: f(/ 0( 8( ( 6, 9 6. Dan dengan menjalankan hngga neras ke, dperoleh hasl akar yang opmal aau konvergen, yau: f (0,0 0,08 0,08 x 0,0 0,0 0,00 0, f ' (0,0 (0,0 8(0,0 8,8 Akhrnya ka lakukan es f(0,f(0% (0, (0, (0, 0. Dengan demkan dapa dkaakan bahwa x0% merupakan akar persamaan polnomal dan Inernal Rae Reurn adalah pada ngka r 0 %. Dengan menggunakan Sofware Excell yau faslas fungs IRR (Range cell, guess akan dperoleh nla IRR 0%. Begu pula apabla dhung dengan menggunakan pake program Malab bernla sama, yau 0%. Hasl dengan meode ewon Raphson n IRR 0 % sama perss seper hasl yang dperoleh pada sofware aplkas Excell.. Kasus Umur Projec Tahun (e Cash Flow yang Tdak Sama Pada conoh kasus n ak jauh berbeda dengan conoh kasus no.a d aas, hanya saja erdapa nla e Cash Flow yang berbeda dar ahun ke ahun. Jad msalkan ka dawarkan sebuah proposal proyek nvesas d mana ka harus mengnvesaskan dana sebesar Rp 0 jua. Sebaga mbalan dar proyek yang berjangka waku ahun n, d mana ka akan menerma pembayaran Rp 0 jua pada seap ahun perama, ahun kedua memperoleh e Cash Flow Rp 0 jua dan Rp 6 jua pada akhr ahun kega. Apabla ka menggunakan formulas IRR dalam benuk rumus dere geomers sebaga berku: PV 0, dengan memsalkan r % x, ( x ( x ( x, ( x ( x ( x F(x x 6x 8x 9 0. Sedangkan f (x 66x x 8. Maka dengan demkan ka lakukan es awal sebaga unuk x0 dan x sebaga berku: f(0-9 dan f( Dengan demkan dugaan akar x* agar f(x*0 adalah erleak d anara x0 dan x. Maka dadakan proses perhungan neras: x f (0 ( 9 9 x f ' ( x f ' (0 66(0 ( ,68 Dengan demkan dperoleh dugaan akar semenara x*0,68. la f(0,68 n perlu ka es unuk menganalsa seberapa jauhkah error erhadap f(x*0. f(x*f(0,68 (0,68 6(0,68 8(0,68 9,. Sedemkan hngga apabla dlanjukan sampa eras ke, sehngga dperoleh hasl akar yang konvergen, yau : x f (0,86 0,0006 0,86 0,86 f ' (0,86,8 0,6 8 0,890. Dugaan akar yang erakhr n yau x0,890 akan ka lakukan es sampa seberapa jauhkah error erhadap f(x0. Berku perhungannya : f(0,890 (0,890 6(0,890 8(0, ,0000 Ka perhakan bahwa nla f(0,8900,0000 sudah sanga mendeka f(x0 aau sebesar,.0, menunjukkan errornya sudah mencapa sanga kecl dalam orde seperserausan rbu. Dengan demkan nla x0,890 aau IRR8,9 % merupakan nla yang dcar. Adapun dar hasl Malab ddapakan 0,868,6 % adalah merupakan approksmas aau dg d belakang koma.apabla dgunakan Sofware Excell yau faslas fungs IRR (Range cell, guess akan dperoleh nla IRR 8%. Sedangkan bla menggunakan sofware Malab 7.00 sebaga pengujan valdas dan sofware pembandng, maka dperoleh nla x 0,86 8,6%. Hasl perhungan dengan meode ewon Raphson d aas ad merupakan pendekaan dar IRR 8 % seper hasl yang dperoleh pada sofware aplkas Excell maupun sofware Malab.. Conoh Kasus Usa Proyek Tahun. Dengan Invesas Awal Rp ,-, dan e Cash Flow yang dperoleh unuk ahun beruru-uru adalah sebaga berku: ahun perama Rp 0 jua, ahun kedua Rp 60 jua, ahun kega Rp 0 jua, ahun erakhr Rp jua. Apabla dhung dengan menggunakan sofware Excell, akan dperoleh hasl IRR 8%. Sedangkan dengan menggunakan program Malab akan dperoleh hasl IRR0,8 aau IRR 8,%. Adapun conoh kasus ersebu apabla dhung dengan menggunakan Meode ewon Raphson dalam Maemaka umerk akan dperoleh hasl IRR 0,88 aau 8,8 %. Adapun Langkah perhungannya dsajkan d bawah n. Perama ama ka susun menuru persamaan maemas formulas PV sebaga berku n: ( % r ( r %. Persamaan-persamaan d aas dgabungkan dan dsederhanakan maka dperoleh: 79

5 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI08-0 7x 60x 70x 0x 00 yang merupakan suau benuk polnomal berderaja yang akan dcar akar-akarnya unuk menenukan IRR. Ka es dengan k awal msalkan x0, dperoleh f(0-0 dan x dperoleh f(. Maka dugaan akar yang dcar (x* pas d anara x0 dan x. Dengan demkan proses eras perhungan ka mula, namun demkan perlu denukan urunan fungs perama aau f (x 00x 780x 0x 0. f (0 ( 0 0 Ieras I : 0 0 0, 666 f '( f '(0 00(0 780(0 0( Dengan demkan dperoleh dugaan akar semenara x*,666. la f(,666 n perlu ka es unuk menganalsa seberapa jauhkah error erhadap f(x*0. f(x*f(,666 7(,666 60(,666 70(,660 0(, > f ( Terlha bahwa haslnya ak menjad lebh bak aau dvergen aau bsa dkaakan semakn jauh dar f(x yang seharusnya mendeka nol. Maka dar u perlu dcar alernaf neras lan, yau dhung mundur dar x dan f(, sehngga perhungan eras maemasnya sebaga berku: f ( ( 0,8 0,68 f '( f '( 00( 780( 0( 0 60 Sehngga pendugaan x* yang baru pada eras d aas alah pada x* 0,68 Akhrnya ka es seberapa jauh pendugaan x* baru ersebu erhadap f(x0, yau: F(0,68 7(0,68 60(0,68 70(0,68 0(0,68 0, 88 Aau f(0,68,88 < f(, dar hasl n dperoleh konds yang convergen, sehngga dugaan akar (x* berkunya erjad d anara x 0 dan x 0,68. Dengan demkan eras perhungan maemas ka eruskan hngga hasl yang press dan semakn konvergen hngga pada saa eras yang ke, dperoleh hasl opmal sebaga berku: f(0,88 7(0,88 60(0,88 70(0,88 0(0, , nla n sudah cukup mendeka f(x0, apabla dbandngkan dengan nla f(x dar kandda-kandda akar sebelumnya, sehngga dapa dambl kepuusan bahwa x 0,88 merupakan dugaan akar yang sudah cukup press aau Inernal Rae Reurn (IRR 8,8 % aau dapa dkaakan hampr sesua dengan hasl pengolahan dar Excell aau sofware Malab sebaga pembandngnya. Apabla dlakukan proses perhungan berulang aau ners lebh lanju, akan dperoleh hasl pendekaan akar yang ak jauh berbeda, yau berksar anara x 0,8...aau IRR 8,...%, yang merupakan selsh keelan beberapa dg d belakang koma yang erlalu sgnfkan.. Conoh Kasus unuk Umur Projec Tahun Dengan Invesas awal (I sebesar Rp , e Cash Flow beruru-uru adalah sebaga berku: Tahun perama sebesar Rp ,-. Tahun kedua sebesar Rp ,-. Tahun kega sebesar Rp ,-. Tahun keempa sebesar Rp ,-. Dan ahun kelma sebesar Rp Akan denukan nla Inernal Rae of Reurn (IRR yang sesua. Kn penuls akan melakukan perhungan IRR dengan menggunakan pendekaan Maemaka umerk- Meode ewon Raphson, seper basanya dsusun erlebh dahulu persamaan maemak unuk PV sebaga berku : ( r % F(x 00x 6x 8x 6x 0x 07. Sebaga k awal dplh x0 yang akan menghaslkan f(0-07 dan x( yang akan menghaslkan f( Sehngga dapa dkaakan pendugaan d anara x0 dan x. amun ka perlukan enukan urunan perama yau f (x 00x 860x 66x 70x 0, karenanya f (0 00(0 860(0 66(0 70( Dengan demkan dlakukan eras perama unuk memperoleh x* (kandda aau dugaan akar, yau perhungan sebaga berku: x f (0 ( f '( x f '(0 0 0,89. Kemudan dlakukan pengujan unuk mengeahu seberapa jauhnya erhadap f(x0 f(0,89,8 9, , dan hasl n semakn mendeka menuju f(x0, bla dbandngkan dengan f(.0. Dengan demkan dugaan akar d anara x0 dan x0,89. Perhungan dengan prosedur d aas dlakukan berulang hngga eras ke, sedemkan hngga dperoleh hasl akar yang konvergen sebaga berku: f (0,8 (,667 0,8 0,8 0,8 0, ,87 f ' ( x f ' (0,8,69,6 98, Ka peroleh x* (dugaan akar yang baru 0,87, dan ka lakukan pengujan seberapa deka erhadap f(x0. Berku perhungannya: F(0,87 00(0,87 6(0,87 8(0,87 6(0,87 0(0,87 07, 6 Ternyaa f(0,87 bernla negaf, sehngga dengan demkan dugaan akar d anara x0,87 yang f(xnya bernla -,6 dan x0,80 yang f(xnya bernla,66. Apabla demkan, solusnya adalah ka menghung k engah anara dua nla x n : 0,87 0,80 0,88 X engah. Akhrnya ka lakukan es erhadap f(0,88 yau: f(0,88 00(0,88 6(0,88 8(0,88 6(0,88 0(0, , 9. 80

6 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI08-0 la f(0,88 n semakn mendeka f(x0, jad bsa danggap secara pendekaan bahwa x 0,88 merupakan dugaan akar karena sudah cukup mendeka f(x0. Dengan demkan dapa dkaakan nla IRR 8,8%. la IRR dar perhungan meode ewon Raphson n ak erlalu erpau jauh dengan nla IRR dar sofware pembandng bak Excell maupun Malab, yau selsh sekar 0,07 %, sehngga dapa dkaakan selsh sebesar 0,07% ersebu daklah erlalu sgnfkan.. Aplkas Meode umerk ewon Raphson Unuk Menghung Tngka Pengembalan Yang Dsyarakan Invesor Dalam Invesas Oblgas: Dalam proses penlaan oblgas, dperlukan varabel penng, yau: ( jumlah dan waku dar arus kas yang akan derma nvesor, ( anggal jauh empo oblgas, ( ngka pengembalan yang dngnkan nvesor. Bla perusahaan menggunakan oblgas sebaga sarana unuk memperoleh dana dar huang jangka panjang, maka baya huang adalah sama dengan K d aau Yeld o Maury (YTM yang dak lan merupakan ngka keunungan yang dharapkan oleh pemegang aau pembel oblgas (holder. Adapun varabel I unuk menggambarkan pembayaran bunga (berdasar kupon rae pada ahun, M adalah harga jual pada nla pasar, saa nla jauh empo oblgas, dan k aaupun K d merupakan ngka pengembalan mnmum pemegang oblgas, ka dapa menyaakan nla oblgas yang jauh empo pada ahun ke-n pada persamaan maemak d bawah n: n I M Vb ( k ( kd Harga Oblgas. Basanya unuk mengukur ngka pengembalan yang dharapkan oleh pemegang oblgas (k, ka akan mencar ngka dskon yang menyamakan nla sekarang dar arus kas masa daang (bunga dan nla jauh empo dengan harga pasar oblgas pada saa sekarang. Tngka pengembalan yang dharapkan dar sebuah oblgas juga merupakan ngka pengembalan yang akan dperoleh nvesor blamana oblgas dpegang hngga jauh empo aau ngka penghaslan saa jauh empo. Terdapa hubungan yang mengaakan bahwa nla oblgas berbandng erbalk dengan perubahan ngka pengembalan yang dngnkan nvesor (ngka suku bunga saa n. Aau dengan kaa lan, keka ngka suku bunga menngka (menurun, maka nla oblgas menurun (menngka. Sebaga bahan lusras, msalkan suau Oblgas memlk nla par 000$, dengan pembayaran bunga ahunan 0$ yang menunjukkan ngka suku bunga oblgas yang berlaku sekarang adalah kupon sebesar persen (% x 000$ 0$. Dengan berasums bahwa jangka waku jauh empo adalah lma ahun, dan nla oblgas u seharga 000$ aau sama dengan nla parnya, maka akan ka car ngka pengembalan yang dharapkan nvesor, dengan pendekaan umerk ewon Raphson. Mencar ngka pengembalan yang dngnkan (k%: Vb. 000 }, V { b V 000 b { }. Dar Excell dperoleh k%. Dan dar sofware Malab dperoleh nla k 0.00 aau % Adapun persamaan maemak dalam benuk polnomal sebaga berku: k k k 0k 9k 0. Dan f (k k 88k 70k 0k 9 Unuk pengujan yang menggunakan nla awal f(0, maka dperoleh nla -. Dan f( Dengan demkan nla dugaan k berada danara k0 dan k. Selanjunya, ka lakukan perhungan eras f (0 ( perama: 0 0 0, 789 f '( f '(0 9 9 Kemudan dlakukan pengujan unuk mengeahu seberapa jauhnya erhadap f(x0 f(0,789 0,00,0760,79,88,999-6,77 dan hasl n semakn mendeka menuju f(x0, bla dbandngkan dengan f(68. Dengan demkan dugaan akar d anara x0 dan x0,789. Demkan ka eruskan pada eras berkunya, sedemkan hngga eras ke, yang akhrnya dperoleh akar opmal dengan hasl yang f (0,789 (6,77 konvergen, yau: 0,789 0,789 0,089 0, 09 f '( f '(0,789 (70,77. Selanjunya dadakan pengujan pdf (0,09, yau: F(0,09 (0,09 (0,09 (0,09 0(0,09 9(0,09 F(0,090,0006 0,06 6,0608,,8-0,77. Dengan demkan ampak bahwa f(0,090,77 semakn mendeka f(x0, dbandngkan neras sebelumnya yau f(0,789 6,77. Dengan demkan nla k nlah, yau k 0,09 aau k,09%, yang dperoleh pada perhungan eras ke- n cukup mendeka f(x0 dan n sudah merupakan nla pendekaan unuk dugaan nla k yang dcar, dengan menggunakan meode ewon Raphson d aas. Kasus Dscoun Bond 8

7 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI08-0 Seper pada lusras d aas, namun nla oblgas urun menjad 899,, maka ngka pengembalan yang dharapkan nvesor akan ka car dengan pendekaan umerk ewon Raphson sebaga berku yau mencar ngka pengembalan yang dngnkan (k%: Vb 899, { } V b V { } b Dar Excell dperoleh k %. Dan dengan menggunakan sofware Malab dperoleh k 0,0. Persamaan polnomal yau f(k 899k 7k 80k 7790k 9k Adapun f (k.9k 7.00k.0k.80k 9. Unuk pengujan yang menggunakan nla awal f(0, maka dperoleh nla -70. Dan f( Dengan demkan nla dugaan k berada danara k0 dan k, dengan demkan ka lakukan perhungan eras perama f (0 ( : 0 0 0,77. f '( f '(0 9 9 Kemudan dlakukan pengujan unuk mengeahu seberapa jauhnya erhadap f(x0 f(0,77,88 dan hasl n semakn mendeka menuju f(x0. Dengan demkan dugaan akar d anara x0 dan x0,77. Demkan ka eruskan pada eras berkunya hngga eras ke, sedemkan hngga dperoleh hasl dugaan akar yang konvergen dengan perhungan sebaga berku: f (0,07 0,0, x 0,07 0,07 f '( f '(0,07 (60 0,07 0, , x,06689 % Kemudan ka lakukan pengujan erhadap f(x* f(,06689% unuk menenukan seberapa jauhkah erhadap f(x0. Dar hasl perhungan unuk f(,06689% dperoleh nla sebesar 0, <<. la n sudah mendeka nol dan dengan demkan dapalah ka mengambl kesmpulan bahwa dugaan akar aau nla k yang dmaksud adalah k, %. Kasus Premum Bond Seper pada lusras d aas, namun nla oblgas mengalam kenakan menjad.6$ maka ngka pengembalan yang dharapkan nvesor akan ka car dengan pendekaan umerk ewon Raphson dengan mencar ngka pengembalan yang dngnkan (k%: Vb.6. V { } b V b.6 { }. Dar Excell dperoleh k 9,06 % aau 0,0906. Dar Malab dperoleh k 9,0% aau k 0,090. Dperoleh persamaan bersuku polnomal sebaga berku: f(k.6k.60k 0.680k 9.960k.80k 8 0. Adapun f (k.80k.80k.00k 9.90k Unuk pengujan yang menggunakan nla awal f(0, maka dperoleh nla -8. Dan f( Dengan demkan nla dugaan k berada danara k0 dan k, dengan demkan ka lakukan perhungan eras perama f (0 ( 8 8 : 0 0 0,0. f '( f '( Kemudan dlakukan pengujan unuk mengeahu seberapa jauhnya erhadap f(x0 f(0,0.6(0,0.60(0, (0, (0,0.80(0,0 8 6,86 dan hasl n semakn mendeka menuju f(x0 bla dbandngkan dengan f(. aau dengan kaa lan menunjukkan hasl yang konvergen. Dengan demkan dugaan akar d anara x0 dan x0,0. Demkan ka eruskan pada eras eras yang berkunya, sedemkan hngga dperoleh nla akar opmal yang konvergen, dengan perhungan sebaga berku: f (0,090 0,008 0,090 0,090 0,090 f '( f '(0,090 (6. Kemudan ka lakukan es erhadap f(0,090 seberapa jauh erhadap f(x0, maka dperoleh hasl f(0,090 0, Hasl n sudah cukup menunjukkan bahwa langkah perhungan eras sudah semakn mendeka nol. Maka dengan demkan dapa ka kaakan bahwa nla k yang danggap cukup press hngga akhr perhungan n. Apabla ka ngn lanjukan pada eras berkunya msalkan, maka hasl yang dperoleh erdapa perbedaan yang dak begu sgnfkan aau dak begu berpengaruh, berku n perhungan langkah eras: f (0,090 0, ,090 0,090 0, f '( f '(0,090 (6. Jad ka smpulkan bahwa menuru perhungan dengan menggunakan meode ewon Raphson n dapalah ka anggap bahwa nla k yang opmum mendeka f(k0, yau k aau k 9,0099 %. 8

8 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI Kesmpulan Akhr darpada ulsan n dapa ka smpulkan bahwa Aplkas Maemaka umerk, khususnya Meode ewon Raphson dapa derma sebaga salah sau cara alernaf unuk menyelesakan persoalan dalam hal pencaran nla Inernal Rae Reurn (IRR dan nla Yeld o Maury dalam kasus Oblgas Dskono dan Premum, secara epa (eksak maupun aksran aau dengan kaa lan. Hpoesa yang dajukan penuls dapa derma, seelah melalu proses pembukan dan perhungan maemas. Dengan demkan hasl-hasl yang dperoleh dar pencaran aksran nla IRR aau ngka pengembalan yang dsyarakan nvesor (k dengan menggunakan pendekaan Maemaka umerk - Meode ewon Raphson n ak jauh berbeda aau selshnya dak sgnfkan apabla dbandngkan dengan cara cara alernaf lan yang sudah dkenal sebelumnya, msalkan Pemakaan Fungs IRR(range cell, guess dalam Excell, Meode Inerpolas, sera Penggunaan oolbox (faslas roos dalam sofware Malab. Hal n dapa dlha pada Tabel. Meode ewon Raphson n memungknkan dpergunakan blamana ak erseda Tabel Keuangan Keerbaasan Penelan Adapun keerbaasan yang harus daku pada pendekaan Maemaka umerk-ewon Raphson n anara lan harus mengubah benuk persamaan dere e Presen Value (PV maupun persamaan Oblgas n dalam benuk Persamaan Polnomal bersuku banyak dan dlakukan perhungan eras beberapa kal erhadapnya agar menghaslkan dugaan nla x aau k yang konvegen aau error mnmum sehngga memungknkan dperoleh aksran nla IRR aau ngka pengembalan yang dsyarakan nvesor (k yang semakn press dengan selsh yang dak sgnfkan apabla dbandngkan dengan sofware sandar aau cara lan sebaga pembandngnya. Keerbaasan lannya yau dengan umur projec aau apabla umur jauh empo oblgas yang semakn ngg, msalkan d aas ahun, semakn panjang benuk suku polnomalnya, sehngga akan erbenuk persamaan polnomal berderaja aau pangka erngg sesua dengan umur projec aau umur jauh empo oblgas ersebu. Akbanya semakn banyak ka melakukan perhungan maemas (eras unuk memperoleh aksran nla IRR aau nla k yang press dan semakn rum persamaan maemas yang erlba d dalamnya. Unuk mengaas aau mempermudah hal ersebu, maka penuls elah menyusun algorma yau konsep berfkr meode ewon Raphson n dalam benuk lsng program dalam bahasa Delph unuk ssem Operas Wndows dan bahasa Forran dalam ssem operas DOS seper erlha pada bagan lampran DAFTAR PUSTAKA [] Dew Asu (00. Manajemen Keuangan Perusahaan. Ghala Indonesa Press, Jakara. [] Djakman Chaerul (999. Dasar-Dasar Manajemen Keuangan, Salemba Empa, FE-UI, Jakara. [] Mowen,Hansen (00. Managemen Accounng. Souh Wesern-Thompson Learnng, Oho, USA [] Sarono (00. Manajemen Keuangan dan Porofolo. And Offse, Yogyakara. [] Trhamodjo Bambang (00. Meode umerk. Bea Offse Press, Yogyakara. [6] Hp:// raphson/hmlcgso, Las Access June h, 008 [7] Hp:// rae reurn/hmlcgso, Las Access June h, 008 Plh secara acak la Awal Hung dan Apakah kecl? S e l e s a x n x n Gambar. Prosedur Algorma Meode ewon Raphson 8

9 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI08-0 Gambar. Logka Pemkran Meode ewon-raphson Dgambarkan Secara Grafs Tabel. Tabulas Hasl Penelan Pencaran Dugaan la IRR Umur Projec Hasl Pake Program Hasl Sofware Meoda ewon Raphson ( ahun Excell Malab 00%,00 Tak dlakukan % 0,9 Tak dlakukan 0% 0, 0% 8 % 0,86 8,9% 8% 0,8 8,8% 8,7 % 0,8 8,8% Tabel. Tabulas Hasl Penelan Pencaran Dugaan la K ( Tngka Pengembalan Yang Dharapkan Invesor Oblgas Kasus Oblgas Hasl Pake Program Hasl Sofware Meoda ewon Raphson Excell Malab ormal % %,09 % Dskono Bond %,0 %,% Premum Bond 9,06 % 9,0 % 9,0099 %. Tabel. Lsng Program Meode ewon Raphson Dalam Bahasa Pemrograman Forran C PROGRAM METODE EWTO-RAPHSO F(X... FX(X TURUA X OPE (,FILE EWTO.HAS I0 X C XX 0 I I C FX(F(X-F(X/(X-X XTX-F(X/FX(X C II WRITE(,I,X,XT,F(X,F(XT XXT IF ABS(F(XT.LT GOTO GOTO 0. FORMAT(I,6F0.. FORMAT(F. STOP ED Tabel. (Conoh Kasus Tahun, Cash Flow Tap Tahun Sama Ieras ke la x*(dugaan akar aau IRR la f (x* 0,,9 0,0 0,08 0, 0 ( sop Tabel. (Conoh Kasus Tahun, Cash Flow Tap Tahun Tak Sama Ieras ke la x*(dugaan akar aau IRR la f (x* 0,68, 0,867 0,696 0,86 0, ,890 0,0000 ( Sop 8

10 Konferens asonal Ssem dan Informaka 008; Bal, ovember, 008 KSI08-0 Tabel 6. (Conoh Kasus Tahun Ieras ke la x*(dugaan akar aau IRR la f (x* 0,68,88 0,669,07 0,880,7 0,88 0,07 ( Sop Tabel 7. (Conoh Kasus Tahun Ieras ke la x*(dugaan akar aau IRR la f (x* 0,9 aau 0,6 9 0,0 08, 0,07,9 0,8,667 0,88-0,9 ( Sop Tabel 8. (Conoh Kasus Oblgas Ieras ke la x* (dugaan akar aau YTM la f (x* 0,789 6,77 0,09 0,77 ( Sop Tabel 9. (Conoh Kasus Oblgas Jens Dskono Ieras ke la x* (dugaan akar aau YTM la f (x* 0,77,88 0,799,88 0,88 0,077 0,07 0, , , ( Sop Tabel 0. (Conoh Kasus Oblgas Jens Premum Ieras ke la x* (dugaan akar aau YTM la f (x* 0,0 6,86 0,09098,66 0,090 0,008 0, ,