Kalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB
|
|
- Irwan Budiono
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
2 Outline Masalah kalkulus variasi Fungsional objektif Perluasan Taylor Variasi Nilai ekstrem Syarat perlu optimalitas: Persamaan Euler (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
3 Masalah Brachistochrone Brachistochrone: brakhistos (tercepat, terpendek), khronos (waktu). Masalah: Tentukan lintasan (kurva) yang harus dilewati bola sehingga bola bergerak dari titik A ke titik B dalam waktu tercepat. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
4 Masalah Brachistochrone Hukum konservasi energi di A: Energi Kinetik = Energi Potensial: 1 2 mv 2 mgy = 0 v = 2gy. Lintasan di sekitar bola dapat dipandang sebagai sebuah garis lurus sehingga ds = dx 2 + dy 2 = Hubungan waktu t, jarak s, dan kecepatan v : v = ds dt dt = ds v = ( ) 1 + dy 2dx dx. 2gy 1 + ( dy dx ) 2dx. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
5 Masalah Brachistochrone Integralkan: t = 1 2g b ( ) 2 dy dx dx. y Masalah kalkulus variasi: b 1 + ẏ min J = 2 dx s.t. y(0) = 0, y(b) = a, y dengan ẏ := dy dx. Solusi parametrik: 0 x = 1 (1 cos θ) 2c2 y = 1 (θ sin θ). 2c2 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
6 Masalah Lintasan Terpendek Tentukan lintasan terpendek yang menghubungkan A dan B. y B( a,b) A(0,0) Di sepotong lintasan kecil berlaku ds = dx 2 + dy 2 = 1 + x ( ) dy 2 dx. dx Masalah kalkulus variasi: a min J = 1 + ẏ 2 dx s.t. y(0) = 0, y(a) = b. 0 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
7 Masalah Luas Permukaan Terkecil Tentukan kurva y = y(x) yang melewati A dan B sedemikian sehingga benda putar yang terbentuk memiliki luas permukaan terkecil. y A B( a,b) Di sepotong lintasan kecil berlaku ds = dx 2 + dy 2 = 1 + x ( ) dy 2 dx. dx tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
8 Masalah Luas Permukaan Terkecil Luas permukaan: Masalah kalkulus variasi: Solusi: min J = 2π a 0 A = S 2πy ds y 1 + ẏ 2 dx s.t. y(0) = A, y(a) = b. ( x + C2 y = C 1 cosh dengan C 1 dan C 2 ditentukan sehingga kurva melalui titik-titik A dan B. Kurva di atas dikenal sebagai kurva catenary (bahasa latin, catena, yang berarti rantai): kurva yang terbentuk jika sebuah rantai yang berat dengan densitas seragam digantungkan pada dua titik ujung. Benda putar yang terbentuk disebut catenoid. C 1 ), tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
9 MKV vs MKO Masalah Kalkulus Variasi: opt J(x(t)) = tf f (x(t), ẋ(t), t) dt Masalah kontrol optimal: opt J(x(t)) = tf f (x(t), u(t), t) dt ẋ(t) = g(x(t), u(t)), baik dengan kendala ataukah tanpa kendala. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
10 Fungsional Objektif Bentuk umum fungsional objektif (kriteria, performance index) J = S(x(t f ), t f ) + tf f (x(t), u(t), t)dt, dengan S dan f kontinu dan terturunkan. 1 S = 0, f = 1 (minimal time problem). 2 S = 0, f = u (minimal fuel/energy problem): J = tf u(t) dt, J = 3 S = 0, f = 0 (Bolza problem). 4 S = 0, f = 0 (Lagrange problem). 5 S = 0, f = 0 (Mayer problem). 6 Integral square problem: J = tf x T x dt, J = tf tf u T Ru dt. x T Qx dt. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
11 Fungsional Objektif Meskipun Bolza problem tampak memiliki formulasi yang lebih umum, ketiga problem bersifat convertible satu sama lain. Diberikan Bolza problem: Definisikan: maka tf J Bolza = S(x(t f ), t f ) + f (x(t), u(t), t)dt. x n+1 (t) = t f (x, u, τ)dτ x n+1 ( ) = 0, J Bolza = S(x(t f ), t f ) + x n+1 (t f ) = Ŝ(x(t f ), t f ) = J Mayer. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
12 Fungsional Objektif Diberikan Lagrange problem: J Lagrange = tf f (x(t), u(t), t)dt. Definisikan peubah state baru x a sedemikian sehingga Diperoleh ˆx = ( x a x 1 x 2... x n ) T, ẋ a = f (x(t), u(t), t), x a ( ) = 0. J Lagrange = tf = S(x(t f ), t f ) = J Mayer. ẋ a (t)dt = x a t f = x(t f ) tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
13 Fungsional Objektif Diberikan Mayer problem: J Mayer = S(x(t f ), t f ). Definisikan peubah state baru x a sedemikian sehingga Diperoleh ˆx = ( x a x 1 x 2... x n ) T, ẋ a = 0 x a (t) = k, x a (t f ) = 1 S(x(t f ), t f ). t f J Mayer = (t f )x a (t f ) = (t f )(x a (t f ) k) + k(t f ) = Ŝ(x(t f ), t f ) + = Ŝ(x(t f ), t f ) + tf tf kdt x a (t)dt = J Lagrange. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
14 Fungsi dan Fungsional Fungsi Fungsional Pemetaan x : R R J : x R Notasi x = x(t) J = J(x(t)) Contoh x(t) = t J(x(t)) = b a x(t)dt Riap dt = t t δx(t) = x (t) x(t) x(t) = x(t + dt) x(t) J(x) = J(x + δx) J(x) Kalkulus Variasi: cabang matematika yang memelajari masalah pengoptimuman fungsional, yaitu mencari fungsi yang meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsional. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
15 Perluasan Taylor 1 Peubah Diberikan fungsi f dengan f, f,..., f (n+1) kontinu di [a, b] dan misalkan c [a, b]. Perluasan Taylor dari f di sekitar c diberikan oleh f (x) = n=0 f (n) (c) (x c) n + R n+1 (x), n! dengan R n+1 disebut sebagai remainder (sisaan): R n+1 (x) = 1 n! Jika lim n R n+1 = 0 maka f (x) = x n=0 c (x s)f (n+1) (s)ds. f (n) (c) (x c) n. n! tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
16 Perluasan Taylor 1 Peubah Set h = x c Dengan demikian f (c + h) = n=0 f (n) (c) h n. n! f (x + h) = n=0 f (n) (x) h n. n! Dapat juga ditulis f (x + h) f (x) + hf (x) + h2 2! f (x). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
17 Perluasan Taylor Peubah Ganda m peubah di sekitar (c 1,..., c m ) : f (x 1,..., x m ) = n 1 =0 n m =0 (x 1 c 1 ) n 1 (x m c m ) n m ( n 1 + +n m f n 1! n m! x n 1 1 x n m m ) (c 1,..., c m ). 2 peubah di sekitar (a, b) : f (x, y) f (a, b) + (x a)f x (a, b) + (y b)f y (a, b) (x a)2 + f xx (a, b) + 2! (y b)2 + f yy (a, b). 2! 2(x a)(y b) f xy (a, b) 2! tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
18 Perluasan Taylor 2 Peubah Set h 1 = x a dan h 2 = y b : f (a + h 1, b + h 2 ) f (a, b) + h 1 f x (a, b) + h 2 f y (a, b) Atau + h2 1 2 f xx (a, b) + h 1 h 2 f xy (a, b) + h2 2 2 f yy (a, b). f (x + h 1, y + h 2 ) f (x, y) + h 1 f x (x, y) + h 2 f y (x, y) + h2 1 2 f xx (x, y) + h 1 h 2 f xy (x, y) + h2 2 2 f yy (x, y). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
19 Variasi Pertama (1 Peubah) Diberikan fungsional J(x) = Diperoleh T J(x) = J(x + h) J(x) = = Variasi pertama T T T f (x + h, t) dt f (x, t) dt. T [f (x, t) + hf (x, t)] dt hf (x, t) dt. δj(x) := T hf (x, t) dt. f (x, t) dt T f (x, t) dt tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
20 Variasi Pertama (2 Peubah) Diberikan fungsional J(x, y) = Diperoleh T f (x, y, t) dt. J(x, y) = J(x + h 1, y + h 2, t) J(x, y) = Variasi pertama T T δj(x, y) := f (x + h 1, y + h 2, t) dt T [h 1 f x (x, y, t) + h 2 f y (x, y, t)] dt. T [h 1 f x (x, y, t) + h 2 f y (x, y, t)] dt. f (x, y, t) dt tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
21 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Definition Fungsi f = f (t) mencapai: maksimum lokal di t jika f (t ) f (t) untuk semua t di sekitar t. minimum lokal di t jika f (t ) f (t) untuk semua t di sekitar t. maksimum global di t jika f (t ) f (t) untuk semua t D f. minimum global di t jika f (t ) f (t) untuk semua t D f. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
22 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Definition Fungsional J = J(x(t)) mencapai: maksimum lokal di x jika J(x ) J(x) untuk semua x di sekitar x. minimum lokal di di x jika J(x ) J(x) untuk semua x di sekitar x. maksimum global di x jika J(x ) J(x) untuk semua x. minimum global di x jika J(x ) J(x) untuk semua x. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
23 Masalah Kalkulus Variasi Definisikan: C [a, b] = {f f kontinu di [a, b]}, C i [a, b] = {f f terdefinisi di [a, b], f (i) kontinu di [a, b]}. Tanpa kehilangan sifat keumuman, diasumsikan [a, b] = [0, T ]. Diberikan fungsional J(x) = T 0 f (x, ẋ, t) dt dengan A(0, x(0)) dan B(T, x(t )) adalah dua titik yang sudah ditetapkan, f C 2 [0, T ], dan x C 2 [0, T ]. Problem (MKV) Tentukan fungsi x (t) dalam C 2 [0, T ] yang memiliki titik awal A(0, x(0)) dan titik akhir B(T, x(t )) dan memberikan nilai optimum bagi J(x). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
24 Lema Dasar Lemma Misalkan g(t) C [0, T ] dan S = {h h C 1 [0, T ], h(0) = h(t ) = 0}. Jika T g(t)h(t) dt = 0 0 untuk semua h S (h disebut sebagai displacement function atau fungsi penyimpang) maka g(t) 0 untuk semua t [0, T ]. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
25 Proof. Akan dibuktikan kontrapositif dari lema di atas. Andaikan g(t) = 0, katakanlah g(t) > 0 pada t [t 1, t 2 ] [0, T ]. Fungsi h dapat berbentuk h(t) = { (t t1 ) 3 (t 2 t) 3 ; t [t 1, t 2 ] 0 ; t / [t 1, t 2 ]. Jelas terpenuhi h(0) = h(t ) = 0. Dengan demikian T 0 g(t)h(t) dt = t 2 t 1 g(t)(t t 1 ) 3 (t 2 t) 3 dt = 0. Kontradiksi. Haruslah g(t) 0. Problem Tunjukkan bahwa h terturunkan di t 1 dan t 2. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
26 Fungsi penyimpang: h(t) = { (t 1) 3 (3 t) 3 ; t [1, 3] 0 ; t / [1, 3]. h t tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
27 Persamaan Euler Theorem (Persamaan Euler) Misalkan J(x) = T f (x, ẋ, t) dt, 0 x(0) = x 0, x(t ) = x T. Syarat perlu agar J(x) memiliki ekstremum ialah x(t) memenuhi persamaan Euler berikut: f x d dt f ẋ = 0. Dengan kata lain, jika x(t) merupakan ekstremum, maka x(t) memenuhi persamaan Euler. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
28 Proof: Asumsikan terdapat solusi x(t) bagi MKV di atas, yang memenuhi syarat batas dan memberikan ekstremum bagi fungsional J. Dengan kata lain, semua fungsi lain tidak akan mencapai ekstremum. Misalkan sebarang fungsi tersebut ialah z(t) = x(t) + εh(t), dengan h merupakan fungsi penyimpang (displacement function) yang terturunkan dan memenuhi h(0) = h(t ) = 0, dan ε konstanta real. Jika ε = 0 maka z(t) = x(t). z, x, h t tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
29 Karena z(t) memenuhi syarat batas: z(0) = x(0) + εh(0) = x 0, z(t ) = x(t ) + εh(t ) = x T, maka diperoleh fungsional yang bergantung pada parameter ε : J(ε) = T f (z, ż, t) dt, 0 dengan ż(t) = ẋ(t) + εḣ(t). Fungsional J(ε) identik dengan J(x) jika ε = 0 dan mencapai ekstremum ketika J(ε) ε = 0. Diperoleh, ε=0 J(ε) ε = T 0 Karena dz d ε = h dan d ż d ε = ḣ maka ( ) dz f z dε + f dż ż dε dt. J(ε) ε = T 0 ( fz h + fż ḣ ) dt. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
30 Suku kedua diintegralkan secara parsial dengan memisalkan sehingga Jadi, u = fż du = d dt f ż dt, dv = ḣ dt v = h, T 0 f ż ḣ dt = f ż h T 0 T 0 h d dt f ż dt = T 0 h d dt f ż dt. J(ε) ε = T 0 ( fz d dt f ) ż h dt. Ekstremum dicapai ketika J(ε) ε = 0 dan ε = 0 yang membuat f z = f x dan fż = fẋ. Lema dasar mengakibatkan J(ε) ε = 0 f x d dt f ẋ = 0. ε=0 Terbukti. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
31 Proof (Alternative): Pertama akan dibuktikan bahwa syarat perlu bagi J untuk mencapai ekstremum ialah δj = 0. Perhatikan bahwa J(ε) = T 0 f (z, ż, t) dt = T f (x + εh, ẋ + εḣ, t) dt. 0 Penguraian Taylor memberikan J(ε) T [ 0 f (x, ẋ, t) + εhfx (x, ẋ, t) + εḣfẋ (x, ẋ, t) ] dt = T 0 f (x, ẋ, t) dt + ε T [ hfx (x, ẋ, t) + ḣfẋ (x, ẋ, t) ] dt 0 = J(x) + εδj(x). Fungsional J(ε) identik dengan J(x) jika dan hanya jika δj(x) = 0. Selanjutnya, Terbukti. δj(ε) = 0 T 0 (hf x + ḣfẋ ) dt = 0 T 0 (f x d dt f ẋ )h dt = 0 f x d dt f ẋ = 0. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
32 Example Tentukan ekstremum dari J(x) = 1 0 (aẋ 2 + bt) dt, a > 0, x(0) = 0, x(1) = 2. Solution Dengan f (ẋ, t) = aẋ 2 + bt maka diperoleh f x = 0 dan fẋ = 2aẋ sehingga persamaan Euler memberikan 0 d dt (2aẋ) = 0 2aẍ = 0 ẍ = 0 x(t) = k 1t + k 2. Dengan mensubstitusikan syarat batas diperoleh x (t) = 2t dan J(x ) = 1 0 (4a + bt) dt = 4a b. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
33 Beberapa fungsi penyimpang ialah sbb: sehingga diperoleh h 1 (t) = t(t 1) x 1 (t) = 2t + εt(t 1), h 2 (t) = sin(2πt) x 2 (t) = 2t + ε sin(2πt) J(x 1 ) = 1 0 (a(2 + ε(2t 1))2 + bt) dt = 4a b aε2 > J(x ), J(x 2 ) = 1 0 (a(2 + 2πε cos(2πt))2 + bt) dt = 4a b + 2π2 aε 2 > J(x ). Dapat disimpulkan bahwa masalah di atas adalah masalah minimisasi dan x (t) = 2t merupakan minimum lokal. Catatan: Nantinya, suatu ekstremum merupakan minimum ataukah maksimum ditentukan berdasarkan syarat cukup (syarat orde-2). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
34 Example Tinjau sebuah masalah makroekonomi di mana sebuah indikator ekonomi y(t) ingin dikendalikan dengan kendali u(t) = ẏ(t) sehingga mencapai level yang diinginkan ŷ dalam periode [0, T ]. Pengendalian memerlukan biaya sehingga ingin diminimumkan fungsional J(y) = T 0 Definisikan x := y ŷ sehingga Masalah kalkulus variasi: [ (y ŷ) 2 + cu 2] dt, c > 0. ẋ = ẏ = u, x(t ) = y(t ) ŷ = ŷ ŷ = 0. min J(x) = T 0 (x 2 + cẋ 2 ) dt, x(0) = x 0, x(t ) = 0. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
35 Solution Persamaan Euler memberikan: 2x 2cẍ = 0 ẍ 1 c x = 0 Syarat batas menghasilkan: sehingga x (t) = x(t) = Ae rt + Be rt, r = 1 c. x [ 0 e rt e rt e r (T t) e r (T t)], y (t) = x (t) + ŷ, u (t) = ẋ (t). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
36 Example Selesaikan MKV berikut: min J(x) = 1 0 (x 2 + ẋ 2 ) dt, x(0) = 1, x(1) = 0. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
37 Solution Definisikan f (x, ẋ, t) = x 2 + ẋ 2, diperoleh f x = 2x dan fẋ = 2ẋ. Persamaan Euler menjadi 2x d (2ẋ) = 0 ẍ x = 0. dt Karena persamaan karakteristik PD orde dua di atas r 2 1 = 0 memiliki solusi r = 1 dan r = 1 maka solusi umum PD di atas ialah x(t) = C 1 e t + C 2 e t. Syarat batas x(0) = 1 dan x(1) = 0 memberikan C 1 + C 2 = 1, C 1 e + C 2 e 1 = 0, sehingga C 2 = e 2 e 2 1 dan C 1 = 1 e 2 e 2 1 = 1 e 2 1. Jadi, x (t) = 1 e 2 1 (e2 t e t ). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
38 Problem Selesaikan persamaan Euler dari J(x) = T f (x, ẋ, t) dt jika 0 1 f (x, ẋ, t) = x 2 + ẋ 2 + 2xe t. 2 f (x, ẋ, t) = eẋ ax, a > 0. 3 f (x, ẋ, t) = 2tx + 3xẋ + tẋ 2. 4 f (x, ẋ, t) = [ (x ẋ) 2 + x 2] e at, a > 0. Problem Selesaikan MKV berikut: 1 max 2 max 3 min 4 min 1 0 (4xt ẋ 2 ) dt, x(0) = 2, x(1) = (tẋ ẋ 2 ) dt, x(0) = 1, x(1) = 0. 0 (x 2 + 2txẋ + ẋ 2 ) dt, x(0) = 1, x(1) = (x 2 + tx + txẋ + ẋ 2 ) dt, x(0) = 0, x(1) = 1. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas
Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February 2012 1 / 37 Masalah Brachystochrone
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1
Lebih terperinciKontrol Optimum. Prinsip Maksimum Pontryagin. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum Prinsip Maksimum Pontryagin Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1 / 25 Outline Masalah kontrol optimum Prinsip
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 /
Lebih terperinciKontrol Optimum. Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 37 Outline Syarat
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 38 Outline
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 23 Outline MKO dengan
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2017
Kontrol Optimum MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2017 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 1 / 53 Outline MKO berkendala
Lebih terperinciKuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab
Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi e-version
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kalkulus Variasi Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 42 Outline Beberapa
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 10 Aplikasi Integral - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar- 10 Aplikasi Integral - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Volume Benda-Putar Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciSenin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p
Lebih terperinciDr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom
Metode Descent Oleh : Andaikan fungsi tujuan kita adalah minf(x);x R n. Secara umum f(x) dapat berupa fungsi nonlinear. Metode-metode descent adalah metode iteratif untuk memperoleh solusi pendekatan dari
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010
Metode Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 10 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 1 / 16 Ekspansi Taylor Misalkan f 2 C [a, b] dan x 0 2 [a, b], maka untuk
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika,.i, M.i tatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperinciBAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik
Lebih terperinciOutline. Bagian 0: Motivasi. Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker. Bagian 2: Sequential Quadratic Programming
Outline Bagian 0: Motivasi Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker Bagian 2: Sequential Quadratic Programming Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di erensial
Lebih terperinciJurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
Lebih terperinciLUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI
LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciTERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
Lebih terperinciG. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel.
G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. Definisi. (i) Suatu fungsi f(x, y) memiliki minimum lokal pada titik
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi
Lebih terperinciFUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperincia home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya TIK : Mahasiswa
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciHendra Gunawan. 5 Maret 2014
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem
Lebih terperinciKalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri
Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Contoh - 1 Volume V dari sebuah silinder dengan
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Lebih terperinci16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.
6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)
Lebih terperinciMASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.
Lebih terperinciVariabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciKalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018
Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. ahli matematika lainnya di Kerala School membuat penemuan-penemuan (yang
BAB LANDASAN TEORI.1 Kalkulus Pada abad ke-14, seorang ahli Matematika asal India, Madhava bersama rekanrekan ahli matematika lainnya di Kerala School membuat penemuan-penemuan (yang nantinya akan menjadi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan
Lebih terperincilog2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .
TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log
Lebih terperinciKurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika
Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciBAB I PENGERTIAN DASAR
BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.
Lebih terperinciFakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.
Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan
BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran
Lebih terperinciMODUL 2 OPTIMISASI OPTIMISASI EKONOMI EKONOMI. SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP. Ari Darmawan, Dr., S.AB, M.AB
MODUL 2 OPTIMISASI OPTIMISASI EKONOMI EKONOMI SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP Ari Darmawan, Dr., S.AB, M.AB aridarmawan_fia@ub.ac.id Pendahuluan Adanya kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciI N T E G R A L (Anti Turunan)
I N T E G R A L (Anti Turunan) I. Integral Tak Tentu A. Rumus Integral Bentuk Baku. Derifatif d/ X n = nx n- xn = Integral x n+ n. d/ cos x = - sin x sin x = - cos x. d/ sin x = cos x cos x = sin x 4.
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: = f(x, y) M(x, y) + N(x, y) = 0 Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika
Lebih terperinciKontrol Optimal Waktu Diskrit
Kontrol Optimal Waktu Diskrit April 2012 () Kontrol Optimal (3 SKS) April 2012 1 / 18 Ekstrim Suatu Fungsional untuk Fungsi Skalar Dalam bagian ini, kita akan menentukan syarat perlu untuk optimisasi fungsional
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciTEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciPENDEKATAN KALKULUS VARIASIONAL PADA SISTEM KONTROL DAYA DORONG ROKET. Niken Madu Meta Jurusan Matematika, FMIPA UNS
1 PENDEKATAN KALKULUS VARIASIONAL PADA SISTEM KONTROL DAYA DORONG ROKET Niken Madu Meta Jurusan Matematika, FMIPA UNS Abstrak. Kalkulus variasional adalah cabang dari kalkulus diferensial yang digunakan
Lebih terperinci= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =
Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,
Lebih terperinciDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Tujuan Instruktusional : Memahami diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas Daftar Materi Pembahasan : 1. Diferensiasi parsial 2.
Lebih terperinciKeep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1
VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa hal yang menjadi landasan dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,
Lebih terperinciINTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta
INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.
Lebih terperinciKENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR. Oleh : M.LUTHFI RUSYDI
KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h
Lebih terperinciKONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),
Lebih terperinciDIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65
DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciTurunan dalam Ruang berdimensi n
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah October 13, 2011 Andaikan f adalah fungsi dengan peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalkan y = y 0 maka f(x, y 0 ) adalah fungsi dengan peubah tunggal
Lebih terperinciPertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : 1. Memahami Integral Kalkulus dari Vektor. 2. Memahami Integral Garis,
Lebih terperinciFungsi Analitik (Bagian Kedua)
Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu
Lebih terperinciPENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinci