Taksiran Kurva Regresi Spline pada Data Longitudinal dengan Kuadrat Terkecil

Transkripsi

1 Vol. 11, No. 1, 77-83, Jul 2014 Taksran Kurva Regres Slne ada Data Longtudnal dengan Kuadrat Terkecl * Abstrak Makalah n mengka tentang estmas regres slne khususnya enggunaan ada data longtudnal. Data longtudnaladalah data yang mamu membedakan keragaman reson yang dsebabkan karena engukuran yang berulang. Kurva regres slne destmas dengan menggunakan kuadrat terkecl. Terlhat bahwa taksran kurva regres slne untuk data longtudnal meruakan kelas endugaan lnear dalam observas reson dan sangat tergantung ada ttk knotk 1, k 2,..., k r. Keywords: data longtudnal, kuadrat terkecl, dan regres slne. 1. Pendahuluan Regres nonarametrk dgunakan aabla bentuk kurva regres dasumskan tdak dketahu. Regres nonarametrk memlk fleksbltas yang tngg dalam mengestmas kurva regres. Berbeda dengan regres arametrk yang mengasumskan bentuk kurva regres dketahu seert lnear, kuadratk, kubk, eksonensal atau yang lannya, endekatan regres nonarametrk tdak mengasumskan bentuk awal dar kurva regres. Sehngga derlukan endekatan dalam mengestmas kurva regres nonarametrk,salah satunya adalah metode slne. Eubank [4] menyatakan slne meruakan salah satu model yang memunya nterretas statstk dan nterretas vsual sangat khusus dan sangat bak, melalu emlhan ttk knot otmal D samng tu, slne mamu menangan karakter data fungs yang bersfat mulus (smooth) melalu emlhan arameter enghalus otmal. Islamyat (2010) mengurakan enggunaan regres slne olynomal truncuted ada data cross sectonal. Namun dalam erkembangan rset selama n, telah banyak ens data engukuran yang deroleh d laangan, bukan hanya dalam bentuk cross sectonal, dantaranya data longtudnal. Wu dan Zhang [9] menyatakan data longtudnal adalah data engamatan yang dlakukan terhada n obyek yang salng ndeenden, seta obyek damat secara berulang dan kontnu dalam kurun waktu tertentu, dmana engamatan dalam obyek yang sama salng berkorelas. Perbedaan struktur data tersebut menyebabkan erlu kaan tentang enggunaan regres slne ada data longtudnal. Makalah n mengka tentang estmas kurva regres slne ada data longtudnal, dmana metode estmas yang dgunakan adalah metode kuadrat terkecl, dengan memlh ttk knot otmal berdasarkan nla Gross Cross Valdaton (GCV) terkecl. 2. Data Longtudnal Data longtudnal meruakan data yang damat dan dukur berulangkal ada suatu nterval waktu tertentu. Dbandngkan dengan data yang deroleh ada stud cross sectonal yang umumnya dlakukan ada bdang sosal dan ekonom, dmana engukuran terhada obyek hanya dlakukan sekal saa, maka data longtudnal memlk keunggulan, yatu

2 78 kemamuannya dalam mengenal engaruh waktu engukuran terhada reson. Data longtudnal dasumskan obyek-obyek salng ndeenden satu sama lannya, teta antara engamatan d dalam obyek yang sama salng deenden, karena cenderung berkorelas [3]. Dalam stud tentang data longtudnal, ada umumnya engamatan dlakukan terhada n obyek yang salng ndeenden, dmana seta obyek damat secara berulang (reeated measurement) dalam kurun waktu yang berbeda. Msalkan t menyatakan engamatan ada waktu ke- dar obyek ke- dan y menyatakan varabel reson ada waktu t, maka data longtudnal dberkan oleh dmana n menyatakan banyaknya engukuran berulang dar ndvdu ke- atau daat dtuls dalam bentuk ersamaan: [9]. (1) 3. Model Regres Slne Slne adalah otongan olnomal order dengan ttk bersama dar otonganotongan tersebut dsebut dengan knot. Ttk knot meruakan eraduan dua kurva yang menunukkan ola erubahan erlaku kurva ada selang yang berbeda. Penggunaan ttk knot banyak dgunakan dalam regres nonarametrk, karena secara vsual daat menunukkan seta erubahan ola erlaku yang terad dalam nterval waktu tertentu (Islamyat, 2009). Msalkan ola erubahan yang terad ada data sebanyak lma ola erubahan, dmana ttk teradnya ola erubahan tersebut dsebut ttk knot. Pola erubahan yang terad, yatu ola ertama cenderung nak, kemudan menurun ada ola kedua. Selanutnya ola ketga uga menunukkan kecenderungan turun teta enurunannya berbeda dengan ola kedua. Pola keemat mengalam kenakan kembal dan terus nak ada ola kelma teta dengan kecenderungan nak yang berbeda ula. Contoh n menunukkan bahwa dengan enggunaan regres slne, sangat memungknkan dalam satu data terdaat beberaa ola erubahan dalam seta nterval waktu berbeda. Slne orde dengan knot k1, k2, K, km dberkan dalam fungs f dengan bentuk: m 0 1 (2) f ( t ) t ( t k ), dengan 0, 1, K, adalah arameter regres, dan ( t k ) ( t k ),( t k ) 0 0,( t k) 0 [4]. Salah satu cara emlhan ttk knot otmal adalah menggunakan metode generalzed cross valdaton (GCV). Krtera GCV ddefenskan: dengan: [ ( )], (3) MSE (k) = (( ) ( )) adalah ttk knots,a(k) = adalah matrks yang berukuran nxn, ( ). [5]

3 79 4. Taksran Kurva Regres Slne ada Data Longtudnal Data longtudnal yang dukur berulangkal berdasarkan waktu dberkan oleh, dmana n menyatakan banyaknya engukuran berulang dar obyek ke-.jka dberkan model regres nonarametrk untuk data longtudnal maka deroleh suatu bentuk seert ada (1). Slne ada data longtudnal dberkan dengan bentuk ersamaan : (4) Dmana = ttk knot = umlah orde = engaruh varabel waktu ada obek ke- dengan engulangan ke- = arameter Slne orde, daat dmodelkan sebaga berkut: (5) Menurut model slne ada (5), maka model regres nonarametrk berdasarkan (1) daat dtuls : (6) yang daat dsakan dengan bentuk matrks, yatu:

4 80 [ ] [ ] [ ]

5 81 (7) [ ] Model matrks ada (7) daat dsederhanakan dalam bentuk: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ( ) ( ) ] [ ] [ ] Jka dtulskan dalam notas matrks, daat dtuls menad : (8) Untuk memeroleh bentuk endugaan dlakukan melalu metode kuadrat terkecl dengan cara memnmumkan Jumlah Kuadrat Galat (JKG): ( ) ( ) ( ) ( ) = [ ]. Selanutnya deroleh: = ( )

6 82 Kemudan : = 0 atau Akbatnya endugaan kurva regres dberkan oleh: = A ; dengan matrks A Terlhat bahwa endugaan untuk kurva regres slne untuk data longtudnal meruakan kelas endugaan lnear dalam observas reson dan sangat tergantung ada ttk knot k 1, k 2,..., k r. 5. Kesmulan Estmas kurva regres slne untuk data longtudnal daat dsakan dalam bentuk: = A ; dengan y adalah varabel reson berorde N 1dberkan oleh: y y1 y2 y r (,,, ) T. DAFTAR PUSTAKA [1]. Besse, P.C., Cardot, H., dan Ferraty, F. (1997), Smultaneous Nonarametrc Regresson of Unbalanced Longtudnal Data, Comutatonal Statstcs and Data Analyss24,

7 83 [2]. Carroll, R.J., Hall, P., Aanasovch, T.V., dan Ln, X. (2004), Hstoslne Method n Nonarametrc Regresson Models wth Alcaton to Clustered/Longtudnal Data, Statstca Snca14, [3]. Dggle, P.J.K., Lang, K.Y., dan Zeger, S.L. (1995), Analyss of Longtudnal Data, Clarendon Press, Oxford. [4] Eubank, R. L. (1988), Slne smoothng and Nonarametrk Regresson, Marcel Dekker, New York. [5] Green, P.J., dan Slverman, B.W. (1994), Nonarametrk Regresson and Generalzed Lnear Models (a Roughness Penalty Aroach), Chaman & Hall, New York. [6] Islamyat, Anna. (2009). Estmas Slne untuk Data Longtudnal dengan Penalzed Lkelhood. Semnar Nasonal Matematka IV ITS, Surabaya. [7] Islamyat, Anna (2012). Regres Nonarametrk untuk Data Longtudnal. Jurnal Matematka Statstka & Komutas, Unhas, Makassar. [8] Wahba, G. (1990), Slne Model for Observatonal Data, Socety For Industral and Aled Mathematcs, Phladelha. [9] Wu, H., dan Zhang, J.T. (2006), Nonarametrc Regresson Methods for Longtudnal Data Analyss, John Wley & Sons, New Jersey.