1 Pendahuluan pdp 2. 4 Persamaan Difusi Prinsip Maksimum Fungsi Green Metoda separasi variable, recall...

Transkripsi

1 Contents 1 Pendahuluan pdp 2 2 Persamaan Type Hiperbolik Persamaan Transport Metoda karakteristik Koefisien tak konstan Persamaan Gelombang Energi Well-posed problem Metoda Beda Hingga pada Persamaan Tipe Hiperbolik Persamaan Transport Metode Courant-Isaacson-Rees (FTBS, upwind) Metode Richardson Metode Lax Metode Lax - Wendroff One Step Persamaan Gelombang Persamaan Difusi Prinsip Maksimum Fungsi Green Metoda separasi variable, recall Metode beda hingga bagi persamaan difusi Metode FTCS (Forward Time Center Space) Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space) Metode Crank - Nicholson Metode - θ Soal-soal Persamaan Laplace & Poisson Prinsip maksimum dan ketunggalan solusi persamaan Laplace Persamaan Laplace pada domain persegi panang Rumus Poisson Formula Green bagi solusi persamaan Laplace Metode beda hingga bagi persamaan Laplace 2D Metode langsung Metode Iterasi

2 Bab 1 Pendahuluan pdp Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial bagi fungsi peubah banyak u(x, y, ). Orde dari pdp adalah turunan tertinggi yang muncul pada pdp tersebut. Untuk fungsi dua peubah u(x, y) bentuk umum pdp orde satu adalah: F (x, y, u(x, y), u x (x, y), u y (x, y)) = F (x, y, u, u x, u y ) = 0, (1.0.1) sedangkan bentuk umum pdp orde dua adalah: F (x, y, u, u x, u y, u xx, u xy, u yy ) = 0. (1.0.2) Solusi dari pdp adalah fungsi u(x, y) yang memenuhi persamaan diferensial tersebut, untuk suatu daerah di bidang xy. Pada pencarian solusi persamaan diferensial biasa, kadang kala variabel bebas dan variable tak bebas boleh ditukar, misalnya mencari solusi du dx = u3. Untuk persamaan diferensial parsial hal ini tidak diperbolehkan. Peran variabel bebas dan variabel tak bebas tak dapat ditukar. Berbagai persamaan diferensial parsial yang penting 1. u x + u t = 0 (persamaan transport) 2. u x +uu t = 0 (persamaan Burgers, merupakan bentuk khusus pers. Buckley-Leverett) 3. u t = ku xx (persamaan panas, persamaan difusi) 4. u tt c 2 u xx = 0 (persamaan gelombang) 5. u xx + u yy = 0 u = 0 (persamaan Laplace) Semua pdp pada contoh di atas adalah pdp linier, kecuali pdp no.3. Klasifikasi pdp Perhatikan bentuk umum persamaan diferensial parsial orde-2 berikut Au xx + 2Bu xy + Cu yy = F (x, y, u, u x, u y ). (1.0.3) Persamaan diferensial dikatakan bertipe 1. eliptik ika AC B 2 > 0, 2

3 BAB 1. PENDAHULUAN PDP 3 2. parabolik ika AC B 2 = 0, 3. hiperbolik ika AC B 2 = 0. Tunukkan bahwa persamaan difusi u t = ku xx bertipe parabolik, persamaan gelombang u tt = c 2 u xx bertipe hiperbolik. persamaan Laplace u xx + u yy = 0 bertipe eliptik, Persamaan diferensial yang bertipe sama mempunyai perilaku solusi yang serupa. Oleh karena itu pada kuliah ini kita akan mempelaari perilaku solusi persamaan bertipe parabolik melalui bentuk kanoniknya, yaitu persamaan difusi. Begitu pula dengan perilaku solusi persamaan tipe hiperbolik melalui persamaan gelombang, dan perilaku solusi persamaan tipe eliptik melalui persamaan Laplace. Definisi Suatu operator L dikatakan linier ika L(u + v) = Lu + Lv, and L(cu) = clu, (1.0.4) untuk setiap fungsi u, v dan untuk setiap bilangan real c. Suatu pdp berbentuk Lu = 0 dikatakan linier ika L operator linier. Contoh Akan dibuktikan bahwa persamaan difusi adalah pdp linier. Persamaan difusi dapat dituliskan dalam bentuk Lu = 0, dengan operator L = t k xx. Selanutnya L(u + v) = ( t k xx )(u + v) = t u k xx u + t v k xx v = Lu + Lv. Coba buktikan bahwa persamaan transport dan persamaan gelombang adalah uga pdp linier. Semua pdp pada contoh di atas dikatakan homogen, karena dapat dituliskan dalam bentuk Lu = 0. Sedangkan u x +u t = x adalah pdp tak homogen. Bentuk umum pdp tak homogen: Lu = g, dengan g 0. Contoh Buktikan prinsip superposisi solusi pdp linier. Untuk suatu pdp linier Lu = 0, dengan L operator linier, maka berlaku prinsip superposisi solusi. Jika u 1 dan u 2 masing-masing solusi, maka αu 1 + βu 2, dengan α, β R uga merupakan solusi. 2. Jika u 1 solusi pdp linier tak homogen Lu = g untuk suatu g, sedangkan u 0 adalah solusi pdp homogennya Lu = 0, maka u 1 + u 0 solusi pdp yang mana? Buktikan awab Anda. 3. Perhatikan bahwa pdp berikut dapat dicari solusinya dengan cara persamaan diferensial biasa. (a) u x = x

4 BAB 1. PENDAHULUAN PDP 4 (b) u xx = 0 (c) u xx + u = 0 (d) u xy = 0 4. (a) Cari semua polinom deraat satu berbentuk p(x, y) = ax+by+c yang memenuhi u xx + u yy = 0. (b) Cari semua polinom homogen deraat dua berbentuk p(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 yang memenuhi u xx + u yy = 0. Sketsakan solusi polinom deraat dua yang relatif sederhana. Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa solusi dari pdp memuat bukan hanya kon stanta sebarang melainkan fungsi sebarang. 5. Buktikan bahwa u(x, t) = f(bx at), untuk sebarang fungsi f, memenuhi persamaan transport au x + bu t = 0. Misalkan diketahui a = 2, b = 1, dan { 1, 0 < x < 3 u(x, 0) = f(x) = 0, untuk x lainnya Sketsakan u(x, 0), u(x, 1), u(x, 2) pada satu sumbu koordinat. Amati apa yang teradi. Cari solusi dari u = 0 pada persegi satuan [0, 1] [0, 1] yang memenuhi syarat batas u(x, 1) = sin πx dan u = 0 pada ketiga sisi lainnya. (Petunuk: Mengingat syarat batasnya, cobalah solusi berbentuk u(x, y) = a(y) sin πx.) Catatan: Jika disubstitusikan akan diperoleh solusi u(x, y) = (sinh πy/ sinh π) sin πx. Gambar di samping menunukkan permukaan solusi persamaan Laplace u(x, y). Plot solusi persamaan Laplace dengan syarat batas tipe Dirichlet dapat dibayangkan berupa permukaan membran yang tepinya dibengkokkan mengikuti syarat batas Dirichlet yang diberikan. Diketahui persamaan Laplace beserta syarat batasnya u xx + u yy = 0, pada pers. pan. [0, 2] [0, 1] u x (0, y) = 0, u x (2, y) = 2, u y (x, 0) = 0, u y (x, 1) = 1, Tentukan solusi u(x, y) berbentuk polinom berderaat-2 yang memenuhi persamaan Laplace beserta syarat batasnya. Catatan: Plot solusi masalah ini diberikan pada gambar di samping. Yakinilah bahwa permukaan pada gambar di samping memenuhi keempat syarat batas yang diberikan. Soal Latihan linier? 1. Manakah diantara operator berikut yang merupakan operator (a) Lu = u x + xu y (b) Lu = u x + uu y (c) Lu = u x + u 2 y (d) Lu = u x + u y + 1

5 BAB 1. PENDAHULUAN PDP 5 (e) Lu = 1 + x 2 (cos y)u x + u yxy [arctan(x/y)]u 2. Buktikan bahwa u(x, y) = f(x)g(y) adalah solusi dari pdp uu xy = u x u y untuk sebarang fungsi f dan g yang diferensiabel. 3. Buktikan melalui substitusi langsung bahwa u n (x, y) = sin nx sinh ny adalah solusi dari u xx + u yy = 0 untuk setiap n > Perhatikan persamaan Laplace u xx + u yy = 0 dengan syarat batas u x (0, y) = 0, u x (1, y) = 1 u y (x, 0) = 0, u y (x, 1) = 1. Carilah solusi eksak masalah di atas yang berbentuk polinom deraat dua 5. (Pembuktian solusi pdp dengan substitusi langsung) Soal-soal Kreyszig 11.1 no 2-13, 14(b). 6. (Pdp yang dapat diselesaikan sebagai ode) Soal-soal Kreyszig 11.1 no

6 Bab 2 Persamaan Type Hiperbolik 2.1 Persamaan Transport Persamaan transport, dikenal uga sebagai persamaan konveksi, seringkali muncul pada masalah transport dari berbagai substansi, misalnya polutan, gas, atau fluida lainnya. Bentuk umum persamaan transport adalah sbb: aη t + bη x = 0. (2.1.1) Berikut ini akan diturunkan model persamaan transport melalui konservasi massa. Perhatikan fluida yang mengalir dengan kecepatan u pada sebuah kanal dengan penampang konstan. Misalkan η(x, t) menyatakan ketinggian fluida pada posisi x saat t. Perhatikan massa fluida pada domain dengan batas kiri x dan batas kanan x + x. Dalam selang waktu t [akumulasi] = [laumasuk] [laukeluar] u ( x, t) x x u b (η t+ t η t ) xb = ((uη) x (uη) x+ x ) b t Jika dibagi dengan b x t, dan diambil limit x 0, t 0, akan diperoleh η t + (uη) x = 0. (2.1.2) Persamaan (2.1.2) dikenal sebagai persamaan konservasi massa. Latihan: Coba turunkan persamaan konservasi massa ika dasar kanal tak rata dan topografinya h(x) (lebar kanal tetap b). Jika fluks u konstan, maka persamaan (2.1.2) berubah menadi η t + uη x = 0, suatu persamaan transport dalam variabel η(x, t) dengan koefisien konstan u. Metoda integral Sebagai alternatif, persamaan transport dapat uga diturunkan melalui formulasi integral. Massa total fluida pada domain pengamatan [x 0, x 1 ] adalah M = x1 x 0 η dx. Misalkan u(x, t) menyatakan kecepatan fluida di posisi x saat t. Lau aliran fluida keluar, atau fluks di posisi x i adalah η(x i, t)u(x i, t), dengan i = 0, 1. Dengan demikian lau perubahan massa fluida pada domain pengamatan [x 0, x 1 ] adalah lau perubahan =fluks masuk - fluks keluar 6

7 BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 7 d dt x1 x 0 η(x, t) dx = η(x 1, t)u(x 1, t) η(x 0, t)u(x 0, t). (2.1.3) Persamaan (2.1.3) merupakan persamaan konservasi massa dalam bentuk integral. Untuk memperoleh bentuk lain dari konservasi massa, maka persamaan di atas diintegralkan terhadap waktu dari t 0 ke t 1 dan menghasilkan x1 x 0 η(x, t 1 )dx x1 x 0 η(x, t 0 )dx = t1 t 0 η(x 0, t)u(x 0, t)dt t1 t 0 η(x 1, t)u(x 1, t)dt. (2.1.4) Assumsikan η(x, t) dan u(x, t) merupakan fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka dan η(x, t 1 ) η(x, t 0 ) = t1 t 0 t η(x 1, t)dt η(x 1, t)u(x 1, t) η(x 0, t)u(x 0, t) = x1 x 0 (η(x, t)u(x, t)) dx. x Selanutnya (2.1.4) dapat dituliskan sebagai t1 x1 { } η(x, t) + (η(x, t)u(x, t)) dxdt = 0. t x t 0 x 0 Mengingat persamaan di atas berlaku untuk sebarang selang [x 0, x 1 ] dan sebarang selang waktu [t 0, t 1 ], maka integrannya haruslah nol, atau η t + (uη) x = 0. (2.1.5) Persamaan (2.1.5) merupakan konservasi massa dalam bentuk diferensial. Dalam hal lau aliran u(x, t) sebanding dengan η(x, t), maka persamaan konservasi massa menadi η t + ηη x = 0 (2.1.6) Persaman Burger terkenal akan solusinya berupa gelombang keut (shock wave). Persamaan Burger merupakan bentuk khusus dari persamaan Buckley-Leverett, suatu model bagi aliran fluida dua phasa, misal air dan minyak. Namun kedua persamaan di atas tidak akan dibahas dalam kuliah ini. Di kuliah ini kita akan membahas kasus bila u(x, t) = c konstan, dan persamaan konservasi massa menadi η t + c η x = Metoda karakteristik Untuk pembahasan selanutnya kita menggunakan persamaan transport (koefisien konstan) dengan bentuk umum berikut (perhatikan adanya perubahan notasi η u) au x + bu t = 0, (2.1.7) dengan konstanta a, b bilangan real sebarang. Perhatikan bahwa persamaan transport di atas dapat dituliskan sebagai turunan berarah D v u = v u = 0, dengan vektor arah ( ) a v =. b

8 BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 8 Ini berarti u(x, t) solusi (3.1.1), ika dan hanya ika turunan berarah dari u(x, t) pada arah v = (a b) T sama dengan nol! Perhatikan garis-garis yang seaar dengan vektor v pada gambar berikut. Persamaan garis-garis seaar itu adalah t = b a x C bx at = C. Garis-garis ini disebut sebagai garis karakteristik. t bx-at=c x Perhatikan tiga pernyataan equivalen berikut. 1. u(x, t) solusi au x + bu t = D v u = 0 dengan v = (a, b) T 3. Nilai fungsi u(x, t) konstan selama x, t terletak pada satu garis karakteristik. Point 3 akan dielaborasi. Nilai fungsi u(x, t) konstan selama x, t terletak pada satu garis karakteristik bx at = C. Jadi u(x, t) hanya bergantung pada nilai C pada persamaan garis karakteristik tersebut, atau u(x, t) hanya bergantung pada bx at, sehingga solusi pers transport au x + bu t = 0 adalah u(x, t) = f(bx at), dengan f suatu fungsi sebarang. Fungsi sebarang f dapat diperoleh ika diberikan syarat tambahan. Syarat tersebut bisa berupa syarat awal atau syarat batas. Soal Latihan Buktikan bahwa u(x, t) = f(bx at), untuk sebarang fungsi f, memenuhi persamaan transport au x + bu t = 0. Misalkan diketahui a = 2, b = 1, dan { 1, 0 < x < 3 u(x, 0) = f(x) = 0, untuk x lainnya Sketsakan u(x, 0), u(x, 1), u(x, 2) pada satu sumbu koordinat. Amati apa yang teradi. 2. Diberikan suatu persamaan transport 3u x 4u t = 0 dengan syarat awal { 4 x u(x, 0) = 2, x < 2 0, x > 2 (a) Tentukan persamaan garis karakteristiknya lalu gambarkan. (b) Sketsakan u(x, 0), u(x, 1), u(x, 2), u(x, 3) pada satu sumbu koordinat. 3. Tentukan solusi persamaan transport 2u x u t = 0, dengan syarat awal { sin πx 0 x 1 u(x, 0) = 0 untuk x lainnya. Sketsakan u(x, 0), u(x, 1), u(x, 2) pada satu sumbu koordinat. Tentukan rumusan solusi u(x, t). Gunakan Maple untuk memplot u(x, 0), u(x, 1), u(x, 2) pada satu sumbu koordinat (Pastikan hasilnya sesuai). 4. Tentukan solusi persamaan transport u x + u t = 0, dengan syarat batas { 1 t 0 u(0, t) = 0 untuk t lainnya. Sketsakan u(x, 0), u(x, 1), u(x, 2) pada satu sumbu koordinat.

9 BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 9 5. Perhatikan pdp 2u t + u x = x. Persamaan di atas dapat ditulis sebagai Lu = x, dengan operator diferensial L = 2 t + x. (a) Buktikan bahwa operator L adalah operator linier, sehingga pdp yang bersesuaian uga merupakan pdp linier. (b) Tentukan satu solusi pdp tak homogen di atas. Selanutnya mengingat bagi pdp linier berlaku sifat: solusi umum pdp tak homogen = solusi umum pdp homogen + satu solusi pdp tak homogennya, tentukan solusi umum pdp di atas. 6. Perhatikan persamaan transport au x + bu t = 0. Terapkan transformasi koordinat, yang mengubah variabel bebas (x, t) menadi variabel bebas baru (v, z) berikut v = ax + bt, z = bx at. Gunakan aturan rantai untuk menyatakan u x dalam turunan-turunan u terhadap variabel bebas baru: u v dan u z. Lakukan hal yang sama terhadap u t. Substitusikan kedua hasilnya ke dalam persamaan transport, dan tunukkan bahwa persamaan transport dalam variabel baru menadi u v = 0. Selanutnya tunukkan bahwa solusinya adalah u(v, z) = f(z) atau u(x, t) = f(bx at), untuk sebarang fungsi f. Metoda pencarian solusi dengan cara di atas, dikenal dengan nama metoda koordinat, dan bentuk pdp yang mana setelah transformasi koordinat dapat diselesaikan dengan pengintegralan langsung tsb dikenal sebagai bentuk normal. Untuk soal-soal solusi pdp melalui bentuk normal, lihat Kreyszig 8 ed Subbab 11.4 no Koefisien tak konstan Soal Latihan Tentukan solusi u x + tu t = 0, u(0, t) = t 3. Periksa awabnya dengan substitusi langsung. 2. Tentukan solusi u x + 2xt 2 u t = Tentukan solusi (1 + x 2 )u x + u t = 0. Sketsakan beberapa kurva karakteristiknya. 4. Tentukan solusi 1 x 2 u x + u t = 0, u(0, t) = t. 5. Tentukan solusi au x + bu y + cu = Tentukan solusi u x + u y + u = e x+2y, u(x, 0) = Gunakan metoda koordinat untuk menentukan solusi persamaan differensial u x + 2u y + (2x y)u = 2x 2 + 3xy 2y Persamaan Gelombang Getaran senar gitar mengikuti persamaan gelombang (bentuk yang paling sederhana) berikut u tt = c 2 u xx, (2.2.1) dengan c 2 = T ρ, dimana T gaya tegang senar, dan ρ rapat massa tali. Di sini u menyatakan simpangan senar dari kondisi setimbang, lihat Gambar Penurunan persamaan gelombang tali dapat dilihat antara lain pada Strauss 1.3 hal. 11. Selain itu,

10 BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 10 u x Gambar 2.2.1: Fungsi u(x, t) menyatakan simpangan di posisi x saat t diukur dari kondisi setimbang. persamaan (3.2.1) uga merupakan model perambatan gelombang air, dengan c = gh, dan H menyatakan kedalaman air. Di sini c menyatakan cepat rambat gelombang air. Solusi persamaan (3.2.1) dapat diperoleh dengan beberapa cara sesuai dengan domain keberlakuan persamaan gelombang tersebut. Solusi persamaan (3.2.1) pada domain R dapat diperoleh dengan metode d Alembert. Misalkan u merupakan suatu fungsi yang bergantung pada variabel baru ξ dan η, dengan ξ dan η dinyatakan sebagai berikut, sehingga dapat diperoleh ξ = x + ct dan η = x ct, x = ξ + η ; t = c( ξ η ), u tt = c 2 (u ξξ 2u ξη + u ηη ), u xx = u ξξ + 2u ξη + u ηη. Dengan demikian, persamaan (3.2.1) menadi 4u ξη = 0. Solusi dari (2.2.2) adalah u(ξ, η) = F (ξ) + G(η), (2.2.2) u(x, t) = F (x + ct) + G(x ct), (2.2.3) dengan F dan G adalah sebarang fungsi differensial. Misal ditambahkan syarat awal sebagai berikut, { u(x, 0) = ϕ(x) u t (x, 0) = ψ(x). Substitusikan (2.2.3) ke (2.2.4) diperoleh : { F (x) + G(x) = ϕ(x) c(f (x) G (x)) = ψ(x) { F + G = ϕ F G = 1 c ψ, (2.2.4) sehingga akan didapatkan, F = 1 2 ( ϕ + ψ ) c ; G = 1 2 ( ϕ ψ ). c Jadi, F (s) = 1 2 ϕ(s) + 1 2c s 0 ψ(r)dr + k 1,

11 BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 11 sehingga, G(s) = 1 2 ϕ(s) 1 2c s 0 ψ(r)dr + k 2, u(x, t) = 1 2 {ϕ(x + ct) + ϕ(x ct)} + 1 2c x+ct x ct Persamaan (2.2.5) dikenal sebagai rumus d Alembert. ψ(r)dr. (2.2.5) Soal: Plot kurva-kurva solusi persamaan gelombang u tt c 2 u xx = 0 dengan tiga tipe pilihan syarat awal berikut. { 1 x a. u(x, 0) = φ(x) = 2, untuk x 1 0, untuk x lainnya dan u t(x, 0) = 0. b. u(x, 0) = 0, dan u t (x, 0) = ψ(x) = c. u(x, 0) = φ(x), dan u t (x, 0) = ψ(x). Amati max x u(x, t). { 1, untuk x 1 0, untuk x lainnya. Gambar 2.2.2: Garis-garis karakteristik persamaan gelombang. x-ct t (x,t) (a) x+ct x x+ct=xo t xo (b) x-ct=xo Gambar 2.2.3: (a). Daerah kebergantungan (domain of dependence) dari titik (x, t), (b). Daerah pengaruh (domain of influence) dari titik (x 0, 0). x Perhatikan bahwa rumus solusi d Alembert berlaku untuk persamaan gelombang pada domain tak hingga. Apabila domain keberlakuan persamaan gelombang hanya berupa setengah selang, misalnya (0, ) atau (, 0) maka rumus d Alembert dapat dimodifikasi. Diskusi lengkap mengenai hal ini ada pada Bab 3.2 Strauss. Apabila domain keberlakuan persamaan gelombang adalah berupa domain berhingga, maka cara penyelesaiannya adalah menggunakan metoda separasi variabel, Bab 4 Strauss.

12 BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 12 Jika dipunyai syarat batas u(0, t) = 0 (tipe Dirichlet) maka syarat awal u(x, 0) = ϕ(x) pada (0, ) diperluas menadi fungsi ganil. Selanutnya karena pada persamaan gelombang, gelombang menalar mengikuti garis karakteristik, kita dapatkan sketsa gelombang untuk t = t 0, lihat Gambar 1.4. Hasil tersebut sesuai dengan kondisi gelombang yang merambat pada tali dengan uung kiri terikat. Jika dipunyai syarat batas u x (0, t) = 0 (tipe Neumann) maka syarat awal u(x, 0) = ϕ(x) pada (0, ) diperluas menadi fungsi genap. Selanutnya karena pada persamaan gelombang, gelombang menalar mengikuti garis karakteristik, kita dapatkan sketsa gelombang untuk t = t 0, lihat Gambar 1.5. Hasil tersebut sesuai dengan kondisi gelombang yang merambat pada tali dengan uung kiri bebas Energi Berikut ini akan ditunukkan bahwa solusi (3.2.1) memenuhi kekekalan energi. Perhatikan bahwa energi kinetik sistem KE = 1 2 ρ u 2 t dx, sedangkan energi potensialnya = T pertambahan panang, sehingga P E = T (ds dx) = 1 2 T u 2 xdx. sehingga energi totalnya adalah Kemudian, E = KE + P E = 1 2 de dt (ρu 2 t + T u 2 x)dx. = (ρu t u tt + T u x u xt )dx = (c 2 ρu t u xx + T u x u xt )dx = ( T u tx u x + T u x u xt )dx de = 0. dt yang berarti sepanang evolusi energi E bernilai konstan. (Strauss, Section 2.2 no. 5) Periksa perubahan energi E(u) untuk u(x, t) solusi persamaan gelombang yang memperhitungkan faktor redaman u tt = c 2 u xx ru t, r > Well-posed problem Suatu persamaan diferensial parsial dengan syarat awal dan syarat batas (atau syaratsyarat lainnya) dikatakan well-posed ika mempunyai solusi tunggal (existence and uniqueness) dan solusi tersebut stabil terhadap perubahan nilai awal (stability). Contoh Perhatikan persamaan gelombang u tt c 2 u xx = 0, untuk x R, t > 0 dengan syarat awal u(x, 0) = Φ(x), u t (x, 0) = Ψ(x) bersifat well-posed. Penelasan, mengingat adanya rumus solusi d Alembert dari persamaan gelombang, maka elas memenuhi existence &

13 BAB 2. PERSAMAAN TYPE HIPERBOLIK 13 uniqueness. Berikut adalah sekilas mengenai kestabilan solusi terhadap syarat awal u(x, 0) = Φ(x), u t (x, 0) = 0. Misalkan u i (x, t), i = 1, 2 berturut-turut adalah solusi persamaan gelombang dengan syarat awal u(x, 0) = Φ i (x), i = 1, 2. (u 2 u 1 )(x, t) = 1 2 (Φ 2 Φ 1 )(x ct) (Φ 2 Φ 1 )(x + ct) Kestabilan dipenuhi ika untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sehingga Φ 2 Φ 1 < δ = u 2 u 2 < ε. Perhatikan sistim persamaan linier A m n U n 1 = b m 1. Jika m > n yang berarti umlah baris lebih besar dari umlah kolom, maka SPL di atas bersifat overdetermined, adi SPL tak mempunyai solusi. Jika m < n yang berarti umlah baris lebih kecil dari umlah kolom, maka SPL di atas bersifat underdetermined, adi SPL tak mempunyai tak hingga banyak solusi. Jika m = n dan matriks A bersifat singular (det A = 0), maka SPL tak punya solusi. Jika m = n dan nilai eigen dari matriks A kecil sekali, maka SPL tidak memenuhi konsep kestabilan. Untuk setiap kasus yang diuraikan di atas, SPL bersifat ill-posed. Sebagai catatan: masalah difusi untuk t 0 bersifat well-posed, namun backward-diffusion tidak.

14 Bab 3 Metoda Beda Hingga pada Persamaan Tipe Hiperbolik Sebuah persamaan diferensial apabila didiskritisasi dengan metode beda hingga akan menadi sebuah persamaan beda. Jika persamaan diferensial parsial mempunyai solusi eksak u(x, t), maka persamaan beda akan mempunyai solusi hampiran u(x, t n ). Kaitan antara pdp dengan persamaan beda, dan solusi u(x, t) dan solusi hampiran u(x, t n ) tak lain adalah konsep kekonsistenan, kestabilan, dan kekonvergenan suatu persamaan beda, lihat Gambar kekonsistenan kekonvergenan Gambar 3.0.1: Skema hubungan antara pdp dan persamaan beda serta solusi-solusinya. 3.1 Persamaan Transport Sebagai langkah awal pengenalan metoda beda hingga, akan digunakan pdp yang paling sederhana yaitu persamaan transport u t + du x = 0, untuk (x, t) [0, L] [0, T ] (3.1.1) beserta syarat awalnya u(x, 0) = f(x), untuk 0 x L (3.1.2) yang telah kita ketahui mempunyai solusi eksak u(x, t) = f(x dt). Persamaan beda hingga dikatakan stabil ika persamaan beda menghasilkan solusi u n yang berhingga. Persamaan beda dikatakan konsisten terhadap pdpnya ika selisih antara persamaan beda dengan pdpnya (suku-suku truncation error) menuu nol ika lebar grid menuu nol, x 0, t 0. Persamaan beda hingga dikatakan konvergen ika solusi 14

15 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 15 persamaan beda mendekati solusi pdp ika lebar grid menuu nol, x 0, t 0. Teorema Equivalensi Lax: Untuk suatu masalah nilai awal yang well-(properly-)posed, ika suatu persamaan beda konsisten dan stabil, maka persamaan beda tersebut pastilah konvergen Metode Courant-Isaacson-Rees (FTBS, upwind) Perhatikan selang [0, L] yang dipartisi dengan ukuran x dengan titik-titik partisi x = ( 1) x, untuk = 1, 2,, Nx. Selang [0, T ] dipartisi dengan ukuran t dengan titik-titik partisi t n = (n 1) t, untuk n = 1, 2,, Nt. Akan dicari u(x, t n ) untuk = 1, 2,, Nx, dan n = 1, 2,, Nt. Akan digunakan notasi u n u(x, t n ). Metode Courant-Isaacson-Rees tak lain adalah Metode FTBS (Forward Time Backward Space) dikenal uga sebagai metode upwind. sehingga persamaan beda untuk persamaan transport (3.1.1) adalah: atau u n+1 u n t + d un un 1 x = 0. (3.1.3) u n+1 = (1 C)u n + Cu n 1, (3.1.4) dengan C d t x suatu bilangan Courant. Metode ini memiliki akurasi O( t, x). Gambar 3.1.1: Stencil metoda upwind untuk persamaan transport. Perhatikan domain perhitungan [0, L] [0, T ] yang telah dipartisi. Syarat awal (3.1.2) telah diketahui sehingga u 1, untuk = 1, 2,, Nx telah diketahui. Untuk satu time-step berikutnya dengan kita dapat menghitung u 2, untuk = 2,, Nx, namun u2 1 tak dapat dihitung. Ini berarti untuk pendekatan numerik ini kita membutuhkan syarat batas kiri. Jika digunakan syarat batas kiri u(0, t) = 0 atau u n 1 = 0 untuk n = 1, 2,, Nt, maka FTBS dapat digunakan untuk menentukan u n, untuk setiap = 1, 2,, Nx, n = 1, 2,, Nt. Perhatikan bahwa FTBS pada persamaan transport tidak membutuhkan syarat batas kanan. Catatan: di sini syarat batas kiri kita tambahkan melulu untuk keperluan perhitungan numerik. Pilihan untuk syarat batas kiri tersebut tentu berragam. Jika kita ingin mensimulasikan situasi tertentu, pilihan syarat batas ini menadi hal yang penting untuk dicermati. Lihat soal-soal pada akhir bab ini.

16 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 16 Kestabilan: Metode berikut ini disebut metode kestabilan von Neumann 1 Substitusikan u n = ρn e ia ke dalam (3.1.4). Setelah dibagi dengan u n, akan diperoleh atau ρ = 1 C(1 e ia ). ρ = 1 C(1 cos a) ic sin a. Persamaan beda stabil ika dan hanya ika ρ < 1 atau ρ 2 = ( ) 1 2C sin 2 a (C sin a) 2 1, 1 4C ( sin 2 a 2 + 4C2 ) ( sin 4 a 2 + 4C2 sin 2 a 2 cos2 a 2 1, 4C sin 2 a C sin 2 a 2 + C cos2 a 2) 0, 4C(C 1) sin 2 a 2 0. Ketaksamaan terakhir dipenuhi untuk setiap a R ika dan hanya ika 0 C = d t x 1. Jadi, syarat kestabilan metode FTBS adalah 0 d t x 1. Konsistensi: Perhatikan ekspansi Taylor dari u n+1 dan u n 1 masing-masing di sekitar u n berikut. u n+1 = u n + t u t u n 1 = u n x u x n n t2 2 u t 2 n x2 2 u x 2 n +... (3.1.5) +... (3.1.6) Substitusikan (3.1.5) dan (3.1.6) ke dalam persamaan beda (3.1.4), dan setelah menggunakan hubungan 2 u t 2 = ( d u ) = d ( ) u = d 2 2 u t x x t x 2. akan diperoleh modified differential equation sebagai berikut: ( u n t + d u ) n x d(d t x) 2 n u x = 0. (3.1.7) Suku pertama pada (3.1.7) tak lain adalah persamaan transport yang akan diselesaikan. Suku kedua dan seterusnya pada (3.1.7) tak lain adalah suku tambahan yang kita dapatkan saat kita bekera dengan persamaan beda (3.1.4), dan disebut truncation term. truncation term = 1 2 d(d t x) 2 n u x 2 Perhatikan bahwa ika t 0 dan x 0, maka truncation term 0. Jadi metode FTBS konsisten terhadap persamaan transport. Catatan: Modified differential equation adalah persamaan yang diperoleh dari persamaan beda, yang mana beberapa sukunya diekspansikan ke dalam deret Taylor, sehingga akan ditemui suku-suku pada pdp semula. Suku-suku pada modified differential equation yang 1 Terdapat tiga metode untuk mengui kestabilan suatu persamaan beda, yaitu von Neumann stability analisis, metode matriks, dan discrete perturbation method.

17 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 17 tidak terdapat pada pdp semula disebut truncation term. Pengamatan lebih lanut, saat kita bekera dengan persamaan beda (3.1.4) sebenarnya kita bukan menyelesaikan persamaan transport (3.1.1) melainkan menyelesaikan modified differential equation (3.1.7). Suku pertama dari truncation term akan nol ika dan hanya ika d t = x (C = 1). Suku kedua dari truncation term adalah ( 1 3 d3 t d2 x t 1 ) 6 d x3 ) u xxx n dan akan bernilai nol ika C = 1. Ternyata hal ini uga berlaku untuk suku ketiga dan seterusnya pada truncation term. Jadi ika C = 1 persamaan beda (3.1.4) ekuivalen dengan (3.1.1). Dengan kata lain metode FTBS pada persamaan transport dengan C = 1 akan menghasilkan solusi eksak, dan uraian di atas adalah buktinya. Jika C < 1, maka suku pertama truncation term berupa suku difusi 2 u, dan akan menimbulkan error numerik berupa x2 damping Metode Richardson Metode Richardson biasa disebut sebagai Metode FTCS (Forward Time Center Space), akurasim metode ini O( t, x 2 ). Persamaan beda hingga untuk persamaan transport (3.1.1) adalah sebagai berikut: u n+1 u n t + d un +1 un 1 2 x Gambarkan stencil metode Richardson. = 0. (3.1.8) Kestabilan: Substitusikan u n = ρ n e ia ke dalam (3.1.8), kemudian dibagi dengan u n, maka persamaan (3.1.8) menadi: sehingga diperoleh ρ 1 t + d eia e ia 2 x ρ = 1 d t i sin a, x Perhatikan bahwa ρ > 1 untuk setiap a R, ini berarti metode FTCS / metode Richardson selalu tidak stabil Metode Lax Metode ini merupakan perbaikan dari metode Richardson, yang mana nilai dari u n diganti menadi rata-rata dari u n +1 dan un 1, sehingga u t n u x n = ( ) u n u n +1 + un 1 = un +1 un 1 2 x t = 0, + O( t), (3.1.9) + O( x 2 ). (3.1.10)

18 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 18 Substitusikan (3.1.9) dan (3.1.10) ke (3.1.1) sehingga diperoleh persamaan beda sebagai berikut: ( ) u n u n +1 + un 1 + d un +1 un 1 = 0. (3.1.11) t 2 x Akurasi metode ini O( t, x 2 ). Gambarkan stencil metode Lax. Kestabilan: Substitusikan u n = ρn e ia x ke dalam (3.1.11), sehingga diperoleh: ρ = 1 2 ( e ia x + e ia x) 1 2 C ( e ia x e ia x), dengan C = d t. Kemudian uga dapat diperoleh, x Jadi, ika C = d t x ρ = ρ = cos a x ic sin a x, cos 2 a x + C 2 sin 2 a x, 1 maka ρ 1 untuk setiap a, adi skema stabil. Konsistensi: Perhatikan ekspansi Taylor dari u n+1 dan u n ±1 masing-masing di sekitar u n berikut. u n+1 = u n + t u t u n ±1 = u n ± x u x n n t2 2 u t 2 n x2 2 u x 2 n +... (3.1.12) +... (3.1.13) Substitusikan (3.1.12) dan (3.1.13) ke dalam akan menghasilkan u n + t u t n t u t n t2 2 u t t2 2 u t 2 n n +... = u n x2 2 n u x ( C x u n x + 1 ) 3! ( x)3 3 n u x = 1 2 x2 2 n u x d t u n x 1 3! d t x2 3 u x 3 Perhatikan bahwa di sini berlaku pers. transport (3.1.1), maka 2 n u t 2 = d 2 2 n u x 2. Sehingga diperoleh modified difference equation berikut ( ) u t t + d u + 1 ( x 2 x2 C 2 1 ) 2 u x 2 n + O( x 3, t 3 ) (3.1.14) Jelas bahwa suku truncation term akan menuu nol ika x 0 dan t 0. Jadi persamaan beda (3.1.11) konsisten. n

19 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 19 Lebih auh dapat dibuktikan bahwa, suku pertama truncation term yang berorde-2: O( x 2 ) akan bernilai nol ika dan hanya ika C = 1. Begitu uga dengan suku-suku truncation term berorde lebih tinggi (cek!). Jika C < 1, suku berorde-2 tersebut akan menimbulkan efek difusi. Selain itu, suku-suku truncation term yang merupakan turunan orde genap akan memberikan efek error numerik berupa difusi atau damping, disipasi, sedangkan sukusuku yang merupakan turunan orde ganil akan memberikan efek error numerik berupa efek dispersi. Terdapat sebuah aturan umum yang mengatakan bahwa approksimasi orde-1 bagi t akan menghasilkan error numerik berupa difusi sedangkan aproksimasi orde-2 bagi t akan menghasilkan error numerik berupa dispersi. Pada uraian selanutnya akan dibahas metode beda hingga berorde Metode Lax - Wendroff One Step Pada metode ini digunakan hampiran sebagai berikut: u n+1 = u n + t u t n t2 u tt n + O( t3 ). (3.1.15) Kemudian dari persamaan transport dapat diperoleh bahwa u t = du x dan u tt = d 2 u xx, sehingga persamaan (3.1.15) menadi u n+1 = u n t du x n 1 2 t2 d 2 u xx n + O( t3 ). (3.1.16) Aproksimasi u x dan u xx dengan center difference sehingga diperoleh persamaan beda dari metode Lax-Wendroff One Step bagi persamaan transport sebagai berikut: u n+1 = u n C 2 ( u n +1 u n 1) + C 2 2 ( u n +1 2u n + u n ) 1 + O( t 3, x 3 ), (3.1.17) dengan C = d t x. Akurasi dari metode Lax - Wendroff One Step: O( t2, x 2 ). Gambar 3.1.2: Stencil metode Lax-Wendroff One Step untuk persamaan transport. Soal Latihan Implementasikan metoda upwind untuk persamaan u t + u x = 0 dengan syarat awal u(x, 0) = sin 8πx. Gunakan x = dan t = Gambarkan solusi numerik bersama-sama dengan solusi eksaknya saat t = 1 dan hasilkan Gambar Perhatikan bahwa metoda upwind memuat error berupa damping.

20 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 20 Gambar 3.1.3: Solusi numerik beserta solusi eksak dari metode upwind saat t = Buktikan syarat kestabilan metoda Lax-Wendroff: C = d t x 1. Tentukan suku pertama truncation term dari metoda Lax-Wendroff. Kerakan Soal di atas dengan menggunakan metoda Lax-Wendroff. Gambarkan solusi numerik bersama-sama dengan solusi eksaknya saat t = 1 dan hasilkan Gambar Perhatikan bahwa error damping berkurang, namun solusi numerik memiliki error phase yang cukup nyata. Gambar 3.1.4: Solusi numerik beserta solusi eksak dari metode Lax-Wendroff. 3. Terapkan metoda upwind dan metode Lax-Wendroff untuk mensimulasikan perambatan gelombang awal berupa gelombang persegi, dan hasilkan gambar seperti Gambar Perhatikan persamaan transport u t +bu x = 0, dengan b konstanta real sebarang yang tidak diketahui tandanya, dan syarat awal u(x, 0) = f(x). Perhatikan persamaan beda dengan akurasi orde satu berikut 1 t (un+1 i u n ) = b+ x (un i u n i 1) b x (un i+1 u n i ) dengan b + max(b, 0) dan b min(b, 0). Implementasikan persamaan beda di atas. Pilih sendiri syarat awal f(x).

21 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 21 Gambar 3.1.5: Perbandingan antara solusi eksak dan numerik dari metoda upwind (kiri) dan metode Lax-Wendroff (kanan) sesudah 25, 50 dan 75 timestep. (a) Jika b > 0, syarat batas apa yang diperlukan? pilih sendiri. Hasil apa yang Anda lihat? (b) Pertanyaan yang sama seperti di atas untuk b < 0. Berikut ini adalah metode-metode lainnya. Soal Latihan Metode Leapfrog memiliki akurasi O( t 2, x 2 ). Persamaan beda untuk persamaan transport (3.1.1) dengan metode ini adalah u n+1 u n 1 2 t + d un +1 un 1 2 x atau dapat ditulis sebagai berikut: u n+1 = u n 1 = 0, (3.1.18) C(u n +1 u n 1), dengan C = d t. Gambarkan stencil metoda Leapfrog. Buktikan bahwa syarat x kestabilan Metode Leapfrog adalah C = d t 1. Buktikan bahwa suku pertama x truncation term berupa dispersi (memuat suku u xxx ). Detailnya dapat dilihat pada Hoffmann hal (Metode Lax-Richtmyer two step) memiliki keakuratan O( t 2, x 2 ). Pada metode ini digunakan dua hampiran sebagai berikut: u n+2 = u n C(u n+1 +1 un+1 1 ), (3.1.19)

22 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 22 u n+1 = 1 2 (un +1 + u n 1) C 2 (un +1 u n 1), (3.1.20) dengan C = d t. Substitusikan (3.1.20) ke dalam (3.1.19) untuk memperoleh persamaan beda berikut x ini, u n+2 = u n C 2 (un +2 u n 2) + C2 2 (un +2 2u n + u n 2). (3.1.21) Perhatikan bahwa persamaan beda (3.1.21) tepat sama dengan persamaan beda dari metoda Lax-Wendroff untuk lebar selang 2 t dan 2 x, yaitu (3.1.17). Dengan demikian, pembahasan mengenai kestabilan, kekonsistenan, dll. pada metode ini sama persis dengan pembahasan pada metode Lax-Wendroff one step. Gambarkan stencil metode Lax - Richtmyer two step. 3.2 Persamaan Gelombang Perhatikan persamaan gelombang u tt c 2 u xx = 0, dengan syarat awal c 2 = T ρ (3.2.1) u(x, 0) = ϕ(x), u t (x, 0) = ψ(x). (3.2.2) Terapkan beda pusat pada kedua sukunya menghasilkan persamaan beda dengan akurasi O( t 2, x 2 ) berikut u n+1 2u n + un 1 t 2 atau dapat ditulis sebagai berikut: u n+1 dengan S = c2 ( t) 2 ( x) 2. = c 2 un +1 2un + un 1 x 2, (3.2.3) = S(u n +1 + u n 1) + 2(1 S)u n u n 1, (3.2.4) S Gambar 3.2.1: Stencil metode beda hingga untuk persamaan gelombang S S Perhatikan bahwa persamaan beda (3.2.4) membutuhkan dua baris syarat awal, sementara permasalahan kita hanya mempunyai syarat awal (3.2.2), yang berarti u 0, untuk = 1,, Nx. Bagaimana mendapatkan u 1? Perhatikan yang berikut, terapkan beda pusat dengan akurasi O( t 2 ) pada u t 0 : u 1 u 1 2 t = ψ. (3.2.5)

23 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 23 Persamaan (3.2.4) untuk n = 0 menghasilkan dan karena u 1 u 1 = S(u u 0 1) + 2(1 S)u 0 u 1, = 2 tψ u 1, maka dapat diperoleh: u 1 = S 2 (ϕ ϕ 0 1) + (1 S)ϕ 0 + tψ. (3.2.6) Jadi, persamaan beda (3.2.3) dapat diterapkan dengan u 0 = ϕ. dan (3.2.6) sebagai dua baris nilai awal. Hampiran orde rendah bagi u t 0, yaitu sehingga u 1 u0 t = ψ + O( t), u 1 = ϕ + tψ + O( t 2 ), (3.2.7) dapat digunakan sebagai nilai awal, namun akurasi O( t) tidak memenuhi syarat karena akurasi O( t) yang rendah ini akan masuk dan tersebar ke dalam domain perhitungan sehingga akurasi dari keseluruhan perhitungan hanya dapat dikatakan berorde-1 saa, dan akurasi orde-2 dari persamaan beda (3.2.4) menadi sia-sia. Kestabilan: Substitusikan u n = ρn η dimana η = e ia x ke dalam (3.2.4) sehingga diperoleh ρ ρ = S(η ) = 2S(cos a x 1) = 2p, η yang dapat disederhanakan menadi ρ 2 2(1 + p)ρ + 1 = 0. Dengan demikian, diperoleh akar-akar berikut ini ρ 1,2 = (1 + p) ± p 2 + 2p, p 0. Nilai dari ρ 1,2 terbagi menadi dua kasus yaitu: 1. Jika p 2 + 2p > 0, p < 2, diperoleh bahwa ρ 1,2 bernilai real dan salah satu diantaranya bernilai < 1. Jadi, skema tidak stabil. 2. Jika p 2 + 2p < 0, 2 < p 0, diperoleh bahwa ρ 1,2 = (1 + p) ± i p 2 2p merupakan bilangan kompleks dengan ρ 1,2 = 1. Jadi ρ 1,2 = cos θ + i sin θ. 3. Jika p = 2, maka akan dipeoleh ρ = 1. Dengan demikian, skema beda hingga stabil ika p [ 2, 0], a. Hal ini akan teradi ika dan hanya ika: 2 S(cos a x 1) 0, a dan karena 2 cos a x 1 0, a, maka batasan untuk S adalah 2 2S 0 0 < S 1.

24 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 24 Jadi syarat kestabilan untuk skema ini adalah S = c 2 ( t x )2 1. (3.2.8) Ilustrasi garis-garis karakteristik pada persamaan gelombang dapat dilihat pada Gambar Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa ika untuk S = 1, yang berarti t = c x, maka garis karakteristik melewati titik-titik grid. Sedangkan ika S < 1, yang berarti t < c x, maka garis karakteristik lebih curam yang berarti kecepatan gelombang hasil numerik lebih kecil daripada kecepatan sebenarnya. Sehingga syarat kestabilan persamaan gelombang (3.2.8) mengartikan bahwa numerical propagation speed tidak bisa lebih besar dari continuous propagation speed. (Strauss hal 204.) (a) Gambar 3.2.2: Garis karakteristik persamaan gelombang untuk (a) S = 1 t = c x, (b) S < 1 t < c x. Konsistensi: Perhatikan dua uraian Taylor berikut: u n±1 = u n ± t u t n t2 u tt n ± O( t3 ) t4 u 4t n u n ±1 = u n ± x u x n x2 u xx n ± O( x3 ) x4 u 4x n Dari persamaan (3.2.9) dan (3.2.10) diperoleh: u n +1 + u n 1 = 2 (u n + 12 x2 u xx n + 14! ) x4 u 4x n +... u n+1 + u n 1 = 2 (u n + 12 t2 u tt n + 14! ) t4 u 4t n +... (b) +... (3.2.9) +... (3.2.10) (3.2.11) (3.2.12) Kemudian substitusikan (3.2.11) dan (3.2.12) ke dalam persamaan beda (3.2.4) dan dengan sedikit manipulasi alabar akan didapatkan 2u n + t 2 u tt n + 2 4! t4 u 4t n 2Sun S x 2 u xx n S 2 4! x4 u 4x n = 2(1 S)un, yang dapat disederhanakan menadi ( t) 2 (u tt c 2 u xx ) n + 2 4! (( t)4 u 4t S( x) 4 u 4x ) n. Jelas bahwa skema konsisten. Lebih auh lagi suku pertama truncation terms-nya adalah 2 4! (( t)4 u 4t S( x) 4 u 4x ) = 2 4! (( t)4 c 2 u 4x S( x) 4 u 4x ) = 2 4! ( x)4 (S 2 S)u 4x, yang berupa suku difusi, dan akan bernilai nol ika dan hanya ika S 2 S = 0 atau S = c2 ( t) 2 ( x) 2 = 1.

25 BAB 3. METODA BEDA HINGGA PADA PERSAMAAN TIPE HIPERBOLIK 25 Soal Latihan (Standing wave) Untuk k tertentu, tentukan ω sehingga fungsi u(x, t) = cos kx cos ωt solusi bagi persamaan gelombang u tt c 2 u xx = 0. Gunakan Maple untuk mensimulasikan solusi standing wave tersebut. 2. Perhatikan persamaan gelombang u tt = u xx, untuk 0 x 10, dengan syarat batas u x (0, t) = 0 dan u(10, t) = 0, dan syarat awal u t (x, 0) = 0 dan { 2 u(x, 0) = 16 (x 3)2 (x 7) 2, 3 x 7 0, untuk x lainnya (a) Terapkan skema beda hingga orde-2 untuk persamaan gelombang. Gunakan pula hampiran orde-2 untuk menaksir u(x, t), uga untuk syarat batas kiri. (b) Jika dipilih x = 1, diperoleh suatu hampiran bagi simpangan awal berikut u(x, 0) = Hitung u(x, t) untuk beberapa selang waktu (hand-calculation), pilih t = 1. Apa yang Anda lihat pada batas? (c) Implementasikan dan simulasikan perpecahan gundukan awal sampai gelombang pecahannya menabrak batas kanan dan kiri, kemudian berbalik. Amatilah! (d) Kerakan soal (c) namun simpangan awal nol, dan kecepatan awal { 1, x 5 1 u(x, 0) = 0, x lainnya.

26 Bab 4 Persamaan Difusi Persamaan difusi adalah persamaan tipe hiperbolik. Dalam uraian berikut ini persamaan difusi akan diformulasikan berdasarkan prinsip kesetimbangan energi. Perhatikan masalah distribusi panas pada suatu batang penghantar yang panangnya L. Misalkan u(x, t) menyatakan suhu pada posisi x saat t. Perhatikan elemen batang dengan batas kiri x dan batas kanan x+ x, internal energi pada elemen tersebut adalah ρc u( x, t) x, dengan c, ρ berturut-turut menyatakan specific heat, rapat massa batang. Jika dimisalkan fluks aliran panas sebagai fungsi f(u), maka selama selang waktu t, perubahan internal energi pada elemen batang adalah f ( u ) f ( u) ρc(u t+ t u t ) x = (f(u) x f(u) x+ x ) t Jika kedua ruas dibagi dengan t x, dan setelah diambil limitnya, diperoleh: x x ρcu t + (f(u)) x = 0. (4.0.1) Persamaan dengan ρc dianggap 1 atau u t +(f(u)) x = 0 merupakan bentuk umum persamaan konservasi bagi masalah-masalah konservasi lainnya, misalnya konservasi massa. Tentunya setiap proses penurunan persamaan konservasi tertentu memerlukan formulasi yang cermat. Jika selanutnya diterapkan hukum Fick s: fluks energi sebanding dengan gradien temperatur: fluks= κu x, dengan κ menyatakan heat conductivities. maka persamaan (4.0.1) menadi persamaan difusi u t = ku xx, (4.0.2) dengan k = κ ρc. Konstanta difusi k > 0 menyatakan koefisien penghantar panas, dan berdimensi [L 2 ]/[T ]. Tanda negatif pada hukum Fick s berarti arah aliran searah dengan arah berkurangnya suhu. Alternatif lain, persamaan difusi dapat uga diperoleh melalui formulasi integral. Internal energi dari elemen batang adalah x+ x x ρcu dx, sedangkan lau perubahannya bergantung pada fluks masuk dikurangi fluks ke luar d dt x+ x x ρcu dx = f(u) x f(u) x+ x. 26

27 BAB 4. PERSAMAAN DIFUSI 27 Perhatikan bahwa di sini batas kiri dan kanan x dan x + x tidak bergerak sehingga d dt x+ x x x+ x x ρcu dx = x+ x ρcu t + (f(u)) x dx = 0. x ρcu t dx = x+ x x ( f(u)) x dx Karena relasi di atas berlaku untuk setiap x dan x, maka berarti haruslah integran bernilai nol, atau u(x, t) memenuhi persamaan (4.0.1). Jika selanutnya dimisalkan berlaku hukum Ficks: f(u) = κu x, dengan κ > 0, maka u(x, t) memenuhi persamaan difusi u t = ku xx, (4.0.3) dengan k = κ ρc. Selain sebagai persamaan pengatur masalah distribusi panas, persamaan difusi uga merupakan persamaan pengatur proses melarutnya tinta dalam zat pelarut tertentu, dan konstanta difusi k menyatakan seberapa cepat tinta dapat terlarut. Terdapat tiga tipe syarat batas: 1. Syarat batas tipe Dirichlet: ika nilai u diketahui. Pikirkan situasi yang bersesuaian dengan syarat batas kiri Dirichlet homogen: u(0, t) = 0 (masalah panas & masalah tinta) 2. Syarat batas tipe Neumann: ika turunan dari u diketahui. Pikirkan situasi yang bersesuaian dengan syarat batas kanan Neumann homogen: u x (L, t) = 0 (masalah panas & masalah tinta) 3. Syarat batas tipe Robin: kombinasi dari Dirichlet dan Neumann. Pikirkan situasi yang bersesuaian dengan syarat batas kanan Robin: u x (L, t) = u(l, t). Uraian lanut mengenai arti fisis syarat batas Robin dapat dilihat pada Strauss Section 4.3. [Strauss 1.4 no 5] Dua batang penghantar berpenampang sama Prinsip Maksimum Teorema Prinsip Maksimum: Solusi persamaan difusi (5.0.1) pada persegi panang [0, L] [0, ) memenuhi u(x, t) max u pada batas persegi panang, Dengan kata lain, solusi persamaan difusi u(x, t) mencapai ekstrim pada saat awal t = 0 atau pada batas kiri x = 0 atau kanan x = L: u(x, t) max {u(x, 0), u(0, t), u(l, t)}. Prinsip Maksimum versi kuat: Solusi persamaan difusi (5.0.1) pada persegi panang [0, L] [0, ) memenuhi u(x, t) < max {u(x, 0), u(0, t), u(l, t)}, atau u(x, t) = konstan. Pikirkan kesesuaian prinsip maksimum pada masalah distribusi tinta. Bukti prinsip maksimum: Strauss hal 41.

28 BAB 4. PERSAMAAN DIFUSI 28 Coba buktikan prinsip minimum berikut. Jika u(x, t) solusi persamaan difusi pada persegi panang [0, L] [0, ) maka berlaku min {u(x, 0), u(0, t), u(l, t)} u(x, t). Gabungan antara versi kuat prinsip maksimum dan mininum adalah: solusi u(x, t) dari persamaan difusi memenuhi min {u(x, 0), u(0, t), u(l, t)} < u(x, t) < max {u(x, 0), u(0, t), u(l, t)}, atau u(x, t) = konstan. Ketunggalan Selanutnya kita akan membuktikan ketunggalan solusi persamaan difusi dengan syarat batas tipe Dirichlet berikut: u t ku xx = f(x, t), 0 < x < L, t > 0 u(x, 0) = ϕ(x) u(0, t) = g(t), u(l, t) = h(t) (4.1.1) Bukti: Misalkan u 1 (x, t) dan u 2 (x, t) merupakan dua solusi (4.1.1) akan ditunukkan bahwa u 1 (x, t) = u 2 (x, t). Tuliskan w(x, t) u 1 (x, t) u 2 (x, t), maka w(x, t) memenuhi w t kw xx = 0, 0 < x < L, t > 0 u(x, 0) = 0 w(0, t) = 0, w(l, t) = 0 (4.1.2) Terapkan prinsip maksimum dan minimum pada persamaan difusi dengan syarat batas dan syarat awal di atas akan menghasilkan w(x, t) = 0 atau u 1 (x, t) = u 2 (x, t). Alternatif: metoda energi untuk membuktikan ketunggalan solusi masalah difusi. Misalkan u 1 (x, t) dan u 2 (x, t) merupakan dua solusi (4.1.1), misalkan w(x, t) u 1 (x, t) u 2 (x, t), maka w(x, t) memenuhi (4.1.2). 0 = 0 w = (w t kw xx )w = (1/2w 2 ) t + ( kw x w) x + kw 2 x. Integralkan terhadap x dengan batas 0 dan L, maka atau 0 = L 0 (1/2w 2 ) t dx kw x w x=l x=0 + k d L 1 dt 0 2 w2 dx = k L 0 w 2 x dx. Berarti L 0 w 2 dx turun untuk setiap t 0 L 0 w 2 x dx L 0 w 2 dx L 0 w(x, 0) 2 dx, Sedangkan L 0 w(x, 0) 2 dx = 0, adi w 0 atau u 1 (x, t) = u 2 (x, t). Interpretasi syarat batas Robin bagi persamaan difusi (soal Strauss 2.3 no 8). Perhatikan persamaan difusi u t = ku xx pada domain 0 < x < L, t > 0 dengan syarat batas Robin

29 BAB 4. PERSAMAAN DIFUSI 29 u x (0, t) a 0 u(0, t) = 0, dan u x (L, t) a L u(l, t) = 0. Jika a 0 > 0 dan a L > 0, gunakan metoda energi untuk membuktikan bahwa kedua titik uung berperan dalam berkurangnya L 0 u2 (x, t) dx. Dengan kata lain, sebagian dari energi hilang melalui batas, dan syarat batas ini dikenal sebagai syarat batas radiating atau dissipative. Soal: Buktikan ketunggalan solusi persamaan difusi non-linear berikut u t = u xx u 3, x [0, L], t > 0 u(0, t) = u(l, t) = 0 u(x, 0) = f(x) Kestabilan Misalkan u i (x, t) untuk i = 1, 2 masing-masing nerupakan solusi (4.1.1) dengan syarat awal u(x, 0) = ϕ i (x, t) untuk i = 1, 2. Akan ditunukkan bahwa untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sehingga ϕ 1 ϕ 2 < δ berakibat u 1 u 2 < ε. Bukti: Tuliskan w(x, t) u 1 (x, t) u 2 (x, t), maka w(x, t) memenuhi persamaan difusi u t ku xx = 0, 0 < x < L, t > 0 u(x, 0) = ϕ 1 (x) ϕ 2 (x) u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 Penerapan prinsip maksimum menghasilkan w(x, t) max{ϕ 1 ϕ 2, 0} max x ϕ 1 ϕ 2, sedangkan penerapan prinsip minimum menghasilkan min{ϕ 1 ϕ 2, 0} w(x, t). Lebih auh lagi dapat diperoleh hubungan max ϕ 1 ϕ 2 max{ϕ 2 ϕ 1, 0} = min{ϕ 1 ϕ 2, 0} w(x, t). Sehingga akhirnya diperoleh atau max x ϕ 1 ϕ 2 w max x ϕ 1 ϕ 2 w = u 1 u 2 max x ϕ 1 ϕ 2. Tugas: Buktikan kestabilan solusi persamaan difusi menggunakan metoda energi. 4.2 Fungsi Green Solusi persamaan difusi (5.0.1) untuk x R dengan syarat awal u(x, 0) = ϕ(x) dapat direpresentasikan secara eksplisit: u(x, t) = dengan fungsi Green S(x, t) adalah S(x y, t)ϕ(y)dy, (4.2.1) S(x, t) = 1 4πkt e x2 /4kt, t > 0. (4.2.2) Fungsi S(x, t) dikenal dengan nama fungsi Green. Nama lainnya: Gaussian, propagator, fundamental solution. Tampak dari Gambar 1.6 bahwa kurva S(x, t) menurun menuu nol seiring dengan bertambahnya

30 BAB 4. PERSAMAAN DIFUSI 30 S t kecil t sedang t besar Dengan demikian kita memiliki rumusan eksplisit bagi solusi persamaan difusi dengan syarat awal u(x, 0) = ϕ(x), yaitu Catatan: Soal: u(x, t) = 1 4πkt e (x y)2 /4kt ϕ(y)dy. (4.2.3) S(x, t) merupakan solusi persamaan (5.0.1) dengan syarat awal ϕ(x) = δ(x) fungsi delta Dirac. S(x, t)dx = 1, lim t 0 S(x, t) = (Smoothing processes in the solution of diffusion equation) Tentukan { solusi persamaan difusi u t = ku xx, x R, t > 0 dengan syarat awal u(x, 0) = 0, x < 0 1, x > 0 Simulasikan menggunakan Maple solusi u(x, t) untuk menunukkan proses smoothing yang berasal dari persamaan difusi. Cermati lau dari proses smoothing tersebut untuk berbagai pilihan k, misalnya 1/10, 1/2, 1, Perhatikan bahwa u x merupakan solusi persamaan difusi dengan syarat awal δ(x). Solusi inilah yang dikenal sebagai Fungsi Green: S(x, t) u x = 1 2 πkt e x2 /4kt 4.3 Metoda separasi variable, recall Solusi persamaan difusi (5.0.1) pada selang berhingga [0, L] dapat diperoleh melalui metode separasi variabel. Pelaari metoda separasi variabel persamaan difusi. Solusinya berupa umlahan suku-suku e iax e ka2t = e ka2t (cos ax + i sin ax). Suku e ka2t menelaskan bahwa efek damping membesar seiring dengan bertambahnya waktu. Selain itu, untuk bilangan gelombang a yang lebih besar faktor damping exp( ka 2 t) uga lebih besar. Dengan demikian elas bahwa persamaan difusi merupakan persamaan pengatur bagi masalah-masalah difusi atau damping.

31 Bab 5 Metode beda hingga bagi persamaan difusi Pada subbab ini akan diuraikan berbagai metode beda hingga untuk persamaan difusi u t = du xx, dengan d suatu konstanta. 5.1 Metode FTCS (Forward Time Center Space) (5.0.1) Metode FTCS sering disebut dengan metode eksplisit bagi persamaan difusi. Pada metode ini, forward time diterapkan pada u t dengan akurasi O( t) dan metode beda pusat yang diterapkan pada u xx dengan akurasi O( x 2 ), sehingga diperoleh persamaan beda berikut: atau u n+1 = u n + d t ( x) 2 (un +1 2u n + u n 1), (5.1.1) u n+1 = (1 2S)u n + S(u n +1 + u n 1), dengan S = d t ( x) 2. (5.1.2) -1, n, n+1, n +1, n Gambar 5.1.1: Stencil FTCS untuk persamaan difusi. Kestabilan Substitusikan u n = ρn e ia x ke dalam (5.1.2), sehingga diperoleh: ρ = (1 2S) + S(e ia x + e ia x ) = 1 + 2S(cos a x 1). Agar skema stabil, maka ρ 1, yaitu ρ = 1 + 2S(cos a x 1) 1, S(cos a x 1) 1, 1 S(cos a x 1) 0, 0 S(1 cos a x) 1, 0 2S sin 2 ( ) a x 2 1, 31

32 BAB 5. METODE BEDA HINGGA BAGI PERSAMAAN DIFUSI 32 sehingga 2S 1. Jadi, skema akan stabil ika S = d t ( x) Konsistensi Diberikan dua hampiran berikut: u n+1 = u n + t u t n t2 u tt n + O( t3 ) t4 u 4t n +... (5.1.3) u n ±1 = u n ± x u x n x2 u xx n ± O( x3 ) x4 u 4x n +... (5.1.4) Substitusikan (5.1.3) dan (5.1.4) ke dalam (5.1.1), u t n t u tt n +... = d ( 2 2! u xx n + 2 4! x2 u 4x n +... ), selanutnya dapat disederhanakan menadi (u t du xx ) n + ( 1 2 td2 u 4x 2 4! x2 du 4x ) n +... = 0. Jelas bahwa skema konsisten. Selanutnya suku pertama truncation term yaitu 1 2 td2 u 4x 2 4! x2 du 4x = d (d t 16 ) 2 x2 u 4x, yang berupa suku difusi akan bernilai nol ika S = Metode Implisit BTCS (Backward Time Center Space) Metode BTCS memiliki akurasi O( t, x 2 ). Persamaan beda untuk persamaan difusi dengan menggunakan metode BTCS adalah u n+1 ( u n u n+1 +1 = d 2un+1 + u n+1 ) 1 t ( x) 2. (5.2.1) -1, n+1, n+1, n +1, n+1 Gambar 5.2.1: Stencil BTCS untuk persamaan difusi. Kestabilan Substitusikan u n = ρn e ia x ke dalam (5.2.1) menghasilkan: dengan S = d t. Dengan demikian, ( x) 2 ρ = ρ 1 = Sρ(e ia x + e ia x 2), ρ 1 = 2Sρ(cos a x 1), S(1 cos a x) = S sin 2 a x 2.