BAB 9 PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIIL

Transkripsi

1 BAB 9 PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIIL Kebanyakan permasalahan dalam ilmu pengetahuan dan teknologi dapat dipresentasikan dalam bentuk persamaan diferensial parsiil. Persamaan tersebut merupakan lau perubahan terhadap dua atau lebih variabel bebas yang biasanya adalah waktu dan arak (ruang). Bentuk umum persamaan diferensial parsiil order dan dua dimensi adalah: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ a + b + c + d + e + fϕ + g = 0 (9.) dengan a, b, c, d, e, f dan g merupakan fungsi dari variabel x dan y dan variabel tidak bebas ϕ. Persamaan diferensial parsiil dapat dibedakan menadi 3 tipe yaitu: ) Persamaan Ellips ika : b 4ac < 0 ) Persamaan Parabola ika : b 4ac = 0 3) Persamaan Hiperbola ika : b 4ac > 0 Persamaan parabola biasanya merupakan persamaan yang tergantung pada waktu (tidak permanen). Penyelesaian persamaan tersebut memerlukan kondisi awal dan batas. Persamaan ellips biasanya berhubungan dengan masalah keseimbangan atau kondisi permanen (tidak tergantung waktu), dan penyelesaiannya memerlukan kondisi batas di sekeliling daerah tinauan. Persamaan hiperbola biasanya berhubungan dengan getaran, atau permasalahan di mana teradi ketidak-kontinuean dalam kecepatan, tekanan dan rapat massa. Penyelesaian dari persamaan hiperbola mirip dengan penyelesaian persamaan parabola, yang menghitung nilai ϕ untuk nilai x dan t yang diberikan. Penyelesaian persamaan diferensial parsiil dengan kondisi awal dan batas dapat diselesaikan dengan metode beda hingga. Untuk itu dibuat aringan titik hitungan pada daerah tinauan. Sebagai contoh penyelesaian persamaan ellips pada daerah S yang dibatasi oleh kurve C seperti tampak pada Gambar 9.. Daerah tinauan S dibagi menadi seumlah pias (titik hitungan P) dengan arak antara pias adalah x dan y. Kondisi di mana variabel tidak bebas (ϕ) harus memenuhi di sekeliling kurve C disebut dengan kondisi batas. Penyelesaian persamaan diferensial merupakan perkiraan dari nilai ϕ pada titik-titik hitungan P, P,, P i, Perkiraan dilakukan dengan mengganti turunan dari persamaan diferensial parsiil dengan menggunakan perkiraan beda hingga. Gambar 9.. Penyelesaian persamaan diferensial parsiil Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta

2 9. Beberapa Bentuk Persamaan Diferensial Parsiil Berikut ini diberikan beberapa bentuk persamaan diferensial parsiil. a) Persamaan Ellips Persamaan yang termasuk dalam tipe ini adalah persamaan Poisson: ϕ ϕ + + g = 0 dan persamaan Laplace: ϕ ϕ + = 0 (9.) (9.3) b) Persamaan Parabola Permasalahan yang mengandung waktu sebagai variabel bebas biasanya termasuk dalam persamaan parabola. Persamaan parabola yang paling sederhana adalah perambatan panas dan difusi polutan, yang mempunyai bentuk: T T = K t Dalam persamaan perambatan panas, T (temperatur), K (koefisien konduktivitas), serta variabel t (waktu) dan x (arak). c) Persamaan Hiperbola Persamaan hiperbola yang paling sederhana adalah persamaan gelombang yang mempunyai bentuk berikut: y y = C (9.4) t dengan y adalah perpindahan fluktuasi pada arak x dari uung tali yang bergetar yang mempunyai panang L sesudah waktu t. 9. Perkiraan Diferensial Dengan Beda Hingga Gambar 9., adalah aringan titik hitungan pada bidang x-y yang dapat dibagi menadi seumlah pias segi empat dengan sisi x dan y. Panang pias dalam arah x adalah x dan dalam arah y adalah y. Dengan menggunakan aringan titik hitungan pada Gambar 9., semua diferensial ditulis pada titik hitungan (i,). bentuk turunan pertama dan kedua didekati oleh: ϕ ϕi, x + i, ϕ ϕi, i x, (9.5a) (9.6a) Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta 3

3 ϕ ϕi+, i x, ϕ ϕi, i, + ϕi+, x (9.7a) (9.8a) Gambar 9.. Jaringan titik hitungan dalam bidang x-y Bentuk Persamaan (9.5a), (9.6a) dan (9.7a) disebut dengan diferensial mau, mundur dan terpusat. Diferensial terhadap y uga dapat ditulis dalam bentuk seperti di atas, yaitu : ϕ ϕi, y + i, ϕ ϕi, y i, ϕ ϕi, + y i, ϕ ϕi, i, + ϕi, + y (9.5b) (9.6b) (9.7b) (9.8b) Bentuk diferensial melintang dapat didekati dengan : ϕ ϕi+, + i, + i+, + ϕi, (9.9) 4 x y Untuk persamaan yang mengandung variabel x dan t, perkiraan beda hingga dilakukan dengan membuat aringan titik hitungan pada bidang x-t (Gambar 9.3), yang dibagi dalam seumlah pias dengan interval ruang dan waktu adalah x dan t. Bentuk turunan pertama dan kedua terhadap waktu dan ruang adalah : n+ n ϕ ϕi i (9.0) t t Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta 4

4 n n n ϕ ϕi i + ϕi+ (9.) x Gambar 9.3. Jaringan titik hitungan dalam bidang x-t Dalam bentuk beda hingga di atas superskrip n dan n+ menunukkan nilai ϕ pada waktu n dan n+. Penulisan n sebagai superskrip, yang menunukkan waktu, untuk membedakan dengan subskrip untuk i, dan k yang menunukkan notasi ruang. 9.3 Penyelesaian Persamaan Parabola Penyelesaian persamaan tipe parabola dengan menggunakan metode beda hingga dapat dibedakan menadi dua metode (skema) dasar, yaitu skema eksplisit dan skema implisit. Pada skema eksplisit, variabel (temperature) pada suatu titik dihitung secara langsung dari variabel di beberapa titik disekitarnya pada waktu sebelumnya, yang sudah diketahui nilainya. Dengan metode ini, penurunan persamaan diferensial parsiil ke dalam bentuk beda hingga adalah mudah. Namun kendala utamanya adalah kemungkinan teradinya ketidakstabilan hitungan, apabila digunakan langkah waktu yang besar. Dalam skema implisit, untuk menghitung variabel di suatu titik perlu dibuat suatu sistem persamaan yang mengandung variabel di titik tersebut dan titik-titik di sekitarnya pada waktu yang sama. Salah satu metode yang paling banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah ini adalah metode sapuan ganda dari Choleski. Berdasarkan kedua skema dasar tersebut telah dikembangkan skema lainnya, seperti skema Crank-Nicholson, Preissman, Leap Frog, dan sebagainya. Skema Crank-Nicholson merupakan pengembangan dari skema eksplisit dan implisit. Skema Preissman merupakan pengembangan dari skema implisit, sedang skema Leap Frog adalah pengembangan dari skema eksplisit. Dalam bab ini, selain skema eksplisit dan implisit uga akan dipelaari skema Crank-Nicholson. Penelasan lebih rinci dari ketiga skema tersebut diberikan berikut ini. ) Skema Eksplisit Metode beda hingga skema ekplisit banyak digunakan dalam penyelesaian persamaan parsiil. Skema ini sangat sederhana dan mudah untuk memahaminya. Penggunaan skema tersebut untuk menurunkan persamaan diferensial parsiil menadi persamaan beda hingga uga mudah. Namun skema ini mempunyai kelemahan, yaitu langkah waktu t dibatasi berdasarkan bilangan Courant yaitu dimana nilai dari Cr = (U t) / x. Apabila nilai Cr> maka hitungan menadi Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta 5

5 tidak stabil. Penggunaan langkah waktu t yang kecil tersebut menyebabkan prosedur dan waktu hitungan menadi sangat panang dan lama. a) Bentuk skema eksplisit Pada skema eksplisit, variabel pada waktu n + dihitung berdasarkan variabel pada waktu n yang sudah diketahui (Gambar 9.4). Dengan menggunakan skema seperti yang ditunukkan pada Gambar 9.4, fungsi variabel (temperature) T (x,t) dan turunannya dalam ruang dan waktu didekati oleh bentuk berikut: Gambar 9.4. Skema eksplisit Gambar 9.5. Langkah-langkah hitungan dengan skema eksplisit b) Stabilitas skema eksplisit Seperti yang ditunukkan pada Gambar (9.6), dalam skema eksplisit, n n n tergantung pada tiga titik sebelumnya yaitu: T T dant i, Ketiga titik ini uga hanya tergantung pada 5 titik pada waktu sebelumnya. Bidang ketergantungan dari penyelesaian numerik (bidang A) lebih kecil dari pada bidang ketergantungan penyelesaian analitik (A+B). Misalnya n n penyelesaian analisis dari Ti tergantung di antaranya pada titik Ti dan T i+ 3, sedang pada hitungan numerik tidak tergantung pada titik-titik tersebut. Keadaan ini dapat menyebabkan ketidak stabilan dari skema tersebut, yang berupa teradinya amplifikasi hasil hitungan dari kondisi awal. i i+ T n i Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta 6

6 Gambar 9.6. Stabilitas numerik ) Skema Implisit Gambar 9.7, menunukkan aringan titik hitungan dari skema implisit. Gambar 9.7. Skema implisit 3) Skema Crank-Nicholson Dalam sub bab ini akan dielaskan salah satu pengembangan dari skema eksplisit dan implisit, yaitu skema Crank-Nicholson. Gambar 9.8. Skema Crank-Nicholson Jurusan Teknik Elektro ISTA Yogyakarta 7