( L ). Matriks varians kovarians dari

Transkripsi

1 LIVIA PUSPA T METODE KOMPONEN UTAMA Informas yang dbuuhkan daam eknk komponen uama suau daa ddapa dar marks varans kovarans, aau marks koreasnya. Meode komponen uama n, beruuan unuk menaksr parameer pada anass fakor, yau varans spesfk ( Ψ ( pxp) ), komunaas ( ) ( L ). Marks varans kovarans dar h, dan marks fakor oadng ( pxm ) sampe yau S yang merupakan esmaor (penduga) bag marks varans kovarans popuas yang dak dkeahu yau Σ. Komponen uama anass fakor pada marks varans kovarans popuas Σ memk pasangan na egen dan vekor egen ( λ ) ' dmana λ λ... λp dengan = LL + ψ e, = [ λ e M λ e MLM λ ] p e p λ e' λ e' λ M e ' p p + Unuk mencar penaksr L ), subsuskan Σ dengan S pada persamaan )) ) ' = LL +ψ sehngga dperoeh: S LL + Ψ (9-3-) Daam pendekaan anass komponen uama, Ψ ) dabakan dan S dapa dfakorkan menad S = LL )). Sous komponen uama pada mode fakor adaah sebaga berku : Komponen uama anass fakor pada marks varans kovarans sampe S memk ) ) ) ) ) ) λ, e, λ, e,..., λ, e dmana pasangan na egen dan vekor egen ( ) ( ) ( p p ) λ λ... λp. Jka m < p merupakan banyaknya fakor umum, maka marks yang ) dhaskan dar esmas fakor oadng { } ddefnskan sebaga: ) L e M e MKM e (9-3-) = λ λ λm m

2 Esmas varans spesfk dberkan oeh eemen dagona dar marks S LL )) adaah ) ψ L ) m ) ψ ψ L ) ) = dengan ψ = s (9-3-3) M M M = ) Lψ p Sedangkan esmas varans spesfk oeh eemen dagona dar marks m ) ψ = ) (9-3-4) = Komunaas desmas sebaga: R LL )) adaah h m = = L m (9-3-5) = Jka banyaknya fakor umum dak denukan aau dak dkeahu, maka m dapa dcar berdasarkan pada esmas na egen. Seharusnya konrbus beberapa fakor awa pada varans sampe cukup besar. Konrbus dar fakor ke- pada varans sampe oa r( S) = s + s spp adaah: ) ) ) ) ( ˆ ) e p p p ˆ ˆ ˆ ˆ = = = e = = = = λ λ λ Dmana ê adaah vekor egen sauan, yang arnya memk panang. Sehngga secara umum dapa uga dus konrbus dar fakor ke- pada varans sampe oa adaah : ( ˆ ) e ) (9-3-6) p p p ˆ ˆ ˆ ˆ = λ = λ e = λ = = = ke- adaah : Secara umum, propors dar varans sampe oa yang berasa dar fakor umum ˆ λ s + s s pp unuk anass fakor pada S ˆ λ p unuk anas fakor pada R (9-3-7)

3 Krera pada persamaan (9-3-7 ) daas serngka dgunakan daam menenukan banyaknya fakor umum. Dengan menggunakan program kompuer ka uga dapa menenukan banyaknya fakor umum berdasarkan pada banyaknya na egen dar marks koreas R aau dar marks varans kovarans S yang ebh dar raa-raa na egen. Seeah seuruh na aksran parameer ddapakan kemudan dhung marks ssa. Marks ssa ddefnskan sebaga sesh dar koreas sampe R aau dar marks S dengan na-na aksran yang ddapa. ˆ ˆ ˆ aau ˆ ˆ Marks ssa = R LL + Ψ S LL + Ψ ˆ (9-3-8) Conoh 9.3 daam sudy phan konsumen., suau sampe random dar konsumen unuk mena arbu suau produk baru. Tanggapan pada 7 k skaa berbeda membenuk marks koreas. Marks koreas dsakan daam benuk sebaga berku. Arbue (Varabe) Tase Good buy for money Favour Suabe for snack 4.4.7,5.79 Provdes os of energy Teah eas dar yang dngkar anggoa marks koreas bahwa varabe dan 3 dan varabe dan5 membenuk grup. Varabe 4 ebh mendeka grup(,5) darpada grup(,3).dberkan has dan umah dar varabe, ka mengra bahwa hubungan ner ana varabe dapa deaskan daam benuk sau, dua aau ga facor umum. Dua na egen perama dan dar R yang ebh bak dar annya. Lebh dar u, m = fakor umum akan dhung unuk mencar propors cumuave

4 Dar oa sampe varan. Penaksran facor pemua, communay, dan facor khusus dberkan daam abe Penaksran facor Communay Facor khusus oadng Varabe. Tase Good buy for money Favor 4. Suabe for snack 5. Provdes os of energy Na Egen.85.8 Propors Communay dar varans sampe oa.57.93

5 Hasnya mendeka marks koreas R. ka akan mena dua facor mode dengan facor oadng d aas yang cukup bak unuk daa. The comuny (.98,.88,.98,.89,.93) mengndkaskan perhungan dua facor unuk percenas besar dar varans sampe masng-masng varabe. PENAKSIRAN PARAMETER DENGAN METODE LIKELIHOOD Jka fakor umum F dan fakor spesfkε dapa dasumskan berdsrbus norma, maka penaksran maksmum kehood dar fakor oadng dan varans spesfk dapa dperoeh. Keka X F dan ε berdsrbus norma gabungan, maka observas µ = LF + ε adaah norma dan memk benuk fungs kehood: L Σ = Σ rσ ( x x )( x x ) + n x x = np n n ( µ, ) ( π ) exp ( µ )( µ ) ( n) p ( n) n = ( π ) Σ exp rσ x x x x = ( )( ) p ( π ) Σ exp ( x µ ) Σ ( x µ ) (9-3-9) Yang berganung pada L dan Ψ dengan Σ = LL + Ψ. Mode n mash beum erdefns dengan bak karena banyaknya phan L. Agar L erdefns dengan bak, maka dengan cara mebakan konds keunkan/keunggaan pada proses perhungan, yau : L Ψ L = (9-3-) Dmana adaah marks dagona. Teorema 9. Msakan, X X n adaah sampe acak dar N p (, ) X,..., µ Σ dmana Σ = LL + Ψ adaah marks kovarans dar fakor umum (m), sehngga dperoeh penaksr maksmum

6 kehood L, ψ dan µ = x dengan memaksmumkan persamaan (9-3-9) erhadap marks dagona ˆ ˆ ˆ ˆ L Ψ L =. Dengan demkan dperoeh penaksr Lkehood unuk komunaas h L + m = + + unuk =,,...,p (9-3-) dengan propors ke- erhadap varans sampe oa ξ ˆ + ˆ ˆ ( ) p = s + s s pp Buk: (9-3-) ˆ h adaah : Dengan menggunakan sfa nvaran dar penaksr maksmum kehood, fungs L dan Ψ mempunya penaksr dengan fungs yang sama yau L ˆ dan Ψ ˆ. Sama hanya dengan komunaas maksmum Lkehood h h + + L+ = mempunya penaksr L+ m = + +. m Sandarsas vekor acak X Marks sandar devas V σ L σ L = M M O M L σ pp σ L σ Z V ( X µ ) dengan V L = = M M O M L σ pp maka Z akan berdsrbus N (,) p ρ = V V = ( V L)( V L)' + V ΨV (9-3-4) maka penaksr kehood dar ρ adaah = Vˆ L Vˆ L + Vˆ Ψˆ Vˆ ˆ ρ ( ˆ)( ˆ)' = Lˆ Lˆ ' + Ψˆ (9-3-5)

7 Dar proses sandarsas X dperoeh : = L *. Marks oadng L V L, = ( ). Marks varans khusus Ψ = V Ψ V. Sedangkan penaksr Lkehood ρ adaah : Aau : v. ˆ ρ = ( Vˆ Lˆ )( Vˆ Lˆ ) + Vˆ Ψ ˆ Vˆ ρ = L ' + ψ L Propors fakor ke- erhadap varans sampe oa sandarsas ξ * * * p ( ) ˆ + ˆ ˆ = p Basanya has penean-penean yang dakukan daanya eah dsandarsas dan marks koreas sampe R danass. Marks ssa ddefnskan sebaga sesh dar koreas sampe R dengan na-na aksran yang dperoeh. ˆ ˆ Marks ssa = R LL Ψ ˆ (9-3-6) Exampe 9.5 Perhakan exampe 8.5 dan 9.4. dengan mode fakor m= dan gunakan meode maxmum kehood. Penaksr fakor oadng, komunaas, varans spesfk dan Propors fakor erhadap varans sampe oa sandarsas deaskan pada abe R = Tabe 9.3

8 Varabe Meode Maxmum kehood Esmas fakor oadng Varans spesfk Meode komponen uama Esmas fakor oadng Varans spesfk F F Ψ = h F F Ψ = h.aed Chemca.du Pon 3.Unon Carbde 4.Exxon 5.Texaco Propors erhadap varans sampe oa sandarsas Marks ssa maxmum kehood adaah.5 R L ˆL ˆ' Ψ ˆ = Marks ssa komponen uama adaah.7 R L ˆL ˆ' Ψ ˆ =

9 eemen-eemen dar marks ssa maksmum kehood ebh kec dar marks ssa pada meode komponen uama. oeh karena u, pendekaan menggunakan meode maxmum kehood ebh bak. Namun, ka dha dar propors kumuafnya maka meode komponen uama ebh duamakan karena nanya yang ebh besar dbandngkan dar meode maksmum kehood. MENGUJI JUMLAH FAKTOR UMUM Dengan asums popuas berdsrbus norma, maka akan dakukan u mode yang sesua. Msakan daam hpoess erdapa m buah fakor umum, maka dakukan penguan: H H : : * = = LL' + ψ Dbawah H, erbaas unuk mencapa benuk H, dengan fungs Lkehood yang dmaksmumkan dperoeh ˆ µ = x dan ˆ ˆ ˆ Σ = LL + Ψ ˆ dmana ˆL dan ˆΨ adaah penaksr Lkehood dar L dan. Ψ Sask u unuk u raso Lkehood adaah: n Λ = n n....(9-3-7) S n dengan deraa kebebasan v v ( ) { ( ) ( )} = p p + p m + m m = {( p m) p m} Bare menunukkan bahwa dapa dakukan aproksmas ch-kuadra erhadap dsrbus sampe pada persamaan (9-3-7) dengan cara menggankan na n dengan fakor koreks n--(p+4m+5)/6. Sehngga dengan menggunakan fakor koreks Bare ka oak H dengan ngka snfkans α, ka { n ( p + 4m + 5) / 6} n > χ ( v v ); α S n

10 L L' + Ψ { n ( p + 4m + 5) / 6} n > χ( v v ); α S n Daam mengmpemenaskan penguan dengan persamaan d aas, unuk m facor umum ddapa dengan cara membandngkan varan yang dperumum L L'+ ψ dengan S n. ka n besar dan m reave kec dar p, basanya H doak. Maka harus dgunakan permbangan an daam memh umah facor m. Exampe 9.7 Pada exm.9.5 daa sock-prce eah danass dengan maxmum kehood (m=). msakan marx ssa dar sous dua facor eah mencukup. U hpoess H : = LL' + ψ, dengan m = dan α =. 5 L L ' + Ψ R = = = dengan menggunakan Bare s koreks,

11 L L' + Ψ n = n(.65) =. 6 6 { n ( p + 4m + 5) / 6} S n [( p m) p m] = [(5 ) 5 ] = χ (.5) = 3.84 oak H dengan ngka snfkans α, ka { n ( p + 4m + 5) / 6} n > χ ( v v ); α S n.6<3.84 sehngga H derma.