Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas
|
|
- Hamdani Yuwono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Slide II Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB February 2012 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
2 Masalah Brachystochrone Brachystochrone: brakhistos (tercepat, terpendek), khronos (waktu). Tentukan lintasan (kurva) yang harus dilewati bola sehingga bola bergerak dari titik A ke titik B dalam waktu tercepat. A(0,0) b x a y B(b,a) TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
3 Masalah Brachystochrone Hukum konservasi energi: Energi Kinetik + Energi Potensial = 0 : 1 2 mv 2 mgy = 0 v = 2gy. Lintasan di sekitar bola dapat dipandang sebagai sebuah garis lurus sehingga ds = ( ) dy 2 dx 2 + dy 2 = 1 + dx. dx Hubungan waktu t, jarak s, dan kecepatan v : v = ds dt dt = ds v = ( ) 1 + dy 2dx dx. 2gy TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
4 Masalah Brachystochrone Integralkan: t = 1 2g b ( ) 2 dy dx dx. y Masalah kontrol optimal: b 1 + ẏ min J = 2 dx s.t. y(0) = 0, y(b) = a, y dengan ẏ := dy dx. 0 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
5 Masalah Lintasan Terpendek Tentukan lintasan terpendek yang menghubungkan A dan B. y B( a,b) A(0,0) Di sepotong lintasan kecil berlaku ds = dx 2 + dy 2 = 1 + x ( ) dy 2 dx. dx Masalah kontrol optimal: a min J = 1 + ẏ 2 dx s.t. y(0) = 0, y(a) = b. 0 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
6 Masalah Luas Permukaan Terkecil Tentukan kurva y = y(x) yang melewati A dan B sedemikian sehingga benda putar yang terbentuk memiliki luas permukaan terkecil. y A B( a,b) Di sepotong lintasan kecil berlaku ds = dx 2 + dy 2 = 1 + x ( ) dy 2 dx. dx TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
7 Masalah Luas Permukaan Terkecil Luas permukaan: Masalah kontrol optimal: A = S 2πy ds min a J = 2π y 1 + ẏ 2 dx s.t. y(0) = A, y(a) = b. 0 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
8 MKV vs MKO Masalah Kalkulus Variasi: opt J(x(t)) = tf F (x(t), ẋ(t), t) dt Masalah kontrol optimal: opt J(x(t)) = tf F (x(t), u(t), t) dt baik dengan kendala ataukah tanpa kendala. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
9 Fungsional Objektif Bentuk umum fungsional objektif (kriteria, performance index) J = S(x(t f ), t f ) + tf F (x(t), u(t), t)dt, dengan S dan F kontinu dan terturunkan. 1 S = 0, F = 1 (minimal time problem). 2 S = 0, F = u (minimal fuel/energy problem): J = tf u(t) dt, J = 3 S = 0, F = 0 (Bolza problem). 4 S = 0, F = 0 (Lagrange problem). 5 S = 0, F = 0 (Mayer problem). 6 Integral square problem: J = tf x T x dt, J = tf tf u T Ru dt. x T Qx dt. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
10 Fungsional Objektif Meskipun Bolza problem tampak memiliki formulasi yang lebih umum, ketiga problem bersifat convertible satu sama lain. Diberikan Bolza problem: Definisikan: maka tf J Bolza = S(x(t f ), t f ) + F (x(t), u(t), t)dt. x n+1 (t) = t F (x, u, τ)dτ x n+1 ( ) = 0, J Bolza = S(x(t f ), t f ) + x n+1 (t f ) = Ŝ(x(t f ), t f ) = J Mayer. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
11 Fungsional Objektif Diberikan Lagrange problem: J Lagrange = tf F (x(t), u(t), t)dt. Definisikan peubah state baru x a sedemikian sehingga Diperoleh ˆx = ( x a x 1 x 2... x n ) T, ẋ a = F (x(t), u(t), t), x a ( ) = 0. J Lagrange = tf = S(x(t f ), t f ) = J Mayer. ẋ a (t)dt = x a t f = x(t f ) TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
12 Fungsional Objektif Diberikan Mayer problem: J Mayer = S(x(t f ), t f ). Definisikan peubah state baru x a sedemikian sehingga Diperoleh ˆx = ( x a x 1 x 2... x n ) T, ẋ a = 0 x a (t) = k, x a (t f ) = 1 S(x(t f ), t f ). t f J Mayer = (t f )x a (t f ) = (t f )(x a (t f ) k) + k(t f ) = Ŝ(x(t f ), t f ) + = Ŝ(x(t f ), t f ) + tf tf kdt x a (t)dt = J Lagrange. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
13 Fungsi dan Fungsional Fungsi Fungsional Pemetaan f : R R J : f R Notasi f = f (t) J = J(x(t)) Contoh f (t) = t J(x(t)) = b a x(t)dt Riap dt = t t δx(t) = x (t) x(t) f (t) = f (t + dt) f (t) J(x) = J(x + δx) J(x) Kalkulus Variasi: cabang matematika yang memelajari masalah pengoptimuman fungsional, yaitu mencari fungsi yang meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsional. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
14 Perluasan Taylor 1 Peubah Diberikan fungsi f dengan f, f,..., f (n+1) kontinu di [a, b] dan misalkan c [a, b]. Perluasan Taylor dari f di sekitar c diberikan oleh f (x) = n k=0 f (k) (c) (x c) n + R n+1 (x), k! dengan R n+1 disebut sebagai remainder (sisaan): R n+1 (x) = 1 n! Jika lim n R n+1 = 0 maka f (x) = x n=0 c (x s)f (n+1) (s)ds. f (n) (c) (x c) n. n! TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
15 Perluasan Taylor 1 Peubah Set h = x c Dengan demikian f (c + h) = n=0 f (n) (c) h n. n! f (x + h) = n=0 f (n) (x) h n. n! Dapat juga ditulis f (x + h) f (x) + hf (x) + h2 2! f (x). TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
16 Perluasan Taylor Peubah Ganda m peubah di sekitar (c 1,..., c m ) : f (x 1,..., x m ) = n 1 =0 n m =0 (x 1 c 1 ) n 1 (x m c m ) n m ( n 1 + +n m f n 1! n m! x n 1 1 x n m m ) (c 1,..., c m ). 2 peubah di sekitar (a, b) : f (x, y) f (a, b) + (x a)f x (a, b) + (y b)f y (a, b) (x a)2 + f xx (a, b) + 2! (y b)2 + f yy (a, b). 2! 2(x a)(y b) f xy (a, b) 2! TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
17 Perluasan Taylor 2 Peubah Set h 1 = x a dan h 2 = y b : f (a + h 1, b + h 2 ) f (a, b) + h 1 f x (a, b) + h 2 f y (a, b) Atau + h2 1 2 f xx (a, b) + h 1 h 2 f xy (a, b) + h2 2 2 f yy (a, b). f (x + h 1, y + h 2 ) f (x, y) + h 1 f x (x, y) + h 2 f y (x, y) + h2 1 2 f xx (x, y) + h 1 h 2 f xy (x, y) + h2 2 2 f yy (x, y). TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
18 Variasi Pertama (1 Peubah) Diberikan fungsional J(x) = Diperoleh T J(x) = J(x + h) J(x) = = Variasi pertama T T T f (x + h, t) dt f (x, t) dt. T [f (x, t) + hf (x, t)] dt hf (x, t) dt. δj(x) := T hf (x, t) dt. f (x, t) dt T f (x, t) dt TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
19 Variasi Pertama (2 Peubah) Diberikan fungsional J(x, y) = Diperoleh T f (x, y, t) dt. J(x, y) = J(x + h 1, y + h 2, t) J(x, y) = Variasi pertama T T δj(x, y) := f (x + h 1, y + h 2, t) dt T [h 1 f x (x, y, t) + h 2 f y (x, y, t)] dt. T [h 1 f x (x, y, t) + h 2 f y (x, y, t)] dt. f (x, y, t) dt TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
20 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Definition Fungsi f = f (t) mencapai: maksimum lokal di t jika f (t ) f (t) untuk semua t di sekitar t. minimum lokal di t jika f (t ) f (t) untuk semua t di sekitar t. maksimum global di t jika f (t ) f (t) untuk semua t D f. minimum global di t jika f (t ) f (t) untuk semua t D f. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
21 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Definition Fungsional J = J(x(t)) mencapai: maksimum lokal di x jika J(x ) J(x) untuk semua x di sekitar x. minimum lokal di di x jika J(x ) J(x) untuk semua x di sekitar x. maksimum global di x jika J(x ) J(x) untuk semua x. minimum global di x jika J(x ) J(x) untuk semua x. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
22 Masalah Kalkulus Variasi Definisikan: C [a, b] = {f f kontinu di [a, b]}, C i [a, b] = {f f terdefinisi di [a, b], f (i) kontinu di [a, b]}. Tanpa kehilangan sifat keumuman, diasumsikan [a, b] = [0, T ]. Diberikan fungsional J(x) = T 0 f (x, ẋ, t) dt dengan A(0, x(0)) dan B(T, x(t )) adalah dua titik yang sudah ditetapkan, f C 2 [0, T ], dan x C 2 [0, T ]. Problem (MKV) Tentukan fungsi x (t) dalam C 2 [0, T ] yang memiliki titik awal A(0, x(0)) dan titik akhir B(T, x(t )) dan memberikan nilai optimum bagi J(x). TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
23 Lema Dasar Lemma Misalkan g(t) C [0, T ] dan S = {h h C 1 [0, T ], h(0) = h(t ) = 0}. Jika T g(t)h(t) dt = 0 0 untuk semua h S (h disebut sebagai displacement function) maka g(t) 0 untuk semua t [0, T ]. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
24 Proof. Akan dibuktikan kontrapositif dari lema di atas. Andaikan g(t) = 0, katakanlah g(t) > 0 pada t [t 1, t 2 ] [0, T ]. Fungsi h dapat berbentuk h(t) = { (t t1 ) 3 (t 2 t) 3 ; t [t 1, t 2 ] 0 ; t / [t 1, t 2 ]. Jelas terpenuhi h(0) = h(t ) = 0. Dengan demikian T 0 g(t)h(t) dt = t 2 t 1 g(t)(t t 1 ) 3 (t 2 t) 3 dt = 0. Kontradiksi. Haruslah g(t) 0. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
25 Fungsi penyimpang: h(t) = { (t 1) 3 (3 t) 3 ; t [1, 3] 0 ; t / [1, 3]. h t TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
26 Persamaan Euler Theorem (Persamaan Euler) Misalkan J(x) = T f (x, ẋ, t) dt, 0 x(0) = x 0, x(t ) = x T. Syarat perlu agar J(x) memiliki ekstremum ialah x(t) memenuhi persamaan Euler berikut: f x d dt f ẋ = 0. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
27 Proof: Asumsikan terdapat solusi x(t) bagi MKV di atas, yang memenuhi syarat batas dan memberikan ekstremum bagi fungsional J. Dengan kata lain, semua fungsi lain tidak akan mencapai ekstremum. Misalkan sebarang fungsi tersebut ialah z(t) = x(t) + εh(t), dengan h merupakan fungsi penyimpang (displacement function) yang terturunkan dua kali dan memenuhi h(0) = h(t ) = 0, dan ε konstanta real. Jika ε = 0 maka z(t) = x(t). z, x, h t TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
28 Karena z(t) memenuhi syarat batas: z(0) = x(0) + εh(0) = x 0, z(t ) = x(t ) + εh(t ) = x T, maka diperoleh fungsional yang bergantung pada parameter ε : J(ε) = T f (z, ż, t) dt, 0 dengan ż(t) = ẋ(t) + εḣ(t). Fungsional J(ε) identik dengan J(x) jika ε = 0 dan mencapai ekstremum ketika J(ε) ε = 0. Diperoleh, ε=0 J(ε) ε = T 0 Karena dz d ε = h dan d ż d ε = ḣ maka ( ) dx f z dε + f dż ż dε dt. J(ε) ε = T 0 ( fz h + fż ḣ ) dt. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
29 Suku kedua diintegralkan secara parsial dengan memisalkan sehingga u = fż du = d dt f ż dt, dv = ḣ dt v = h, T 0 f ż ḣ dt = f ż h T 0 T 0 h d dt f ż dt = T 0 h d dt f ż dt. Jadi, J(ε) = T ( fz d ε 0 dt f ) ż h dt. Ekstremum dicapai ketika ε = 0 yang membuat f z = f x dan fż = fẋ. Lema dasar mengakibatkan J(ε) ε = 0 f x d dt f ẋ = 0. ε=0 TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
30 Proof (Alternative): Pertama akan dibuktikan bahwa syarat perlu bagi J untuk mencapai ekstremum ialah δj = 0. Perhatikan bahwa J(ε) = T 0 f (z, ż, t) dt = T f (x + εh, ẋ + εḣ, t) dt. 0 Penguraian Taylor memberikan J(ε) T [ 0 f (x, ẋ, t) + εhfx (x, ẋ, t) + εḣfẋ (x, ẋ, t) ] dt = T 0 f (x, ẋ, t) dt + T [ εhfx (x, ẋ, t) + εḣfẋ (x, ẋ, t) ] dt 0 = J(x) + δj(ε). Fungsional J(ε) identik dengan J(x) jika dan hanya jika δj(ε) = 0. Selanjutnya, δj(ε) = 0 T 0 (hf x + ḣfẋ ) dt = 0 T 0 (f x d dt f ẋ )h dt = 0 f x d dt f ẋ = 0. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
31 Example Tentukan ekstremum dari J(x) = 1 0 (aẋ 2 + bt) dt, a > 0, x(0) = 0, x(1) = 1. Solution Dengan f (ẋ) = aẋ 2 + bt maka diperoleh f x = 0 dan fẋ = 2aẋ sehingga persamaan Euler memberikan 0 d dt (2aẋ) = 0 2aẍ = 0 ẍ = 0 x(t) = k 1t + k 2. Dengan mensubstitusikan syarat batas diperoleh x (t) = 2t dan J(x ) = 1 0 (4a + bt) dt = 4a b. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
32 Beberapa fungsi penyimpang ialah sbb: sehingga diperoleh h 1 (t) = t(t 1) x 1 (t) = 2t + εt(t 1), h 2 (t) = sin(2πt) x 2 (t) = 2t + ε sin(2πt) J(x 1 ) = 1 0 (a(2 + ε(2t 1))2 + bt) dt = 4a b aε2 > J(x ), J(x 2 ) = 1 0 (a(2 + 2πε cos(2πt))2 + bt) dt = 4a b + 2π2 aε 2 > J(x ). Dapat disimpulkan bahwa masalah di atas adalah masalah minimisasi dan x (t) = 2t merupakan minimum lokal. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
33 Example Tinjau sebuah masalah makroekonomi di mana sebuah indikator ekonomi y(t) ingin dikendalikan dengan kendali u(t) = ẏ(t) sehingga mencapai level yang diinginkan ŷ dalam periode [0, T ]. Pengendalian memerlukan biaya sehingga ingin diminimumkan fungsional J(y) = T 0 Definisikan x := y ŷ sehingga Masalah kalkulus variasi: ẋ = ẏ = u, [ (y ŷ) 2 + cu 2] dt. x(t ) = y(t ) ŷ = ŷ ŷ = 0. min J(x) = T 0 (x 2 + cẋ 2 ) dt, x(0) = x 0, x(t ) = 0. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
34 Solution Persamaan Euler memberikan: 2x 2cẍ = 0 ẍ 1 c x = 0 Syarat batas menghasilkan: sehingga x (t) = x(t) = Ae rt + Be rt, r = 1 c. x [ 0 e rt e rt e r (T t) e r (T t)], y (t) = x (t) + ŷ, u (t) = ẋ (t). TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
35 Example Selesaikan MKV berikut: min J(x) = 1 0 (x 2 + ẋ 2 ) dt, x(0) = 1, x(1) = 0. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
36 Solution Definisikan f (x, ẋ, t) = x 2 + ẋ 2, diperoleh f x = 2x dan fẋ = 2ẋ. Persamaan Euler menjadi 2x d (2ẋ) = 0 ẍ x = 0. dt Karena persamaan karakteristik PD orde dua di atas r 2 1 = 0 memiliki solusi r = 1 dan r = 1 maka solusi umum PD di atas ialah x(t) = C 1 e t + C 2 e t. Syarat batas x(0) = 1 dan x(1) = 0 memberikan C 1 + C 2 = 1, C 1 e + C 2 e 1 = 0, sehingga C 2 = e 2 e 2 1 dan C 1 = 1 e 2 e 2 1 = 1 e 2 1. Jadi, x (t) = 1 e 2 1 (e2 t e t ). TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
37 Problem Tentukan persamaan Euler dari J(x) = T f (x, ẋ, t) dt jika 0 1 f (x, ẋ, t) = x 2 + ẋ 2 + 2xe t. 2 f (x, ẋ, t) = eẋ ax, a > 0. 3 f (x, ẋ, t) = 2tx + 3xẋ + tẋ 2. 4 f (x, ẋ, t) = [ (x ẋ) 2 + x 2] e at, a > 0. Problem Selesaikan MKV berikut: 1 max 2 max 3 min 4 min 1 0 (4xt ẋ 2 ) dt, x(0) = 2, x(1) = (tẋ ẋ 2 ) dt, x(0) = 1, x(1) = 0. 0 (x 2 + 2txẋ + ẋ 2 ) dt, x(0) = 1, x(1) = (x 2 + tx + txẋ + ẋ 2 ) dt, x(0) = 0, x(1) = 1. TBK (IPB) Kalkulus Variasi February / 37
Kalkulus Variasi. Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB
Kalkulus Variasi Masalah Kalkulus Variasi, Fungsional Objektif, Variasi, Syarat Perlu Optimalitas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Persamaan Euler, Masalah Kalkulus Variasi Berkendala, Syarat Batas Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1
Lebih terperinciKontrol Optimum. Prinsip Maksimum Pontryagin. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum Prinsip Maksimum Pontryagin Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 214 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 214 1 / 25 Outline Masalah kontrol optimum Prinsip
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB.
Kalkulus Variasi Syarat Cukup, Masalah Kalkulus Variasi dengan Horizon Takhingga Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 /
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum MKO dengan Horizon Takhingga, Syarat Cukup Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 23 Outline MKO dengan
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum MKO dengan Mixed Constraints dan Pure State Constraints Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 38 Outline
Lebih terperinciKontrol Optimum. Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kontrol Optimum Syarat Transversalitas, Current-valued Hamiltonian Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 37 Outline Syarat
Lebih terperinciKuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab
Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi Kuliah Pengantar Kontrol Optimum dan Metode Numeriknya dalam Scilab Effendi Syahril Agah D. Garnadi e-version
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
Lebih terperinciKontrol Optimum. MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2017
Kontrol Optimum MKO dengan Kendala pada Peubah Kontrol Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2017 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 1 / 53 Outline MKO berkendala
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Definisi KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-7) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Definisi 1 Definisi 2 ontoh Soal Definisi Integral Garis Fungsi f K R 2 R di Sepanjang Kurva
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI ABSTRACT
PENGGUNAAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PADA KALKULUS VARIASI Febrian Lisnan, Asmara Karma 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciKalkulus Variasi. Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan. Toni Bakhtiar. Departemen Matematika IPB. Februari 2014
Kalkulus Variasi Pendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Februari 2014 tbakhtiar@ipb.ac.id (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2014 1 / 42 Outline Beberapa
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua
Lebih terperinciPersamaan Diferensial
Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab
Lebih terperinciBAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I DASAR-DASAR PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Pendahuluan Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat diferensial Kita akan membahas tentang Persamaan Diferensial Biasa yaitu
Lebih terperinciKALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
Lebih terperinciDr. Ir. Bib Paruhum Silalahi, M.Kom
Metode Descent Oleh : Andaikan fungsi tujuan kita adalah minf(x);x R n. Secara umum f(x) dapat berupa fungsi nonlinear. Metode-metode descent adalah metode iteratif untuk memperoleh solusi pendekatan dari
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
Lebih terperinciSenin, 18 JUNI 2001 Waktu : 2,5 jam
UJIAN AKHIR SEMESTER KALKULUS I Senin, 8 JUNI Waktu :,5 jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT. Tentukan (a) x + sin x dx (b) x x p x dx. Tentukan dy dx jika (a) y +) (x + ln x (b) y sin p x. Tentukan ln x p
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Penerapan Integral Lipat-Dua Atina Ahdika,.i, M.i tatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan Integral Lipat-Dua Penerapan lain dari integral lipat-dua antara
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I
PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan
Lebih terperinciTURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA-IPB. (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, / 50
TURUNAN Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Kalkulus: Turunan Bogor, 2012 1 / 50 Topik Bahasan 1 Pendahuluan 2 Turunan Fungsi 3 Tafsiran Lain Turunan 4 Kaitan
Lebih terperinciDosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
KALKULUS III Teorema Integral Dosen Pengampu : Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1 INTEGRAL GARIS Integral Garis pada Fungsi Skalar Definisi : Jika f didefinisikan pada kurva diberikan secara parametrik
Lebih terperinciMODUL 2 OPTIMISASI OPTIMISASI EKONOMI EKONOMI. SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP. Ari Darmawan, Dr., S.AB, M.AB
MODUL 2 OPTIMISASI OPTIMISASI EKONOMI EKONOMI SRI SULASMIYATI, S.Sos, M.AP Ari Darmawan, Dr., S.AB, M.AB aridarmawan_fia@ub.ac.id Pendahuluan Adanya kebutuhan manusia yang tidak terbatas dan terbatasnya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan
Lebih terperinciBAB PDB Linier Order Satu
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB PDB Linier Order Satu BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teorema tentang konsep umum
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA. 10 Maret 2010
Metode Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA 10 Maret 2010 (Program Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA) Metode 10 Maret 2010 1 / 16 Ekspansi Taylor Misalkan f 2 C [a, b] dan x 0 2 [a, b], maka untuk
Lebih terperinciFUNGSI-FUNGSI INVERS
FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2
Lebih terperinciJurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
Lebih terperinciPENDEKATAN KALKULUS VARIASIONAL PADA SISTEM KONTROL DAYA DORONG ROKET. Niken Madu Meta Jurusan Matematika, FMIPA UNS
1 PENDEKATAN KALKULUS VARIASIONAL PADA SISTEM KONTROL DAYA DORONG ROKET Niken Madu Meta Jurusan Matematika, FMIPA UNS Abstrak. Kalkulus variasional adalah cabang dari kalkulus diferensial yang digunakan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.
Lebih terperinciOutline. Bagian 0: Motivasi. Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker. Bagian 2: Sequential Quadratic Programming
Outline Bagian 0: Motivasi Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker Bagian 2: Sequential Quadratic Programming Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di erensial
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Transformasi Laplace Salah satu cara untuk menganalisis gejala peralihan (transien) adalah menggunakan transformasi Laplace, yaitu pengubahan suatu fungsi waktu f(t) menjadi
Lebih terperinciKontrol Optimal Waktu Diskrit
Kontrol Optimal Waktu Diskrit April 2012 () Kontrol Optimal (3 SKS) April 2012 1 / 18 Ekstrim Suatu Fungsional untuk Fungsi Skalar Dalam bagian ini, kita akan menentukan syarat perlu untuk optimisasi fungsional
Lebih terperinciVariabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Lebih terperinciDIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK Tujuan Instruktusional : Memahami diferensiasi untuk fungsi-fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas Daftar Materi Pembahasan : 1. Diferensiasi parsial 2.
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 10 Aplikasi Integral - 1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar- 10 Aplikasi Integral - 1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Volume Benda-Putar Sebuah bentuk bidang yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu-x, dan
Lebih terperinciKENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR. Oleh : M.LUTHFI RUSYDI
KENDALI OPTIMAL PERMAINAN NON-KOOPERATIF KONTINU SKALAR DUA PEMAIN DENGAN STRATEGI NASH TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh
Lebih terperinciBAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK
BAB II PENGANTAR SOLUSI PERSOALAN FISIKA MENURUT PENDEKATAN ANALITIK DAN NUMERIK Tujuan Instruksional Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat: 1. Menjelaskan cara penyelesaian soal dengan
Lebih terperinciG. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel.
G. Minimum Lokal dan Global Berikut diberikan definisi minimum local (relatif) dan minimum global (mutlak) dari fungsi dua variabel. Definisi. (i) Suatu fungsi f(x, y) memiliki minimum lokal pada titik
Lebih terperinciTERAPAN TURUNAN. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 61
TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61 Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL 1. LUAS DAERAH BIDANG
Bahan ajar Kalkulus Integral 9 APLIKASI INTEGRAL. LUAS DAERAH BIDANG Misalkan f() kontinu pada a b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n sub interval h, h,, h n yang panjangnya,,, n (anggap n ), ambil
Lebih terperinciBAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. ahli matematika lainnya di Kerala School membuat penemuan-penemuan (yang
BAB LANDASAN TEORI.1 Kalkulus Pada abad ke-14, seorang ahli Matematika asal India, Madhava bersama rekanrekan ahli matematika lainnya di Kerala School membuat penemuan-penemuan (yang nantinya akan menjadi
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciPERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap
Lebih terperinciDIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan
BAB I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Masalah Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tujuan atau sasaran
Lebih terperinciTEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi
Lebih terperinciPertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor
Pertemuan : 7 Materi : Integral Garis dan Teorema Dasar Integral Garis Bab III. Integral Kalkulus Dari Vektor Standar Kompetensi : 1. Memahami Integral Kalkulus dari Vektor. 2. Memahami Integral Garis,
Lebih terperinciPersamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
Lebih terperinciKalkulus II. Institut Teknologi Kalimantan
Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Kalkulus Teknologi II Kalimantan January 31, () 2018 1 / 71 Kalkulus II Tim Dosen Kalkulus II Tahun Persiapan Bersama Institut Teknologi Kalimantan
Lebih terperinciKARAKTERISASI GRAF POHON DENGAN BILANGAN KROMATIK LOKASI 3
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 71 77 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KARAKTERISASI GRAF POHON DENGAN BILANGAN KROMATIK LOKASI 3 FAIZAH, NARWEN Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: = f(x, y) M(x, y) + N(x, y) = 0 Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika
Lebih terperinciPersamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
Lebih terperincilog2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .
TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1. By : Suthami A
PENGANTAR MATEMATIKA TEKNIK 1 By : Suthami A MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK 1??? MATEMATIKA TEKNIK Matematika sebagai ilmu dasar yang digunakan sebagai alat pemecahan masalah di bidang keteknikan
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciKalkulus Diferensial week 09. W. Rofianto, ST, MSi
Kalkulus Diferensial week 09 W. Rofianto, ST, MSi Tingkat Perubahan Rata-rata Jakarta Km 0 jam Bandung Km 140 Kecepatan rata-rata s t 140Km jam 70Km / jam Konsep Diferensiasi Bentuk y/ disebut difference
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang
ingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegipanjang Perhatikan fungsi z = f(x, y) pada = {(x, y) : a x b, c y d} Bentuk partisi P atas daerah berupa n buah persegipanjang
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER YANG MEMUAT FAKTOR DISKON
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 65 71 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN MASALAH KONTROL KUADRATIK LINIER YANG MEMUAT FAKTOR DISKON MEZI FAUZIATUL HUSNA Program Studi
Lebih terperinci16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.
6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)
Lebih terperinciPROGRAM LINEAR. sudir15mks
PROGRAM LINEAR A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Suatu garis dalam bidang koordinat dapat dinyatakan dengan persamaan yang berbentuk: x a x b a1 1 2 2 Persamaan semacam ini dinamakan persamaan
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinci= F (x)= f(x)untuk semua x dalam I. Misalnya F(x) =
Nama : Deami Astenia Purtisari Nim : 125100300111014 Kelas : L / TIP A. Integral Integral merupakan konsep yang bermanfaat, kegunaan integral terdapat dalam berbagai bidang. Misalnya dibidang ekonomi,
Lebih terperincia home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Turunan Pertemuan - 4
a home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan - 4 a home base to excellence TIU : Mahasiswa dapat memahami turunan fungsi dan aplikasinya TIK : Mahasiswa
Lebih terperinciperpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Fungsi Implisit dan Fungsi Implisit Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Fungsi Implisit Ingat kembali aturan rantai pada fungsi satu peubah! Jika y = f (x(t)), di mana baik f maupun t
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperinciPENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.
PENERAPAN TURUNAN MAT 4 D. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA A. PENDAHULUAN B. DALIL L HÔPITAL C. PERSAMAAN PADA KINEMATIKA GERAK TURUNAN. MATERI78.CO MAT 4 materi78.co.nr Penerapan Turunan A. PENDAHULUAN
Lebih terperinciDepartment of Mathematics FMIPAUNS
Lecture 2: Metode Operator A. Metode Operator untuk Sistem Linear dengan Koefisien Konstan Pada bagian ini akan dibicarakan cara menentukan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan menggunakan
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
Lebih terperinciBab 2: Optimasi Ekonomi. Ekonomi Manajerial Manajemen
Bab 2: Optimasi Ekonomi 1 Ekonomi Manajerial Manajemen 2 Pokok Bahasan Bentuk-Bentuk Hubungan Ekonomi Hubungan Total, Rata-rata dan Marjinal Analisis Optimalisasi Turunan dan Aturan Turunan Optimalisasi
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciPENERAPAN TEORI KENDALI PADA MASALAH PROGRAM DINAMIK
PENERAPAN TEORI KENDALI PADA MASALAH PROGRAM DINAMIK Pardi Affandi, Dewi A, Nur Salam Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl Jend A Yani km 35, 8 Banjarbaru Email: pardi_affandi@yahoocom
Lebih terperinciBab 2 TINJAUAN PUSTAKA
Bab 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Masalah Transportasi Masalah transportasi pertama kali digunakan pada awal perang dunia kedua untuk menentukan bagaimana mengirimkan pasukan yang terletak disuatu tempat latihan
Lebih terperinciMASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R 1.
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciBAB I PENGERTIAN DASAR
BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.
Lebih terperinciSelanjutnya didefinisikan fungsional objektif yang diperbesar (augmented) J ( u ) sebagai:
LAMPIRAN Lampiran 1. Bukti Teorema 4 Diketahui masalah memaksimumkan: T J ( x) = S( x( T), T) + f ( x( t), u( t), t) dt (1) dengan kendala : x() t = f( x(), t u(),) t t dt () Misalkan x() = x, t =, sedangkan
Lebih terperinciSuryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2
Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi Bab 4 Integral Garis dan Teorema Green 4. Integral Garis Definisi : Misal suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan adalah medan vektor
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri
Matematika Teknik Dasar-2 9 Aplikasi Turunan Parsial dan Pengerjaannya Secara Geometri Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Contoh - 1 Volume V dari sebuah silinder dengan
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan di perlukan pada Bab 3. Tinjauan pustaka yang dibahas adalah mengenai yang mendukung
Lebih terperinciLUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI
LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA SUATU FUNGSI Afrizal, S.Pd, M.PMat Matematika MAN Kampar Juli 2010 Afrizal, S.Pd, M.PMat (Matematika) Luas Daerah Dibawah Kurva Juli 2010 1 / 29 Outline Outline 1 Limit dan Turunan
Lebih terperinciPDP linear orde 2 Agus Yodi Gunawan
PDP linear orde 2 Agus Yodi Gunawan Pada bagian ini akan dipelajari tiga jenis persamaan diferensial parsial (PDP) linear orde dua yang biasa dijumpai pada masalah-masalah dunia nyata, yaitu persamaan
Lebih terperincif (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
Lebih terperinci