Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan

Transkripsi

1 Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan Moh. Ivan Azis Abstrak Metode Elemen Batas diturunkan untuk penentuan solusi masalah nilai batas yang membangun model Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan. Beberapa contoh diperlihatkan untuk mengilustrasikan penerapan metode elemen batas. 1 Pendahuluan Masalah perpindahan dan penyebaran pollutan di suatu medium (misalnya sungai atau udara/atmosfir) merupakan masalah yang telah sering dibicarakan. Penelitian untuk masalah ini juga telah banyak dilakukan, baik melalui eksperimen maupun secara simulasi melalui pemodelan. Tulisan ini membicarakan model perpindahan dan penyebaran pollutan di suatu medium, dan penentuan solusinya secara numerik. Model yang dimaksud adalah model yang mengikutkan dua fenomena fisik yang biasanya terlibat dalam proses perpindahan dan penyebaran pollutan, yaitu fenomena difusi dan konveksi. Juga akan diasumsikan bahwa dalam model ini variabel waktu tidak punya pengaruh. Ini berarti bahwa sistem yang diamati berada dalam keadaan tetap terhadap waktu (steady) atau pengukuran dilakukan sesaat pada suatu periode waktu yang sangat pendek (instan). Selain itu, pembicaraan juga dibatasi untuk kasus dua dimensi, yakni bahwa kita hanya akan mengamati perpindahan dan penyebaran pollutan ke arah panjang (kordinat x 1 ) dan lebar (kordinat x ) dari medium saja, tapi tidak untuk perpindahan dan penyebaran ke arah kedalaman medium. Model semacam ini cocok dipakai untuk media dangkal. Lebih jauh, model yang diamati berlaku untuk media yang memiliki kofisien difusivitas ke arah panjang media, yakni k 1, boleh tidak sama dengan kofisien difusivitas ke arah lebar media, yakni k. Media semacam ini biasa disebut sebagai media anisotropik. Dalam hal ini, model tetap berlaku untuk media isotropik sebagai kasus khusus dari media anisotropik, yakni media isotropik adalah media anisotropik dengan kofisien difusivitas k 1 = k. Demikian pula halnya, vektor kecepatan aliran media juga memiliki dua komponen yang bisa saja berlainan untuk kedua arah panjang dan lebar media. Dosen Jurusan Matematika Fak. MIPA Unhas, Makassar Indonesia. ivan@unhas.ac.id 1

2 x v k v 1 k 1 pollutan aliran fluida n x 1 Gambar 1: Sistem perpindahan dan penyebaran pollutan dalam suatu medium Solusi masalah dijelaskan di atas ditentukan dengan menggunakan suatu metode numerik, yaitu Metode Persamaan Integral Batas atau sering disebut sebagai Metode Elemen Batas (MEB). Metode numerik lainnya yang biasa dipakai adalah Metode Beda Hingga dan Metode Elemen Hingga. Model Perhatikan sistem perpindahan dan penyebaran pollutan di suatu medium seperti diperlihatkan dalam Gambar 1. Dengan merujuk pada sistim kordinat Cartesian Ox 1 x, secara umum persamaan pembangun untuk sistem konduksi-konveksi steady dua dimensi dalam suatu media anisotropik yang homogen, dengan asumsi bahwa tidak terdapat sumber pembangkit dalam media, adalah k i ϕ x i v i ϕ = 0 (1) dimana ϕ dapat berupa konsentrasi pollutan, k i adalah diffusivitas konstan, dan v i adalah komponen vektor kecepatan konstan v. Pada (1) penjumlahan untuk index yang berulang (jumlahan dari 1 sampai ) diberlakukan, sehingga secara eksplisit (1) dapat dituliskan sebagai ϕ ϕ ϕ ϕ k 1 + k x v 1 x 1 v = 0 x 1 x Suku pertama di ruas kiri dari (1) merepresentasikan proses difusi, sedangkan suku keduanya menggambarkan proses konveksi dari sistem. 3 Masalah nilai batas Solusi dari (1) dicari dimana solusi tersebut valid dalam daerah Ω di R dengan batas Γ yang terdiri dari sejumlah berhingga kurva mulus bagian demi bagian. Pada Γ salah

3 satu dari ϕ(x) atau fluks ϕ(x) P (x) = k i n i (x) diberikan, dimana x = (x 1, x ), n = (n 1, n ) melambangkan vektor normal satuan mengarah ke luar di batas Γ. Metode solusi yang dipakai akan bekerja dengan cara menurunkan suatu persamaan integral batas, yang relevan untuk persamaan differensial (1), darimana nilai numerik ϕ dan P dapat ditentukan untuk semua titik dalam daerah Ω. 4 Solusi fundamental Persamaan integral batas yang disebutkan pada Pasal 3 melibatkan suatu fungsi solusi fundamental ϕ yang didefinisikan sebagai k i ϕ x i + v i ϕ = δ(x ξ) () dimana ξ = (ξ 1, ξ ) dan δ adalah fungsi delta Dirac. Solusi fundamental ϕ ini dapat dituliskan sebagai berikut (lihat Azis [] untuk penurunan ϕ ) ( ) ( ) ϕ (x, ξ) = K π exp v. Ṙ vṙ K 0 (3) D D dimana D = [k 1 + k ρρ]/ K = ρ/d Ṙ = ẋ ξ ẋ = (x 1 + ρx, ρx ) ξ = (ξ 1 + ρξ, ρξ ) v = (v 1 + ρv, ρv ) Ṙ = (x 1 + ρx ξ 1 ρξ ) + ( ρx ρξ ) v = (v 1 + ρv ) + ( ρv ) ρ dan ρ berturut-turut merupakan bagian real dan imajiner positif dari akar kompleks ρ dari persamaan kuadrat k 1 + k ρ = 0 dan tanda bar (.) melambangkan operasi konjugat untuk bilangan kompleks, serta K 0 adalah fungsi Bessel termodifikasi berorde nol. Selain ϕ kita juga memerlukan fungsi P, yang didefinisikan sebagai P k i ϕ (x, ξ) n i (x) (4) 3

4 untuk evaluasi persamaan integral batas tersebut di atas. Perununan fungsi P ini dapat dilakukan sebagai berikut. Tuliskan solusi fundamental ϕ dalam (3) sebagai dimana ϕ (x, ξ) = c exp [ f(x, ξ)] K 0 [g(x, ξ)] Sehingga Sekarang f x 1 = 1 f x = 1 g x 1 = v D (v 1 + ρv ) c = K π f(x, ξ) = v. Ṙ D g(x, ξ) = vṙ D D [ ρ(v 1 + ρv ) + ρ ρv ] (x D 1 + ρx ξ 1 ρξ ) 1 Ṙ g x = v [ ρ(x D 1 + ρx ξ 1 ρξ ) + ρ( ρx ρξ )] 1 Ṙ ϕ f = ϕ + g } K 1 [g(x, ξ)] K 0 [g(x, ξ)] dimana K 1 adalah fungsi Bessel termodifikasi berorde satu. Sehingga dengan mensubstitusikan (5) ke dalam (6), kemudian substitusikan (6) ke dalam (4) akan diperoleh ekspresi dari P. Perlu dicatat bahwa P memiliki titik singular pada x = ξ. 5 Persamaan integral batas Bila (1) diperkalikan dengan ϕ lalu diintegralkan, maka ( ) ϕ ϕ k i v Ω x i ϕ dω = 0 (7) i Dengan menggunakan Teorema Divergensi Gauss pada (7) kita akan memperoleh ( ) ( ) ϕ k i n j ϕ v i n i ϕ ϕ ϕ ϕ dγ k i ϕ v i dω = 0 (8) Γ Ω Penggunaan Teorema Divergensi Gauss sekali lagi pada integral domain di persamaan (8) untuk integran pertamanya akan menghasilkan ( ) ϕ k i n i ϕ v i n i ϕ ϕ dγ ϕ k i n i dγ Γ Γ ) + (ϕ ϕ ϕ k i + ϕ v i dω = 0 (9) Ω x i 4 (5) (6)

5 Atau dimana Ω (k i ϕ x i ) ϕ + v i ϕ dω = [P ϕ (P v ϕ + P )ϕ] dγ (10) Γ P v (x) = v i n i (x) Sebagai salah satu sifat dari fungsi delta Dirac, persamaan berikut berlaku ϕ(x) δ(x ξ) dω(x) = η(ξ) ϕ(ξ) (11) Ω dimana η = 1 bila ξ berada pada batas domain Γ dan Γ mempunyai kemiringan yang berubah secara kontinyu pada ξ, η = 1 bila ξ berada di dalam domain Ω, η = 0 bila ξ berada di luar domain Ω. Substitusi persamaan () ke dalam ruas kiri dari (10) dan penggunaan persamaan (11) memberikan η(ξ) ϕ(ξ) = P (x) ϕ (x, ξ) Γ [P v (x) ϕ (x, ξ) + P (x, ξ)] ϕ(x)} dγ(x) (1) Persamaan (1) dapat digunakan untuk menentukan solusi ϕ dan P di setiap titik x di batas Γ dan di dalam domain Ω. Dan kalkulasi solusi ini sepenuhnya hanya memerlukan kalkulasi integral batas pada ruas kanan persamaan (1). Tetapi secara umum integral batas ini tidak mudah dikalkulasi secara analitik, karena bentuk geometri dari Γ tidak beraturan atau kelakuan dari fungsi ϕ dan P sangat bervariasi. Untuk itu, nilai integral batas ini lalu diapproksimasi dengan cara memenggal-menggal batas domain Γ menjadi segmen-segmen kecil berupa garis lurus dan kelakuan dari fungsi ϕ dan P pada setiap segmen juga didekati dengan mengasumsikan bahwa fungsi-fungsi ini konstan, atau bervariasi secara linear, kuadratik dan seterusnya. Lalu integral dihitung untuk setiap segmen dan kemudian menjumlahkannya. Dengan kata lain batas domain Γ diapproksimasi oleh suatu poligon yang jumlah sisinya diambil sebanyak mungkin sehingga nilai pendekatan akurat dapat diperoleh. 6 Diskritisasi Misalkan batas domain Γ didekati oleh suatu poligon dengan sejumlah J sisi, sehingga Γ terdiri atas segmen-segmen garis lurus Γ j [, q j ], j = 1,,..., J dimana dan q j adalah titik-titik ujung awal dan akhir dari segmen Γ j, maka persamaan (1) dapat ditulis sebagai η(ξ) ϕ(ξ) = Γ j P (x) ϕ (x, ξ) [P v (x) ϕ (x, ξ) + P (x, ξ)] ϕ(x)} dγ(x) (13) 5

6 Selanjutnya, bila kita mengasumsikan bahwa pada setiap segmen Γ j nilai ϕ dan P konstan, dan masing-masing diwakili oleh nilainya pada titik-tengah q j = ( +q j )/ dari segmen tertentu Γ j, maka persamaan (13) dapat ditulis sebagai η(ξ) ϕ(ξ) = P (q j ) ϕ (x, ξ) dγ(x) } qj ϕ(q j ) [P v (x) ϕ (x, ξ) + P (x, ξ)] dγ(x) Hasil penelitian telah menunjukkan bahwa pengambilan nilai ϕ dan P pada titik-tengah q j untuk setiap segmen Γ j menghasilkan keakuratan maksimal. Sebagaimana disebutkan pada Pasal 3, pada suatu segmen Γ j hanya salah satu dari ϕ dan P diketahui. Bila nilai ϕ(q j ) diberikan maka nilai P (q j ) menjadi unknown di Γ j. Sebaliknya, bila pada segmen Γ j nilai P (q j ) diberikan maka nilai ϕ(q j ) menjadi unknown. Untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, hanya ada dua kemungkinan pengambilan posisi titik ξ, yakni diletakkan di batas domain Γ (yang mengimplikasikan bahwa η = 1 ) atau di luar domain Ω (mengimplikasikan η = 0). Kita tidak dapat meletakkan ξ di dalam domain Ω (untuk mana η = 1) untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, kecuali bila kita mempunyai informasi tambahan mengenai nilai ϕ di titik dalam ξ ini. Sementara itu, peletakan titik ξ di luar domain Ω akan menghindari titik singular dari P di x = ξ dan hal ini tentu akan memiliki advantage untuk hasil evaluasi integral. Dan telah ada beberapa kajian di dalam beberapa paper yang telah terpublish, yang memakai analisis peletakan titik ξ di luar domain Ω. Umumnya kajian-kajian ini telah berhasil menentukan jarak ideal dari titik ξ ke batas domain Γ untuk tingkat keakuratan yang cukup bagus. Namun penentuan jarak optimal ini masih sebatas cara coba-coba (trial and error), dan belum dilandasi oleh dan belum dibuktikan keabsahannya secara analitik matematik. Untuk itu, pada tulisan ini kita akan memposisikan titik ξ pada batas domain Γ. Sehingga untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, nilai ϕ(ξ) pada ruas kiri (14) akan mengambil nilai ϕ(q l ) dan η(ξ) = 1. Persamaan (14) kemudian dapat dituliskan sebagai 1 ϕ(q l) = P (q j ) ϕ (x, q l ) dγ(x) } qj ϕ(q j ) [P v (x) ϕ (x, q l ) + P (x, q l )] dγ(x) untuk l = 1,,..., J. Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks (14) (15) 1 ϕ l + Ĥ lj ϕ j = G lj P j (16) 6

7 dimana ϕ j = ϕ(q j ), P j = P (q j ), dan Ĥ lj = G lj = [P v (x) ϕ (x, q l ) + P (x, q l )] dγ(x) (17) ϕ (x, q l ) dγ(x) (18) Evaluasi integral pada persamaan (17) dan (18) dapat dilakukan secara analitik maupun numerik. Tentunya evaluasi analitik (eksak) akan memberikan hasil yang lebih memuaskan (akurat) daripada evaluasi numerik (pendekatan). Namun perlu diperhatikan bahwa untuk j = l selang integral dalam (17) memuat titik singular q l dari integran P (x, q l ). Untuk itu nilai prinsipal Cauchy (Cauchy principal value) dari integral ini biasanya diambil untuk evaluasi analitik. Di lain hal, dangan evaluasi numerik dari kedua integral ini, strategi pemilihan metode kuadratur (pengintegralan numerik) sangatlah penting, sebab terdapat beberapa metode kuadratur yang melibatkan dan ada pula yang tidak melibatkan (misalnya aturan trapezoidal) kalkulasi nilai fungsi integran pada titik tengah dari selang integral. Dan metode kuadratur yang terakhir inilah yang dikehendaki. Pada tulisan ini, untuk hasil numerik dari setiap contoh masalah yang akan dibicarakan pada Pasal 7, evaluasi integral dilakukan secara numerik dengan menggunakan aturan trapezoidal termodifikasi enam titik (lihat Abramowitz and Stegun [1]). Nilai fungsi-fungsi Bessel termodifikasi K 0 dan K 1 yang terlibat dalam solusi fundamental ϕ dan P dihitung dengan menggunakan pendekatan polinomial fungsinya (lihat Abramowitz and Stegun [1]). Lebih kompak, persamaan (16) dapat ditulis sebagai H lj ϕ j = G lj P j (19) dimana Ĥlj bila l j H lj = Ĥ lj + 1 bila l = j Persamaan matriks (19) dapat diurutkan ulang dengan meletakkan unknown di ruas kiri dan known-nya di ruas kanan, dalam bentuk AX = B (0) dimana X adalah vektor unknown ϕ dan/atau P. Persamaan ini merupakan suatu sistem persamaan aljabar linear dengan J persamaan dan J unknown. Penyelesian sistem persamaan aljabar linear (0) dapat dilakukan dengan berbagai metode, antara lain dengan metode eliminasi Gauss. Namun, pada tulisan ini, untuk hasil numerik dari setiap contoh masalah yang akan dibicarakan pada Pasal 7, solusi sistem persamaan aljabar linear (0) ditentukan dengan menggunakan metode gradien konjugat (lihat Coleman [3]), yang secara empiris telah diketahui lebih stabil ketimbang metode eliminasi Gauss. 7

8 Solusi dari persamaan (0) ini dapat ditentukan untuk unknown ϕ dan P di batas domain Γ. Sekali nilai ϕ dan P pada batas domain Γ telah diketahui, maka kita bisa menentukan nilai ϕ dan P pada sebarang titik dalam ξ dengan menggunakan persamaan (14), yakni ϕ(ξ) = P (q j ) ϕ (x, ξ) dγ(x) ϕ(q j ) [P v (x) ϕ (x, ξ) + P (x, ξ)] dγ(x) Selain itu dapat pula ditentukan nilai turunan ϕ/ ξ 1 dan ϕ/ ξ melalui persamaan berikut ϕ ϕ (ξ) = P (q ξ j ) (x, ξ) dγ(x) 1 ξ 1 ϕ ξ (ξ) = ϕ(q j ) [P v (x) ϕ (x, ξ) + P ] (x, ξ) ξ 1 ξ 1 P (q j ) ϕ(q j ) 7 Hasil numerik ϕ (x, ξ) dγ(x) ξ [P v (x) ϕ (x, ξ) + P (x, ξ) ξ ξ ] dγ(x) dγ(x) Pada pasal ini beberapa contoh masalah konduksi-konveksi dalam media anisotropik akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan persamaan integral batas (1). Contoh 1 : Masalah Uji Contoh 1 ini dimaksudkan untuk menguji keabsahan dan keakuratan MEB dalam menentukan solusi masalah dengan persamaan pembangun (1). Perhatikan solusi analitik untuk (1) berikut ϕ = exp(α 1 x 1 + α x ) (4) dimana α 1 dan α adalah bilangan ril yang memenuhi } } } (1) () (3) k 1 α 1 + k α v 1 α 1 v α = 0. (5) Geometri medium dan syarat batas dari masalahnya adalah (lihat Gambar ) P, yang dapat dihitung dari (4), diketahui pada AB, BC dan CD, ϕ, seperti diberikan oleh (4), diketahui pada AD. 8

9 x D(0, 1) C(1, 1) x 1 A(0, 0) B(1, 0) Gambar : Geometri dari masalah uji Kofisien k i dan v i adalah k 1 = 1, k =, v 1 = 1, v = 1. Juga diambil α 1 = 1 dan nilai α dihitung dari persamaan kuadrat (5). Tabel 1 memperlihatkan perbandingan antara solusi MEB dan solusi analitik. Dapat diamati bahwa solusi MEB konvergen ke solusi analitik sejalan dengan meningkatnya jumlah segmen dari 80, 160 dan 30. Hasil ini sesuai dengan yang diharapkan, dengan alasan bahwa semakin kecil selang integral yang digunakan maka semakin akurat pendekatan integrasi numerik yang akan diperoleh. Contoh Perhatikan masalah transpor dan dispersi polutan dalam tanah yang dibangun oleh persamaan (1) untuk suatu medium tanah yang diasumsikan isotropik (kofisien konduktivitas k 1 = k = 1) yang homogen dan memiliki geometri dan syarat batas seperti diperlihatkan dalam Gambar 3 dengan kecepatan aliran polutan v 1 = 0, v = 1 untuk kasus pertama, dan v 1 =, v = 1 untuk kasus kedua. Tidak tersedia solusi analitik eksak sederhana untuk contoh masalah ini. Kita tertarik untuk melihat pengaruh perubahan komponen kecepatan v 1, dari v 1 = 0 menjadi v 1 =. Tabel memperlihatkan solusi MEB dengan menggunakan 30 segmen. Dari tabel ini dapat diamati pengaruh perubahan komponen kecepatan v 1 (kecepatan ke arah sumbu-x 1 ) dari v 1 = 0 menjadi v 1 =, dengan komponen kecepatan v tetap (v = 1). Dapat dikatakan bahwa perubahan ini menurunkan besarnya nilai (magnitude) dari solusi ϕ dan ϕ/ x dan menaikkan besarnya nilai ϕ/ x 1. Secara intuitif hasil ini diharapkan (expected) karena keberadaan aliran ke arah sumbu-x 1 (v 1 0) akan mempengaruhi (mengurangi) laju aliran ke arah sumbu-x ( ϕ/ x ) dan konsentrasi polutan ϕ itu sendiri. Dapat pula diamati bahwa perubahan nilai v 1 dari v 1 = 0 menjadi v 1 = mempengaruhi kesimetrian solusi di sepanjang ordinat x = 0.5. Ketika v 1 = 0 solusi di 9

10 Tabel 1: Solusi MEB dan analitik untuk Contoh 1 Posisi MEB Analitik (x 1, x ) ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x 80 segmen (.1,.5) (.3,.5) (.5,.5) (.7,.5) (.9,.5) segmen (.1,.5) (.3,.5) (.5,.5) (.7,.5) (.9,.5) segmen (.1,.5) (.3,.5) (.5,.5) (.7,.5) (.9,.5) x D(0, 1) P = 1 C(1, 1) P = 0 P = 0 A(0, 0) ϕ = 0 B(1, 0) Gambar 3: Geometri untuk Contoh x 1 10

11 Tabel : Solusi MEB untuk Contoh Posisi v 1 = 0, v = 1 v 1 =, v = 1 (x 1, x ) ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x ϕ ϕ/ x 1 ϕ/ x (.1,.5) (.3,.5) (.5,.5) (.7,.5) (.9,.5) (.5,.1) (.5,.3) (.5,.5) (.5,.7) (.5,.9) titik-titik dengan ordinat x = 0.5 simetris, tapi untuk v 1 = kesimetrian ini tidak terjadi lagi. Secara intuitif hal ini juga diharapkan. 8 Konklusi Suatu MEB untuk solusi masalah nilai batas untuk model konduksi-konveksi dalam suatu medium anisotropik telah ditemukan. MEB ini secara umum cukup mudah untuk diimplementasikan untuk memperoleh solusi numerik untuk masalah tertentu. Hasil numerik yang diperoleh dengan menggunakan MEB ini mengindikasikan bahwa MEB ini dapat menghasilkan solusi numerik yang cukup akurat. Evaluasi integral secara analitik, penerapan proses refinement untuk penyelesaian sistim persamaan aljabar linear, dan strategi peletakan titik ξ di luar domain Ω akan memberikan hasil yang lebih akurat. References [1] Abramowitz, M. and Stegun, A. Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York, [] Azis, M. I. (001). On the boundary integral equation method for the solution of some problems for inhomogeneous media (PhD Thesis), Department of Applied Mathematics, University of Adelaide. [3] Coleman, C. J. University of Wollonggong, Australia. [4] Wrobel, L. C. and DeFigueiredo, D. B. Coupled Conduction-Convection Problems. in BEMs in Heat Transfer, Wrobel, L. C. and Brebbia, C. A. (eds.), Computational Mechanics Publications, Elsevier Applied Science 11