Analisis Riil II: Diferensiasi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Analisis Riil II: Diferensiasi"

Transkripsi

1

2 Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga x I,0 < x c < δ f(x) f(c) L x c < ε. (1) Dalam hal ini, kita katakan bahwa f dapat diturunkan di c atau f mempunyai turunan di c, dan kita tulis f (c) untuk L (kadang-kadang juga dipakai notasi Df atau df dx untuk menyatakan fungsi turunan). Dengan kata lain, turunan dari f di c diberikan oleh f f(x) f(c) (c) = lim, (2) x c x c asalkan limitnya ada.

3 Contoh Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers 1 Jika f(x) = x 2 untuk x R, maka untuk setiap c R berlaku f f(x) f(c) x 2 c 2 (c) = lim = lim x c x c x c x c = lim x c (x +c) = 2c. Dalam hal ini, fungsi f terdefinisi pada R dan f (x) = 2x untuk setiap x R. 2 Jika h(x) = x, x R, maka untuk x 0 berlaku h(x) h(0) x 0 = x { 1, x > 0, x = 1, x < 0. h(x) h(0) Dengan demikian lim x 0 x 0 tidak ada, sehingga fungsi h(x) = x tidak dapat diturunkan di x = 0.

4 Teorema (1) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Kekontinuan fungsi yang mempunyai turunan) Jika f : I R mempunyai turunan di c I, maka f kontinu di c. Bukti. Untuk setiap x I, x c, berlaku ( ) f(x) f(c) f(x) f(c) = (x c). x c Karena f (c) ada, maka dengan menggunakan Teorema Perkalian Limit (lihat lagi) diperoleh ( ) f(x) f(c) ( ) lim(f(x) f(c)) = lim lim x c x c x c (x c) = f (c) 0 = 0. x c Perhatikan bahwa dari hubungan di atas dapat disimpulkan bahwa lim x c f(x) = f(c). Dengan demikian f kontinu di c (terbukti).

5 Teorema (2) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Aturan dasar turunan) Misalkan I R sebuah interval, c I, dan f,g : I R adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan di c. Maka: (a) Jika α R, maka αf mempunyai turunan di c, dan (αf) (c) = αf (c). (3) (b) Fungsi f +g mempunyai turunan di c, dan (f +g) (c) = f (c)+g (c). (4) (c) (Aturan perkalian) Fungsi fg mempunyai turunan di c, dan (fg) (c) = f (c)g(c)+f(c)g (c). (5) (d) (Aturan pembagian) Jika g(c) 0, maka fungsi f/g mempunyai turunan di c, dan (f ) (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) g (g(c)) 2. (6)

6 Akibat Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Akibat Jika f 1,f 2,...,f n adalah fungsi-fungsi dari interval I ke R yang mempunyai turunan di c R, maka: (a) Fungsi f 1 +f f n mempunyai turunan di c, dan (f 1 +f f n ) (c) = f 1(c)+f 2(c)+...+f n(c). (7) (b) Fungsi f 1 f 2...f n mempunyai turunan di c, dan (f 1 f 2...f n ) (c) = f 1 (c)f 2(c)...f n (c)+f 1 (c)f 2 (c)...f n(c) +...+f 1 (c)f 2 (c)...f n (c). (8)

7 Beberapa kasus khusus Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Jika f 1 = f 2 =... = f n = f, maka (8) menjadi (f n ) (c) = n(f(c)) n 1 f (c). (9) Jika pada (9) kita ambil f(x) = x, maka kita peroleh turunan dari g(x) = x n, yaitu g (x) = nx n 1, n N. (10)

8 Aturan Rantai Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Aturan Rantai) Misalkan I,J adalah interval-interval di R, g : I R dan f : J R adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga f(j) I, dan c J. Jika f dapat diturunkan di c dan g dapat diturunkan di f(c), maka fungsi komposisi g f dapat diturunkan di c, dan Bukti. (g f) (c) = g (f(c)) f (c). (11)

9 Aturan Rantai (lanjutan bukti) Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers

10 Contoh Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers 1 Jika f : I R dapat diturunkan pada I dan g(y) = y n untuk y R, n N, maka g (y) = ny n 1 [lihat pers. (10)]. Dengan menggunakan Aturan Rantai, diperoleh (f n ) (x) = (g(f(x))) (x) = (g f) (x) = g (f(x)) f (x) = n(f(x)) n 1 f (x), untuk semua x I, sebagaimana yang juga sudah ditunjukkan di (9). 2 (untuk contoh lain, silakan baca di buku)

11 Teorema (1) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Turunan fungsi invers di suatu titik) Misalkan I R adalah interval dan fungsi f : I R monoton sejati dan kontinu pada I. Misalkan J = f(i) dan g : J R monoton sejati dan merupakan fungsi invers kontinu dari f. Jika f mempunyai turunan di c I dan f (c) 0, maka g dapat diturunkan di d = f(c), dan Bukti. g (d) = 1 f (c) = 1 f (g(d)). (12)

12 Teorema (1) [lanjutan bukti] Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers

13 Teorema (2) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Teorema (Turunan fungsi invers pada suatu interval) Misalkan I R adalah interval dan fungsi f : I R monoton sejati pada I. Misalkan J = f(i) dan g : J R merupakan fungsi invers dari f. Jika f mempunyai turunan pada I dan f (x) 0 untuk x I, maka g dapat diturunkan pada J, dan g = 1 f g. (13) Bukti. Karena f mempunyai turunan pada I, maka dari Teorema Kekontinuan Fungsi yang Mempunyai Turunan (lihat lagi), f kontinu pada I. Dengan demikian, menurut Teorema Invers Kontinu (lihat lagi), fungsi invers g kontinu pada J. Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema Turunan Fungsi Invers di Suatu Titik, persamaan (13) dipenuhi.

14 Contoh (1) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Fungsi f : R R yang didefinisikan dengan f(x) = x 5 +4x +3 adalah fungsi kontinu dan naik sejati pada R (justifikasi!). Lebih lanjut, f (x) = 5x untuk setiap x R (persisnya f (x) = 5x 4 +4>0 untuk setiap x R). Oleh karena itu, menurut Teorema Turunan Fungsi Invers di Suatu Titik, fungsi invers g = f 1 mempunyai turunan di setiap y = f(x) R. Jika kita ambil c = 1, maka f(1) = 8. Dengan demikian kita peroleh (f 1 ) (8) = 1/f (1) = 1/9.

15 Contoh (1) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Fungsi f : R R yang didefinisikan dengan f(x) = x 5 +4x +3 adalah fungsi kontinu dan naik sejati pada R (justifikasi!). Lebih lanjut, f (x) = 5x untuk setiap x R (persisnya f (x) = 5x 4 +4>0 untuk setiap x R). Oleh karena itu, menurut Teorema Turunan Fungsi Invers di Suatu Titik, fungsi invers g = f 1 mempunyai turunan di setiap y = f(x) R. Jika kita ambil c = 1, maka f(1) = 8. Dengan demikian kita peroleh (f 1 ) (8) = 1/f (1) = 1/9.

16 Contoh (2) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Misalkan n N bilangan genap, I = [0, ), dan f(x) = x n untuk x I. Dapat ditunjukkan bahwa f naik sejati dan kontinu pada I (tunjukkan!), sehingga fungsi invers g(y) = y 1/n untuk y J = [0, ) juga naik sejati dan kontinu pada I (menurut teorema yang mana?). Lebih lanjut, kita mempunyai f (x) = nx n 1 untuk setiap x I. Oleh karena itu, jika y > 0, maka g (y) ada, dan g (y) = 1 f (g(y)) = 1 n(g(y)) n 1 = 1 n(y 1/n ) n 1 = 1 ny (n 1)/n. Jadi dapat disimpulkan bahwa g (y) = y(1/n) 1 n untuk y > 0. Akan tetapi, g tidak dapat diturunkan di y = 0.

17 Contoh (2) Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Misalkan n N bilangan genap, I = [0, ), dan f(x) = x n untuk x I. Dapat ditunjukkan bahwa f naik sejati dan kontinu pada I (tunjukkan!), sehingga fungsi invers g(y) = y 1/n untuk y J = [0, ) juga naik sejati dan kontinu pada I (menurut teorema yang mana?). Lebih lanjut, kita mempunyai f (x) = nx n 1 untuk setiap x I. Oleh karena itu, jika y > 0, maka g (y) ada, dan g (y) = 1 f (g(y)) = 1 n(g(y)) n 1 = 1 n(y 1/n ) n 1 = 1 ny (n 1)/n. Jadi dapat disimpulkan bahwa g (y) = y(1/n) 1 n untuk y > 0. Akan tetapi, g tidak dapat diturunkan di y = 0.

18 Definisi Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Definisi (Maksimum dan minimum relatif) Fungsi f : I R R dikatakan mempunyai maksimum relatif [minimum relatif] di c I jika terdapat lingkungan V = V δ (c) dari c sehingga f(c) f(x) [f(c) f(x)] untuk semua x V I. Lebih lanjut, kita katakan bahwa fungsi f mempunyai ekstrim relatif di c I jika f mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif di c.

19 Teorema Ekstrim Dalam Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Teorema Ekstrim Dalam Misalkan c adalah titik dalam dari interval I (yaitu, terdapat lingkungan V = V δ (c) dari c sehingga V I) dan f : I R mempunyai ekstrim relatif di c. Jika f (c) ada, maka f (c) = 0. Bukti. (untuk kasus f yang mempunyai maksimum relatif di c) Andaikan f (c) > 0. Dengan demikian terdapat lingkungan V δ (c) I sedemikian sehingga f(x) f(c) x c Jika x V δ (c), x > c, maka diperoleh > 0 untuk x V δ (c),x c. f(x) f(c) = (x c) f(x) f(c) > 0. x c Namun hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif di c. Jadi pengandaian f (c) > 0 salah.

20 Teorema Ekstrim Dalam (lanjutan bukti) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Sekarang andaikan f (c) < 0, maka terdapat lingkungan V δ (c) I sedemikian sehingga f(x) f(c) x c Jika x V δ (c), x < c, maka diperoleh < 0 untuk x V δ (c),x c. f(x) f(c) = (x c) f(x) f(c) x c > 0. Hal ini juga kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif di c. Jadi pengandaian f (c) < 0 juga salah. Jadi haruslah f (c) = 0. Dengan cara serupa, buktikan untuk kasus f yang mempunyai minimum relatif di c!

21 Akibat Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Akibat Jika f : I R kontinu pada interval I dan f mempunyai ekstrim relatif di c I, maka berlaku salah satu: f (c) tidak ada atau f (c) = 0. Contoh: Fungsi f(x) = x pada I = [ 1,1] mempunyai minimum relatif di x = 0, tetapi tidak mempunyai turunan di x = 0.

22 Teorema Rolle Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Teorema Rolle Jika f kontinu pada interval tutup I = [a,b] dan mempunyai turunan pada interval buka (a,b) dengan f(a) = f(b) = 0, maka terdapat sedikitnya satu titik c (a, b) sedemikian sehingga f (c) = 0. Bukti. Jika f fungsi nol pada I, maka sebarang c (a,b) memenuhi kesimpulan dari teorema. Oleh karena itu sekarang kita anggap f bukan fungsi nol pada I. Dengan menggantikan f dengan f, jika perlu, maka kita dapat mengasumsikan bahwa nilai f ada yang positif. Karena f kontinu pada interval tutup I = [a,b] (yang juga terbatas), maka berdasarkan Teorema Maksimum-Minimum (lihat lagi), fungsi f mencapai nilai sup{f(x) : x I} > 0 di suatu titik c I.

23 Teorema Rolle (lanjutan bukti) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Karena f(a) = f(b) = 0, maka titik c haruslah berada dalam (a,b). Oleh karena itu f (c) ada. Dengan demikian, dari Teorema Ekstrim Dalam, kita dapat simpulkan bahwa f (c) = 0. (Lihat gambar di bawah.)

24 Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan (akibat Teorema Rolle) (TNR) Jika f fungsi kontinu pada interval tutup I = [a,b] dan mempunyai turunan pada interval buka (a, b), maka terdapat sedikitnya satu titik c (a,b) sehingga f(b) f(a) = f (c)(b a). Bukti. Pandang fungsi ϕ yang didefinisikan pada I dengan ϕ(x) = f(x) f(a) f(b) f(a) (x a), b a yang merupakan selisih fungsi f dengan fungsi yang grafiknya adalah ruas garis yang menghubungkan titik (a,f(a)) dan (b,f(b)) [lihat gambar di belakang].

25 (lanjutan bukti) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Perhatikan bahwa hipotesis dari Teorema Rolle dipenuhi oleh ϕ, karena ϕ kontinu pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Oleh karena itu terdapat c (a,b) sedemikian sehingga 0 = ϕ (c) = f (c) f(b) f(a). b a Dengan demikian f(b) f(a) = f (c)(b a).

26 (lanjutan bukti) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Perhatikan bahwa hipotesis dari Teorema Rolle dipenuhi oleh ϕ, karena ϕ kontinu pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Oleh karena itu terdapat c (a,b) sedemikian sehingga 0 = ϕ (c) = f (c) f(b) f(a). b a Dengan demikian f(b) f(a) = f (c)(b a).

27 Beberapa Implikasi TNR (1) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Silakan dipelajari bukti dari beberapa implikasi TNR berikut! Teorema (Kriteria turunan untuk fungsi konstan) Jika f kontinu pada interval tutup I = [a,b], mempunyai turunan pada interval buka (a,b), dan f (x) = 0 untuk setiap x (a,b), maka f fungsi konstan pada I. Akibat Jika f dan g fungsi kontinu pada I = [a,b], mempunyai turunan pada (a,b), dan f (x) = g (x) untuk setiap x (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga f = g +C pada I.

28 Beberapa Implikasi dari TNR (2) Teorema (Kriteria turunan untuk kemonotan) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Jika f : I R mempunyai turunan pada I, maka berlaku: (i) f naik pada I f (x) 0 x I. (ii) f turun pada I f (x) 0 x I. Teorema (Uji turunan pertama untuk nilai ekstrim) Misalkan f kontinu pada I = [a,b], c titik dalam dari I, dan f mempunyai turunan pada (a,c) dan c,b. Maka berlaku: (i) Jika terdapat lingkungan (c δ,c +δ) I sedemikian sehingga f (x) 0 untuk c δ < x < c dan f (x) 0 untuk c < x < c +δ, maka f mempunyai maksimum relatif di c. (ii) Jika terdapat lingkungan (c δ,c +δ) I sedemikian sehingga f (x) 0 untuk c δ < x < c dan f (x) 0 untuk c < x < c +δ, maka f mempunyai minimum relatif di c.

29 Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Aplikasi Teorema Rolle: lokasi akar suatu fungsi Misalkan fungsi g adalah turunan dari fungsi f. Maka di antara dua akar sebarang dari fungsi f, terdapat paling sedikit satu akar dari fungsi g. Contoh: Misalkan f(x) = sinx, sehingga g(x) = f (x) = cosx. Dengan demikian di antara dua akar sebarang dari sin x, terdapat paling sedikit satu akar dari cosx. Di lain pihak, g (x) = sinx = f(x). Jadi di antara dua akar sebarang dari cosx, terdapat paling sedikit satu akar dari sinx. Oleh karena itu, kita simpulkan bahwa akar-akar dari sin x dan cos x saling bertautan.

30 Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Aplikasi TNR: aproksimasi perhitungan dan estimasi error Misalkan ingin dihitung nilai dari 105. Kita gunakan TNR dengan f(x) = x, a = 100, dan b = 105, sehingga diperoleh = 2(, untuk suatu c (100,105). c) Karena 10 < c < 105 < 121 = 11, kita peroleh 5 2(11) < < 5 2(10) 10,2272< 105 < 10,2500. Aproksimasi di atas dapat dibuat lebih baik dengan menggunakan hubungan c < 105 < 10,2500, yaitu c < 10,2500, sehingga kita peroleh 0,2439 = 5 2(10,2500) < Jadi aproksimasi yang diperoleh sekarang untuk 105 adalah 10,2439< 105 < 10,2500.

31 Ketaksamaan Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Salah satu aplikasi penting dari TNR adalah untuk memperoleh bentuk-bentuk ketaksamaan tertentu. Contoh: Fungsi f(x) = e x mempunyai turunan f (x) = e x untuk setiap x R. Jadi f (x) > 1 untuk x > 0 dan f (x) < 1 untuk x < 0. Dari hubungan ini, kita akan tunjukkan ketaksamaan e x 1+x, x R, (14) dengan bagian kesamaannya diperoleh jika dan hanya jika x = 0. Kita tinjau per kasus. Untuk x = 0, bagian kesamaan dari (14) otomatis berlaku dimana kedua ruas bernilai 1. Untuk x > 0, dengan menggunakan TNR untuk fungsi f(x) = e x pada interval [0, x], kita peroleh e x e 0 = e c (x 0), untuk suatu c (0,x). (15)

32 Ketaksamaan (...sambungan) Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Karena e 0 = 1 dan e c > 1, maka pers. (15) menjadi e x 1 > x e x > 1+x, untuk x > 0. (16) Untuk x < 0, dengan menggunakan argumen yang sama dengan kasus di atas (untuk x > 0), maka akan kita peroleh e x > 1+x untuk x < 0 (silakan dicoba!). Jadi ketaksamaan (14) berlaku untuk semua x R dengan bagian kesamaannya diperoleh untuk x = 0. Silakan dipelajari contoh-contoh ketaksamaan lain di buku!

33 Sifat Nilai Antara dari Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Lema Misalkan I R sebuah interval, f : I R, c I, dan asumsikan bahwa f mempunyai turunan di c. Maka berlaku: (a) Jika f (c) > 0, maka terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga f(x) > f(c) untuk x I dengan c < x < c +δ. (b) Jika f (c) < 0, maka terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga f(x) > f(c) untuk x I dengan c δ < x < c. Silakan pelajari buktinya di buku!

34 Sifat Nilai Antara dari Turunan Maksimum-Minimum Relatif dan Teorema Rolle dan Implikasinya Aplikasi Lebih Lanjut Ketaksamaan dan Sifat Nilai Antara dari Turunan Teorema Darboux Jika f dapat diturunkan pada I = [a,b] dan k bilangan antara f (a) dan f (b), maka terdapat paling sedikit satu titik c (a,b) sedemikian sehingga f (c) = k. Bukti. Misalkan f (a) < k < f (b). Definisikan g pada I dengan g(x) = kx f(x) untuk x I. Karena g kontinu (justifikasi!), maka ia mempunyai maksimum pada I (justifikasi!). Karena g (a) = k f (a) > 0, maka dari Lema sebelumnya [kasus (a)] dapat disimpulkan bahwa maksimum g tidak terjadi di x = a. Kemudian karena g (b) = k f (b) < 0, maka dari Lema sebelumnya [kasus (b)] dapat disimpulkan bahwa maksimum g tidak terjadi di x = b. Oleh karena itu, g mencapai maksimum di suatu titik c (a,b). Dari Teorema Ekstrim Dalam, berlaku 0 = g (c) = k f (c). Jadi, f (c) = k.

35 Bentuk Tak-Tentu Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Misalkan A = lim x c f(x) dan B = lim x c g(x). Kasus (i): B 0. Kasus (ii): A 0,B = 0. (kerjakan Latihan 6.3 no. 2) f(x) lim f(x) lim x c g(x) = x c lim g(x) = A B. x c f(x) lim = ± (jika ada). x c g(x) Kasus (iii): A = B = 0. Kasus ini belum didiskusikan sebelumnya. Limit hasil bagi f/g dikatakan tak-tentu (untuk kasus ini disimbolkan dengan 0/0). Bentuk tak-tentu lainnya: /,0,0 0,1, 0,.

36 Teorema-Teorema Pendahuluan (1) Teorema Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Misalkan f dan g terdefinisi pada [a,b], f(a) = g(a) = 0, dan g(x) 0 untuk a < x < b. Jika f dan g mempunyai turunan di a dan jika g (a) 0, maka limit dari f/g di a (dari kanan) ada dan nilainya sama dengan f (a)/g (a). Jadi f(x) lim x a + g(x) = f (a) g (a). Bukti. Karena f(a) = g(a) = 0, maka dapat ditulis f(x) g(x) = f(x) f(a) f(x) f(a) g(x) g(a) = x a g(x) g(a) x a, x (a,b). Dengan menggunakan Teorema Pembagian Limit, kita peroleh f(x) f(a) lim f(x) lim x a + g(x) = x a + x a = f (a) g(x) g(a) g lim (a). x a + x a

37 Teorema-Teorema Pendahuluan (2) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Contoh: Peringatan x 2 +x lim x 0 sin2x = cos(2 0) = 1 2. Hipotesis f(a) = g(a) = 0 sangat penting di sini. Sebagai contoh, jika f(x) = x +17 dan g(x) = 2x +3 untuk x R, maka f(x) lim x 0 g(x) = 17 3, tetapi f (0) g (0) = 1 2. Untuk menentukan limit dimana f dan g tidak mempunyai turunan di a, kita membutuhkan sebuah teorema yang merupakan versi yang lebih umum dari (diformulasikan oleh Cauchy).

38 Teorema-Teorema Pendahuluan (3) Cauchy Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Misalkan f dan g kontinu pada [a,b], mempunyai turunan pada (a,b), dan g (x) 0 untuk setiap x (a,b). Maka terdapat c (a,b) sedemikian sehingga f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). Bukti. Perhatikan bahwa g(a) g(b) (mengapa?). Untuk x [a, b], definisikan h(x) = f(b) f(a) g(b) g(a) (g(x) g(a)) (f(x) f(a)). Dengan demikian, h kontinu pada [a, b], mempunyai turunan pada (a, b), dan h(a) = h(b) = 0. Jadi, menurut Teorema Rolle, terdapat c (a,b) sehingga 0 = h (c) = f(b) f(a) g(b) g(a) g (c) f (c). Karena g (c) 0, maka dengan membagi persamaan di atas dengan g (c), kita peroleh hasil yang diinginkan.

39 I Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Teorema ( I) [untuk kasus limit kanan] Misalkan a < b, f dan g mempunyai turunan pada (a,b) sedemikian sehingga g (x) 0 untuk setiap x (a,b), dan lim x a +f(x) = 0 = lim x a +g(x). f (x) f(x) Jika lim x a + g = L R, maka lim (x) x a + g(x) = L. f (x) f(x) Jika lim x a + g = L {, }, maka lim (x) x a + g(x) = L. Bukti.

40 I (...lanjutan bukti) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya

41 I (...lanjutan bukti) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Untuk kasus limit kiri, dikerjakan serupa. Hasil untuk kasus limit dua-pihak dapat diperoleh jika limit kanan dan limit kiri ada dan sama.

42 Contoh Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya sinx L cosx (a) lim = lim x 0 + x x 0 + 1/2 x = lim x 0 +2 x cosx = 0. (b) lim x 0 1 cosx x 2 (c) lim x 0 e x 1 x x 2 L = lim x 0 sinx 2x L = lim x 0 e x 1 2x ln x L 1/x (d) lim = lim x 1 x 1 x 1 1 = 1. L = lim x 0 cosx 2 = 1 2. L = lim x 0 e x 2 = 1 2.

43 Contoh Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya sinx L cosx (a) lim = lim x 0 + x x 0 + 1/2 x = lim x 0 +2 x cosx = 0. (b) lim x 0 1 cosx x 2 L = lim x 0 sinx 2x L = lim x 0 cosx 2 = 1 2. (c) lim x 0 e x 1 x x 2 L = lim x 0 e x 1 2x L = lim x 0 e x 2 = 1 2. (d) lim x 1 ln x x 1 L 1/x = lim x 1 1 = 1.

44 II Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Teorema ( II) [untuk kasus limit kanan] Misalkan a < b, f dan g mempunyai turunan pada (a,b) sedemikian sehingga g (x) 0 untuk setiap x (a,b), lim x a +f(x) = ±, dan lim x a +g(x) = ±. f (x) f(x) Jika lim x a + g = L R, maka lim (x) x a + g(x) = L. f (x) f(x) Jika lim x a + g = L {, }, maka lim (x) x a + g(x) = L. Bukti. (silakan dipelajari buktinya di buku!)

45 Contoh Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya ln x L 1/x (a) lim = lim x x x 1 = 0. x 2 L 2x L 2 (b) lim = lim = lim x e x x e x x e x = 0. ln(sinx) L cosx/sinx (c) lim = lim x 0 + ln x x 0 + 1/x [ x ] = lim x 0 + sinx cosx = 1. x sinx (d) lim x x +sinx = lim 1 sinx x x 1+ sinx x = = 1.

46 Contoh Turunan Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya ln x (a) lim x x L 1/x = lim x 1 = 0. x 2 L 2x L 2 (b) lim = lim = lim x e x x e x x e x = 0. (c) lim x 0 + ln(sinx) ln x L = lim x 0 + cosx/sinx 1/x [ x ] = lim x 0 + sinx cosx = 1. x sinx (d) lim x x +sinx = lim 1 sinx x x 1+ sinx x = = 1.

47 Bentuk Tak-Tentu Lainnya (1) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya Bentuk tak-tentu seperti 0,0 0,1, 0, dapat direduksi ke bentuk tak-tentu sebelumnya (0/0 atau / ) dengan manipulasi aljabar dan penggunaan fungsi logaritma dan eksponensial. Contoh: Hitunglah limit berikut. ( 1 (a) lim x 0 + x 1 ), (0,π/2), sinx (b) lim x (1+1/x)x, (1, ). (a) Misalkan ingin dihitung lim x 0 + ( 1 x 1 sinx ), x (0,π/2). Perhatikan bahwa limit di atas mempunyai bentuk tak-tentu. Bentuk ini dapat direduksi ke bentuk 0/0 sehingga kemudian dapat digunakan aturan L Hospital I sebagai berikut. ( ) 1 1 sinx x L cosx 1

48 Bentuk Tak-Tentu Lainnya (2) Bentuk Tak-Tentu dan Teorema-Teorema Pendahuluan I II Bentuk Tak-Tentu Lainnya (b) Misalkan ingin dihitung lim x ( 1+ 1 x) x, x (1, ). Limit di atas mempunyai bentuk tak-tentu 1. Perhatikan bahwa ( 1+ 1 ) x = e xln(1+ x) 1. x Lebih lanjut, kita mempunyai ( lim xln 1+ 1 ) = lim x x x L = lim x ln ( 1+ 1 x 1 x ( 1+ 1 x ) ) 1 ( x 2 ) x 2 = lim x Karena y e y kontinu di y = 1, kita simpulkan bahwa lim x ( 1+ 1 x) x = e x = 1.

49 Turunan Tingkat Tinggi Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Jika f : I R mempunyai turunan pada I, kita peroleh fungsi f : I R. Fungsi f disebut turunan pertama dari f. Jika f mempunyai turunan, kita tulis f sebagai turunan dari f. Fungsi f disebut turunan kedua dari f. Dengan cara yang sama, kita peroleh f, f, dst. Demi kemudahan notasi, kita tulis f (n) untuk menyatakan turunan ke-n dari f (biasanya notasi seperti ini digunakan untuk turunan ke-4, ke-5, dst, yaitu untuk n = 4,5,...).

50 Definisi Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Definisi (Polinom Taylor ke-n) Misalkan fungsi f mempunyai turunan ke-n di titik x 0. Kita definisikan polinom Taylor ke-n untuk f di x 0 sebagai P n (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. (35) n! Perhatikan bahwa P n (x 0 ) = f(x 0 ) dan P (k) n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) untuk k = 1,...,n. Karena itu masuk akal untuk mengaproksimasi f(x) dengan P n (x) untuk x di sekitar x 0. Namun untuk mengukur kualitas dari aproksimasi tersebut, perlu informasi dari sisa R n = f P n. Teorema berikut memberikan informasi demikian.

51 Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Misalkan n N, I = [a,b], dan f : I R sedemikian sehingga f dan turunannya f,f,...,f (n) kontinu pada I dan f (n+1) ada pada (a,b). Jika x 0 I, maka untuk sebarang x I terdapat titik c di antara x dan x 0 sedemikian sehingga f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + f (n+1) (c) n! (n+1)! (x x 0) n+1. (36) Pers. (36) dapat ditulis sebagai f(x) = P n(x)+r n(x), dimana P n(x) diberikan oleh pers. (35) dan R n(x) adalah sisa yang diberikan oleh R n(x) = f (n+1) (c) (n+1)! (x x0)n+1, (37) untuk suatu c di antara x dan x 0. Formula untuk R n di atas disebut bentuk Lagrange (atau bentuk turunan) dari sisa.

52 (bukti) Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Bukti. Misalkan J menyatakan interval tutup dengan titik-titik ujung x 0 dan x. Kita definisikan fungsi F pada J dengan F(t) = f(x) f(t) (x t)f (t) Perhatikan bahwa F (t) = (x t)n f (n+1) (t). n! (x t)n f (n) (t), t J. n! Sekarang definisikan fungsi G pada J dengan ( ) x t n+1 G(t) = F(t) F(x 0 ), t J. x x 0

53 (lanjutan bukti) Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Dapat diperiksa bahwa G kontinu pada J, mempunyai turunan pada J \{x 0,x}, dan G(x 0 ) = G(x) = 0. Dengan demikian, menurut Teorema Rolle, terdapat c di antara x 0 dan x sedemikian sehingga 0 = G (c) = F (x c) n (c)+(n+1) (x x 0 ) n+1f(x 0). Dari sini kita peroleh F(x 0 ) = f (n+1) (c) (n+1)! (x x 0) (n+1), yang sesuai dengan hasil yang diinginkan.

54 Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Estimasi error dalam mengaproksimasi sebuah fungsi (1) Suku sisa R n pada dapat digunakan untuk mengestimasi error dalam mengaproksimasi sebuah fungsi dengan polinom Taylornya P n. Ada dua skenario yang akan muncul: (i) Jika nilai n ditetapkan, maka ketelitian aproksimasi tersebut dapat ditentukan, atau (ii) Jika ketelitian aproksimasi ditetapkan, maka nilai n dapat ditentukan. Contoh berikut akan mengilustrasikan skenario (i) [silakan lihat contoh untuk skenario (ii) di buku]. Contoh: Gunakan dengan n = 2 untuk mengaproksimasi 3 1+x,x > 1.

55 Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Estimasi error dalam mengaproksimasi sebuah fungsi (2) Jawab. Kita ambil fungsi f(x) = (1+x) 1/3, titik x 0 = 0, dan n = 2. Jadi pers. (36) pada teorema Taylor untuk kasus ini menjadi (periksa!) f(x) = x 1 9 x2 +R 2 (x). dimana R 2 (x) = 5 81 (1+c) 8/3 x 3 untuk suatu titik c di antara 0 dan x. Sebagai contoh, jika x = 0,3, kita peroleh aproksimasi P 2 (0,3) = 1,09 untuk 3 1,3. Lebih jauh, karena dalam kasus ini c > 0, maka (1+c) 8/3 < 1 dan oleh karena itu errornya paling besar adalah R 2 (0,3) < 5 81 ( 3 10 ) 3 = < 0, Jadi, diperoleh 3 1,3 1,09 < 0,5 10 2, yaitu diperoleh ketelitian sampai dua tempat desimal.

56 Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Penurunan Beberapa Bentuk Ketaksamaan Contoh: Tunjukkan bahwa e π > π e. Bukti. Dengan menggunakan teorema Taylor, dapat ditunjukkan bahwa e x > 1+x untuk x > 0 (justifikasi!). Kemudian karena π > e, kita mempunyai x = π/e 1 > 0, sehingga e (π/e) 1 > 1+(π/e 1) = π/e. Hal ini mengakibatkan e (π/e) > (π/e)e = π. Jadi kita peroleh e π > π e.

57 Ilustrasi Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton

58 Metode Newton (-Raphson) Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Teorema (Metode Newton) Misalkan I = [a,b] dan f : I R dapat diturunkan dua kali pada I. Andaikan f(a)f(b) < 0 dan terdapat konstanta m dan M sehingga f (x) m > 0 dan f (x) M untuk x I dan misalkan K = M/2m. Maka terdapat subinterval I yang memuat akar r dari persamaan f(x) = 0 sedemikian sehingga untuk sebarang x 1 I, barisan (x n ) yang didefinisikan dengan x n+1 = x n f(x n) f (x n ) ada di I dan (x n ) konvergen ke r. Lebih lanjut, untuk setiap n N, (38) x n+1 r K x n r 2 untuk setiap n N. (39) Silakan pelajari buktinya di buku!

59 Contoh Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton Kita akan gunakan metode Newton untuk mengaproksimasi 2. Kita ambil f(x) = x 2 2 untuk x R sehingga untuk mencari nilai 2 dapat dilakukan dengan mencari akar positif dari persamaan f(x) = 0. Karena f (x) = 2x, rumus iterasi adalah x n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n 2 2x n = 1 2 (x n + 2xn ). Jika kita pilih x 1 = 1 sebagai tebakan awal, kita peroleh berturut-turut x 2 = 1,5, x 3 = 1, , x 4 = 1, , dan x 5 = 1, , yaitu akurat sampai 11 tempat desimal.

60 Catatan Turunan Turunan Tingkat Tinggi Aplikasi Metode Newton (a) Misalkan e n = x n r adalah error dalam mengaproksimasi r. Dengan demikian ketaksamaan (39) dapat ditulis menjadi Ke n+1 Ke n 2. Akibatnya, jika Ke n < 10 m, maka Ke n+1 < 10 2m. Jadi jumlah angka signifikan pada Ke n menjadi dua kali lipat. Berdasarkan kenyatan ini, barisan yang dibangkitkan oleh metode Newton dikatakan konvergen secara kuadratik. (b) Jika tebakan awal x 1 yang dipilih buruk, atau fungsi f mempunyai asimtot datar y = 0, barisan (x n ) di pers. (38) bisa jadi tidak konvergen ke r (lihat gambar berikut). (a) x n (b) x n berosilasi antara x 1 dan x 2

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

Muhafzan TURUNAN. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan TURUNAN. Muhafzan, Ph.D 1 TURUNAN, Ph.D TURUNAN 3 1 Turunan Kita mulai diskusi ini dengan memperkenalkan denisi turunan suatu fungsi Denisi 1. Misalkan I R; f : I! R dan c 2 I: Bilangan L 2 R dikatakan merupakan turunan dari

Lebih terperinci

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA

10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)

Lebih terperinci

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)

11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan

Lebih terperinci

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz

Lebih terperinci

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif

4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier

PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan

Lebih terperinci

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)

BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis

Lebih terperinci

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi

Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Definisi 1: Misalkan I R suatu interval, c I dan f : I R. Fungsi f disebut diferensiabel

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua

Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,

Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR

F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) 1. Limit Fungsi Mahasiswa dapar memahami secara mendalam (deduktif) pengertian limit fungsi, definisi dan te-orema-teorema serta mampu menga-plikasikannya

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila

Lebih terperinci

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D

Muhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D 1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,

Lebih terperinci

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

3 LIMIT DAN KEKONTINUAN Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan

Lebih terperinci

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi

BAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi .. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A

Lebih terperinci

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c

bila limitnya ada. Dengan penggantian x = c+ h, jika x c h 0 dan x c h turunan fungsi f di c dapat dituliskan dalam bentuk: x c Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c. Turunan pertama dari fungsi f di titik c ditulis f '( c ) didefinisikan sebagai: ( ) ( ) f x f '( c) = lim f c x c x c bila limitnya ada.

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 13 September 2013

Hendra Gunawan. 13 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0

Lebih terperinci

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan

Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk

Lebih terperinci

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).

FUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1). FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga

Lebih terperinci

MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV

MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan

Lebih terperinci

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum

Lebih terperinci

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN

asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus

Lebih terperinci

Analisa Numerik. Teknik Sipil. 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah. 3x 2 x 3 + 2x 2 x + 1, f (n) (c) = n!

Analisa Numerik. Teknik Sipil. 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah. 3x 2 x 3 + 2x 2 x + 1, f (n) (c) = n! Analisa Numerik Teknik Sipil 1 PENDAHULUAN 1.1 Deret Taylor, Teorema Taylor dan Teorema Nilai Tengah Dalam matematika, dikenal adanya fungsi transenden (fungsi eksponen, logaritma natural, invers dan sebagainya),

Lebih terperinci

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35

Bab 16. LIMIT dan TURUNAN. Motivasi. Limit Fungsi. Fungsi Turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan Turunan 1/35 Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35 Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika

Lebih terperinci

BARISAN BILANGAN REAL

BARISAN BILANGAN REAL BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik

16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik 16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan

BAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

BAB I DERIVATIF (TURUNAN)

BAB I DERIVATIF (TURUNAN) BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian

Lebih terperinci

Ilustrasi Persoalan Matematika

Ilustrasi Persoalan Matematika Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti

Lebih terperinci

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=

Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )= Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan

Lebih terperinci

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan

Lebih terperinci

BAB I SISTEM BILANGAN REAL

BAB I SISTEM BILANGAN REAL BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian dari kalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilangan

Lebih terperinci

Pertemuan I Mencari Akar dari Fungsi Transendental

Pertemuan I Mencari Akar dari Fungsi Transendental Pertemuan I Mencari Akar dari Fungsi Transendental Daftar Isi: 1.1 Tujuan Perkuliahan 1. Pendahuluan 1.3 Metoda Bisection 1.3.1 Definisi 1.3. Komputasi mencari akar 1.3.3 Ilustrasi 1.4 Metoda Newton-Raphson

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya

FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 11 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 11 Oktober 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 11 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) Dengan memperhatikan: daerah asal dan daerahhasilnya, titik titik potong dengan sumbu koordinat, asimtot

Lebih terperinci

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH ANALISIS REAL II (MT410) / 3 SKS JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2009 0 A. Identitas Mata

Lebih terperinci

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada.

Turunan Fungsi. h asalkan limit ini ada. Turunan Fungsi q Definisi Turunan Fungsi Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Turunan pertama fungsi f di =a ditulis f (a) didefinisikan dengan f ( a h) f ( a) f '( a) lim

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika PENGANTAR KALKULUS Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyaiswara PPPG Matematika Yogyakarta

Lebih terperinci

BAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB III Diferensial. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III Diferensial Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz

Lebih terperinci

Course Note Numerical Method Akar Persamaan Tak Liniear.

Course Note Numerical Method Akar Persamaan Tak Liniear. Course Note Numerical Method Akar Persamaan Tak Liniear. Dalam matematika terapan seringkali harus mencari selesaian persamaan yang berbentuk f() = 0 yakni bilangan o sedemikian sehingga f( o ) = 0. Dalam

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

DERIVATIVE Arum Handini primandari

DERIVATIVE Arum Handini primandari DERIVATIVE Arum Handini primandari INTRODUCTION Calculus adalah perubahan matematis, alat utama dalam studi perubahan adalah prosedur yang disebut differentiation (deferensial/turunan) Calculus dikembangkan

Lebih terperinci

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22

TERAPAN INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 22 TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22 Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika

Lebih terperinci

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)

II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x) II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai

Lebih terperinci

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka

Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c 0, maka Contoh 5 Buktikan jika c 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan 0 sedemikian sehingga apabila c untuk setiap 0. 0 c berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c Dapat dipilih c Bukti: c c c Ambil

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS REAL

PENGANTAR ANALISIS REAL Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

Turunan. Ayundyah Kesumawati. January 8, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, / 15

Turunan. Ayundyah Kesumawati. January 8, Prodi Statistika FMIPA-UII. Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, / 15 Turunan Ayundyah Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII January 8, 2015 Ayundyah Kesumawati (UII) Turunan January 8, 2015 1 / 15 Sub Materi Turunan : a. Turunan Fungsi b. Turunan Tingkat Tinggi c. Teorema

Lebih terperinci

Persamaan Non Linier

Persamaan Non Linier Persamaan Non Linier Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. Persamaan Non Linier penentuan akar-akar persamaan

Lebih terperinci

BAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN TAKLINIER

BAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN TAKLINIER BAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN TAKLINIER Persamaan taklinier sudah diperkenalkan sejak di sekolah menengah, diataranya persamaan kuadrat, persamaan trigonometri dan persamaan yang memuat logaritma atau eksponen.

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya

Lebih terperinci

G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel.

G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. Definisi. (i) Suatu fungsi f(x, y) memiliki minimum lokal pada titik

Lebih terperinci

ANALISIS KEKONVERGENAN GLOBAL METODE ITERASI CHEBYSHEV ABSTRACT

ANALISIS KEKONVERGENAN GLOBAL METODE ITERASI CHEBYSHEV ABSTRACT ANALISIS KEKONVERGENAN GLOBAL METODE ITERASI CHEBYSHEV Poppy Hanggreny 1, M. Imran, Zulkarnain 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

TIM MATEMATIKA DASAR I

TIM MATEMATIKA DASAR I MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan

Lebih terperinci

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti

Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan

Lebih terperinci

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada

Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada 5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:

LIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini: LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Latar Belakang Historis Fondasi dari integral pertama kali dideklarasikan oleh Cavalieri, seorang ahli matematika berkebangsaan Italia pada tahun 1635. Cavalieri menemukan bahwa

Lebih terperinci

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh

= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan

Lebih terperinci

Bab 2. Penyelesaian Persamaan Non Linier

Bab 2. Penyelesaian Persamaan Non Linier Bab 2. Penyelesaian Persamaan Non Linier 1 Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. 2 Persamaan Non Linier penentuan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR

BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR PPPPTK Matematika Kode Dok Revisi : F-PRO-00 : 0 BAHAN AJAR DIKLAT PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG DASAR Oleh : Drs. Setiawan, M.Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT PENINGKATAN MUTU PENDIDIK

Lebih terperinci

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER 3.. Permasalahan Persamaan Non Linier Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.dimana akar sebuah persamaan f(x =0 adalah

Lebih terperinci

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI

FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva

PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva Permasalahan dan

Lebih terperinci

Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti

Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m

Lebih terperinci

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang

Lebih terperinci

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79

Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79 Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric

Lebih terperinci

KALKULUS I TEOREMA NILAI RATAAN (Mean Value Theorem) SUTRIANI HIDRI Matematika B

KALKULUS I TEOREMA NILAI RATAAN (Mean Value Theorem) SUTRIANI HIDRI Matematika B KALKULUS I TEOREMA NILAI RATAAN (Mean Value Theorem) SUTRIANI HIDRI Matematika B 1111140010 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2011 Teorema Nilai

Lebih terperinci