BAB IV SIMULASI NUMERIK

Transkripsi

1 BAB IV SIMULASI NUMERIK Pada bab ini kita bandingkan perilaku solusi KdV yang telah dibahas dengan hasil numerik serta solusi numerik untuk persamaan fkdv. Solusi persamaan KdV yang disimulasikan pada bab ini adalah solusi sekan hiperbolik untuk menunjukkan bahwa skema numerik yang disusun, menghampiri solusi analitiknya. Kemudian kita menghitung ulang persamaan fkdv dengan gaya luar berupa persamaan (2.15) dengan skema numerik FTCS yang telah diturunkan pada bab sebelumnya untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengan [4]. Setelah itu mensimulasikan gaya luar berupa fungsi sekan hiperbolik. Hasil-hasil yang diperoleh pada bab ini adalah perhitungan numerik yang telah dinormalkan kembali kedalam variabel semula, yaitu uxt (, ) = a. yξ (, τ ). m 4.1. Nilai Masukan. Ada beberapa nilai yang menjadi masukan dalam perhitungan numerik untuk simulasi solusi persamaan (3.16). Skala (3.1) yang digunakan untuk simulasi numerik ini adalah α = γ = a dan β = am m, dimana a m adalah besaran yang tak berdimensi. Penskalaan ini dilakukan agar suku nonlinier dan suku turunan ketiga pada persamaan fkdv bernilai lebih kecil dari suku-suku lainnya. Masukan yang pertama berupa lebar selang Δ x dan lebar selang Δ t. Gelombang dibuat panjang

2 untuk menghindari pengaruh batas pada perhitungan di dalam daerah pengamatan, kemudian diberikan selisih kecepatan ω = 0.2;0 dan 0.2. Masukan nilai yang digunakan untuk simulasi ini adalah a = 0.05, a = 19, F = 0.1, γ = 0.25, L = 50, Δ x = 0.05, dan Δ t = Simulasi numerik dengan m menggunakan nilai a m kecil tidak memberikan hasil yang baik, dengab mubculnya pola gelombang yang tak terkendali. Akan tetapi, simulasi numerik tersebut dapat diatasi dengan memperbesar nilai a m. Hal ini bertentangan dengan makna semula, untuk melihat pengaruh suku tak linier dan turunan ketiganya. Diperkirakan adanya kesalahan penerapan pada suku gaya luar terhadap skala yang ada. Simulasi ini dibagi menjadi dua kasus. Pertama, simulasi numerik untuk persamaan KdV dengan kondisi awal berupa fungsi sekan hiperbolik dari (2.10) dengan meberikan nilai nol pada ruas kanan dari persamaan fkdv. Kemudian simulasi kedua dengan menggunakan persamaan fkdv dengan gaya luar (2.15). m 4.2. Solusi Numerik KdV. Untuk penjalaran gelombang satu arah, diberikan syarat awal u x,0 = A. sech 2 A. x ( ) (4.1) Simulasi penjalaran gelombang datu arah untuk ω = 0 ditunjukkan pada gambar (4.1). Gelombang permukaan ini bergerak ke arah kiri, dikarenakan adanya nilai negatif yang ada pada suku ketiga dan keempat dari persmaan fkdv yang

3 diberikan. Gambar (4.1) menampilkan beberapa hasil perhitungan yang diperoleh dengan menggunakan skema numerik yang diberikan pada bab sebelumnya.. Dengan beberapa nilai t yang diberikan dimulai dari detik ketiga dan kelipatannya dengan menggeserkannya ke atas (a) Solusi numerik uxt (, ). (b) Regresi linier dengan data berupa titik puncak. Gambar 4.1 Simulasi numerik persamaan KdV dengan ω = 0. Untuk memperjelas perilaku gelombang, pada setiap waktu iterasi diberikan nilai time-step tertentu. Oleh karena itu, gelombang permukaan yang disimulasikan dengan kondisi awal yang diberikan, menunjukkan bahwa gelombang permukaan bergerak ke arah kiri dengan bentuk yang tetap seperti yang diperlihatkan pada gambar (4.1a). Sedangkan gambar (4.1b) memperjelaskan bahwa data-data x dan t diambil dari nilai maksimum suatu fungsi sekan hiperbolik dari simulasi numerik yang bersesuaian dengan domain x - t yang diberikan. Hasil numerik ini menunjukkan bahwa gelombang bergerak dengan kecepatan rambat yang konstan sebesar , sedangkan perhitungan kecepatan rambat dari hasil analitik analitiknya adalah

4 Simulasi numerik untuk penjalaran gelombang satu arah dengan ω = 0.2 ditunjukkan pada gambar (4.2). Simulasi kedua ini diambil dengan beberapa nilai t yang diberikan pada detik ketiga dan kelipatannya dengan menggeserkannya keatas (a) Solusi numerik uxt (, ). (b) Regresi linier dengan data berupa titik puncak. Gambar 4.2 Simulasi numerik persamaan KdV untuk ω = 0.2 Untuk hasil simulasi numerik diatas menjelaskan bahwa dengan perbedaan kecepatan aliran (v) yang lebih besar daripada kecepatan rambat (c), memperlihatkan bahwa pergeseran fungsi sekan hiperbolik bergerak lebih lambat dibandingkan dengan kecepatan aliran dan kecepatan rambat yang sama seperti yang diperlihatkan pada gambar (4.1) dengan ketelitian sebesar , sedangkan c analitiknya adalah Simulasi numerik untuk penjalaran gelombang satu arah dengan ω = 0.2 ditunjukkan pada gambar (4.2). Simulasi kedua ini diambil dengan beberapa nilai t yang diberikan pada detik ketiga dan kelipatannya dengan menggeserkannya keatas

5 (a) Solusi numerik uxt (, ). (b) Regresi linier dengan data berupa titik puncak. Gambar 4.3. Simulasi numerik persamaan KdV untuk ω = 0.2 Untuk hasil simulasi numerik diatas menjelaskan bahwa dengan perbedaan kecepatan aliran (v) yang lebih kecil daripada kecepatan rambat (c), memperlihatkan bahwa pergeseran fungsi sekan hiperbolik bergerak lebih cepat dibandingkan dengan kecepatan aliran dan rambat yang sama seperti yang diperlihatkan pada gambar (4.1) dengan nilai numerik untuk kecepatan rambat sebesar , sedangkan kecepatan rambat dari perhitungan analitiknya adalah Simulasi Numerik fkdv. Untuk pembentukan gelombang dua arah akibat gaya luar dengan persamaan fkdv yang dikaji adalah dengan syarat awal adalah ( ) u + ωu 6uu u = F x, (4.2) t x x xxx x u( x,0) = 0 (4.3) Simulasi untuk persamaan (4.3) akan debagi menjadi dua kasus. Pertama, untuk gaya luar (2.15) dengan bentuk fisis berupa gundukan di dasar perairan dengan puncak datar selebar 50 dan tinggi gundukan sebesar 0.1. Kedua, untuk gaya luar berupa sekan

6 hiperbolik dengan tinggi gundukan yang sama. Berikut adalah simulasi numerik untuk gaya yang diberikan Gaya luar berupa ( ) ( ( )) Simulasi pembentukan gelombang permukaan dua arah dengan ω = 0, ω = 0.2 dan ω = 0.2, ditunjukkan pada gambar (4.4). Gambar (4.4) menunjukkan perilaku gelombang pada saat t = 3, t = 6, t = 9, t = 12, t = 15, t = 18, t = 21, t = 24, t = 27 dan t = 30 (a) Untuk ω = 0 (b) Untuk ω = 0.2

7 (c) Untuk ω = 0.2 Gambar 4.4 Simulasi Numerik untuk gaya (2.15) Hasil yang diperoleh dari gaya yang diberikan, menunjukkan bahwa gelombang terpecah menjadi dua kelompok. Kelompok gelombang yang bergerak kearah kanan memberikan amplitudo yang semakin teredam, sedangkan kelompok gelombang yang bergerak kearah kiri menghasilkan empat soliton yang sempurna dengan amplitudo yang sama. Disini nilai ω menentukan cepat-lambatnya pergerakan gelombang dan pembentukan kelompok gelombang pada bagian kiri. Pada ω yang bernilai negatif hampir membentuk soliton yang kelima dari ω yang bernilai nol, sedangkan ω yang bernilai positif pembentukan soliton kelima lebih lambat dari ω yang bernilai positif maupun nol. Pada Gambar 4.4 (b), kelompok gelombang permukaan bagian kanan bergerak lebih cepat dengan amplitudo yang lebih besar dibandingkan dengan (a), sedangkan (c) memperlihatkan bahwa gelombang bergerak lebih lambat dengan amplitudo yang sedikit lebih rendah dari (a).

8 Gaya luar berupa ( ). Pengamatan simulasi numerik untuk gaya luar berupa sekan hiperbolik, dipecah menjadi dua kasus yaitu untuk kondisi awal yang bernilai nol sepanjang sumbu x dan kondisi awal berupa fungsi soliter Syarat Awal ( ) Simulasi pembentukan gelombang permukaan dua arah untuk ω = 0, ω = 0.2 dan ω = 0.2, ditunjukkan pada gambar (4.5). Gambar (4.5) menunjukkan perilaku gelombang pada saat t = 3 dan kelipatannya. (a) Untuk ω = 0 (b) Untuk ω = 0.2

9 (c) Untuk ω = 0.2 u x,0 = 0 Gambar 4.5 Simulasi Numerik untuk gaya sekan hiperbolik dengan ( ) Hasil yang diperoleh dari gaya yang diberikan dengan tinggi gangguan yang sama dengan gaya yang diberikan pada (2.15), menunjukkan bahwa gelombang yang terbagi menjadi dua kelompok. Simulasi untuk gaya tersebut relatif lebih lambat pembentukan soliton yang bergerak ke arah kiri dibandingkan dengan kelompok gelombang yang diberikan oleh (2.15). Hasil ini dapat dilihat pada gambar (4.5) dari (a) sampai (c), bahwa gelombang yang dihasilkan akibat gangguan tersebut hanya memberikan tiga soliton yang sempurna yang bergerak kearah kiri, sedangkan kelompok gelombang yang bergerak ke arah kanan semakin meredam. Sedangkan kecepatan rambat gelombang permukaan tetap dipengaruhi oleh nilai ω yang diberikan Syarat Awal ( ) Simulasi pembentukan gelombang permukaan dua arah untuk ω = 0, ω = 0.2 dan ω = 0.2, ditunjukkan pada gambar (4.6) untuk δ 0 = 4000dan (4.7) untuk δ 0 = Tujuannya adalah mengamati perilaku kelompok gelombang yang dipengaruhi oleh gaya

10 luar yang diberikan. Gambar (4.6) dan (4.7) menunjukkan perilaku gelombang pada saat t = 3 dan kelipatannya. a. Posisi 4000 (a) Untuk ω = 0 (b) Untuk ω = 0.2

11 (c) Untuk ω = 0.2 Gambar 4.6. Simulasi Numerik untuk gaya sekan hiperbolik dengan kondisi awal berupa soliter pada posisi 4000 Hasil perhitungan numerik yang diberikan, mengakibatkan pembentukan soliton urutan keempat dari kiri lebih cepat dibandingkan dengan kondisi awal yang bernilai nol. Hal ini dikarenakan adanya pengaruh kondisi awal berupa soliter, pengamatan dapat dilihat pada gambar (4.6) dari (a) hingga (c) dengan selisih kecepatan yang berbeda. Pengamatan dimulai pada posisi 4000 dimana soliter bergerak ke arah kiri hingga bertemu dengan kelompok soliton bagian kiri. Akibatnya, amplitudo soliton ke empat membesar dari t=9 sampai t=18. Pada t=21 kelompok soliton bagian kiri pada ujung kanan terpecah menjadi dua, sehingga jumlah anggota soliton yang sempurna di sebelah kiri menjadi empat. Sedangkan soliter yang setelah bertemu kelompok soliton bagian kiri akan memantul kembali kearah kanan.

12 b. Posisi 8000 (a) Untuk ω = 0 (b) Untuk ω = 0.2 (b) Untuk ω = 0.2 Gambar 4.7. Simulasi Numerik untuk gaya sekan hiperbolik dengan kondisi awal berupa soliter pada posisi 8000 Hasil perhitungan numerik untuk posisi tersebut, tidak memberikan perubahan untuk kelompok soliton bagian kanan. Hasil ini dapat dilihat dari gambar (4.7) dari (a)

13 sampai (c), menunjukkan bahawa kelombang gelombang yang teredam tidak mengalami perubahan. Sedangkan soliter yang bergerak melewatinya tetap dalam amplitudo dan kecepatan yang konstan Masalah Solusi Numerik Untuk pembentukan gelombang permukaan dua arah dengan kondisi awal berupa penjumlahan langsung solusi analitik (u h ) dari persamaan KdV dan solusi numerik (u p ) untuk sembarang x dan t dari persamaan fkdv, dimana uxt (, ) = u( xt, ) + u( xt, ) (4.4) Dengan tujuan untuk memeriksa solusi yang didapat, apakah hasil perhitungan numerik di atas dengan kondisi awal berupa solusi analitik akan memberikan hasil yang serupa dengan perhitungan numeric pada (4.4)? Simulasi untuk pembentukan gelombang dua arah pada masalah solusi numerik ini, hanya untuk ω = 0. Gambar 4.8 menunjukkan perilaku gelombang permukaan akibat penjumlahan langsung pada waktu t = 3 dan kelipatannya h p Gambar 4.8 Simulasi numerik dari penjumlahan langsung

14 Kita bisa mengamati pada gambar 4.8 berbeda dengan yang diberikan pada simulasi gambar 4.6. Gelombang permukaan yang diberikan solusi analitik bergerak dengan kecepatan rambat yang konstan ke arah kiri dengan simpangan soliton yang semakin membesar pada bagian soliton sempurna. Kita bisa membandingkannya dengan mengambil detik ke 15 pada gambar 4.6(a) dengan gambar 4.8 pada gambar berikut ini Gambar 4.9. Gelombang permukaan numerik dengan gelombang dari hasil penjumlahan solusi numerik partikular dan analitik Hasil ini menunjukkan bahwa gelombang permukaan (berwarna merah) bagian kanan yang dibangkitkan oleh gaya luar tidak terganggu oleh solusi analitik yang melaluinya dan kecepatan rambat gelombangnya lebih rambat dari perhitungan numerik secara langsung dengan kondisi awal yang analitik. Hasil ini berbeda dengan hasil perhitungan numerik yang diperoleh pada solusi numerik dengan kondisi awal yang berupa solusi analitik yang beraskala dari persamaan KdV. Dengan kata lain, penjumlahan langsung diatas tidak memberikan hasil yang sama dengan perhitungan numerik dengan kondisi awal berupa solusi analitik.

15 Analisa Gaya Luar Dari hasil yang didapatkan dari simulasi diatas, dapat disimpulkan bahwa cepat atau tidaknya pembentukan gelombang permukaan dua arah (khususnya pada bagian kiri) ditentukan oleh jenis gaya luar yang diberikan. Pada gaya luar yang diberikan pada subbab memperlihatkan pembentukan gelombang lebih banyak dibandingkan dengan gaya luar yang diberikan pada subbab Hal ini disebabkan adanya bagian yang datar pada bagian gundukan (2.15), sehingga proses pembentukan soliton lebih cepat dibandingkan dengan gundukan berupa sekan hiperbolik dengan puncak yang tidak datar. Untuk membuktikannya, kita dapat melihat hasil perubahan tersebut secara kualitatif pada gambar (4.10) dari L=1,3,5,7 dan L=10. (a) L=1 (b) L=3 (c) L=5 (d) L=7

16 (e) L=9 Gambar 4.10 Simulasi fkdv dari L=1,3,5,7 dan L=9 Gelombang yang diperoleh dari hasil perhitungan dari (a) sampai (c) memberikan jumlah soliton pada bagian kiri lebih kecil dibandingkan dengan (d) sampai (e). Pada gelombang (e) memberikan jumlah anggota soliton yang maksimal serta pembentukan soliton yang lebih cepat dibandingkan L<9.