BAB 3 PEMBAHASAN. 3.1 Prosedur Penyelesaian Masalah Program Linier Parametrik Prosedur Penyelesaian untuk perubahan kontinu parameter c

Transkripsi

1 6 A PEMAHASA Pada bab sebelumnya telah dbahas teor-teor yang akan dgunakan untuk menyelesakan masalah program lner parametrk. Pada bab n akan dperlhatkan suatu prosedur yang lengkap untuk menyelesakan masalah program lner parametrk.. Prosedur Penyelesaan Masalah Program Lner Parametrk Masalah program lner parametrk terdr oleh bagan masalah. Masalah pertama adalah perubahan kontnu parameter pada koefsen fungs tuuan ( c ) dan masalah kedua adalah perubahan kontnu parameter konstan ss kanan ( n menunukkan nla kuanttas batasan ). Oleh karena tu, prosedur penyelesaan masalah program lner dbedakan menad bagan berkut... Prosedur Penyelesaan untuk perubahan kontnu parameter c Untuk kasus perubahan kontnu pada parameter koefsen tuuan, permasalahan dalam bentuk skalar n Mnmum ( ) ( ) Dengan kendala n a c b,,,..., m,,,..., n dan dalam bentuk matrk dnyatakan oleh Mnmum ( c ) Dengan kendala A b

2 akan dperksa, d mana parameter dperkenankan mencakup semua nla postf dan negatf. Anggap bahwa program lner dselesakan dengan sehngga fungs n tuuan ( ) ( c ) c atau ( c ) c n eknk dar analss senstvtas akan dgunakan untuk mengu bagamana solus berubah ketka dubah dar nol. Jka bass sekarang tetap optmal, maka solus bass optmal sekarang b tdak akan berubah. Oleh karena tu hanya konds optmal yang perlu dperksa. Untuk masalah pengganggu, mereka adalah ( ) ( ) c c atau ( ) ( c c ) d mana, dan menyatakan gangguan-gangguan pada c dan c secara berturut-turut. Ketdaksamaan n harus dpenuh untuk setap komponen dalam tes keoptmalan. Koefsen pada ss sebelah kanan yatu harga reduks metode smple memenuh c c c karena bass sekarang dasumskan optmal. Untuk >, ketdaksamaan hanya dperhatkan ketka ( ) <. Sebaga suatu hasl, dapat dnakkan hngga nla mn ( c c ) ( ) : ( c ) < sebelum bass sekarang berhent menad optmal. Untuk > bass berubah dan ndeks yang menentukan spesfk varabel masuk untuk metode smple. Sama halnya, untuk <, tu mungkn untuk menurunkan hngga nla

3 8 ma ( c c ) ( ) : ( ) > sebelum bass sekarang berhent menad optmal. Lag, ndeks yang menentukan spesfk untuk varabel masuk. Untuk, harga reduks varabel nonbass dperlhatkan oleh formula ( c c ) ( ). la tuuan parametrk dtunukkan oleh ( ) ( ) d mana ( ) adalah nla tuuan untuk masalah dengan. Jka, ketka percobaan menghtung, d sana tdak ada ndeks yang memenuh ( ) < maka dapat dnakkan tanpa batas dengan bass sekarang tetap optmal. Jka, ketka penggunaan metode smple untuk menentukan bass baru pada, d sana tdak ada varabel keluar, maka program lner tdak terbatas untuk Sama halnya, ka tdak ada ndeks yang memenuh ( ) > >. maka dapat dturunkan tanpa batas dengan bass sekarang tetap optmal. Jka tdak ada varabel keluar pada, maka program lner tdak terbatas untuk >. Prosedur d atas dapat dsmpulkan sebaga berkut.. Ubah masalah program lner parametrk ke dalam bentuk standar.. Selesakan masalah dengan oleh metode smple.. Gunakan prosedur analss senstvtas ( pada kasus perubahan parameter koefsen fungs tuuan ) untuk memperkenalkan tuuan. c ke dalam fungs. akkan atau turunkan hngga nla tertentu sebelum konds optmal dlanggar atau hngga varabel nonbass yang memlk koefsen pada fungs tuuan menad negatf.

4 5. Gunakan varabel n sebaga varabel bass yang masuk untuk teras metode smple selanutnya sehngga solus optmal baru dtemukan. Kembal ke langkah. Prosedur Penyelesaan untuk perubahan kontnu parameter b Untuk kasus perubahan kontnu pada parameter b, bentuk masalah dalam skalar Mnmum ( ) Dengan kendala n n c a b,,,..., m,,,..., n dan dalam bentuk matr dnyatakan oleh Mnmum c dengan kendala A b akan dperksa, d mana parameter dperkenankan mencakup semua nla postf dan negatf. Suatu teknk yang sama dengan prosedur penyelesaan perubahan kontnu parameter koefsen tuuan dapat dkembangkan untuk menyelesakan masalah n. ss kanan Anggap bahwa program lner dselesakan dengan sehnga konstanta n a b b atau A b b. eknk dar analss senstvtas akan dgunakan untuk mengu bagamana solus berubah ketka dubah dar nol. Jka bass sekarang tetap layak, maka solus bass optmal sekarang c c c tdak akan berubah. Oleh karena tu, hanya konds layak yang perlu dperksa.

5 Pada masalah pengganggu, konds solus layak bass akan tetap terpenuh sepanang ( b ) atau ekvalen sepanang b. Ketdaksamaan n harus dpenuh untuk setap komponen dalam tes kelayakan. ass sekarang memenuh b karena untuk setap komponen bass sekarang dasumskan menad layak. Untuk >, ketdaksamaan hanya dperhatkan ketka ( ) < Sebaga suatu hasl, dapat dnakkan hngga nla mn ( b) ( ) : ( ) < 5. sebelum bass sekarang berhent menad layak. Untuk >, bass berubah, dan ndeks yang menetukan spesfk varabel masuk untuk metode smple. Sama halnya, untuk <, tu mungkn untuk menurunkan hngga nla ( b) ( ) ma : ( ) > sebelum bass sekarang berhent menad layak. Lag, ndeks yang menentukan spesfk untuk varabel masuk. Untuk,, nla solus bass dperlhatkan oleh formula b. la fungs tuuan dtunukkan oleh : d mana ( ) ( ) c b c ( ) c adalah nla tuuan untuk masalah dengan. Jka, ketka percobaan menghtung, d sana tdak ada ndeks yang memenuh ( ) < maka dapat dnakkan tanpa batas dengan bass sekarang tetap layak dan optmal. Jka, ketka penggunaan metode smple untuk menentukan bass baru pada, d sana tdak ada varabel keluar, maka program lner tdak terbatas untuk >. Sama halnya, ka tdak ada ndeks yang memenuh ( ) > maka dapat dturunkan tanpa batas dengan bass sekarang tetap layak. Jka tdak ada varabel keluar pada, maka

6 program lner tdak terbatas untuk 5 <. Metode dual smple uga dapat dpaka untuk menemukan solus bass untuk tap-tap ttk krts sehngga solus layak dan optmal dapat dperoleh. Kesmpulan prosedur penyelesaan masalah perubahan konstan ss kanan adalah sebaga berkut.. Ubah masalah program lner parametrk ke dalam bentuk standar.. Selesakan masalah dengan oleh metode smple.. Gunakan prosedur analss senstvtas pada kasus perubahan konstan ss kanan untuk memperkenalkan b.. akkan atau turunkan hngga nla tertentu sebelum konds layak dlanggar atau sebelum nla d kolom ss kanan menad negatf. 5. Gunakan varabel n sebaga varabel masuk untuk suatu teras metode dual smple selanutnya untuk menemukan solus optmal baru. Kembal ke langkah.. Penyelesaan Contoh Masalah Program Lner Parametrk.. Pada Kasus Perubahan Kontnu Parameter c Pada kasus n, masalah dbatas dengan dua varabel keputusan pada fungs tuuan. Maksmum ( ) ( ) ( 5 ) Dengan kendala 8 Dan,

7 5 Langkah. Masalah dalam bentuk standar menad : Mnmum ( ) ( ) ( ) ( 5 ) Dengan kendala 8 5 dan,,,...`, 5 Langkah abel. Solus ass Optmal untuk Iteras Varabel ass Pers. Koefsen dar 5 Ss kanan () - -5 () () 5 () 8 () - 5 () () 6 () - 6 () () () () - 6-6

8 5 Langkah Dengan menggunakan analss senstvtas pada kasus perubahan parameter koefsen fungs tuuan akan dperkenalkan c c [ ] 5 dan [ ] Solus bass optmal sekarang [ ], [ ] dan [ ] Dengan varabel bass optmal sekarang maka nla nterval dapat dhtung. [ ] [ ] 6 dan c. Karena ada entr yang memenuh ( ) > dan ( ) < pada bass optmal sekarang maka dapat dnakkan atau dturunkan nlanya untuk teras metode smple selanutnya. Untuk solus bass optmal sekarang, batas atas : ( ) ( ) ( ) < : mn c c 6 mn dan batas bawah : ( ) ( ) ( ) > : c c maks maks

9 Harga reduks nonbass dan nla fungs tuuan secara berurutan menad 5 c c 6 6 ( ) ( ) c 6 [ ] 6 6 ( ) ( ) 6 Langkah Untuk <, dapat dturunkan nlanya menad menad varabel bass untuk teras metode smple selanutnya. Saat koefsen pada bass sekarang dtunukkan oleh tabel berkut. dan akbatnya 5, Varabel bass abel. Koefsen ass untuk Koefsen dar Persamaan 5 () () () 6 () Ss kanan

10 55 Langkah 5 Setelah operas pvot, solus optmal yang baru menad : abel. Solus ass Optmal untuk < Varabel bass Persamaan Koefsen dar Ss kanan 5 () () () 6 5 () - 6 Dengan varabel bass n dperoleh nla : [ ] [ ] dan c. Karena tdak ada entr yang memenuh ( ) > maka dapat dturunkan tanpa batas dengan solus bass saat n. Harga reduks nonbass dan nla fungs tuuan : 5 c ( ) [ ] ( ) ( ) 6

11 56 Langkah. Untuk >, dapat dnakkkan nlanya menad _ dan akbatnya menad varabel bass baru untuk teras metode smple selanutnya. Saat koefsen pada bass sekarang adalah, Varabel bass abel. Koefsen ass untuk Koefsen dar Persamaan 5 Ss kanan () () () 6 () Setelah operas pvot, solus optmal yang baru menad abel.5 Solus ass Optmal untuk > Varabel Koefsen dar Persamaan bass 5 () Ss kanan () - 6 () ()

12 5 Dengan varabel bass n dperoleh nla : [ ] [ ] dan c. Karena ada entr yang memenuh ( ) < maka dapat dnakkan hngga: 6 mn Harga reduks nonbass dan nla fungs tuuan : 5 c ( ) [ ] 5 6 Karena mash ada < maka dapat dnakkan kembal. Untuk 5 >, maka 5 menad salah satu varabel bass berkutnya dan harga reduks untuk 5 adalah abel.6 Koefsen ass untuk 5 Varabel bass Persamaan Koefsen dar Ss kanan 5 () 5 () - 6 () () ( ) ( ) 5

13 58 Setelah operas pvot, solus optmal yang baru adalah : Varabel bass abel. Solus ass Optmal untuk > 5 Persamaan Koefsen dar 5 Ss kanan () 5 () 5 () - 6 () Dengan varabel bass n dperoleh nla : [ ] [ ] [ ] dan c. Karena tdak ada entr yang memenuh ( ) < tanpa batas. Harga reduks nonbass dan nla fungs tuuan : maka dapat dnakkan c [ ] ( 5) [ ] [ 5 ] ( ) ( 5) ( 5) [ ] 6 8 ( ) ( ) 8

14 5 abel.8 Pemakaan Prosedur Program Lner Parametrk c Interval Var. bass Pers. Koefsen dar Ss kanan 5 () 5-6 () () 6 5 () - 6 () () () () () () - 6 () () () () 5 () - 6 ()

15 6 Gambar. la fungs tuuan ( ) untuk perubahan kontnu maks c (,) Gambar. Solus daerah layak untuk ( ) untuk perubahan c

16 6.. Pada Kasus Perubahan Kontnu Parameter b Pada kasus n, masalah uga dbatas dengan dua varabel keputusan pada fungs tuuan. Maksmum 5 Dengan kendala : 8, Langkah Masalah dalam bentuk standar menad Mnmum 5 Dengan kendala 8,,,...,5 5

17 6 Langkah Iteras abel. Solus ass Optmal untuk Var. Koefsen dar Ss Pers. bass 5 kanan () - -5 () 8 () 5 () () () - 5 () - () () - () - () - () () 5 () () () Langkah Dengan menggunakan analss senstvtas pada kasus perubahan konstan ss kanan akan dperkenalkan b. [ 8 ] dan [ ] b Arus solus bass optmal yatu [ ] dan nla n akan berubah 5 menad

18 6 Karena ada entr yang memenuh ( ) < dan ( ) > maka dapat dnakkan dan dturunkan nlanya hngga nla tertentu. Untuk solus bass optmal sekarang, batas atas adalah ( ) ( ), mn dan nla batas bawah adalah ( ) ( ) ( ) > : ma b maks Harga reduks nonbass c. Harga ss kanan dan nla fungs tuuan : ( ) ( ) [ ] 6 5 c ( ) ( ) 6 Langkah Karena ada ( ) < maka dapat dnakkan nlanya menad lebh besar dar sekarang. Untuk, nla ss kanan menad : ( ) ( ) ( ) < : mn b

19 6 Varabel bass Persamaan abel. la Ss Kanan untuk Koefsen dar 5 Ss kanan () 5 () () () 5 dan setelah operas pvot dengan menggunakan metode dual smple maka solus optmal yang baru adalah Varabel bass abel. Solus ass Optmal untuk Persamaan Koefsen dar > 5 Ss kanan () () () 5 () dengan c Karena tdak ada entr yang memenuh ( ) < batas dengan harga solus bass sekarang yang tetap layak. maka dapat dnakkan tanpa

20 65 Harga ss kanan dan nla fungs tuuan yang baru : 5 5 ( ) c [ 5] 5 ( ) ( ) 5 6 Langkah Untuk <, dapat dturunkan nlanya. Solus bass sebelumnya akan berubah ketka dturunkan nlanya lebh auh. Untuk, nla ss kanan menad : Varabel bass Persamaan abel. la Ss Kanan untuk Koefsen dar 5 Ss kanan 5 () () () Untuk, setelah operas pvot dengan menggunakan metode dual smple maka solus optmal yang baru adalah

21 66 abel. Solus ass Optmal untuk < Varabel bass Persamaan Koefsen dar Ss kanan 5 5 () () () - - Karena ada entr yang memenuh ( ) >, maka dapat dturunkan nlanya hngga, maks dan harga reduks nonbass c. Harga ss kanan dan nla fungs tuuan yang baru : 6 ( ) [ ] 8 8 c ( ) ( ) 8 8 Untuk <, persamaan kedua tdak memenuh syarat b sehngga tdak dapat dturunkan lag nlanya dan oleh karena tu, teras dhentkan.

22 6 abel. Pemakaan Prosedur Program Lner Parametrk b Interval Var. ass Pers. Koefsen dar 5 Ss Kanan () 88 5 () () () () 6 5 () () () - - () 5 () () 5 () Zma 5 6 Z ma / / Gambar. la fungs tuuan ( maks ) untuk perubahan kontnu b

23 68 I III / III II II I III / III II I II I 5 III 5 6 II 5 6 I Gambar. Solus daerah layak ( ) untuk perubahan b Varas solus optmal yang dhaslkan dengan varabel keputusan asl pada perubahan kontnu parameter c atau b dapat dsmpulkan ke dalam kedua tabel berkut. abel.5 Varas Solus Optmal untuk Perubahan c

24 6 abel.5 Varas Solus Optmal untuk Perubahan b Kedua contoh masalah program lner parametrk n dambl dar buku Introducton to Operatons Research dan Lner and onlner Programmng dengan hasl optmal yang sama sepert pada abel.5 dan.6.

25 A KESIMPULA DA SARA. Kesmpulan Masalah program lner parametrk dapat dselesakan dengan menggunakan metode smple kecual pada kasus khusus, perubahan kontnu parameter b, d mana untuk b < maka metode dual smple turut dgunakan untuk memperbak solus optmal. Jad dengan menggunakan metode smple, masalah program lner parametrk dapat dselesakan dengan mudah dan sederhana. Pada program lner parametrk terad perubahan pada pada parameter c atau b secara kontnu dan berurutan sehngga akhrnya menghaslkan varas solus optmal sesua batas perubahan parameter yang dnkan terad sepert pada tabel.5 dan tabel.6. Hal n nantnya akan mempermudah para pengambl keputusan untuk mengambl keputusan terbak atau dsebut sebaga keputusan optmal, keputusan yang memberkan keuntungan maksmum. Solus masalah program lner parametrk dapat dgunakan dalam berbaga kasus d duna nyata sepert perencanaan produks suatu produk dengan keterbatasan bahan mentah atau waktu dan perencanaan muatan barang pada pesawat udara dengan keterbatasan volume dan berat muatan tetap ngn memperoleh hasl yang sebesarbesarnya.. Saran Program lner parametrk hanya mencakup perubahan kontnu pada parameter c atau b, tetap ada uga bentuk analss senstvtas yang lan yatu perubahan smultan pada struktur sstem kendala, perubahan pada koefsen a. ag para pembaca yang

26 bermnat untuk menelt, mungkn dapat melanutkan peneltan n yang berhubungan dengan perubahan kontnu parameter a.