BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 5 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab n akan dbahas beberapa eor dasar yang kelak akan dgunakan dalam penurunan formula penenuan harga Asan Opon, bak secara analk pada Bab III maupun secara numerk pada Bab IV.. Ase dan Dervave Ase adalah suau objek keuangan yang nlanya pada saa sekarang dkeahu dan dapa berubah pada saa yang akan daang. Fenomena kedakpasan nlanya d masa depan n menyebabkan banyak nvesor yang ngn bernvesas dalam jual-bel ase, msalnya saham, oblgas, aau suau komodas publk. Karena nla ase yang berubah-ubah, erdapa nvesor mengurang resko yang mungkn da anggung, sehngga muncullah slah hedgng, yakn sraeg yang dlakukan nvesor agar resko yang dalam dalam melakukan ransaks dak erlalu besar. Terdapa suau objek keuangan yang basa dpaka dalam melakukan hedgng, yau dervave. Dervave adalah suau objek keuangan yang nlanya berganung pada nla suau ase (basa dsebu underlyng asse bag dervave ersebu) pada suau selang waku erenu. Dengan menjual aau membel suau dervave, maka nvesor mampu membua sraeg yang bsa memnmalsr Penenuan Harga Ops Asa Rswan Harapan (00304)

2 kemungknan kerugan yang akan ddapakan. Salah sau conoh dervave yang palng dmna adalah opon... Opons Opon adalah objek keuangan yang berupa sura konrak d mana phak pembel (holder) berjanj kepada penjual (wrer) unuk membel (jka berbenuk ops call)/menjual (jka berbenuk ops pu) suau ase dengan suau harga erenu (yang dsebu srke prce) pada waku yang elah dsepaka sebelumnya (dsebu eercse me aau maury me). Jka holder menggunakan haknya (unuk membel aau menjual ase sesua perjanjan pada ops), maka holder dsebu meng-eercse ops ersebu. Masalah yang menark saa membcarakan dervave, eruama opon, adalah bagamana menenukan harga yang panas dbayar oleh holder kepada wrer saa holder membel sebuah opon dar wrer. Conoh yang palng umum saa membcarakan ops adalah vanlla opon, yang berdasarkan pe eercse-nya erbag menjad dua pe yakn European Opon dan Amercan Opon, dan masng-masng memlk dua pe, yau call dan pu. European Opon adalah ops yang hanya bsa d-eercse pada saa maury me, d mana hasl eercse ersebu (yang akan menjad payoff bag holder) berganung pada harga ase pada saa maury me ersebu. Amercan Opon adalah ops yang bsa d-eercse oleh holder kapanpun juga (selama belum mencapa maury me), dan payoff yang derma oleh holder berganung pada harga ase saa ops ersebu deercse. Terdapa conoh lan dar opon, yakn suau jens ops yang dsebu pah-dependen opon. Ops jens nlah yang akan dbahas lebh lanju..3 Pah Dependen Opon Pah Dependen Opon adalah ops yang payoff-nya berganung pada pergerakan harga underlyng asse-nya selama seluruh aau sebagan waku hdup ops ersebu. Jad payoff yang derma holder dak hanya berganung pada suau harga ase pada sau waku erenu saja, seper yang Penenuan Harga Ops Asa Rswan Harapan (00304) 6

3 erjad pada vanlla opon. Secara umum, erdapa 3 jens ops jens pah dependen n, yau barrer opon, lookback opon, dan Asan opon. Pada ugas akhr n, hanya Asan opon yang akan dbahas..4 Dsrbus Normal dan Lognormal Pada ugas akhr n, dsrbus normal (dan juga lognormal) memegang peranan penng dalam formulas harga sebuah ops. Suau peubah acak X dkaakan mengku dsrbus normal, dengan raa-raa μ dan varansσ, jka fungs pada peluangnya berupa f ( ) dan fungs dsrbusnya berupa = ep σ π ( μ ) σ (.) F ( μ ) = (.) ep π σ Selan u, perlu dkeahu pula bahwa jumlah dar sejumlah N peubah acak normal yang salng bebas N = X, =,,, N juga berdsrbus normal. Dan jka Y = X, maka Y berdsrbus normal dengan raa-raa dan varans masng-masng: N E( X ) EY Var Y = = N, dan Var ( X ) = = (.3) (.4) Msalkan Z X X = e, d mana merupakan peubah acak normal dengan raaraa μ dan varansσ. Maka Z dkaakan mengku dsrbus lognormal, yang fungs pada peluangnya berbenuk: g z = ep zσz π ( ln z μ ) σ z (.5) Penenuan Harga Ops Asa Rswan Harapan (00304) 7

4 d mana μ z dan σ z dnyaakan sebaga berku: σz = ep μ + σ ep σ. (.6) σ μz = ep μ + (.7) σz = ep μ + σ ep σ. (.8).5 Gerak Brown Gerak Brown aau Wener Process ddefnskan sebaga suau proses { (); 0} W yang memlk sfa-sfa berku:. W ( 0) = 0. W() konnu 3. Seap ncremen W( + s) W salng bebas dan berdsrbus normal dengan raa-raa μ dan varans σ. Sebaga caaan, jka μ = 0 dan sebaga Gerak Brown Sandar σ =, maka Gerak Brown d aas dsebu.6 Gerak Brown Geomerk Msalkan W() merupakan suau Gerak Brown dengan parameer μ dan W( σ. Maka suau proses Y( ) yang ddefnskan: Y() e ), 0 =, merupakan suau Gerak Brown Geomerk. Y( ) n berdsrbus lognormal dengan raa-raa: dan varans : σ E( Y() Y( 0) = y0) = y 0ep μ+ (.9) ( Y() Y y0) y0 ( μ σ ) ( σ ) var 0 = = ep + ep (.0) Penenuan Harga Ops Asa Rswan Harapan (00304) 8

5 .7 Teorema Lm Pusa Msalkan adalah barsan dar peubah-peubah acak yang denk dan salng bebas dengan raa-raa dan varansnya masng-masng adalah μ dan X, X,, Xn σ. Msalkan erdapa peubah acak Teorema Lm Pusa menyaakan: S n n = X =, d mana S n (.) Unuk nla n yang sanga besar, S n akan menghampr peubah acak normal dengan raa-raa nμ dan varans Haslnya, unuk seap sembarang dperoleh nσ. Sn nμ P N( ) (.) σ n dan hampran yang dperoleh menjad lebh akura serng dengan berambah besarnya nla n. Sebaga caaan, N( ) yang dmaksud pada eorema d aas adalah fungs dsrbus pada peubah acak normal sandar varansnya ), yakn Z (raa-raanya 0 dan N( ) = P( Z ) (.3).8 Model Pergerakan Harga Ase Model yang perama-ama dgunakan unuk memodelkan pergerakan harga ase pada ugas akhr n adalah model dskr. Pada model dskr, selang waku [ 0,T ] dbag dalam n subselang yang panjangnya seragam dengan T lebar selang δ =. Msalkan S( ) adalah harga ase pada saa n = δ. Model : dengan > 0, σ 0, μδ σ δ S + = S + S + Y. S (.4) μ dan Y Y, Y,... d ~ ( 0,) 0, N Penenuan Harga Ops Asa Rswan Harapan (00304) 9

6 Dengan menggunakan cara rekursf dperoleh : Jka 0 n () 0 ( ) = 0 S = S + μδ + σ δ Y (.5) n ( μδ σ δy ) S ln = ln + + S0 = 0 δ dan mengnga bahwa ln( ) (.6) + maka dperoleh : Selanjunya, n S ln μδ + σ δ Y σ δ Y S0 = 0 (.7) E Y Y μδ + σ δ σ δ = μδ σ δy μδ σ δ σ δ σ δ δ Var + Y Y = + O dan dengan menggunakan Teorema Lm Pusa maka dperoleh : (.8) (.9) S ln ~ N μ σ, σ S0 (.0) sehngga formulas harga ase pada saa adalah: () Z S = S e μ σ σ (.) dengan Z ~ N( 0, ) Karena S() dapa dulskan dalam benuk eksponensal dar μ σ + σ. Z yang adalah peubah acak normal, maka dapa dsmpulkan bahwa S berdsrbus lognormal dengan raa-raa dan varans:. S0 e μ E S = (.) (). μ. σ 0 ( ) Var S = S e e (.3) Penenuan Harga Ops Asa Rswan Harapan (00304) 0

7 Dengan demkan, dapa dsmpulkan bahwa harga saham berdsrbus lognormal dengan raaan dan varans seper erera d aas..9 Lemma Io Msalkan u( X () ) parsalnya yang juga konnu. Msalkan merupakan suau fungs konnu dengan urunan dx ( ) ddefnskan oleh: (, ) (, ) dx = a X d + b X dz (.4) d mana dz ( ) adalah suau gerak Brown sandar (, ) Msalkan erdapa suau proses sokask Y d mana Y = u X. Jka ka lakukan ekspans dere Taylor erhadap ΔY, maka ddapa: u u u Y X X u X u Δ = Δ + Δ + Δ + Δ Δ + Δ O + () (.5) X X X () dengan O adalah suku-suku dengan orde lebh ngg dar Δ caa bahwa : dengan (, ) Δ = Δ + Δ (.6) X b X O = peubah acak normal sandar sehngga suku-suku yang memua dferensal lm ΔX 0 dan Δ 0, suku sehngga dapa dabakan, dan persamaan (.5) menjad: Δ X dak dapa dabakan. Dalam ΔX Δ dan Δ dak berperan, u u u dy () = d + dx + b( X, ) d X X u u u u = + a X + b X d b X dz + X X X (, ) (, ) (, ) () (.7).0 Formula Black-Scholes Black-Scholes formula adalah suau model maemaka yang cukup populer d bdang maemaka keuangan, eruama dalam hal pembuaan formula penenuan harga ops. Model Black-Scholes n berlaku pada keadaan d bawah sejumlah asums, yakn: Penenuan Harga Ops Asa Rswan Harapan (00304)

8 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Transaks dapa erjad seap saa dan dak ada baya ambahan yang dkena pada ransaks ersebu (msal baya ransaks aau pajak) Tdak ada peluang erjadnya arbrage (keadaan anpa ada peluang merug) Terbukanya kesempaan unuk melakukan shor sellng (yakn memnjam sejumlah ase dan menjualnya unuk mendapakan uang una, dan seelah beberapa waku membel kembal ase ersebu dan mengembalkannya). Pemnjaman aau penabungan uang una dar/ke bank dmungknkan dengan suku bunga yang nlanya konsan Tdak ada pembagan dvden pada penjualan ase Harga saham berdsrbus lognormal dengan raa-raa dan varans yang konsan Jumlah ase yang dbel bsa dalam benuk pecahan Msalkan C adalah harga sebuah ops call Eropa. Perubahan harga saham dberkan oleh persamaan: ds = μ S d + σ S db (.8) Dengan memanfaakan Lemma Io, ka peroleh benuk persamaan dferensal sokask unuk call Eropa berku: C C C C dc = + μs + σ S d σs db + S S S (.9) 0 < S <, dan τ > d mana persamaan (.9) ersebu dnamakan Black-Scholes formula, dengan syara awal: (,0) ma {,0} c S = S K (.30) dan syara baas: dengan K adalah srke prce-nya. C ( 0, τ ) = 0 (.3) ( τ ) r jka S, maka C S, S Ke τ (.3) Penenuan Harga Ops Asa Rswan Harapan (00304)