ANaLISIS - TRANSIEN. A B A B A B A B V s V s V s V s. (a) (b) (c) (d) Gambar 1. Proses pemuatan kapasitor

Transkripsi

1 ANaISIS - TANSIEN. Kapasor dalam angkaan D Sebuah kapasor akan ermua bla erhubung ke sumber egangan dc seper yang dperlhakan pada Gambar. Pada Gambar (a), kapasor dak bermuaan yau pla A dan pla B mempunya jumlah elekron bebas yang sama. Keka saklar eruup sebagamana dperlhakan pada Gambar (b), sumber egangan menggerakkan elekron dar pla A melalu rangkaan ke pla B yang dunjukkan olek anak panah. Pla A kehlangan elekron dan pla B elekronnya berambah sehngga pla A menjad lebh posf dar pla B. Proses n berlangsung erus hngga egangan pada kapasor sama dengan egangan sumber eap polarasnya berlawanan arah seper pada Gambar (c), dan keka kapasor muaannya penuh dak ada arus yang mengalr (I=). Bla kapasor dlepas dar sumber [Gamabr (d)] kapasor eap bermuaan unuk waku yang lama. A B A B A B A B V s V s V s V s V s V s (a) (b) (c) (d) Gambar. Proses pemuaan kapasor 2. angkaan Tanpa Sumber Analss rangkaan yang memua ndukor dan/aau kapasor sanga berganung pada perumusan dan pemecahan persamaanpersamaan (karakersk) negral-dferensal yang menjabarkan rangkaan yang bersangkuan. Ka akan menyebu pe persamaan yang ka jumpa dalam bab n sebaga persamaan dferensal lner homogen; yau sebaga persamaan dferensal yang hanya mengandung sau varabel erka, dan/aau urunan dar deraja perama. Solus bag persamaan semacam n adalah sebuah nla varabel erka yang memenuh bak persamaan dferensal yang erka maupun konds energ d ndukor dan kapasor. angkaan srk II by Zaenab Muslmn

2 Solus persamaan dferensal n merepresenaskan anggapan yang dberkan oleh rangkaan dan memlk banyak nama. Karena berganung pada sfa umum dar rangkaan yang bersangkuan maka anggapan n serng dsebu sebaga anggapan alamah (naural response). Akan eap rangkaan apapun yang ka bua d duna nyaa dak dapa menympan energ unuk selamanya; ahanan yang secara nernal erdapa d dalam ndukor dan kapasor pada akhrnya akan mengubah semua energ yang ersmpan menjad panas. Sehngga anggapan rangkaan pada akhrnya akan hlang, dan unuk u anggapan rangkaan dkenal juga dengan sebuan anggapan ransen. Terakhr ka perlu juga mengeahu nama yang dberkan para ahl maemaka bag solus unuk sebuah persamaan dferensal lner homogen; mereka menyebunya sebaga fungs komplemener. Bla kn ka permbangkan pula pengaruh sumber bebas yang ersambung ke rangkaan, maka ka akan melha bahwa sebagan dar anggapan ersebu membawa warna sumber (fungs paksaan) yang bersangkuan; bagan anggapan n dsebu solus khusus anggapan unak aau anggapan paksaan (forced response), kemudan akan berbaur dengan anggapan rangkaan anpa sumber (anggapan alamah aau anggapan ransen). Dengan demkan anggapan oal rangkaan adalah jumlah dar anggapan alamah (anggapan ransen) dan anggapan paksa, aau dalam bahasa maemaknya : jumlah dar fungs komplemener dambah solus khusus unuk fungs paksaan. Ka dapa menyebu anggapan rangkaan keka ersambung ke sumber lsrk (anpa fungs paksaan) sebaga anggapan alamah, anggapan ransen, anggapan bebas sumber, aau fungs komplemener; namun karena sfanya yang lebh menggambarkan karakersk umum rangkaan maka sebuan anggapan alamah lebh serng dpaka. Ka akan mempelajar beraneka ragam meode penyelesaan ssem persamaan dferensal unuk anggapan oal rangkaan. Ka memula sud analss ransen dengan memperhakan rangkaan ser sederhana dalam Gambar 2. Bla ka menamakan arus fungs waku sebaga (); ka akan merepresenaskan nla () pada saa = sebaga I ; dengan kaa lan () = I, dengan demkan ka mendapakan, d + v = + = d () angkaan srk II by Zaenab Muslmn 2

3 () Gambar 2. angkaan ser Tujuan ka adalah mencar sebuah pemecahan umum unuk () yang memenuh persamaan () dan memlk nla I pada =. ara palng sederhana unuk memecahkan sebuah persamaan dferensal adalah dengan menulskan persamaan yang bersangkuan sedemkan rupa, sehngga varabel-varabelnya dapa dkumpulkan secara erpsah, kemudan mengnegralkan kedua ss persamaan. Varabel-varabel dalam persamaan () adalah dan dan dengan mudah ka dapa melha bahwa kedua ss persamaan dapa dkalkan denga, dbag dengan lalu dsusun kembal unuk memsahkan kedua varabel ersebu. d ln ln I () d () I e / (2) Ka dapa memerksa valdas solus n dengam memperlhakan bahwa subsus persamaan (2) ke dalam persamaan () akan menghaslkan = dan kemudan memperlhakan bahwa subsus = ke dalam persamaan (2) akan menghaslkan () = I. Kedua ahapan valdas n wajb dlakukan karena pemecahan () yang ka dapakan harus memenuh persamaan dferensal karakersk rangkaan maupun konds awal rangkaan. 3. Karakersk Tanggapan Eksponensal Sekarang marlah ka njau mengena karakersk anggapan eksponensal yang dhaslkan sebuah rangkaan ser. Ka elah mengeahu bahwa arus ndukor secara umum memlk benuk maemaka : () I e / angkaan srk II by Zaenab Muslmn 3

4 Pada saa =, arus n akan memlk nla I. Namun serng dengan berjalannya waku, arus akan erus berkurang nlanya hngga mendeka nol. Benuk kurva yang merepresenaskan fungs peluruhan eksponensal n dapa dlha pada Gambar 3, yang merupakan plo anara ()/I erhapa. Karena fungs yang dgambarkan oleh plo n pada dasarnya adalah e -/ kurva esebu dak akan berubah jka nla raso / dak berubah. Sehngga kurva dengan benuk yang sama akan selalu ddapakan unuk seap rangkaan ser yang memlk raso / aau / yang sama. /I Gambar 3. Plo unuk e -/ erhadap aju perubahan awal nla arus dapa denukan dengan mengambl urunan /I pada k awal nol. d I e / Ka melambangkan waku yang dbuuhkan oleh besaran /I unuk meluruh nlanya dar sau hngga nol mengasumskan laju peluruhan yang eap dengan huruf Yunan τ (au), sehngga : τ τ (3) aso / memlk sauan dek, karena eksponen / harus merupakan sebuah besaran anpa dmens. Nla waku τ dsebu sebaga konsana waku. 4. angkaan Tanpa Sumber angkaan-rangkaan yang berbasskan kombnas ressor dan kapasor lebh umum djumpa dalam berbaga aplkas praks, kembang angkaan srk II by Zaenab Muslmn 4

5 ressor dan ndukor. Terdapa berbaga alasan unuk hal n, danaranya adalah rug-rug daya yang lebh kecl pada kapasor, baya yang lebh murah, kesesuaan yang lebh bak anara model maemaka eors dengan karakersk akual rangkaan, dan eruama ukuran fsk yang lebh kecl dan rngan dmana kedua hal n sanga penng bag aplkas rangkaan erpadu (I). Marlah ka menganalss rangkaan paralel yang dperlhakan pada Gambar 4. Ka mengasumskan bahwa kapasor elah menympan energ d awalnya, dengan meneapkan konds awal v() = V. Arus oal yang mennggalkan smpul d bagan aas rangkaan harus berjumlah nol, sehngga ka dapa menulskan : + V - Gambar 4. angkaan paralel dv v dv v.. (4) dengan anggapan rangkaan yang elah ka keahu, maka unuk rangkaan dperoleh, v() / / v() e v e... (5) Bla ka memlh arus sebaga varabel yang dcar unuk rangkaan, ka erapkan hukum egangan Krchhoff, v( )..(6) ka mendapakan sebuah persamaan negral, akan eap bla ka urunkan erhadap waku dan menggankan dengan v/ maka akan dperoleh persamaan seper pada persamaan (4). Sekarang marlah ka membahas karakersk dar anggapan egangan yang dhaslkan oleh sebuah rangkaan, sebagamana dperlhakan benuk maemaknya oleh persamaan (5). Pada = rangkaan berada dalam konds awalnya [ v(o) = v ], dan serng dengan angkaan srk II by Zaenab Muslmn 5

6 berambahnya menuju ak erhngga, egangan v() erus meluruh mendeka nol. Hal n sesua dengan jalan pemkran ka bahwa selama mash erdapa egangan pada kapasor, energ akan erus mengalr ke ressor dan erdspas menjad panas. Sehngga egangan akhr pada kapasor harus bernla nol. Konsana waku unuk rangkaan dapa denukan melalu hubungan dualas dengan konsana waku rangkaan, τ τ.. (7) Semakn besar nla aau, semakn besar pulalah konsana waku τ semakn lama waku yang dbuuhkan unuk mendspaskan seluruh energ yang ersmpan. Nla ahanan yang besar menjadkan lebh sedk energnya yang erdspas unuk nla egangan yang eap dan akbanya dbuuhkan waku yang lebh lama unuk mengubah semua energ menjad panas; nla kapasans yang lebh besar menjadkan lebh banyak energ yang ersmpan unuk nla egangan yang eap akbanya dbuuhkan waku lebh lama unuk menghabskan energ awal n. 5. angkaan dengan Sumber Seelah sejauh n membahas rangkaan dan fungs paksa, kn ka sap menganalss apa yang erjad bla ka menyambungkan secara mendadak (dalam waku nol) sebuah sumber dc ke sebuah rangkaan sederhana. angkaan erdr sebuah baera dengan nla egangan v yang dsambungkan ser ke sebuah saklar, sebuah ressor, dan sebuah ndukor. Saklar menuup pada =, sebagamana dperlhakan pada dagram rangkaan Gambar 5. ukup jelas kranya bahwa arus () bernla nol pada nerval waku sebelum =. - () D V Gambar 5. angkaan dengan sumber Ka dapa menenukan () dengan cara menulskan persamaan rangkaan yang sesua dan kemudan memecahkan persamaan n dengan memsahkan varabel-varabel dan melakukan negras. Seelah ka mendapakan solus persamaan dan menganalssnya ka akan melha bahwa solus n erdr dar dua bagan yang masng-masngnya angkaan srk II by Zaenab Muslmn 6

7 mereflekskan suau karakersk fsk erenu dar rangkaan. Dengan pemahaman yang lebh nuf mengena apa yang menghaslkan ap-ap bagan anggapan n, ka akan mampu menyusun sebuah solus secara lebh cepa dan rngkas unuk berbaga soal yang serupa. Menerapkan hukum egangan Krchhoff pada rangkaan dalam Gambar 5. ka dapakan : d d V ln (V ) k V Unuk dapa menenukan nla k, maka suau konds awal harus dkeahu. Pada nerval sebelum =, () bernla nol dan karena u ( - ) =. Karena arus d dalam sebuah ndukor dak dapa berubah nlanya sekeka (dalam waku nol) anpa adanya egangan yang ak erhngga, maka ka dapa mengeahu bahwa ( + ) =. Dengan meneapkan bahwa = pada k waku = ka akan memperoleh ln V k - [ln (V ) ln V ] V V e / V V e /..(8) 6. Tanggapan Alamah dan Paksa Dar sudu pandang maemas, pemlhan anggapan oal rangkaan menjad dua bagan alamah dan paksa akan sanga membanu ka dalam melakukan analss. Alasannya, pemecahan unuk seap persamaan dferensal lner selalu dapa dnyaakan sebaga penjumlahan dua buah solus: solus komplemener (anggapan alamah) dan solus parkulr (anggapan paksa). Benuk umum persamaan dferensal : d P Q... (9) 6. Tanggapan Alamah Perama-ama perhakan bahwa unuk sebuah rangkaan anpa sumber, Q harus memlk nla nol, dan karenanya solus bag persamaan (9) adalah murn anggapan alamah. P n Ae () angkaan srk II by Zaenab Muslmn 7

8 Ka akan mendapakan bahwa konsana P dak pernah bernla negaf unuk seap rangkaan yang hanya erdr ressor, ndukor dan kapasor, nlanya berganung hanya pada elemen-elemen pasf n dan hubungannya d dalam rangkaan. Dengan demkan anggapan alamah akan bergerak mendeka nol serng dengan berjalannya waku menuju ak berhngga. Hal n djumpa pada rangkaan-rangkaan sederhana, karena energ awal yang ersmpan secara berangsur-angsur akan erdspas d ressor mennggalkan rangkaan dalam benuk panas. 6.2 Tanggapan Paksa Unuk seap rangkaan yang anggapan alamahnya akan meluruh hlang serng dengan yang mendeka ak berhngga, maka harus ada suku yang sepenuhnya merepresenaskan anggapan rangkaan seelah bagan anggapan alamah menghlang. Hal n basanya dsebu anggapan paksa aau anggapan keadaan-unak, solus parkulr. Tanggapan paksa dperoleh dar : Q f...() P 6.3 Menenukan Tanggapan Toal Marlah ka pelajar bagamana caranya menenukan anggapan oal rangkaan dengan menjumlahkan anggapan alamah dan anggapan paksanya, menggunakan sebuah rangkaan sederhana unuk menglusraskan meode n. angkaan ersebu dperlhakan pada Gambar 5. Dengan saklar eruup dan elah danalss sebelumnya. Tanggapan yang dngnkan adalah arus (), dan perama-ama ka menyaakan arus n sebaga jumlah dar arus alamah dambah arus paksa, () () ()....(2) n f Benuk fungs anggapan alamah elah dperoleh sebelumnya : / n Ae dmana ampludo A mash harus denukan nlanya; karena konds awal hanya berlaku bag anggapan oal rangkaan maka ka dak dapa secara langsung mengasumskan bahwa A=(). Selanjunya ka beralh ke anggapan paksa, anggapan paksa bernla konsan karena sumber yang menghaslkannya juga bernla konsan V unuk sepanjang waku. Karena seelah anggapan alamah hlang seluruhnya dak erdapa egangan apapun pada ndukor, egangan V akan muncul d dan menjadkan anggapan paksa rangkaan angkaan srk II by Zaenab Muslmn 8

9 V f Perhakan bahwa anggapan paksa dapa denukan sepenuhnya; dak erdapa nla ampluda yang belum dkeahu. Berkunya ka menggabungkan kedua komponen anggapan alamah dan paksa, V () Ae / dan menerapkan konds awal unuk menenukan nla A. Tanggapan arus adalah nol sebelum =, dan nla n dak dapa berubah dalam sekejap karena merupakan arus yang mengalr melewa ndukor. Sehngga arus n mash akan bernla nol sesaa seelah =, hal n memberkan ka : V / V V / = A + V / sehngga () e ( e )..(3) 7. angkaan Tanpa Sumber Pembahasan ka sebelumnya berfokus pada rangkaan ressf yang dsera dengan kapasor aau ndukor, namun dak sekalgus kedua-duanya. Keberadaan ndukans dan kapasans secara bersamaan d dalam sebuah rangkaan akan menghaslkan sebuah ssem persamaan dferensal deraja dua. Ssem dar persamaan deraja yang lebh ngg n mempersyarakan dkeahunya dua buah konsana unuk menenukan solusnya. Gambar 6. angkaan anpa sumber Gambar 6. memperlhakan sebuah rangkaan ser dmana persamaan negral-dferensal karakersk unuk rangkaan ersebu adalah : d v ( )..(4) Persamaan dferensal deraja dua dperoleh dengan mendferensalkan persamaan ersebu erhadap waku dperoleh angkaan srk II by Zaenab Muslmn 9

10 2 d 2 d (5) s Bla ka asums solus Ae dengan mengambl benuk palng umum, dmana A dan s dapa memlk nla kompleks kemudan dsubsus ke persamaan (4) menghaslkan, As A e s 2 e s Ase s 2 [s s ] A e s (6) Agar persamaan n erpenuh unuk semua nla waku, sedaknya salah sau dar kega fakor d aas bernla nol. Oleh karenanya ka akan menjadkan fakor yang kega bernla nol yau : s 2 s...(7) Persamaan (7) dkenal sebaga persamaan karakersk. Karena persamaan (7) adalah sebuah persamaan kuadra maka persamaan ersebu memlk dua buah pemecahan yang ddenfkaskan sebaga s dan s Tanggapan angkaan Ser Merujuk ke rangkaan pada Gambar 6. benuk umum anggapan eredam lebh (overdamped) unuk rangkaan ser adalah dmana s s2 A e A2 e (8) dan karena u s 2 2 2,2 α α ω 2 2 α 2 ω angkaan srk II by Zaenab Muslmn

11 Benuk umum anggapan eredam krs adalah α () e (A A2 ) (9) dan anggapan kurang eredam dapa dulskan benuk umumnya sebaga -α () e (B cosω B sn ω )..(2) d 2 d dmana ω d ω 2 α Tanggapan Toal angkaan Kn saanya ka beralh ke rangkaan yang melbakan sumber sumber dc yang menghaslkan anggapan paksa rangkaan, dmana anggapan n dak akan meluruh habs dengan berjalannya waku. Solus umum unuk rangkaan semacam n dapa dperoleh dengan mengku prosedur yang sama unuk rangkaan ; anggapan paksa denukan erlebh dahulu; anggapan alamah dperoleh sebaga sebuah fungs eksponensal negaf yang mengandung konsana-konsana yang belum dkeahu. Tanggapan oal dulskan sebaga jumlah dar anggapan paksa dan anggapan alamah dan konds-konds awal kemudan dcar dan derapkan unuk mendapakan nla-nla konsana. Tanggapan oal (dalam hal n dasumskan berupa anggapan egangan) dar sebuah ssem deraja dua erdr dar sebuah komponen anggapan paksa: v f () = V f yang bernla konsan unuk sumber dc dan sebuah komponen anggapan alamah, v n () = Ae s + Be s2 sehngga, v() = V f + Ae s + Be s2...(2) ka mengasumskan bahwa s,s 2,V f dapa dkeahu secara langsung dar rangkaan dan fungs paksa yang derapkan; A dan B mash harus dcar. Persamaan (2) memperlhakan salngkeerganungan A, B, v dan d dalam fungs maemaka ersebu, dan karenanya subsus nla yang dkeahu unuk v pada = + akan memberkan ka sebuah persamaan unggal yang menghubungkan A dan B, yau v( + ) = V f + A + B. Ka mash memerlukan sau persamaan lag yang menghubungkan A dan B dan basanya persamaan n dperoleh dengan mengambl urunan dar fungs anggapan, dv/ = + s Ae s + s 2 Be s2 angkaan srk II by Zaenab Muslmn

12 dan memasukkan nla yang dkeahu unuk dv/ pada = +. Dengan demkan ka akan memlk dua buah persamaan yang menghubungkan A dan B dan keduanyan dapa dpecahkan secara bersamaan unuk mendapakan nla-nla konsana ersebu. onoh soal :. Saklar elah lama erbuka, ba-ba duup pada saa =. arlah arus sesaa () yang mengalr seelah saklar eruup. SK 3 ohm 2 V mh D ohm 2. Saklar elah lama eruup, ba-ba dbuka pada saa =. arlah arus sesaa () yang mengalr seelah saklar erbuka. (a) SK 2 ohm 4 ohm 4/3 mf mh 24 V D (b) 5 u F V() 3 V SK 2 ohm ohm D 3 V mh 3 e - angkaan srk II by Zaenab Muslmn 2