Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Transkripsi

1 Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 3: Pengantar, konsep dasar dan klasikasi PDP Tim Ilmu Komputasi Coordinator contact: Dr. Putu Harry Gunawan

2 1 Kontrak kuliah 2 Pendahuluan Konsep Dasar Kehomogenan Orde Kelinieran 3 Klasikasi PDP 4 Aplikasi

3 Batasan materi Batasan kuliah ini Kontrak kuliah

4 Konsep dasar Denisi (PDP) Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang belum diketahui u(x 1, x 2,, x n ) berdimensi n 2, dan turunan parsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya.

5 Konsep dasar Denisi (PDP) Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaan yang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yang belum diketahui u(x 1, x 2,, x n ) berdimensi n 2, dan turunan parsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya. Bentuk umum dari PDP diberikan sebagai berikut: F ( x 1, x 2, x n, u, u x 1,, u x n, 2 u x 1 x 1,, ) 2 u, = 0. x 1 x n

6 Contoh Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas: 2 u(x, y) x u(x, y) y 2 = 0, persamaan Laplace (2.1)

7 Contoh Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas: 2 u(x, y) x u(x, y) y 2 = 0, persamaan Laplace (2.1) u(t, x) t α 2 u(t, x) x 2 = 0, persamaan difusi (2.2)

8 Contoh Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua variabel bebas: 2 u(x, y) x u(x, y) y 2 = 0, persamaan Laplace (2.1) u(t, x) t α 2 u(t, x) x 2 = 0, persamaan difusi (2.2) 2 u(t, x) t 2 c 2 2 u(t, x) x 2 = 0, persamaan gelombang (2.3) dengan u/ t, 2 u/ x 2 menyatakan turunan partial terhadap variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan.

9 Contoh Biasanya, dalam beberapa kajian pustaka, secara singkat PDP dapat juga ditulis dalam bentuk: u xx + u yy = 0, (2.4) u t αu xx = 0, (2.5) u tt c 2 u xx = 0, (2.6) dengan subscript menyatakan turunan parsial.

10 Contoh Beberapa contoh lain PDP yang terkenal selain tiga contoh diatas adalah u t + u x = 0, persamaan transport (2.7) u t + u x αu xx = 0, persamaan reaksi-difusi (2.8) u t + uu x = 0, persamaan inviscid Burger (2.9) u xx + u yy = f (x, y), persamaan Poisson (2.10) u t + uu x + u xxx = 0, persamaan KdV (2.11) iu t + u xx = 0. persamaan Schrödinger (2.12)

11 Notasi umum gradien (grad(u) = u) Gradien grad(u) = u: Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi u(x 1, x 2,, x n ) pada n-dimensi ruang Euclidean.

12 Notasi umum gradien (grad(u) = u) Gradien grad(u) = u: Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi u(x 1, x 2,, x n ) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya: ( ) u(x 1, x 2,, x n ) =,,, u(x 1, x 2,, x n ). x 1 x 2 x n Misalkan terdapat fungsi u(x, y), maka u(x, y) = (u x, u y ).

13 Notasi umum divergent (div(u) = u) Divergent div(u) = u: Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi u(x 1, x 2,, x n ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari suku-suku vektor gradiennya).

14 Notasi umum divergent (div(u) = u) Divergent div(u) = u: Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi u(x 1, x 2,, x n ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari suku-suku vektor gradiennya). Contohnya: u(x 1, x 2,, x n ) = ( x 1 x 2 x n ) u.

15 Notasi umum divergent (div(u) = u) Divergent div(u) = u: Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi u(x 1, x 2,, x n ) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari suku-suku vektor gradiennya). Contohnya: u(x 1, x 2,, x n ) = ( x 1 x 2 Misalkan terdapat fungsi u(x, y, z), maka didapat ( ) u u(x, y, z) = + u + u. x y z x n ) u.

16 Notasi umum Laplace ( u = 2 u = u) Laplace operator u = 2 u = u: Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x 1, x 2,, x n ) pada n-dimensi ruang Euclidean.

17 Notasi umum Laplace ( u = 2 u = u) Laplace operator u = 2 u = u: Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x 1, x 2,, x n ) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya: ( 2 u(x 1, x 2,, x n ) = x x x 2 n ) u.

18 Notasi umum Laplace ( u = 2 u = u) Laplace operator u = 2 u = u: Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x 1, x 2,, x n ) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya: ( 2 u(x 1, x 2,, x n ) = x x Misalkan terdapat fungsi u(x, y, z), maka didapat u(x, y, z) = ( ) 2 u + 2 u + 2 u. x 2 y 2 z 2 x 2 n ) u.

19 Solusi PDP Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan.

20 Solusi PDP Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai contoh, untuk melihat u(x, t) = e t x merupakan solusi dari persamaan gelombang u tt u xx = 0, (2.13)

21 Solusi PDP Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai contoh, untuk melihat u(x, t) = e t x merupakan solusi dari persamaan gelombang u tt u xx = 0, (2.13) secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke dalam persamaan, sehingga didapat: (e t x ) tt (e t x ) xx = e t x e t x = 0.

22 Latihan Tunjukkan apakah u(x, t) = sin(x t) merupakan solusi dari persamaan gelombang dibawah ini? u tt u xx = 0, (2.14)

23 Latihan Tunjukkan apakah u(x, t) = f (x ct) merupakan solusi dari persamaan gelombang dibawah ini? u tt c 2 u xx = 0, (2.15)

24 Kehomogenan Denisi (PDP tak-homogen) Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada fungsi u.

25 Kehomogenan Denisi (PDP tak-homogen) Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada fungsi u. Sebagai contoh, persamaan Poisson: u xx (x, y) + u yy (x, y) = f (x, y) merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x, y) yang tidak bergantung pada fungsi u(x, y).

26 Kehomogenan Denisi (PDP tak-homogen) Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belum diketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaan PDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung pada fungsi u. Sebagai contoh, persamaan Poisson: u xx (x, y) + u yy (x, y) = f (x, y) merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x, y) yang tidak bergantung pada fungsi u(x, y). Sedangkan persamaan Laplace: u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0 merupakan persamaan yang homogen.

27 Latihan Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut homogen atau non-homogen! u t + u x = 0, persamaan transport (2.16) u t + u x αu xx = 0, persamaan reaksi-difusi (2.17) u t + uu x = 0, persamaan inviscid Burger (2.18) u xx + u yy = f (x, y), persamaan Poisson (2.19) u t + uu x + u xxx = 0, persamaan KdV (2.20) iu t + u xx = 0. persamaan Schrödinger (2.21)

28 Orde Denisi (Orde) Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang ada di dalam persamaan itu sendiri.

29 Orde Denisi (Orde) Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang ada di dalam persamaan itu sendiri. Secara umum, kita dapat menuliskan persamaan umum PDP orde satu untuk (x, y) sebagai F (x, y, u(x, y), u x (x, y), u y (x, y)) = F (x, y, u, u x, u y ) = 0, (2.22) sedangkan untuk PDP orde dua adalah: F (x, y, u, u x, u y, u xx, u yy ) = 0. (2.23)

30 Latihan Tentukan Orde dari: u t + u x = 0, persamaan transport (2.24) u t + uu x + u xxx = 0, persamaan KdV (2.25)

31 Kelinieran PDP dapat ditulis dalam bentuk: L(u) = 0, (2.26) dengan L disebut sebagai sebuah operator.

32 Kelinieran PDP dapat ditulis dalam bentuk: L(u) = 0, (2.26) dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi L = + + α 2 t x x 2, dan sehingga Lu sama dengan (2.8).

33 Kelinieran PDP dapat ditulis dalam bentuk: L(u) = 0, (2.26) dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi L = + + α 2 t x x 2, dan sehingga Lu sama dengan (2.8). Denisi (PDP Linier) Operator L dikatakan linier jika memenuhi L(u + v) = Lu + Lv, dan L(cu) = clu, (2.27) untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.

34 Contoh Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan transport u t + u x linier atau tidak?

35 Contoh Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan transport u t + u x linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan dengan, L(u + v) = (u + v) t + (u + v) x = u t + v t + u x + v x = (u t + u x ) + (v t + v x ) = Lu + Lv

36 Contoh Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan transport u t + u x linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan dengan, L(u + v) = (u + v) t + (u + v) x = u t + v t + u x + v x = (u t + u x ) + (v t + v x ) = Lu + Lv dan L(cu) = (cu) t + (cu) x = cu t + cu x = clu. Sehingga berdasarkan Denisi 2.4, persamaan u t + u x persamaan linier. merupakan

37 Latihan Tunjukkan apakah PDP-PDP berikut linier apa tidak! 1. u t + u x αu xx = 0 2. u t + uu x = 0 3. u xx + u yy = f (x, y) 4. u t + uu x + u xxx

38 Klasikasi PDP Kalsikasi PDP orde dua Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat ditentukan dengan mudah.

39 Klasikasi PDP Kalsikasi PDP orde dua Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua nonhomogen dengan dua variabel bebas: Au xx + Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu = G. (3.1)

40 Klasikasi PDP Kalsikasi PDP orde dua Pada PDP dengan turunan orde dua, klasikasi PDP dapat ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua nonhomogen dengan dua variabel bebas: Au xx + Bu xy + Cu yy + Du x + Eu y + Fu = G. (3.1) Klasikasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilai diskriminan, B 2 4AC sebagai berikut: B 2 4AC Negative Nol Positif Klasikasi Eliptik Parabolik Hiperbolik

41 Klasikasi PDP Latihan Klasikasikan PDP-PDP berikut ini! 1. u t + u x αu xx = 0 2. u xx + u yy = f (x, y) 3. u t + u x + u xx 4. u t t + u x y + u xx

42 Aplikasi Aplikasi Beberapa aplikasi PDP dalam kehidupan sehari-hari: Penyebaran panas pada suatu medium Vibrasi senar gitar Pemberian harga Option (Financial Engineering) Gelombang air laut Pertumbuhan bakteri pada media tertentu Penyebaran polusi virus, atau gossip dll

43 End of presentation!