Kalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Kalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB"

Transkripsi

1 Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

2 Outline Masalah kalkulus variasi Fungsional objektif Perluasan Taylor Variasi Nilai ekstrem Syarat perlu optimalitas: Persamaan Euler (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

3 Masalah Brachistochrone Brachistochrone: brakhistos (tercepat, terpendek), khronos (waktu). Masalah: Tentukan lintasan (kurva) yang harus dilewati bola sehingga bola bergerak dari titik A ke titik B dalam waktu tercepat. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

4 Masalah Brachistochrone Hukum konservasi energi di A: Energi Kinetik = Energi Potensial: 1 2 mv 2 mgy = 0 v = 2gy. Lintasan di sekitar bola dapat dipandang sebagai sebuah garis lurus sehingga ds = dx 2 + dy 2 = Hubungan waktu t, jarak s, dan kecepatan v : v = ds dt dt = ds v = ( ) 1 + dy 2dx dx. 2gy 1 + ( dy dx ) 2dx. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

5 Masalah Brachistochrone Integralkan: t = 1 2g b ( ) 2 dy dx dx. y Masalah kalkulus variasi: b 1 + ẏ min J = 2 dx s.t. y(0) = 0, y(b) = a, y dengan ẏ := dy dx. Solusi parametrik: 0 x = 1 (1 cos θ) 2c2 y = 1 (θ sin θ). 2c2 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

6 Masalah Lintasan Terpendek Tentukan lintasan terpendek yang menghubungkan A dan B. y B( a,b) A(0,0) Di sepotong lintasan kecil berlaku ds = dx 2 + dy 2 = 1 + x ( ) dy 2 dx. dx Masalah kalkulus variasi: a min J = 1 + ẏ 2 dx s.t. y(0) = 0, y(a) = b. 0 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

7 Masalah Luas Permukaan Terkecil Tentukan kurva y = y(x) yang melewati A dan B sedemikian sehingga benda putar yang terbentuk memiliki luas permukaan terkecil. y A B( a,b) Di sepotong lintasan kecil berlaku ds = dx 2 + dy 2 = 1 + x ( ) dy 2 dx. dx tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

8 Masalah Luas Permukaan Terkecil Luas permukaan: Masalah kalkulus variasi: Solusi: min J = 2π a 0 A = S 2πy ds y 1 + ẏ 2 dx s.t. y(0) = A, y(a) = b. ( x + C2 y = C 1 cosh dengan C 1 dan C 2 ditentukan sehingga kurva melalui titik-titik A dan B. Kurva di atas dikenal sebagai kurva catenary (bahasa latin, catena, yang berarti rantai): kurva yang terbentuk jika sebuah rantai yang berat dengan densitas seragam digantungkan pada dua titik ujung. Benda putar yang terbentuk disebut catenoid. C 1 ), tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

9 MKV vs MKO Masalah Kalkulus Variasi: opt J(x(t)) = tf f (x(t), ẋ(t), t) dt Masalah kontrol optimal: opt J(x(t)) = tf f (x(t), u(t), t) dt ẋ(t) = g(x(t), u(t)), baik dengan kendala ataukah tanpa kendala. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

10 Fungsional Objektif Bentuk umum fungsional objektif (kriteria, performance index) J = S(x(t f ), t f ) + tf f (x(t), u(t), t)dt, dengan S dan f kontinu dan terturunkan. 1 S = 0, f = 1 (minimal time problem). 2 S = 0, f = u (minimal fuel/energy problem): J = tf u(t) dt, J = 3 S = 0, f = 0 (Bolza problem). 4 S = 0, f = 0 (Lagrange problem). 5 S = 0, f = 0 (Mayer problem). 6 Integral square problem: J = tf x T x dt, J = tf tf u T Ru dt. x T Qx dt. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

11 Fungsional Objektif Meskipun Bolza problem tampak memiliki formulasi yang lebih umum, ketiga problem bersifat convertible satu sama lain. Diberikan Bolza problem: Definisikan: maka tf J Bolza = S(x(t f ), t f ) + f (x(t), u(t), t)dt. x n+1 (t) = t f (x, u, τ)dτ x n+1 ( ) = 0, J Bolza = S(x(t f ), t f ) + x n+1 (t f ) = Ŝ(x(t f ), t f ) = J Mayer. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

12 Fungsional Objektif Diberikan Lagrange problem: J Lagrange = tf f (x(t), u(t), t)dt. Definisikan peubah state baru x a sedemikian sehingga Diperoleh ˆx = ( x a x 1 x 2... x n ) T, ẋ a = f (x(t), u(t), t), x a ( ) = 0. J Lagrange = tf = S(x(t f ), t f ) = J Mayer. ẋ a (t)dt = x a t f = x(t f ) tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

13 Fungsional Objektif Diberikan Mayer problem: J Mayer = S(x(t f ), t f ). Definisikan peubah state baru x a sedemikian sehingga Diperoleh ˆx = ( x a x 1 x 2... x n ) T, ẋ a = 0 x a (t) = k, x a (t f ) = 1 S(x(t f ), t f ). t f J Mayer = (t f )x a (t f ) = (t f )(x a (t f ) k) + k(t f ) = Ŝ(x(t f ), t f ) + = Ŝ(x(t f ), t f ) + tf tf kdt x a (t)dt = J Lagrange. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

14 Fungsi dan Fungsional Fungsi Fungsional Pemetaan x : R R J : x R Notasi x = x(t) J = J(x(t)) Contoh x(t) = t J(x(t)) = b a x(t)dt Riap dt = t t δx(t) = x (t) x(t) x(t) = x(t + dt) x(t) J(x) = J(x + δx) J(x) Kalkulus Variasi: cabang matematika yang memelajari masalah pengoptimuman fungsional, yaitu mencari fungsi yang meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsional. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

15 Perluasan Taylor 1 Peubah Diberikan fungsi f dengan f, f,..., f (n+1) kontinu di [a, b] dan misalkan c [a, b]. Perluasan Taylor dari f di sekitar c diberikan oleh f (x) = n=0 f (n) (c) (x c) n + R n+1 (x), n! dengan R n+1 disebut sebagai remainder (sisaan): R n+1 (x) = 1 n! Jika lim n R n+1 = 0 maka f (x) = x n=0 c (x s)f (n+1) (s)ds. f (n) (c) (x c) n. n! tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

16 Perluasan Taylor 1 Peubah Set h = x c Dengan demikian f (c + h) = n=0 f (n) (c) h n. n! f (x + h) = n=0 f (n) (x) h n. n! Dapat juga ditulis f (x + h) f (x) + hf (x) + h2 2! f (x). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

17 Perluasan Taylor Peubah Ganda m peubah di sekitar (c 1,..., c m ) : f (x 1,..., x m ) = n 1 =0 n m =0 (x 1 c 1 ) n 1 (x m c m ) n m ( n 1 + +n m f n 1! n m! x n 1 1 x n m m ) (c 1,..., c m ). 2 peubah di sekitar (a, b) : f (x, y) f (a, b) + (x a)f x (a, b) + (y b)f y (a, b) (x a)2 + f xx (a, b) + 2! (y b)2 + f yy (a, b). 2! 2(x a)(y b) f xy (a, b) 2! tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

18 Perluasan Taylor 2 Peubah Set h 1 = x a dan h 2 = y b : f (a + h 1, b + h 2 ) f (a, b) + h 1 f x (a, b) + h 2 f y (a, b) Atau + h2 1 2 f xx (a, b) + h 1 h 2 f xy (a, b) + h2 2 2 f yy (a, b). f (x + h 1, y + h 2 ) f (x, y) + h 1 f x (x, y) + h 2 f y (x, y) + h2 1 2 f xx (x, y) + h 1 h 2 f xy (x, y) + h2 2 2 f yy (x, y). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

19 Variasi Pertama (1 Peubah) Diberikan fungsional J(x) = Diperoleh T J(x) = J(x + h) J(x) = = Variasi pertama T T T f (x + h, t) dt f (x, t) dt. T [f (x, t) + hf (x, t)] dt hf (x, t) dt. δj(x) := T hf (x, t) dt. f (x, t) dt T f (x, t) dt tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

20 Variasi Pertama (2 Peubah) Diberikan fungsional J(x, y) = Diperoleh T f (x, y, t) dt. J(x, y) = J(x + h 1, y + h 2, t) J(x, y) = Variasi pertama T T δj(x, y) := f (x + h 1, y + h 2, t) dt T [h 1 f x (x, y, t) + h 2 f y (x, y, t)] dt. T [h 1 f x (x, y, t) + h 2 f y (x, y, t)] dt. f (x, y, t) dt tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

21 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Definition Fungsi f = f (t) mencapai: maksimum lokal di t jika f (t ) f (t) untuk semua t di sekitar t. minimum lokal di t jika f (t ) f (t) untuk semua t di sekitar t. maksimum global di t jika f (t ) f (t) untuk semua t D f. minimum global di t jika f (t ) f (t) untuk semua t D f. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

22 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Definition Fungsional J = J(x(t)) mencapai: maksimum lokal di x jika J(x ) J(x) untuk semua x di sekitar x. minimum lokal di di x jika J(x ) J(x) untuk semua x di sekitar x. maksimum global di x jika J(x ) J(x) untuk semua x. minimum global di x jika J(x ) J(x) untuk semua x. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

23 Masalah Kalkulus Variasi Definisikan: C [a, b] = {f f kontinu di [a, b]}, C i [a, b] = {f f terdefinisi di [a, b], f (i) kontinu di [a, b]}. Tanpa kehilangan sifat keumuman, diasumsikan [a, b] = [0, T ]. Diberikan fungsional J(x) = T 0 f (x, ẋ, t) dt dengan A(0, x(0)) dan B(T, x(t )) adalah dua titik yang sudah ditetapkan, f C 2 [0, T ], dan x C 2 [0, T ]. Problem (MKV) Tentukan fungsi x (t) dalam C 2 [0, T ] yang memiliki titik awal A(0, x(0)) dan titik akhir B(T, x(t )) dan memberikan nilai optimum bagi J(x). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

24 Lema Dasar Lemma Misalkan g(t) C [0, T ] dan S = {h h C 1 [0, T ], h(0) = h(t ) = 0}. Jika T g(t)h(t) dt = 0 0 untuk semua h S (h disebut sebagai displacement function atau fungsi penyimpang) maka g(t) 0 untuk semua t [0, T ]. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

25 Proof. Akan dibuktikan kontrapositif dari lema di atas. Andaikan g(t) = 0, katakanlah g(t) > 0 pada t [t 1, t 2 ] [0, T ]. Fungsi h dapat berbentuk h(t) = { (t t1 ) 3 (t 2 t) 3 ; t [t 1, t 2 ] 0 ; t / [t 1, t 2 ]. Jelas terpenuhi h(0) = h(t ) = 0. Dengan demikian T 0 g(t)h(t) dt = t 2 t 1 g(t)(t t 1 ) 3 (t 2 t) 3 dt = 0. Kontradiksi. Haruslah g(t) 0. Problem Tunjukkan bahwa h terturunkan di t 1 dan t 2. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

26 Fungsi penyimpang: h(t) = { (t 1) 3 (3 t) 3 ; t [1, 3] 0 ; t / [1, 3]. h t tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

27 Persamaan Euler Theorem (Persamaan Euler) Misalkan J(x) = T f (x, ẋ, t) dt, 0 x(0) = x 0, x(t ) = x T. Syarat perlu agar J(x) memiliki ekstremum ialah x(t) memenuhi persamaan Euler berikut: f x d dt f ẋ = 0. Dengan kata lain, jika x(t) merupakan ekstremum, maka x(t) memenuhi persamaan Euler. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

28 Proof: Asumsikan terdapat solusi x(t) bagi MKV di atas, yang memenuhi syarat batas dan memberikan ekstremum bagi fungsional J. Dengan kata lain, semua fungsi lain tidak akan mencapai ekstremum. Misalkan sebarang fungsi tersebut ialah z(t) = x(t) + εh(t), dengan h merupakan fungsi penyimpang (displacement function) yang terturunkan dan memenuhi h(0) = h(t ) = 0, dan ε konstanta real. Jika ε = 0 maka z(t) = x(t). z, x, h t tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

29 Karena z(t) memenuhi syarat batas: z(0) = x(0) + εh(0) = x 0, z(t ) = x(t ) + εh(t ) = x T, maka diperoleh fungsional yang bergantung pada parameter ε : J(ε) = T f (z, ż, t) dt, 0 dengan ż(t) = ẋ(t) + εḣ(t). Fungsional J(ε) identik dengan J(x) jika ε = 0 dan mencapai ekstremum ketika J(ε) ε = 0. Diperoleh, ε=0 J(ε) ε = T 0 Karena dz d ε = h dan d ż d ε = ḣ maka ( ) dz f z dε + f dż ż dε dt. J(ε) ε = T 0 ( fz h + fż ḣ ) dt. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

30 Suku kedua diintegralkan secara parsial dengan memisalkan sehingga Jadi, u = fż du = d dt f ż dt, dv = ḣ dt v = h, T 0 f ż ḣ dt = f ż h T 0 T 0 h d dt f ż dt = T 0 h d dt f ż dt. J(ε) ε = T 0 ( fz d dt f ) ż h dt. Ekstremum dicapai ketika J(ε) ε = 0 dan ε = 0 yang membuat f z = f x dan fż = fẋ. Lema dasar mengakibatkan J(ε) ε = 0 f x d dt f ẋ = 0. ε=0 Terbukti. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

31 Proof (Alternative): Pertama akan dibuktikan bahwa syarat perlu bagi J untuk mencapai ekstremum ialah δj = 0. Perhatikan bahwa J(ε) = T 0 f (z, ż, t) dt = T f (x + εh, ẋ + εḣ, t) dt. 0 Penguraian Taylor memberikan J(ε) T [ 0 f (x, ẋ, t) + εhfx (x, ẋ, t) + εḣfẋ (x, ẋ, t) ] dt = T 0 f (x, ẋ, t) dt + ε T [ hfx (x, ẋ, t) + ḣfẋ (x, ẋ, t) ] dt 0 = J(x) + εδj(x). Fungsional J(ε) identik dengan J(x) jika dan hanya jika δj(x) = 0. Selanjutnya, Terbukti. δj(ε) = 0 T 0 (hf x + ḣfẋ ) dt = 0 T 0 (f x d dt f ẋ )h dt = 0 f x d dt f ẋ = 0. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

32 Example Tentukan ekstremum dari J(x) = 1 0 (aẋ 2 + bt) dt, a > 0, x(0) = 0, x(1) = 2. Solution Dengan f (ẋ, t) = aẋ 2 + bt maka diperoleh f x = 0 dan fẋ = 2aẋ sehingga persamaan Euler memberikan 0 d dt (2aẋ) = 0 2aẍ = 0 ẍ = 0 x(t) = k 1t + k 2. Dengan mensubstitusikan syarat batas diperoleh x (t) = 2t dan J(x ) = 1 0 (4a + bt) dt = 4a b. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

33 Beberapa fungsi penyimpang ialah sbb: sehingga diperoleh h 1 (t) = t(t 1) x 1 (t) = 2t + εt(t 1), h 2 (t) = sin(2πt) x 2 (t) = 2t + ε sin(2πt) J(x 1 ) = 1 0 (a(2 + ε(2t 1))2 + bt) dt = 4a b aε2 > J(x ), J(x 2 ) = 1 0 (a(2 + 2πε cos(2πt))2 + bt) dt = 4a b + 2π2 aε 2 > J(x ). Dapat disimpulkan bahwa masalah di atas adalah masalah minimisasi dan x (t) = 2t merupakan minimum lokal. Catatan: Nantinya, suatu ekstremum merupakan minimum ataukah maksimum ditentukan berdasarkan syarat cukup (syarat orde-2). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

34 Example Tinjau sebuah masalah makroekonomi di mana sebuah indikator ekonomi y(t) ingin dikendalikan dengan kendali u(t) = ẏ(t) sehingga mencapai level yang diinginkan ŷ dalam periode [0, T ]. Pengendalian memerlukan biaya sehingga ingin diminimumkan fungsional J(y) = T 0 Definisikan x := y ŷ sehingga Masalah kalkulus variasi: [ (y ŷ) 2 + cu 2] dt, c > 0. ẋ = ẏ = u, x(t ) = y(t ) ŷ = ŷ ŷ = 0. min J(x) = T 0 (x 2 + cẋ 2 ) dt, x(0) = x 0, x(t ) = 0. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

35 Solution Persamaan Euler memberikan: 2x 2cẍ = 0 ẍ 1 c x = 0 Syarat batas menghasilkan: sehingga x (t) = x(t) = Ae rt + Be rt, r = 1 c. x [ 0 e rt e rt e r (T t) e r (T t)], y (t) = x (t) + ŷ, u (t) = ẋ (t). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

36 Example Selesaikan MKV berikut: min J(x) = 1 0 (x 2 + ẋ 2 ) dt, x(0) = 1, x(1) = 0. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

37 Solution Definisikan f (x, ẋ, t) = x 2 + ẋ 2, diperoleh f x = 2x dan fẋ = 2ẋ. Persamaan Euler menjadi 2x d (2ẋ) = 0 ẍ x = 0. dt Karena persamaan karakteristik PD orde dua di atas r 2 1 = 0 memiliki solusi r = 1 dan r = 1 maka solusi umum PD di atas ialah x(t) = C 1 e t + C 2 e t. Syarat batas x(0) = 1 dan x(1) = 0 memberikan C 1 + C 2 = 1, C 1 e + C 2 e 1 = 0, sehingga C 2 = e 2 e 2 1 dan C 1 = 1 e 2 e 2 1 = 1 e 2 1. Jadi, x (t) = 1 e 2 1 (e2 t e t ). tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

38 Problem Selesaikan persamaan Euler dari J(x) = T f (x, ẋ, t) dt jika 0 1 f (x, ẋ, t) = x 2 + ẋ 2 + 2xe t. 2 f (x, ẋ, t) = eẋ ax, a > 0. 3 f (x, ẋ, t) = 2tx + 3xẋ + tẋ 2. 4 f (x, ẋ, t) = [ (x ẋ) 2 + x 2] e at, a > 0. Problem Selesaikan MKV berikut: 1 max 2 max 3 min 4 min 1 0 (4xt ẋ 2 ) dt, x(0) = 2, x(1) = (tẋ ẋ 2 ) dt, x(0) = 1, x(1) = 0. 0 (x 2 + 2txẋ + ẋ 2 ) dt, x(0) = 1, x(1) = (x 2 + tx + txẋ + ẋ 2 ) dt, x(0) = 0, x(1) = 1. tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari / 38

Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas

Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February 2012 1 / 37 Masalah Brachystochrone

Lebih terperinci

Kalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.

Kalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1

Lebih terperinci

Kontrol Optimum. Prinsip Maksimum Pontryagin. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kontrol Optimum. Prinsip Maksimum Pontryagin. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014 Kontrol Optimum Prinsip Maksimum Pontryagin Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1 / 25 Outline Masalah kontrol optimum Prinsip

Lebih terperinci

Kalkulus Variasi. Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.

Kalkulus Variasi. Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Kalkulus Variasi Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 /

Lebih terperinci

Kontrol Optimum. Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kontrol Optimum. Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014 Kontrol Optimum Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 37 Outline Syarat

Lebih terperinci

Kontrol Optimum. MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kontrol Optimum. MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014 Kontrol Optimum MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 38 Outline

Lebih terperinci

Kontrol Optimum. MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kontrol Optimum. MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014 Kontrol Optimum MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 23 Outline MKO dengan

Lebih terperinci

Kontrol Optimum. MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2017

Kontrol Optimum. MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2017 Kontrol Optimum MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2017 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 1 / 53 Outline MKO berkendala

Lebih terperinci

Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab

Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi e-version

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa

Lebih terperinci

Kalkulus Variasi. Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014

Kalkulus Variasi. Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014 Kalkulus Variasi Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 42 Outline Beberapa

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau

Lebih terperinci

KALKULUS MULTIVARIABEL II

KALKULUS MULTIVARIABEL II Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua

Lebih terperinci

KALKULUS MULTIVARIABEL II

KALKULUS MULTIVARIABEL II KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk

Lebih terperinci

PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT

PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua

Lebih terperinci

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK

UJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +

Lebih terperinci

Matematika Teknik Dasar-2 10 Aplikasi Integral - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya

Matematika Teknik Dasar-2 10 Aplikasi Integral - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Matematika Teknik Dasar- 10 Aplikasi Integral - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Volume Benda-Putar Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan

Lebih terperinci

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu

Lebih terperinci

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan

Lebih terperinci

Senin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam

Senin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p

Lebih terperinci

Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom

Dr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom Metode Descent Oleh : Andaikan fungsi tujuan kita adalah minf(x);x R n. Secara umum f(x) dapat berupa fungsi nonlinear. Metode-metode descent adalah metode iteratif untuk memperoleh solusi pendekatan dari

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab

Lebih terperinci

KALKULUS MULTIVARIABEL II

KALKULUS MULTIVARIABEL II Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang

Lebih terperinci

Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010

Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010 Metode Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 10 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 1 / 16 Ekspansi Taylor Misalkan f 2 C [a, b] dan x 0 2 [a, b], maka untuk

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t

Lebih terperinci

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange

Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika,.i, M.i tatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara

Lebih terperinci

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50

TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50 TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan

Lebih terperinci

BAB PDB Linier Order Satu

BAB PDB Linier Order Satu BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum

Lebih terperinci

Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc

Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik

Lebih terperinci

Outline. Bagian 0: Motivasi. Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker. Bagian 2: Sequential Quadratic Programming

Outline. Bagian 0: Motivasi. Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker. Bagian 2: Sequential Quadratic Programming Outline Bagian 0: Motivasi Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker Bagian 2: Sequential Quadratic Programming Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di erensial

Lebih terperinci

Jurusan Matematika FMIPA-IPB

Jurusan Matematika FMIPA-IPB Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata

Lebih terperinci

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan

Lebih terperinci

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. 1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial

Lebih terperinci

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK

BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan

Lebih terperinci

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61

TERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61 TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan

Lebih terperinci

APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG

APLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan

Lebih terperinci

G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel.

G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. Definisi. (i) Suatu fungsi f(x, y) memiliki minimum lokal pada titik

Lebih terperinci

Open Source. Not For Commercial Use

Open Source. Not For Commercial Use Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4

a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya TIK : Mahasiswa

Lebih terperinci

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I

DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kuliah yang Lalu 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 SistemKoordinatPolar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

Kalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan

Kalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan

Lebih terperinci

Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri

Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Contoh - 1 Volume V dari sebuah silinder dengan

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

MASALAH SYARAT BATAS (MSB)

MASALAH SYARAT BATAS (MSB) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.

Lebih terperinci

Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1

Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk

Lebih terperinci

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n

TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018

Kalkulus 2. Teknik Pengintegralan ke - 1. Tim Pengajar Kalkulus ITK. Institut Teknologi Kalimantan. Januari 2018 Kalkulus 2 Teknik Pengintegralan ke - 1 Tim Pengajar Kalkulus ITK Institut Teknologi Kalimantan Januari 2018 Tim Pengajar Kalkulus ITK (Institut Teknologi Kalimantan) Kalkulus 2 Januari 2018 1 / 36 Daftar

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. ahli matematika lainnya di Kerala School membuat penemuan-penemuan (yang

BAB 2 LANDASAN TEORI. ahli matematika lainnya di Kerala School membuat penemuan-penemuan (yang BAB LANDASAN TEORI.1 Kalkulus Pada abad ke-14, seorang ahli Matematika asal India, Madhava bersama rekanrekan ahli matematika lainnya di Kerala School membuat penemuan-penemuan (yang nantinya akan menjadi

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan

Lebih terperinci

log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .

log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) . TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log

Lebih terperinci

Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika

Kurikulum 2013 Antiremed Kelas 11 Matematika Kurikulum 03 Antiremed Kelas Matematika Turunan Fungsi dan Aplikasinya Soal Doc. Name: K3ARMATPMT060 Version: 05-0 halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f (x). (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang

Lebih terperinci

BAB I PENGERTIAN DASAR

BAB I PENGERTIAN DASAR BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.

Lebih terperinci

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.

Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI. 0 a b X A. b A = f (X) dx a. Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Kode Modul MAT. TKF 20-03 Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif INTEGRASI FUNGSI Y Y = f (X) 0 a b X A b A = f (X) dx a Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T. Sistem Perencanaan Penyusunan Program

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.

Lebih terperinci

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70

Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70 Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan

BAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran

Lebih terperinci

MODUL 2 OPTIMISASI OPTIMISASI EKONOMI EKONOMI. SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP. Ari Darmawan, Dr., S.AB, M.AB

MODUL 2 OPTIMISASI OPTIMISASI EKONOMI EKONOMI. SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP. Ari Darmawan, Dr., S.AB, M.AB MODUL 2 OPTIMISASI OPTIMISASI EKONOMI EKONOMI SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP Ari Darmawan, Dr., S.AB, M.AB aridarmawan_fia@ub.ac.id Pendahuluan Adanya kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya

Lebih terperinci

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :

perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : 1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan

Lebih terperinci

Bab 2 Fungsi Analitik

Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,

Lebih terperinci

I N T E G R A L (Anti Turunan)

I N T E G R A L (Anti Turunan) I N T E G R A L (Anti Turunan) I. Integral Tak Tentu A. Rumus Integral Bentuk Baku. Derifatif d/ X n = nx n- xn = Integral x n+ n. d/ cos x = - sin x sin x = - cos x. d/ sin x = cos x cos x = sin x 4.

Lebih terperinci

Persamaan Di erensial Orde-2

Persamaan Di erensial Orde-2 oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: = f(x, y) M(x, y) + N(x, y) = 0 Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika

Lebih terperinci

Kontrol Optimal Waktu Diskrit

Kontrol Optimal Waktu Diskrit Kontrol Optimal Waktu Diskrit April 2012 () Kontrol Optimal (3 SKS) April 2012 1 / 18 Ekstrim Suatu Fungsional untuk Fungsi Skalar Dalam bagian ini, kita akan menentukan syarat perlu untuk optimisasi fungsional

Lebih terperinci

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A

PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

PENDEKATAN KALKULUS VARIASIONAL PADA SISTEM KONTROL DAYA DORONG ROKET. Niken Madu Meta Jurusan Matematika, FMIPA UNS

PENDEKATAN KALKULUS VARIASIONAL PADA SISTEM KONTROL DAYA DORONG ROKET. Niken Madu Meta Jurusan Matematika, FMIPA UNS 1 PENDEKATAN KALKULUS VARIASIONAL PADA SISTEM KONTROL DAYA DORONG ROKET Niken Madu Meta Jurusan Matematika, FMIPA UNS Abstrak. Kalkulus variasional adalah cabang dari kalkulus diferensial yang digunakan

Lebih terperinci

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =

= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) = Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,

Lebih terperinci

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Tujuan Instruktusional : Memahami diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas Daftar Materi Pembahasan : 1. Diferensiasi parsial 2.

Lebih terperinci

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1 VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh pasangan persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), t dalam I dengan f dan g kontinu pada selang I. I

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema,

BAB II KAJIAN TEORI. dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang beberapa hal yang menjadi landasan dalam penulisan bab III. Materi yang diuraikan berisi tentang definisi, teorema, dan beberapa kajian matematika,

Lebih terperinci

INTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta

INTEGRAL. disebut integral tak tentu dan f(x) disebut integran. = X n+1 + C, a = konstanta INTEGRAL Jika f(x) = F (x) adalah turunan pertama dari fungsi F(x) maka F(x) adalah antiturunan dari f(x)dan ditulis dengan F(x) = (dibaca integral f(x) terhadap x) = lambang integral, f(x) = integran.

Lebih terperinci

KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR. Oleh : M.LUTHFI RUSYDI

KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR. Oleh : M.LUTHFI RUSYDI KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq

MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h

Lebih terperinci

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai

Lebih terperinci

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika

K13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika K3 Revisi Antiremed Kelas Matematika Turunan - Latihan Soal Doc. Name: RK3ARMATWJB080 Version: 06- halaman 0. Jika f(x) = 8x maka f'(x) =. (A) 8x (B) 8x (C) 6x (D) 6x (E) 4x 0. Diketahui y = sin ( π x),

Lebih terperinci

DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65

DIFERENSIAL TOTAL. 1 Kalkulus Lanjut   Blog: aswhat.wordpress.com. dz dx dy x y dx x y dy. dz , ,04 0,65 DIFERENSIAL TOTAL 1. Pendahuluan Ingat kembali konsep diferensial pada fungsi satu variabel y = f(x). suatu diferensial dx terhadap variabel bebas didefinisikan sebagai: dy = f (x) dx selanjutnya, misalkan

Lebih terperinci

Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018

Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018 Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)

Lebih terperinci

Kalkulus Multivariabel I

Kalkulus Multivariabel I dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar

Lebih terperinci

Turunan dalam Ruang berdimensi n

Turunan dalam Ruang berdimensi n Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah October 13, 2011 Andaikan f adalah fungsi dengan peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalkan y = y 0 maka f(x, y 0 ) adalah fungsi dengan peubah tunggal

Lebih terperinci

Pertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor

Pertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor Pertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : 1. Memahami Integral Kalkulus dari Vektor. 2. Memahami Integral Garis,

Lebih terperinci

Fungsi Analitik (Bagian Kedua)

Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu

Lebih terperinci

PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.

PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78. PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN

Lebih terperinci

Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai

Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).

Lebih terperinci