III FUZZY GOAL LINEAR PROGRAMMING

Transkripsi

1 7 Ilustras entu hmpunan fuzzy dan fungs eanggotaannya dapat dlhat pada Contoh 3. Contoh 3 Msalan seseorang dataan sudah dewasa ja erumur 7 tahun atau leh, maa dalam loga tegas, seseorang yang erumur urang dar 7 tahun dataan tda dewasa. Sedangan pada loga fuzzy, seseorang yang erumur d awah 7 tahun dapat dategoran dewasa tetap tda penuh. Secara graf dapat dgamaran seaga erut: μ A (x) dengan x adalah umur (tahun), A alah hmpunan orang dewasa, dan μ A (x) adalah fungs eanggotaan yang dapat dtuls seaga erut: μ A x = 0, ja 0 x 0 x 0, ja 0 x 7 7 0, ja x 7 Dar fungs eanggotaan terseut dapat dlhat ahwa seseorang yang erumur 2 tahun termasu dalam hmpunan orang dewasa dengan derajat eanggotaan μ A 2 = 2 7. Derajat eanggotaan menunjuan seerapa esar esstens dar seseorang yang erumur 2 tahun dalam hmpunan orang dewasa. x Gamar 5 Graf fungs eanggotaan hmpunan fuzzy dewasa. III FUZZY GOAL LINEAR PROGRAMMING Konsep fuzzy lnear programmng untu menyelesaan masalah pemrograman lnear multojetf atau multojectve lnear programmng (MLP) pertama al dperenalan oleh Zmmerman pada tahun 978. Pada tahun 980, Narasmhan menggunaan teor hmpunan fuzzy untu metode goal programmng. Selanjutnya pada tahun 997, Mohamed mempelajar model fuzzy programmng dengan menggunaan onsep goal programmng (Gupta dan Bhattacharya 200). Dalam arya lmah n aan donstrus masalah fuzzy goal programmng (FGP) yang merupaan perluasan dar model goal programmng. FGP adalah model goal programmng dengan fungs ojetf dan fungs endala yang meml parameter dan pertasamaan atau persamaan fuzzy. Parameter FGP meml derajat eanggotaan tertentu dalam selang [0, ] dan dnyataan dalam pertasamaan fuzzy, yatu (mendeat leh esar atau sama dengan), atau (mendeat leh ecl atau sama dengan) atau persamaan fuzzy, yatu (mendeat sama dengan). Model fuzzy goal programmng dapat dformulasan seaga erut: Tentuan X = (x, x 2,, x n ) T R n sehngga memenuh fungs tujuan Z X g, =, 2,, K, terhadap endala AX, = (, 2,, m ) T R m dengan X = vetor varael eputusan g = etdatepatan level aspras (nla ruas anan) e- dar tujuan Z X ( =, 2,, K) A = matrs oefsen erordo m n = vetor nla ruas anan endala Z X g = tujuan fuzzy e- Tanda merupaan entu fuzzy dar tujuan dan endala tpe, tanda merupaan entu fuzzy dar tujuan dan endala tpe, dan tanda merupaan entu fuzzy dar endala tpe =. (Gupta dan Bhattacharya 200) Dalam suatu pengamlan eputusan, fungs tujuan maupun endala yang merupaan hmpunan fuzzy dapat dcran dengan fungs eanggotaan masng-masng.

2 8 Selanjutnya dtetapan derajat tertngg seaga level aspras dar tujuan fuzzy. Fungs tujuan fuzzy menggunaan level aspras yang ersfat tda tepat. Model fuzzy n perlu duah e dalam persamaan tegas (crps) dengan menyusttusan fungs terseut pada fungs eanggotaan fuzzy lnear. Menurut Gupta dan Bhattacharya (200), ja p mendefnsan tolerans untu tujuan fuzzy e-, yatu onstanta postf yang dplh secara sujetf dar etdatepatan nla g yang mash dapat dterma, maa fungs eanggotaan dar fungs tujuan fuzzy Z (X), dnyataan dengan μ Z X, dapat dgunaan untu mendefnsan tujuan fuzzy Z (X) seaga erut: Untu tujuan fuzzy Z (X) g, =,2,, K, fungs eanggotaannya ddefnsan seaga erut: ( Z ( X)) 0, ja Z g p Z ( g p ), ja g p Z g p, ja g Z g p Graf fungs eanggotaan μ(z (x)) deran pada Gamar 6 erut. (lhat Lampran 3) μ(z (X)) 0 g p g g p p p Z (X) Gamar 6 Graf fungs eanggotaan tujuan fuzzy Z X g. Untu tujuan fuzzy Z X g, =,2,, K, fungs eanggotaannya ddefnsan seaga erut: ( Z ( X)), ja g p Z g ( g p ) Z, ja g Z g p p 0, ja Z g p Graf fungs eanggotaan μ(z (x)) deran pada Gamar 7 erut. (lhat Lampran 3) μ(z (X)) 0 g p g g p p p Z (X) Gamar 7 Graf fungs eanggotaan tujuan fuzzy Z X g. dengan g p dan g p masng-masng menunjuan atas awah tolerans dan atas atas tolerans untu tujuan fuzzy Z X. Ja q ( =, 2,, m) mendefnsan tolerans untu endala fuzzy e-, yatu onstanta postf yang dplh secara sujetf dar etdatepatan nla yang mash dapat dterma, maa fungs eanggotaan dar endala fuzzy a X (a adalah ars e- dar matrs AX ), dnyataan dengan μ a X, dapat dgunaan untu mendefnsan endala fuzzy a X seaga erut: Untu endala fuzzy a X, =,2,, m ( adalah ars e- dar vetor ), fungs eanggotaannya ddefnsan seaga erut: ( a ( X)) 0, ja a q a ( q ), ja q a q, ja a q

3 9 Untu endala fuzzy a X, =,2,, m, fungs eanggotaannya ddefnsan seaga erut: ( a ( X)), ja q a ( q ) a, q ja a q 0, ja a q dengan q dan q masng-masng menunjuan atas awah tolerans dan atas atas tolerans untu endala fuzzy pertasamaan a X. Untu endala fuzzy a X, =,2,, m, fungs eanggotaannya ddefnsan seaga erut: ja a q 0, atau a q2 a ( q ), ja q a q, ja a ( q2 ) a, ja a q2 q 2 Graf fungs eanggotaan μ(a (x)) deran pada Gamar 8 erut. μ(a (X)) ( a ( X)) 0 q q 2 q q 2 a (X) Gamar 8 Graf fungs eanggotaan dar endala fuzzy a X. dengan q dan q 2 masng-masng menunjuan atas awah tolerans dan atas atas tolerans untu endala fuzzy persamaan a X dengan q dan q 2 erturut-turut mendefnsan tolerans dar endala fuzzy e- untu endala fuzzy persamaan e- dan endala fuzzy persamaan e-2. Nla tolerans q dan q 2 oleh ereda. Pada metode fuzzy goal programmng, derajat eanggotaan μ(z (X)) dar suatu tujuan e- erada pada selang 0,, sehngga dengan menamahan varael devas d dan d, fungs eanggotaan dar tujuan fuzzy dapat drepresentasan seaga erut: μ Z X d d =, untu fungs eanggotaan dar tujuan tpe dan dengan d, d 0, d d = 0, =, 2,, K. Varael d dan d erturut-turut merupaan varael devas yang erada d awah dan d atas dar derajat eanggotaan tujuan fuzzy e-. Suatu tujuan e- dataan erhasl dcapa la nla varael devas d dan d urang dar satu. Ja nla varael devas d >, maa aan mengaatan derajat eanggotaan μ Z X < 0. Sedangan ja d >, maa aan mengaatan nla fungs ojetf Z (X) meleh atas tolerans yang deran oleh pemuat eputusan. Seman nla varael devas d dan d deat dengan 0, seman esar tngat eerhaslan tujuan e-. Suatu endala fuzzy e- meml derajat eanggotaan pada selang 0,, sehngga dengan menamahan varael devas d dan d, fungs eanggotaan dar endala tpe dan dapat drepresentasan seaga erut: μ a X d d = () d, d 0, d d = 0, =, 2,, m. d dan d merupaan varael devas yang erada d awah dan d atas dar derajat eanggotaan endala fuzzy e-. Suatu endala e- dataan erhasl dcapa la nla varael devas d dan d urang dar satu. Ja nla varael devas d >, maa aan mengaatan derajat eanggotaan μ a X < 0. Sedangan ja d >, maa aan mengaatan nla fungs ojetf a (X) meleh atas tolerans yang deran oleh pemuat eputusan. Seman nla varael devas d dan d deat dengan 0, seman esar tngat eerhaslan endala e-. Fungs eanggotaan untu endala fuzzy persamaan merupaan gaungan dar fungs eanggotaan untu endala fuzzy

4 0 pertasamaan ( dan ), maa fungs eanggotaan dar endala fuzzy persamaan dapat drepresentasan sepert persamaan (). Selanjutnya aan dgunaan metode mn sum fuzzy goal programmng, yatu suatu metode fuzzy goal programmng yang menggunaan fungs eanggotaan dar fungs ojetf dan fungs endala yang danggap seaga endala fuzzy dengan menetapan derajat tertngg dar level aspras. Metode n aan memnmuman varael devas yang erada d awah tujuan dan endala fuzzy. (Gupta dan Bhattacharya 200) Menurut Gupta dan Bhattacharya (200) metode mn sum fuzzy goal programmng dapat dformulasan seaga erut: Tentuan X = (x, x 2,, x n ) R n yang memnmuman K m z d d dengan endala () Z X (g p ) d p d =, (untu tujuan tpe ) (2) g p Z X p d d =, (untu tujuan tpe ) (3) a X q d q d =, (untu endala tpe ) (4) q a X d q d =, (untu endala tpe ) (5) q a X d q d = a x q 2 d q d = 2 (untu endala tpe ) (6) X, d, d 0; d, d ; d d = 0; =,2,, K d, d 0; d, d, d d = 0; =, 2,, m. Dengan menamahan endala atas tolerans untu setap endala fuzzy, maa model mn sum fuzzy goal programmng terseut dapat dtulsan seaga erut: Tentuan X = (x, x 2,, x n ) R n yang memnmuman K m z d d dengan endala () Z X (g p ) d p d =, (untu tujuan tpe ) g (2) p Z X d p d =, (untu tujuan tpe ) (3) a X q d q d =, (untu endala tpe ) (4) q a X d q d =, (5) (untu endala tpe ) q a X d q d = a x q 2 d q d = 2 (untu endala tpe ) (6) g p Z X g p (endala atas tolerans untu tujuan tpe dan ) (7) q a X q (endala atas tolerans untu endala tpe dan ) (8) q a X q 2 (endala atas tolerans untu endala tpe ) (9) X, d, d 0, p > 0; d, d ; d d = 0; =,2,, K d, d 0, q, q, q 2 > 0; d, d, d d = 0; =, 2,, m. 3. Prosedur Pengoptmuman Tahapan dan dagram alr dar proses pengoptmuman dengan metode fuzzy goal programmng dapat drepresentasan seaga erut: Tahapan proses pengoptmuman memenuh etentuan seaga erut: formulasan model fuzzy goal programmng, 2 dentfas tpe fuzzy dar tujuan yang ngn dcapa, yatu untu asus masmsas dan untu asus mnmsas. Kemudan tentuan level aspras (g ) untu tujuan e-, 3 dtentuan endala yang aan menjad endala fuzzy, 4 dtentuan nla tolerans untu setap tujuan dan endala fuzzy emudan onstrus fungs eanggotaan dar tujuan dan endala fuzzy erdasaran lmt tolerans yang dperoleh, 5 aplasan e dalam model mn sum fuzzy goal programmng sehngga semua tujuan fuzzy erhasl dcapa, 6 ja semua tujuan fuzzy elum erhasl dcapa, maa emal e tahap 2.

5 Dagram alr untu proses pengoptmuman deran pada Gamar 9 erut: Model fuzzy goal programmng Tentuan tpe fuzzy dan nla g untu tujuan e- Tentuan endala fuzzy Konstrus fungs eanggotaan Model mn sum fuzzy goal programmng Apaah semua tujuan erhasl dcapa? Ya Solus tera Tda Gamar 9 Dagram alr pengoptmuman MLP. Ilustras fuzzy goal programmng dapat dlhat pada Contoh 4. Contoh 4 Berdasaran MLP pada Contoh, maa dperoleh formulas model fuzzy goal programmng seaga erut: Tentuan X = (x, x 2, x 3, x 4 ) sehngga memenuh fungs tujuan () 8x x 2 0x 3 2x (2) x x terhadap endala () x x 2 x 3 x (2) x 25 (3) x 2 00 (4) x 3 50 (5) x 4 20 (6) x 0, =,2, 3, 4 Fungs tujuan () dan (2) dperoleh dar fungs tujuan masalah pada Contoh. Dasumsan fungs tujuan () dan (2) merupaan fungs tujuan fuzzy dan endala () merupaan endala fuzzy. Msalan dplh atas tolerans p = 20 dan p 2 = 6 erturut-turut untu fungs eanggotaan dar fungs tujuan fuzzy Z (X) (endala pertama) dan Z 2 X (endala edua) dan q = 50, q 2 = 25 untu fungs eanggotaan dar endala fuzzy persamaan a X (endala etga), maa fungs eanggotaan untu setap tujuan dan endala fuzzy menjad: Fungs eanggotaan untu tujuan () ( Z( X)), ja 2680 Z ( X) Z( X), ja 2700 Z , ja Z ( X) 2720 dengan Z X = 8x x 2 0x 3 2x 4 Fungs eanggotaan untu tujuan (2) ( Z ( X)) 2 0, ja Z ( X) 6 Z2 ( X) 6, ja 6 Z2 32 6, ja 32 Z2 ( X) 48 dengan Z 2 X = x x Fungs eanggotaan untu endala () μ a X = ja a ( X) 250 0, atau a ( X) 325 a ( X) 250, ja 250 a ( X) , ja a ( X) a ( X), ja 300 a ( X) dengan a X = x x 2 x 3 x 4 2 Selanjutnya dengan melauan susttus setap fungs tujuan dan endala fuzzy e dalam fungs eanggotaannya, maa permasalahan terseut dapat dselesaan dengan menggunaan metode mn sum fuzzy goal programmng yang dformulasan menjad: Tentuan X = (x, x 2, x 3, x 4 ) yang memnmuman z = d d 2 d 3 d 4