Teori kendali. Oleh: Ari suparwanto

Transkripsi

1 Teori kendali Oleh: Ari suparwanto

2 Minggu Ke-1 Permasalahan oleh : Ari Suparwanto

3 Permasalahan Diberikan sistem dan sinyal referensi. Masalah kendali adalah menentukan sinyal kendali sehingga output sistem sedekat mungkin dengan sinyal referensi. Sinyal kendali yang bergantung pada respon sistem disebut kendali feedback atau kendali loop tertutup. Untuk mendapatkan kendali yang baik, sinyal kendali feedback didesain sebagai fungsi dari state dan sinyal referensi

4 Permasalahan Masalah kendali yang dibahas : 1. Pole Assignment Menentukan kendali feedback sedemikian hingga akar-akar dari polinomial karakteristik dari sistem feedback dapat dipilih sebarang. 2. Stabilisasi Menentukan kendali feedback sedemikian hingga akar-akar dari polinomial karakteristik dari sistem feedback berada di sebelah kiri bidang kompleks.

5 Permasalahan 3. State Estimator atau State Observer Menentukan sistem bantuan yang inputnya adalah input dan output dari sistem sebenarnya dan outputnya adalah aproksimasi dari state sistem sebenarnya 4. Decoupling Menentukan kompensator sehingga sistem tercouple menjadi sistem terdecouple

6 Permasalahan 5. Kendali Optimal Diberikan sistem dengan input u U. Tentukan fungsi u U sedemikian hingga fungsi cost yang diberikan minimal.

7 Minggu Ke-2 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto

8 Pole Assigment dan Stabilisasi Ekuivalensi Sistem Diberikan sistem x = Ax + Bu y = Cx + Du (1) Misalkan x = Px, dengan P matriks nonsingular.

9 Pole Assigment dan Stabilisasi Sistem x = A x + Bu y = C x + Du (2) dengan A = PAP ;1, B = PB, C = CP ;1, D = D disebut sistem ekuivalen dari sistem (1).

10 Pole Assigment dan Stabilisasi Kasus Sistem Terkendali Sifat. Sistem (1) terkendali jika dan hanya jika sistem (2) terkendali. Kasus Single Variabel Misalkan polinomial karakteristik dari matriks A pada sistem (1) adalah λ = det λi A = λ n + α 1 λ n;1 + + α n;1 λ + α n

11 Pole Assigment dan Stabilisasi Bentuk Kanonik Teorema. Jika sistem (1) single variabel dan terkendali, maka ia ekuivalen dengan sistem x = α n α n;1 α n;2 0 1 α 2 α 1 x + y = β n β n;1 β n;2 β 2 β 1 dengan α 1, α 2,, α n adalah koefisien dari polinomial karakteristik dari A u

12 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Transformasikan sistem terkendali single variabel x = x + 1 u Ke bentuk kanoniknya.

13 Minggu Ke-3 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto

14 Pole Assigment dan Stabilisasi State Feedback Dengan mengganti u pada sistem (1) dengan r + Kx, maka diperoleh sistem feedback Teorema. x = y = A + BK x + Br C + DK x + Dr (3) Sistem feedback (3) terkendali jika dan hanya jika sistem (1) terkendali.

15 Pole Assigment dan Stabilisasi Teorema berikut menyatakan bahwa kendali feedback dapat digunakan untuk mengendalikan eigenvalue dari sistem. Teorema. Jika sistem (1) terkendali, maka dengan kendali feedback u = r + Kx, nilai-nilai eigen dari A + BK dapat ditentukan sebarang.

16 Pole Assigment dan Stabilisasi Algoritma Diberikan sistem (1) terkendali dan himpunan nilai-nilai eigen λ1, λ 2,, λ n. Tentukan kendali feedback u = r + Kx sedemikian hingga sistem feedback (3) mempunyai himpunan λ1, λ 2,, λ n sebagai nilai-nilai eigennya. Langkah-langkah: 1. Tentukan polinomial karakteristik dari A : det si A = s n + α 1 s n;1 + + α n;1 s + α n. 2. Hitung (s λ1) s λ 2 s λ n = s n + α 1 s n;1 + + α n;1 s + α n

17 Pole Assigment dan Stabilisasi 3. Tentukan K = α n α n α n;1 α n;1 α 1 α Hitung q n;i = Aq n;i;1 + α i q n, untuk i = 1,2,, n 1, dengan q n = B. 5. Bentuk Q = q 1 q 2 q n. 6. Tentukan P = Q ;1. 7. Tentukan K = KP.

18 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Diberikan sistem terkendali x = x u. Tentukan vektor k 1 k 2 sedemikian hingga sistem state-feedback mempunyai -1 dan -2 sebagai eigenvaluenya. Hitunglah k 1, k 2 secara langsung tanpa menggunakan transformasi ekuivalensi.

19 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Tentukan state feed-back yang mentransformasikan eigenvalue dari sistem x = x + 0 u menjadi -1, -2 dan -2.

20 Minggu Ke-4 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto

21 Pole Assigment dan Stabilisasi Kasus Multi Variabel Untuk kasus ini, pada dasarnya metode atau prosedur yang digunakan sama dengan kasus untuk single variabel, yaitu mentransformasikan sistem semula ke sistem ekuivalen berbentuk kanonik dan selanjutnya menentukan kendali feedbacknya.

22 Pole Assigment dan Stabilisasi Bentuk Kanonik Jika sistem (1) terkendali, maka terdapat n vektor kolom yang bebas linear pada matriks keterkendaliannya. Berikut skema yang dapat digunakan untuk memilih n vektor kolom tersebut: Misalkan B = b 1 b 2 b p. Dimulai dari vektor b 1, dan selanjutnya ditinjau vektor Ab 1, A 2 b 1,, A μ 1;1 b 1 sampai vektor A μ 1b 1 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari b 1,, A μ 1;1 b 1.

23 Pole Assigment dan Stabilisasi Jika μ 1 = n, maka b 1,, A μ 1;1 b 1 adalah n vektor kolom yang bebas linear. Jika μ 1 < n, ditinjau b 2, Ab 2,, A μ 2;1 b 2 sampai vektor A μ 2b 2 dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari himpunan b 1,, A μ 1;1 b 1, b 2,, A μ 2;1 b 2. Jika μ 1 + μ 2 < n, lanjutkan proses seperti di atas sampai diperoleh n vektor yang bebas linear.

24 Pole Assigment dan Stabilisasi Ditinjau sistem dengan n = 9 dan p = 3. Diasumsikan dengan skema di atas diperoleh μ 1 = 3, μ 2 = 2 dan μ 3 = 4, maka matriks M = b 1 Ab 1 A 2 b 1 b 2 Ab 2 b 3 Ab 3 A 2 b 3 A 3 b 3 nonsingular. Hitung M ;1 dan nyatakan baris-barisnya sebagai berikut:

25 Pole Assigment dan Stabilisasi M ;1 = e 11 e 12 e 13 e 21 e 22 e 31 e 32 e 33 e 34. Bentuk matriks P = e 13 e 13 A e 13 A 2 e 22 e 22 A e 34 e 34 A e 34 A 2 e 34 A 3.

26 Pole Assigment dan Stabilisasi Diperoleh bektuk kanonik : A = PAP ;1 = x x x x x x x x x x 0 x x x 1 x x x x x x x x x x x x x x

27 Pole Assigment dan Stabilisasi B = PB = x x

28 Pole Assigment dan Stabilisasi Diambil kendali feedback u = r + Kx. Karena bentuk dari B, maka semua baris dari A kecuali tiga baris yang ditandai dengan huruf x tidak dipengaruhi oleh kendali feedback. Karena tiga baris tak nol dari B bebas linear, maka tiga baris dari A yang ditandai dengan huruf x dapat ditentukan sebarang, sehingga K dapat dipilih sedemikian hingga A + BK berbentuk:

29 Pole Assigment dan Stabilisasi d 1 d 2 d d 4 d 5 d d 7 d 8 d 9

30 Pole Assigment dan Stabilisasi Polinomial karakteristik dari A + BK adalah s 9 d 9 s 8 d 8 s 7 d 2 s d 1. Karena d i dapat ditentukan sebarang, maka akan diperoleh hasil yang diinginkan.

31 Minggu Ke-5 Pole Assigment dan Stabilisasi oleh : Ari Suparwanto

32 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Diberikan sistem terkendali multi variabel x = x u Tentukan kendali feedback u = Kx + r sedemikian hingga nilai-nilai eigen dari sistem feedbacknya adalah -1, -2±i dan -1±2i.

33 Pole Assigment dan Stabilisasi Kasus Sistem Tak Terkendali Bentuk Kanonik Jika sistem (1) tidak terkendali, maka sistem dapat ditransformasikan ke sistem ekuivalen berbentuk: x = A x + Bu

34 Pole Assigment dan Stabilisasi A 11 A12 dengan A =, B = B 1 dan sistem 0 A 22 0 x 1 = A11x 1 + B 1 u terkendali. Karena bentuk dari A, maka himpunan nilai eigen dari A adalah gabungan dari himpunan nilai eigen dari A11 dan A 22. Dari bentuk B, maka matriks A 22 tidak dipengaruhi oleh pengambilan sebarang kendali feedback berbentu u = r + Kx. Oleh karena itu semua nilai eigen dari A 22 tidak dapat dikendalikan.

35 Pole Assigment dan Stabilisasi Akan tetapi, karena A11, B 1 terkendali, maka semua nilai eigen A11 dapat ditentukan sebarang. Dari sini, dapat disimpulkan bahwa nilai eigen eigen dari (A + BK) dapat ditentukan sebarang jika dan hanya jika himpunan nilai-nilai eigen A 22 merupakan himpunan bagian dari nilai-nilai eigen yang ditentukan.

36 Pole Assigment dan Stabilisasi Contoh. Diberikan sistem tak terkendali x = x + 0 u Selidiki apakah sistem di atas dapat distabilkan dengan menggunakan state feedback! Jika ya, tentukan vektor gain k sedemikian hingga sistem closed-loopnya mempunyai eigenvalue -1, -1, -2, -2 dan - 2.

37 Minggu Ke-6 State Estimator atau State Observer oleh : Ari Suparwanto

38 State Estimator atau State Observer State Estimator atau Observer adalah sistem bantuan yang inputnya adalah input dan output dari sistem sebenarnya dan outputnya adalah aproksimasi dari state sistem sebenarnya. Observer dari sistem x = Ax + Bu, y = Cx (4) diasumsikan berbentuk z = Pz + Qu + Ky x = Sz + Tu + Ry dengan matriks P, Q, K, S, T dan R harus ditentukan.

39 State Estimator atau State Observer Observer harus memenuhi kondisi berikut: 1. Jika x t 0 = x(t 0 ) pada saat t 0, maka x t = x(t) untuk t t Selisih x t x(t) harus konvergen ke nol untuk t terhadap kondisi awal x 0 = x 0, z 0 = z 0 dan kendali u.

40 State Estimator atau State Observer Akan dikonstruksikan observer dengan S = I, T = R = 0. Pilihan ini menghasilkan x = z dan state dari observer mempunyai peran sebagai aproksimasi dari state x. Kondisi pertama yang harus dipenuhi oleh observer menghasilkan Q = B; P = A KC. Jadi, observer berbentuk x = Ax + Bu + K(y y) dengan y = Cx.

41 State Estimator atau State Observer Agar kondisi kedua dipenuhi oleh observer, didefinisikan e t = x t x t maka diperoleh e = d x x = A KC e. dt Karena e(t) harus konvergen ke nol, maka matriks (A KC) harus stabil asimtotik. Dengan demikian, matriks K harus dipilih sedemikian hingga nilai-nilai eigen dari (A KC) mempunyai bagian real negatif.

42 State Estimator atau State Observer Teorema berikut menjamin bahwa pemilihan matriks K dapat dikerjakan apabila sitem (4) terobservasi. Teorema. Untuk sebarang polinomial w λ = λ n + w n;1 λ n;1 + + w 0 terdapat matrik K sedemikian hingga det λi A CK = w(λ) jika dan hanya jika sistem (4) terobservasi

43 Minggu Ke-7 State Estimator atau State Observer oleh : Ari Suparwanto

44 State Estimator atau State Observer Berdasarkan teorema di atas dapat disusun algoritma sebagai berikut. Algoritma. 1. Tinjau sistem terkendali A, C. 2. Tentukan matriks L sedemikian hingga matriks A + C L mempunyai nilai-nilai eigen dengan bagian real negatif. 3. Tentukan K = L.

45 State Estimator atau State Observer Contoh. Diberikan sistem x = x u y = 1 1 x. Tentukan pengobserver full-dimension dari sistem di atas yang error reconstructionnya konvergen ke 0 untuk t dengan memilih nilai eigen pengobserver dari * 2 ± 2i+.

46 State Estimator atau State Observer Contoh. Diberikan sistem x = x + 1 u Tentukan pengobserver full-dimension dari sistem di atas yang error reconstructionnya konvergen ke 0 untuk t.

47 State Estimator atau State Observer Jika sistem (4) tidak terobservasi, maka sistem dapat ditransformasikan ke sistem ekuivalen berbentuk: dengan A = x = A x + Bu, y = C x A 11 0 A 21 A 22, B = B 1 B 2, C = C1 0 dan sistem x1 = A11x1 + B 1 u, y = C1x1 terobservasi.

48 State Estimator atau State Observer Dari bentuk A dan C, maka untuk sebarang pemilihan matriks L, nilai-nilai eigen matriks A 22 pada matriks A + C L tidak berubah. Akan tetapi, karena C1, A11 terobservasi, maka semua nilai eigen A11 dapat ditentukan sebarang. Dari sini, dapat disimpulkan bahwa observer untuk sistem (4) tak terobservasi dapat ditentukan jika dan hanya jika semua nilai eigen A 22 mempunyai bagian real yang negatif.

49 Mingg Ke- 8 Decoupling dengan State Feedback oleh : Ari Suparwanto

50 Decoupling dengan State Feedback Ditinjau sistem (4) dengan banyak input sama dengan banyak output. Matriks transfer dari sistem (4) adalah G s = C si A ;1 B. Jika state awal sistem adalah nol, maka hubungan antara input dan output dapat dinyatakan dengan y 1 s = g 11 s u 1 s + g 12 s u 2 s + + g 1p (s)u p (s) y 2 s = g 21 s u 1 s + g 22 s u 2 s + + g 2p (s)u p (s) y p s = g p1 s u 1 s + g p2 s u 2 s + + g pp (s)u p (s) dengan g ij s elemen ke-ij dari G s.

51 Decoupling dengan State Feedback Dari sistem persamaan di atas terlihat bahwa setiap input mengendalikan lebih dari satu output dan setiap output dikendalikan lebih dari satu input. Sistem sedemikian disebut sistem tercouple. Pada umumnya, sistem tercouple sangat sulit untuk dikendalikan. Oleh karena itu, pada bagian ini akan ditentukan kompensator yang mengubah sistem tercouple menjadi sistem terdecouple, yaitu sistem yang setiap inputnya hanya mengendalikan satu output dan setiap outputnya hanya dikendalikan oleh satu input

52 Decoupling dengan State Feedback Berikut definisi sistem terdouple dalam terminologi matriks transfernya. Definisi. Sistem multivariabel dikatakan terdecouple jika matriks tranfernya adalah matriks diagonal nonsingular. Untuk menentukan kondisi pada G(s) agar sistem dapat didecouplekan oleh kendali feedback, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang diperlukan.

53 Decoupling dengan State Feedback Didefinisikan: d i =min{selisih derajat penyebut dan pembilang dari setiap unsur pada baris ke-i dari G(s)}-1 dan E i = lim s s d i:1 G i (s) dengan G i (s) adalah baris ke-i dari G(s).

54 Decoupling dengan State Feedback Contoh. Diberika matriks transfer G s = s:2 s 2 :s:1 1 s 2 :2s:1 1 s 2 :s:2 3 s 2 :s:4 Selisih derajat penyebut dan dan pembilang dari unsur-unsur baris pertama G s adalah 1 dan 2, maka d 1 = 0 dan.

55 Decoupling dengan State Feedback s E 1 = lim s s s 2 + s + 1 s 2 + s + 2 = 1 0. Selisih derajat penyebut dan dan pembilang dari unsur-unsur baris kedua G s adalah 2 dan 2, maka d 1 = 1 dan E 2 = lim s s s 2 + 2s + 1 s 2 + s + 4 = 1 3.

56 Minggu Ke-9 Decoupling dengan State Feedback oleh : Ari Suparwanto

57 Decoupling dengan State Feedback Diberikan kendali feedback berbentuk: u t = Kx + Hr Dengan mensubstitusikan kendali feedback di atas pada sistem (4) diperoleh sistem feedback: x = A + BK x + Hr y = Cx Matriks transfer sistem feedback (5) adalah G f s = C si A BK ;1 BH. (5)

58 Decoupling dengan State Feedback Didefinisikan: d i=min{selisih derajat penyebut dan pembilang dari setiap unsur pada baris ke-i dari G f (s)}-1 dan E i = lim s s d i:1 G fi (s) dengan G fi (s) adalah baris ke-i dari G f (s).

59 Decoupling dengan State Feedback Teorema berikut menyatakan hubungan antara d i dan d i dan antara E i dan E i. Teorema. Untuk sebarang matriks K dan matriks nonsingular H, berlaku d i = d i dan E i = E i H.

60 Decoupling dengan State Feedback Berdasarkan hasil pada teorema di atas dapat diturunkan karakterisasi untuk suatu sistem dapat didecouplekan atau tidak dalam teorema berikut. Teorema. Suatu sistem dengan matriks transfer G(s) dapat didecouplekan oleh state feedback berbentuk u = Kx + Hr dengan K sebarang matriks dan H matriks nonsingular jika dan hanya jika matriks E 1 E E = 2 E p nonsingular.

61 Minggu Ke-10 Decoupling dengan State Feedback oleh : Ari Suparwanto

62 Decoupling dengan State Feedback Berdasarkan teorema di atas, maka dapat disusun algorima untuk mendecouplekan sistem. Algoritma. 1. Tentukan matriks transfer G(s). Jika G(s) diagonal nonsingular maka sistem terdecouple. Jika tidak demikian, sistem tercouple, lanjutkan ke langkah Tentukan d i dan E i untuk i = 1,2,, p. 3. Tentukan E = E 1 E 2 E p.

63 Decoupling dengan State Feedback Jika matriks E singular, sistem tak dapat didecouplekan. Jika E nonsingular, sistem dapat didecouplekan, lanjutkan ke langkah 4. C 1 A d 1:1 C 4. Tentukan matriks F = 2 A d 2:1 C p A d p:1 5. Tentukan kendali feedback u = Kx + Hr dengan matriks K = E ;1 F dan H = E ;1.

64 Decoupling dengan State Feedback Contoh. Diberikan sistem x = x y = x Selidiki apakah sistem terdecouple atau tidak. Jika tidak, apakah sistem dapat didecouplekan. Jika ya, tentukan state feedback yang mendecouplekan sistem. u

65 Kendali Optimal Masalah kendali optimal: Diberikan sistem x t = f x t, u t yang didefinisikan pada interval waktu 0 t T, kondisi awal x 0 = x 0, Himpunan kendali u(t) U dan fungsi obyektif yang harus dimaximumkan. J = ψ(x T ) + l x t, u t dt 0 T

66 Kendali Optimal Hamiltonian Untuk menyelesaikan masalah kendali optimal, cara yang dilakukan adalah dengan membentuk fungsi Obyektif yang dimodifikasi: T J = J λ t T x t f x t, u t dt 0 dan mendefinisikan fungsi Hamiltonian: H λ, x, u = λ T f x, u + l(x, u). Dengan Hamiltonian, maka fungsi obyektif yang dimodifikasi menjadi: T J = ψ x T + H(λ t, x t, u t λ t T x (t) dt 0

67 Minggu Ke-11 Kendali Optimal oleh : Ari Suparwanto

68 Kendali Optimal Misalkan fungsi kendali u(t) U mengalami perubahan kecil menjadi v(t) U, maka diperoleh state trayektori baru x t + δx t. Jika δj menyatakan perubahan yang berkorespondensi pada fungsi obyektif yang dimodifikasi makadiperoleh δj = ψ x T + δx T ψ(x(t) T + H λ, x + δx, v H(λ, x, u) λ t T δx dt 0

69 Kendali Optimal Karena T λ T δx dt = λ T T δx T λ 0 T δx 0 λ T δxdt 0 0 maka δj = ψ x T + δx T ψ(x T λ T T δx T + λ 0 T δx 0 + H λ, x + δx, v H λ, x, u + λ T δx dt 0 T T

70 Kendali Optimal Karena 0 T H λ, x + δx, v H(λ, x, u) dt T = H x λ, x, u δx + H λ, x, v H(λ, x, u) dt 0 maka δj = ψ x (x T λ T T δx T + λ 0 T δx 0 T + H x (λ, x, u) + λ T δxdt 0 Karena δx 0 T + H λ, x, v H(λ, x, u) dt 0 = 0, maka suku kedua persamaan terakhir menjadi nol.

71 Kendali Optimal Persamaan Adjoint Pilih λ(t) sebagai solusi dari persamaan diferensial adjoint: λ t = H x (λ t, x t, u t ) dengan kondisi akhir λ(t) T = ψ x (x T ). Dari sini, maka T δj = H λ t, x t, v t H(λ t, x t, u t ) dt 0

72 Kendali Optimal Jika fungsi kendali u adalah kendali optimal, maka untuk sebarang t, berlaku H(λ t, x t, v t ) H(λ t, x t, u t ) untuk semua v U. Jadi, untuk setiap t, nilai u(t) dalam kendali optimal mempunyai sifat memaksimalkan fungsi Hamiltonian.

73 Kendali Optimal Prinsip Maximum Hasil di atas merupakan prinsip maksimum untuk teorema berikut. Teorema. Jika u(t) U kendali optimal dan x(t) menyatakan trayektori state untuk masalah kendali optimal, maka terdapat trayektori adjoint λ(t) sedemikian hingga memenuhi x t = f(x t, u(t) x 0 = x 0 λ t = λ t T f x (λ t, x t, u t + l x (λ t, x t, u t λ(t) T = ψ x (x T ) Untuk semua t, 0 t T, dan v U H(λ t, x t, v t ) H(λ t, x t, u t ) Dengan H adalah fungsi Hamiltonian H λ, x, u = λ T f x, u + l(x, u).

74 Minggu Ke-12 Kendali Optimal oleh : Ari Suparwanto

75 Kendali Optimal Contoh. Diberikan sistem x t = u t x 0 = 0 u t 1 Maksimumkan fungsi obyektif J = x(t)

76 Kendali Optimal Contoh. Diberikan sistem x t = u(t) x 0 = 0 x 0 = 0 Maksimumkan fungsi obyektif J = x T 1 2 T 0 u(t) 2 dt.

77 Optimisasi Linear Kuadratik Masalah Optimisasi Linear Kuadratik: (kasus time varying) Diberikan sistem x t = A t x t + B(t)u t yang didefinisikan pada interval waktu 0 t T, kondisi awal x 0 = x 0, Himpunan kendali u(t) U dan fungsi obyektif T J = 1 x t T Q t + u t T R t u(t) dt 2 0 yang harus diminimumkan.

78 Optimisasi Linear Kuadratik Persamaan adjoint: λ t T = λ t T A t x t T Q(t) dengan kondisi akhir λ T = 0. Fungsi Hamiltonian: H = λ t T A t + λ t T B t u t 1 2 x t T Q t x t 1 2 u t T R t u(t)

79 Optimisasi Linear Kuadratik Kondisi untuk memaksimalkan Hamiltonian terhadap u(t) adalah H u = 0, atau λ t T B t u t T R t = 0 sehingga diperoleh u t = R t ;1 B t T λ t. Jika hasil ini disubstitusikan ke sistem awal, maka diperoleh x t = A t x t + B t R t ;1 B t T λ t λ t = Q t x t A t T λ t dengan kondisi x 0 = x 0 λ T = 0

80 Minggu Ke-13 Kendali Optimal oleh : Ari Suparwanto

81 Optimisasi Linear Kuadratik Persamaan Riccati Karena sistem linear, maka x(t) dan λ(t) bergantung pada x 0, sehingga λ t bergantung pada x t. Dari sini, akan dicoba memilih solusi berbentuk λ t = P t x t dengan P t matriks yang masih harus ditentukan.

82 Optimisasi Linear Kuadratik Dengan mensubstitusikan λ t = P t x t ke persamaan terakhir diperoleh x t = A t B t R t ;1 B t T P t x(t) P t x t P t x t = Q t A t T P t x t Kalikan ke dua ruas persamaan pertama dengan P(t) dan tambahkan ke persamaan kedua, maka diperoleh 0 =,P t P t A t + A t T P t P t B t R t ;1 B t T P t + Q(t)-x(t). Persamaan ini dipenuhi untuk sebarang x(t) jika P t dipilh sedemikian memenuhi persamaan diferensial matriks P t = P t A t + A t T P t P t B t R t ;1 B t T P t + Q(t) Karena λ T = 0, maka diperoleh P T = 0. Persamaan diferensial di atas disebut persamaan diferensial Riccati.

83 Optimisasi Linear Kuadratik Kasus Time Invariant Misalkan semua matriks dalam masalah optimisasi linear kuadratik adalah matriks konstan dan T, maka diperoleh persamaan aljabar Riccati: 0 = PA + A T P PBR ;1 B T P + Q. Dalam kasus ini, kendali optimalnya adalah u t = R t ;1 B T Px t.

84 Optimisasi Linear Kuadratik Contoh. Diberikan sistem linear x 1 = 0 1 x 1 x x u x 1 0 = x 2 0 = 0 Maksimumkan fungsi obyektif J = x 1 T T u t 2 dt.